Un'Introduzione alla Teoria della Misura

354 Pages·2011·1.94 MB·Italian

Un’Introduzione alla Teoria
della Misura
v1.2 - 20110914
Premessa
Ho scrittoquestenote durantelapreparazionedellelezioniaggiuntivediTeoria
della Misura per gli studenti della Laurea Magistrale alla SISSA di Trieste,
perch´e mi sono accortoche a furia di raccogliererisultati da fonti diverse finivo
spesso per non dimostrare qualche risultato intermedio necessario nel seguito.
Allafine,naturalmente,nonc’`estatotempoperaffrontaretutti gliargomentia
lezione(purrinunciandoinpartenzaaridimostrareinclassetutteleproprieta`di
misure esterne e funzioni integrali che ripetono passo passo gli argomenti usati
usualmente in Analisi 2 per la misura di Lebesgue), per`o ho trovato utile avere
tutti i risultati che richiamavo raccolti in un’unico testo. E quindi ecco le note
a disposizione per chiunque sia interessato.
Purtroppo alcuni argomenti importanti non compaiono, nonostante la loro im-
portanza, perch´e non c’`e stato proprio tempo di affrontarli nel mio breve corso
(adesempiolemisureprodottoedilteoremadiFubini,olateoriadellefunzioni
assolutamente continue). Spero di avere occasione di aggiungere almeno questi
argomenti in futuro, in modo da coprire gli aspetti basilari della teoria.
In ogni caso, anche con qualche aggiunta, queste note possono al massimo am-
bire a mostrare la sommit`a di quell’iceberg che `e la teoria della misura: non
viene sviluppata la teoria degli spazi Lp (perch´e trattati in un altro corso); non
vengonoesposte le proprieta`aggiuntivedelle misure di probabilita`(soprattutto
sedefinitesuspazipolacchi);nonvitrovanospazion´elemisurediHausdorffn´e
la teoria geometrica della misura; c’`e solo un vago accenno alle misure a valori
vettoriali (limitato al caso di misure a valori in Rd e quindi senza definire l’in-
tegrale di Bochner); non vengono approfonditi gli altri tipi di integrazione che
si possono introdurre su R (come ad esempio l’integrale di Lebesgue–Stieltjes);
non trovano spazio i teoremi di disintegrazione delle misure su classi di equiva-
lenza; nonviene neppure menzionata la teoriadel trasportoottimo (che pure si
formula essenzialmente in termini di misure); ecc.
Lo spazio per ulteriori approfondimenti da parte degli studenti interessati `e
dunque ampio,ma spero che qualcuno possatrovareinqueste note un punto di
partenza per future esplorazioni.
Concludo questa breve introduzione ringraziando le innumerevoli fonti da cui
ho tratto argomenti ed idee per queste note: innanzi tutto gli incredibilmente
1
completi libri di Fremlin [5, 6], da cui ho “copiato” la struttura delle Sezioni
e buona parte dei risultati (anche se non sempre le dimostrazioni, visto che
spessoilcorsononnecessitavalacompletageneralit`aconcuigliargomentisono
ivi trattati); poi gli ormai classici libri di Cohn [2], Rudin [8] e Folland [4] da
ciascunodeiqualihotrattospecifichepartierisultati;einfineilibridiAmbrosio,
Fusco e Pallara [1], Evans e Gariepy [3] e Stroock [10] da cui ho tratto alcune
idee e tecniche che mi hanno permesso di semplificare specifiche dimostrazioni.
Inoltre, in tutte le Sezioni aleggiano le dimostrazioni che ho imparato durante
i corsi tenuti all’Universit`a Cattolica di Brescia dal prof. Marco Degiovanni
(alle cui dispense mi sono rifatto per alcuni argomenti qui presentati, come ad
esempio la dimostrazione del Teorema di Lusin nel caso reale) e la Sezione sui
Teoremi di Rappresentazione di Riesz sarebbe stata decisamente meno comple-
ta senza alcuni brillanti suggerimenti del prof. Gianni Dal Maso (tra cui, ad
esempio, l’argomento usato nella dimostrazione del Teorema 13.20).
Probabilmente ho anche aggiunto alcuni errori rispetto al materiale originale
(speropochi). Inquestocasonaturalmentelacolpa`etuttamia,quindiviprego
di segnalarmi qualunque omissione od errore possiate trovare.
Infine, vi prego di notare che questo materiale `e coperto da licenza copyleft.
Quindi potete usarne delle parti, se volete, ma dovete menzionarne l’origine e
seguire le altre (poche) condizioni dettate dalla licenza (maggiori dettagli qui
sotto).
F. S. P.
05/12/2010
Addenda, v1.1–1.2 L’attesa di aerei e treni in perenne ritardo nel Natale 2010
e ulterioriviaggiversoconvegninel 2011,m’hanno fornito il tempo per aggiun-
gere le Sezioni 14–25. Penso che ora la panoramica sui concetti fondamenta-
li della teoria della misura sia completa. Sentiti ringraziamenti alle dispense
del Prof. Paolo Acquistapace, senza le quali forse avrei dovuto rinunciare alla
dimostrazione dei Teoremi 24.3–24.5.
F. S. P.
25/12/2010–14/09/2011
c2010–2011Fabio Simone Priuli
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2
Indice
Notazioni e preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Algebre di insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Misure e spazi di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Misure esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Misura di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Insieme di Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Insieme di Cantor e funzione di Cantor–Vitali . . . . . . . . . . . 50
7 Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8 Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9 Spazi Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10 Funzionali additivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
11 Teorema di Radon–Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
12 Misure di Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
13 Teoremi di rappresentazione di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14 Convergenzain misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
15 Misure prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16 Teorema di Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
17 Punti di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
18 Misura di Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
19 Cambio di variabili in un integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
20 Funzioni a variazione limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
21 Teorema fondamentale del calcolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
22 Funzioni assolutamente continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
23 Funzioni a variazione limitata, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
24 Teoremi di rappresentazione di Riesz, II . . . . . . . . . . . . . . 278
25 Integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Soluzioni agli esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3
4
Notazioni e preliminari
Percominciare,inquestasezioneraccogliamoalcunenozionidibaseenotazioni
che verranno usate continuamente nel seguito.
Dato un insieme X, denotiamo con P(X) l’insieme costituito dai sottoinsiemi
di X, i.e.
P(X)=2X = Y ; Y X .
{ ⊆ }
Dati A,B P(X), definiamo unione, intersezione, differenza and differenza
∈
simmetrica di A e B come segue
A B = x X ; x A o x B ,
∪ { ∈ ∈ ∈ }
A B = x X ; x A e x B ,
∩ { ∈ ∈ ∈ }
A B = x X ; x A e x / B ,
\ { ∈ ∈ ∈ }
A B =(A B) (B A)=(A B) (A B).
△ \ ∪ \ ∪ \ ∩
Data un famiglia di insiemi in P(X)
Y ; α ,
α
{ ∈A}
per un qualche insieme di indici = , diremo che la famiglia `e disgiunta se
A 6 ∅
per ogni coppia di indici α,β in si ha
A
α=β = Y Y = .
α β
6 ⇒ ∩ ∅
Nel caso particolare di =N, parleremo di successione disgiunta.
A
Data una successione di insiemi (Y ) in P(X), diremo che la successione `e
n
crescente se per ogni n N si ha Y Y , e che `e decrescente se Y Y .
n n+1 n+1 n
∈ ⊆ ⊆
Dati uno spazio vettoriale X su F (F = R o F = C) e un insieme A X,
⊆
definiamo
per ogni x X
• ∈ .
A+x= a+x ; a A X;
{ ∈ }⊆
per ogni B X
• ⊆
.
A+B = a+b ; a A, b B = A+b X;
{ ∈ ∈ } ⊆
b∈B
[
per ogni λ F
• ∈ .
λA= λa ; a A X;
{ ∈ }⊆
per ogni funzione lineare R: X X
• →
.
RA= Ra ; a A X.
{ ∈ }⊆
Quando parleremo di uno spazio topologico X intenderemo sempre un insieme
X su cui`e assegnata una topologia τ che rende (X,τ)
5
Hausdorff (ossia per ogni x = y esistono U intorno di x e V intorno di y
• 6
tali che U V = ;
∩ ∅
second countable (ossia τ ha una base numerabile);
•
localmente compatto (ossia ogni x X ha un intorno compatto).
• ∈
Ad esempio si puo` pensare ad uno spazio metrico separabile e localmente com-
patto.
Dataunasuccessione(x )inunospaziometricootopologicoX,useremospesso
n
la notazione
limx ,
n
n
per indicare
lim x .
n
n→∞
Si noti che non c’`e davveropericolo di confusione in questo caso, visto che +
∞
`e l’unico punto di accumulazione di N e quindi il limite per n `e l’unico
→ ∞
limite interessante per una successione.
Dato uno spazio topologico X, indichiamo con:
(i) Supp(f) il supporto di una funzione f: X Rd, ossia la chiusura in X
→
dell’insieme
x X ; f(x)=0 ;
{ ∈ 6 }
(ii) C (X;Rd) lo spazio di Banach delle funzioni continue che si annullano a
o
infinito, ossia tali che per ogni ε>0 l’insieme
x X ; f(x) >ε ,
{ ∈ | | }
`e compatto.
(iii) C (X;Rd) lo spazio normatodelle funzioni continue a supporto compatto
c
in X;
(iv) C∞(X;Rd) lo spazio normato delle funzioni di classe C∞ a supporto
c
compatto in X, nel caso in cui X sia uno spazio di Banach1.
La norma considerata sugli spazi appena introdotti`e naturalmente la norma
.
f = sup f(x) .
∞
|| || | |
x∈X
RicordiamoanchecheC (X;Rd)`elachiusuradiC (X;Rd)rispettoallanorma
o c
: infatti presa f C (X;Rd) e posto K = x X ; f(x) > n−1 ,
∞ o n
||·|| ∈ { ∈ | | }
esiste g C (X;R) tale che 0 g 1 e g 1 su K ,2 e quindi f =g f `e
n c n n n n n
∈ ≤ ≤ ≡
una successione in C (X;Rd) che converge uniformemente a f.
c
Infine, indicheremo con R l’insieme R + , e ogni volta che dovremo
∪{ ∞ −∞}
considerare operazioni su R, utilizzeremo le seguenti proprieta`:
1L’ipotesiaggiuntivasuX servenaturalmenteperdefinireildifferenzialedif.
2Lafunzionegn richiestaesisteperilLemmadiUrysohn(cfr.[2,4,8],adesempio).
6
per ogni a R
• ∈
a+ =+ +a=+ , a = +a= .
∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −∞
per ogni a ]0,+ ]
• ∈ ∞
a (+ )=(+ ) a=+ , a ( )=( ) a= .
· ∞ ∞ · ∞ · −∞ −∞ · −∞
per ogni a [ ,0[
• ∈ −∞
a (+ )=(+ ) a= , a ( )=( ) a=+ .
· ∞ ∞ · −∞ · −∞ −∞ · ∞
Assumiamo anche che
0 ( )=( ) 0=0. (1)
· ±∞ ±∞ ·
Si noti che l’unica novit`a rispetto alle usuali operazioni in R `e data da (1).
Restano non definite le operazioni
(+ )+( ), ( )+(+ ).
∞ −∞ −∞ ∞
7
1 Algebre di insiemi
Definizione 1.1. Siano X insieme e P(X). Diciamo che `e un’algebra
F ⊆ F
in P(X) (o un’algebra di sottoinsiemi di X) se valgono i seguenti fatti:
(a) ;
∅∈F
(b) A implica X A ;
∈F \ ∈F
(c) A,B implica A B .
∈F ∪ ∈F
Se dal contesto`e chiaro a quale insieme X ci si riferisce, diremo semplicemente
che `e un’algebra.
F
Definizione 1.2. Siano X insieme e P(X). Diciamo che `e una σ–
F ⊆ F
algebra in P(X) (o una σ–algebra di sottoinsiemi di X) se valgono i seguenti
fatti:
(a) ;
∅∈F
(b) A implica X A ;
∈F \ ∈F
(c) se (A ) `e una successione in , allora si ha
i i∈N
F
A .
i
∈F
i∈N
[
Se dal contesto`e chiaro a quale insieme X ci si riferisce, diremo semplicemente
che `e una σ–algebra.
F
Proposizione 1.3. Siano X insieme e P(X).
F ⊆
(i) se `e un’algebra, allora per ogni E,F si ha
F ∈F
E F , E F ,
∩ ∈F \ ∈F
e per ogni N N e E ,...,E si ha
1 N
∈ ∈F
E ... E , E ... E .
1 N 1 N
∪ ∪ ∈F ∩ ∩ ∈F
(ii) se `e una σ–algebra, allora per ogni E,F si ha
F ∈F
E F .
∪ ∈F
In particolare, `e un’algebra e valgono le propriet`a del punto (i). Inoltre,
F
se (A ) `e una successione in allora
i i∈N
F
A .
i
∈F
i∈N
\
8
Dimostrazione. (i) Le primeproprieta`seguonoimmediatamente dalladefini-
zione di algebra e da
E F =X (X E) (X F) , E F =E (X F).
∩ \ \ ∪ \ \ ∩ \
Perinduzione,poi,sip(cid:0)rovanoanchele pro(cid:1)prieta`suunioniedintersezionifinite.
(ii)Laprimaproprieta`seguedalladefinizione,scegliendolasuccessioneG =E
o
e G =F per i 1. Infine, da
i
≥
A =X (X A ) .
i i
\ \ !
i∈N i∈N
\ [
si conclude che `e chiusa anche per intersezioni numerabili.
F ⋄
Esempio 1.4. Sia X un insieme.
,X `e sempre una σ–algebra di sottoinsiemi di X;
• {∅ }
dato A X, ,A,X A,X `e una σ–algebra di sottoinsiemi di X;
• ⊆ {∅ \ }
P(X)`e una σ–algebra di sottoinsiemi di X.
•
Proposizione 1.5. Siano X un insieme e ; α una famiglia non
α
{F ∈ A}
vuota di σ–algebre in P(X). Allora anche
= Y P(X) ; Y α ,
α α
F { ∈ ∈F ∀ ∈A}
α∈A
\
`e una σ–algebra in P(X).
Dimostrazione. Se prendiamo un insieme E o una successione (E ) in ,
h α
F
allora E ed (E ) appartengono ad per ogni indice α . Poich´e ciascun
h α
F ∈ A T
`e una σ–algebra,ne segue che anche X E e E appartengono ad
Fα \ h∈N h Fα
per ogni indice α , e questo permette di concludere.
∈A S ⋄
La Proposizione appena dimostrata ci offre uno strumento per ottenere una
σ–algebra a partire da una famiglia qualsiasi di sottoinsiemi.
Definizione1.6. SianoX uninsiemee P(X)unafamiglia disottoinsiemi
G ⊆
di X. Detto
= P(X) ; , `e una σ–algebra ,
S {F ⊆ G ⊆F F }
chiamiamo σ–algebra generata da la σ–algebra
G
.
Σ = Σ
G
Σ∈S
\
Osservazione 1.7. Laσ–algebraΣ `ebendefinitaperch´eP(X) e,quindi,
G
∈S
= .
S 6 ∅
9
Esempio 1.8. Siano X un insieme e A X. Allora:
⊆
la σ–algebra generata da X e quella generata da coincidono e sono
• { } {∅}
,X ;
{∅ }
la σ–algebra generata da A `e ,A,X A,X ;
• { } {∅ \ }
se `e una σ–algebra, allora Σ = .
G
• G G
Definizione 1.9. Sia X uno spazio topologico. Chiamiamo σ–algebradi Borel
la σ–algebra generata dagli aperti di X e la indichiamo con (X).
B
Esercizio 1. Ricordando che l’intervallo ]a,b[ `e aperto in R per ogni a,b R,
∈
mostrare che ogni intervallo di R (limitato o illimitato, aperto o chiuso o aperto
solo da un lato) `e un insieme boreliano di R, i.e. appartiene a (R).
B
Esercizio 2. Siano X,Y insiemi e f: X Y una funzione. Provare che
→
se P(X) `e una σ–algebra in P(X), allora
• F ⊆
F Y ; f−1(F) ,
⊆ ∈F
`e una σ–algebra in P(Y(cid:8)); (cid:9)
se P(Y) `e una σ–algebra in P(Y), allora
• G ⊆
f−1(E) ; E ,
∈G
`e una σ–algebra in P(X). (cid:8) (cid:9)
Esercizio 3. Siano X insieme, P(X) una σ–algebra di sottoinsiemi di X
F ⊆
e A X. Mostrare che
⊆
.
= E A ; E ,
A
F ∩ ∈F
`e una σ–algebra in P(A), detta t(cid:8)raccia di su A(cid:9).
F
Esercizio 4. Siano X insieme, P(X) una σ–algebra di sottoinsiemi di X
F ⊆
e A X. Mostrare che
⊆
(E A) (F A) ; E,F ,
∩ ∪ \ ∈F
`e una σ–algebra in P(X(cid:8)) e che coincide con la σ–algeb(cid:9)ra generata da A .
F∪{ }
10