Une propri\'et\'e de transfert en approximation diophantienne

0.11 MB·

by  Patrick Bernard

Une propri´et´e de transfert en approximation
diophantienne
Patrick BERNARD1
janvier 2001, corrig´e ´et´e 2003
6
1
0
2
R´esum´e : E´tant donn´e un vecteur ω Rn, on d´efinit la suite T des p´eriodes de ω
i
n ∈
comme la suite des temps de meilleur retour pr`es de l’origine de la translation x x+ω
a 7−→
J sur le tore Tn. On ´etudie comment les propri´et´es diophantiennes du vecteur ω peuvent ˆetre

6 exprim´ees `a l’aide de la suite des p´eriodes. Plus pr´ecis´ement, on montre que si le vecteur ω
] est non r´esonant, et si ses p´eriodes v´erifient l’in´egalit´e Ti+1 6 CTi1+τ avec τ < (n−1)−1,
S alors le vecteur ω est diophantien.
D
h. Abstract : Given a vector ω Rn, the sequence Ti of periods is defined as the sequence
∈
t of times of best returns near the origin of the translation x x+ω on the torus Tn. In
a
7−→
m the present paper, we study how the Diophantine properties of ω can be expressed considering
[ the sequence of its periods. More precidely, we prove that, if the vector ω is not resonant, and

if the sequence of periods satisfy the inequality T 6 CT1+τ with τ < (n 1)−1, then the
1 i+1 i −
v vector ω is Diophantine.
2
9
1
1 Introduction
0
.
1 0.1 Soit ω un vecteur de Rn. On note Tn le tore (R/Z)n, et t : Tn Tn le diff´eomor-
0 ω
−→
6 phisme x x+ω. On s’int´eresse au syst`eme dynamique discret engendr´e par tω. On dit
7−→
1 que ω est r´esonant si il existe k Zn tel que le produit scalaire ω,k est entier ( Z). Dans
: ∈ h i ∈
v ce cas, le tore Tn est fibr´e en tores de plus petite dimension invariants par t . Sinon, on dit
ω
Xi que ω est non r´esonant, et tω est uniquement ergodique et minimal, c’est `a dire que Tn est
r le seul compact non vide invariant par tω, et que la mesure de Haar est la seule mesure de
a
probabilit´e invariante.
Il est tr`es utile en th´eorie de la moyennisation (th´eorie KAM par exemple) de quanti-
fier le caract`ere non r´esonant de ω. Le plus simple consiste `a minorer les ”petits diviseurs”
d( k,ω ,Z), k Zn. On parle alors de propri´et´es diophantiennes lin´eaires. Cette approche est
h i ∈
assez naturelle, car les petits diviseurs apparaissent directement au d´enominateur des coeffi-
cients des s´eries de perturbation dans de nombreux probl`emes. Intuitivement, ceci revient a
quantifier l’ergodicit´e de t , mais le sens dynamique des petits diviseurs n’est pas tr`es clair.
ω
Onpeutaussimesurerlaqualit´e del’approximation deω pardesvecteurs rationnels, c’est
`a dire estimer d(Tω,Zn), T Z. On parle alors de propri´et´es diophantiennes simultan´ees.
∈
Cette approche n’a´et´e utilis´ee que beaucoup plus r´ecemment dans les probl`emes de moyenni-
sation, voir [2], ou` elle permet une simplification remarquable du th´eor`eme de Nekhoroshev.
On peut enfin se restreindre `a la suite des meilleures approximations de ω, comme sugg´er´e
1. Patrick Bernard, InstitutFourier, BP 74, 38402 Saint Martin d’Hy`erescedex, FRANCE.
[email protected]
1
dans [2]. On d´efinit pour ceci les p´eriodes T (ω) de ω Rn en posant T (ω) = 1 et
i 0
∈
T (ω) = min T N tel que Tω < T (ω)ω . (1)
i+1 Z i Z
∈ k k k k
(cid:8) (cid:9)
Voir 0.2 ci-dessous pour les notations. La croissance des p´eriodes d´etermine de mani`ere tr`es
condens´ee les propri´et´es diophantiennes de ω.
Un int´erˆet majeur de l’approximation simultan´ee est son caract`ere profond´ement dyna-
mique. En effet, si l’on consid`ere un hom´eomorphisme φ d’un espace m´etrique et une orbite
r´ecurrente φn(x) decet hom´eomorphisme,on peutd´efinir les´ecarts d(φn(x),x) et les p´eriodes
T de cette orbite par T = 1 et
i 0
T = min T N tel que d(φT(x),x) < d(φTi(x),x) .
i+1
∈
(cid:8) (cid:9)
Ces d´efinition co¨ıncident avec les notions vues au dessus lorsque φ est la translation sur le
tore de vecteur ω.
La correspondancepr´ecise entre les diff´erents types depropri´et´es diophantiennes n’est pas
imm´ediate, bien que ces propri´et´es soient visiblement de mˆeme nature. Nous rappelons ici le
tr`esclassiqueth´eor`emedetransfertdeKhintchine,etl’´etendonsauxpropri´et´esdiophantiennes
d´efinies en terme de croissance des p´eriodes, qui n’avaient pas ´et´e ´etudi´ees jusqu’ici. Cet
article doit beaucoup `a mes conversations avec Pierre Lochak sur le lien entre les m´ethodes
de perturbation par approximation simultan´ees d´evelopp´ees dans [2] et la th´eorie KAM. Je
tiens aussiaremercier Xavier Buff,quim’asugg´er´e uneam´elioration delaPropri´et´e 1.3, ainsi
que le referee pour sa lecture attentive qui a permis de nombreuses am´eliorations du texte.
0.2 Notations : On utilise pour l’essentiel les notations de l’appendice 1 de [2]. Soit
ω = (ω ,...,ω ) Rn, on note
1 n
∈
ω = sup ω .
i
| | | |
i
Si ω′ = (ω′,...,ω′) Rn, on note
1 n ∈
ω,ω′ = ω ω′ +...+ω ω′
h i 1 1 n n
le produit scalaire standard, et
ω = ω,ω .
k k h i
Pour ω Rn, on note p
∈
ω = min ω k ,
Z
k k k∈Zn| − |
et de la mˆeme fa¸con, x = min x k pour x r´eel.
Z k∈Z
k k | − |
1 Th´eor`emes de Dirichlet
Il est utile pour fixer les id´ees de rappeler les deux r´esultats les plus simples de l’approxi-
mation diophantienne. On pourra consulter [3] pour les preuves.
1.1 Th´eor`eme de Dirichlet : Consid´erons un vecteur ω Rn, pour tout r´eel Q > 0, il
∈
existe un entier positif T < Q tel que
Tω Z 6 Q−n1.
k k
En cons´equence, il existe une infinit´e d’entiers T tels que
Tω Z < T−n1.
k k
2
1.2 Th´eor`eme : Consid´erons unvecteur ω Rn, pourtout r´eel Q > 0 il existe un vecteur
∈
k Zn v´erifiant k < Q et tel que
∈ | |
k,ω 6 Q−n.
Z
kh ik
En cons´equence, il existe une infinit´e de vecteurs entiers k tels que
k,ω < k −n.
Z
kh ik | |
1.3 Propri´et´e : La suite T (ω) des p´eriodes de ω satisfait :
i
1 1
6 T (ω)ω 6 .
i Z
T (ω)+T (ω) k k T (ω)1/n
i i+1 i+1
L’in´egalit´e de droite est une cons´equence directe du th´eor`eme de Dirichlet avec Q = T (ω).
i+1
En effet, on a alors
1
T (ω)ω = min Tω 6 .
k i kZ 16T<Ti+1(ω)k kZ Ti+1(ω)1/n
Pour montrer l’in´egalit´e de gauche, consid´erons des vecteurs entiers w tels que
i
T (ω)ω = T (ω)ω w .
i Z i i
k k | − |
Comme T (ω)w T (ω)w est un vecteur entier non nul, on a
i i+1 i+1 i
−
1 T (ω)w T (ω)w w w
6 i i+1− i+1 i = i+1 i
T (ω)T (ω) (cid:12) T (ω)T (ω) (cid:12) (cid:12)T (ω) − T (ω)(cid:12)
i i+1 (cid:12) i i+1 (cid:12) (cid:12) i+1 i (cid:12)
(cid:12) w w(cid:12) (cid:12) (cid:12)
6 (cid:12) i+1 ω + ω (cid:12)i (cid:12) (cid:12)
(cid:12)T (ω) − (cid:12) (cid:12) − T (ω)(cid:12)
(cid:12) i+1 (cid:12) (cid:12) i (cid:12)
(cid:12)T (ω)ω (cid:12) (cid:12)T (ω)ω (cid:12)
6 (cid:12)k i+1 kZ(cid:12)+ k(cid:12) i kZ (cid:12)
T (ω) T (ω)
i+1 i
T (ω)+T (ω)
i i+1
< T (ω)ω ,
i Z
T (ω)T (ω) k k
i i+1
la Propri´et´e en d´ecoule.
2 Propri´et´es de transfert
2.1 Rappelons que la suite T (ω) est la suite des p´eriodes introduite dans l’introduction.
i
On d´efinit les ensembles
Ω (τ) = ω Rn/ C > 0, T N, Tω > CT−(1+τ)/n ,
n Z
∈ ∃ ∀ ∈ k k
n o
Ωn(τ) = ω Rn/ C > 0, k Zn 0 , k,ω > C k −(1+τ)n ,
Z
∈ ∃ ∀ ∈ −{ } kh ik | |
n o
Ω(τ)= ω Rn/ C > 0, i N, T (ω) 6 CT (ω)1+τ ,
i+1 i
∈ ∃ ∀ ∈
Ω˜(τ) = (cid:8)ω Ω(τ)/ k Zn 0 , k,ω Z . (cid:9)
{ ∈ ∀ ∈ −{ } h i 6∈ }
Auvudesth´eor`emes deDirichlet delasection 1,lesensemblesΩn(τ)etΩ (τ)sontvidespour
n
τ < 0, il en va ´evidemment de mˆeme des ensembles Ω(τ) et Ω˜(τ). On dit que les ´el´ements de
Ωn(τ) pour τ > 0 satisfont une propri´et´e diophantienne lin´eaire, et que les ´el´ements de Ω (τ)
n
satisfont une propri´et´e diophantienne simultan´ee. Dans cette note, on montre le
3
2.2 Th´eor`eme de transfert : Pour tout τ >0,
τ τ
Ω Ω˜ Ωn(τ) Ω (nτ).
n n
(cid:18)(n 1)τ +n(cid:19) ⊂ (cid:18)(n 1)τ +n(cid:19) ⊂ ⊂
− −
On en d´eduit par exemple que toutes les notions de vecteurs mal approchables co¨ıncident :
Ω (0) = Ωn(0) = Ω˜(0).
n
Lorsque n = 1, ces nombres sont dits de type constant. On d´eduit aussi qu’une propri´et´e
diophantiennelin´eaireimpliquetoujoursunepropri´et´e diophantiennesimultan´ee. L’apparten-
ance `a Ω (τ) n’implique cependant une propri´et´e diophantienne lin´eaire que si τ < (n 1)−1.
n
−
L’existence de ce seuil sera expliqu´ee dans la section 3.
2.3 Mentionnons que les inclusions suivantes, dues `a Khintchine, sont bien connues depuis
longtemps (voir [2], [3]) : Pour tout τ > 0,
τ
Ω Ωn(τ) Ω (nτ).
n n
(cid:18)(n 1)τ +n(cid:19) ⊂ ⊂
−
2.4 La section suivante est consacr´ee `a quelques discussions sur le th´eor`eme de transfert.
On y r´eduit la preuve des deux nouvelles inclusions `a celle la Proposition 3.10.
3 Vecteurs rationnels et r´esonances
3.1 Le module de r´esonance de ω, R(ω), est l’ensemble des vecteurs k Zn pour lesquels
∈
k,ω Z. On appelle ordre de r´esonance de ω le rang de ce sous groupe de Zn, c’est `a dire
h i ∈
le cardinal de ses bases. Le vecteur ω est dit r´esonant si son module de r´esonance n’est pas
trivial, c’est `a dire si son ordre de r´esonance est non nul.
3.2 Le vecteur ω est dit rationnel si ses composantes sont rationnelles. Le vecteur ω est
rationnel si et seulement si toutes les orbites des t sont p´eriodiques. Elles ont alors toutes
ω
la mˆeme p´eriode, qui est le plus petit d´enominateur commun des composantes de ω. Les
vecteurs rationnels sont les vecteurs maximalement r´esonants, c’est `a dire ceux dont l’ordre
der´esonanceestn.Eneffet,toutmoduleRderangncontientlemoduleTZn pourunecertain
T. Les vecteurs ayant R pour module de r´esonance sont donc n´ecessairement T-p´eriodiques.
3.3 Proposition : Soit ω un vecteur r´esonant d’ordre r. Il existe une matrice A Gl (Z)
n
∈
et une famille d , 1 6 i 6r, d’entiers tels que d divise d et tels que
i i i+1
(d e ,...,d e )
1 1 r r
forme une base du module de r´esonance de Aω, ou` (e ,...,e ) est la base standard de Rn.
1 n
En particulier,
Aω = (w/T,ω′) Qr Rn−r,
∈ ×
ou` ω′ est un vecteur non r´esonant et w/T est un vecteur p´eriodique (rationnel) de p´eriode
T = d .Lorsqueω estp´eriodique,onluiassociedoncninvariants d ,ou` d = T estlap´eriode.
r i n
Il existe alors une matrice A Gl (Z) telle que
n
∈
Aω =(a /d ,a /d ,...,a /d )
1 1 2 2 n n
avec des composantes a /d irr´eductibles.
i i
4
3.4 D´emonstration : Soit R le module de r´esonance de ω. Consid´erons une base
k ,...,k de R, et associons lui la matrice B `a coefficients entiers de l’application lin´eaire
1 r
Rn x ( k ,x ) Rr. Par un r´esultat classique, voir [1], th´eor`eme 3.8, il existe une
i
∋ −→ h i ∈
matrice A Gl (Z), une matrice C Gl (Z) et une matrice diagonale
n r
∈ ∈
d 0 0
1
···
Λ =  ... 
0 d 0 ...
r
 
telle que B = CΛA, ou` les coefficients diagonaux d sont des entiers tels que d divide d .
i i i+1
La propostion en d´ecoule puisque
k,Aω Z Atk,ω Z Atk Im(Bt)= Im(AtΛt) k Im(Λt).
h i ∈ ⇐⇒h i ∈ ⇐⇒ ∈ ⇐⇒ ∈
3.5 Remarque : Tout sous groupe de Zn n’est pas un module de r´esonance, et les
invariants d’unmoduleder´esonance satisfontcertaines contraintes. Enparticulier,ilestfacile
dev´erifier queles invariants quinesontpas´egaux `a1sonttousdistincts:d = d d = 1.
i i+1 i
⇒
3.6 Lorsquen = 1, unrationnel ω = w/T (sous formeirr´eductible) degrandd´enominateur
T auncomportementtr`esproched’unirrationnelencesensquelespointskω,k Zsontbien
∈
r´epartis sur le cercle (ce sont pr´ecis´ement les points de la forme l/T, l Z). En dimension
∈
sup´erieure, certains vecteurs p´eriodiques de grande p´eriode se comportent essentiellement
comme des vecteurs non-r´esonants, et d’autres se comportent plutoˆt comme des vecteurs
r´esonants (par exemple le vecteur (0,w/T) R2). En raison de la non compacit´e du groupe
∈
Gl (Z)pourn > 2,iln’estpaspossibledequantifierlapr´esenceeffectiveounonder´esonances
n
pour un vecteur p´eriodique ω de grande p´eriode par des quantit´es invariantes par l’action de
Gl (Z). Par exemple, ´etant donn´e un vecteur ω R2, l’algorithme des fractions continues
n
∈
permet de trouver une suite (non born´ee) A de matrices de Gl (Z) et une suite de rationnels
n 2
x Q tels que A (0,x ) ω lorsque n tend vers l’infini.
n n n
∈ −→
Il est donc utile d’introduire la quantit´e
e(ω) = min k .
k∈R(ω)−{0}| |
Pourillustrersonroˆle,consid´eronsunvecteurr´eelωetunesuited’approximationsrationnelles
w /T de ω, ou` la p´eriode T tend vers l’infini. Il n’est pas difficile de voir que la limite ω
n n n
est r´esonante si et seulement si la suite e(w /T ) est born´ee. Notons que, pour un vecteur
n n
rationnel w/T de p´eriode T, on a l’estimation
1 6 e(w/T) 6 T1/n.
En effet, le th´eor`eme 1.2 donne l’existence d’un vecteur entier k tel que k 6 T1/n et
| |
k,w/T < 1/T, mais alors k R(w/T). R´eciproquement, pour la plupart des vecteurs
Z
kh ik ∈
rationnels w/T de d´enominateur T, e(w/T) est au moins de l’ordre de T1/(n+1). Ceci est
rendu plus pr´ecis par la Propri´et´e 3.7 ci-dessous. Les vecteurs p´eriodiques pour lesquels la
valeur e est grande sont ceux dont l’orbite est constitu´ee de points bien r´epartis sur le tore.
5
3.7 Propri´et´e : Pour tout r´eel strictement positif τ, la proportion de vecteurs entiers w
tels que
1−τ
e(w/T) 6 Tn+1
tend vers zero lorsque T tend vers l’infini.
D´emonstration : Nous allons majorer le nombre de points entiers w de [0,T 1]n tels
−
qu’il existe un vecteur entier k v´erifiant k 6 A et k,w = Tl, l Z. Pour chaque couple
| | h i ∈
(k,l) Zn Z, l’hyperplan k,w = Tl contient au plus Tn−1 points entiers dans [0,T 1]n.
∈ × h i −
Parailleurs,pourunvecteurentierk donn´e,lenombred’entiersltelsquel’hyperplan k,w =
h i
Tlintersecte[0,T 1]n estauplusn(2k +1),puisque k,w 6 n k w .Lenombredecouples
− | | |h i| | || |
(k,l) Zn Z v´erifiant k 6 A et tels que l’hyperplan d’´equation k,w = Tl intersecte
∈ × | | h i
[0,T 1]n est donc inf´erieur `a n(2A+1)n+1. Il y a donc au plus
−
n(2A+1)n+1Tn−1
points entiers w dans [0,T 1]n tels que e(w/T) 6 A. On termine alors la d´emonstration en
−
remarquant que
n 2Tn1−+τ1 +1 n+1Tn−1 = o(Tn).
(cid:16) (cid:17)
3.8 En ne retenant d’un vecteur rationnel que sa p´eriode T, on perd donc une information
essentielle. Par exemple, la suite des distances T(ω,0) , T Z, associ´ee au vecteur (ω,0)
Z
k k ∈ ∈
Rn+1 est la mˆeme que la suite Tω associ´ee `a ω, alors que le vecteur (ω,0) est fortement
Z
k k
r´esonant et engendre des orbites tr`es mal r´eparties dans Tn+1. De la mˆeme fa¸con, la suite des
p´eriodes T (ω,0) est la mˆeme que celle de ω. Il est remarquable qu’une simple connaissance
i
de la suite Tω puisse suffire `a d´eterminer le caract`ere non r´esonant de ω, voir 3.9. Il n’est
Z
k k
pas possible de tirer ce caract`ere non r´esonant d’une connaissance de la suite des p´eriodes.
Pourtant, si l’on suppose`a priori le vecteur ω non r´esonant, on montre que certaines estim´ees
sur la croissance des p´eriodes permettent de d´eduire des propri´et´es diophantiennes lin´eaires
v´erifi´ees par ω. Cette remarque, `a ma connaissance nouvelle, fait l’objet de la proposition
3.10, qui sera d´emontr´ee dans la section suivante.
3.9 Propri´et´e : Pour tout τ < (n 1)−1, les vecteurs de Ω (τ) sont non r´esonants.
n
−
Ce r´esultat est bien sur impliqu´e par les inclusions de Khintchine 2.3. Nous allons cependant
en donner une preuve ´el´ementaire. Consid´erons un vecteur r´esonant ω. D’apr`es 3.3, il existe
une matrice A SL (Z) telle que Aω = (ω′,w/p) Rn−1 Q, (w,p) Z2. Appliquons le
n
∈ ∈ × ∈
th´eor`eme de Dirichlet `a pω′. Il existe une infinit´e d’entiers T tels que Tpω′ < T−1/n−1, et
Z
k k
donc tels que
1 p1/(n−1)
T(pω′,w) < TpAω < .
Z Z
k k T1/(n−1) ⇐⇒ k k (pT)1/(n−1)
Il y a donc une infinit´e d’entiers T′ = pT et une constante C tels que
C
T′ω 6 .
Z
k k (T′)1/(n−1)
Ceci exclut que ω puisse appartenir `a l’ensemble Ω (τ) lorsque
n
1+τ 1 1
< τ < .
n n ⇐⇒ n 1
−
6
3.10 Proposition : Si ω est non r´esonant et si il existe τ 0, 1 et C > 0 tels que
∈ n−1
h h
T (ω) 6 CT (ω)1+τ alors il y a une constante D > 0 telle que, pour tout k Zn, on a
i+1 i
∈
k,ω Z > D k −1+nµ, ou` µ = nτ .
kh ik | | n (n 1)(1+τ)
− −
3.11 D´emonstration du th´eor`eme de transfert : Nous ne prouverons que les deux
premi`ereinclusions.Nousrenvoyons`a[3]pourlapreuvedelatroisi`emeinclusion.Ladeuxi`eme
inclusion d´ecoule directement de la propri´et´e 3.10. La premi`ere inclusion d´ecoule de la pro-
pri´et´e 3.9 et de la remarque suivante : Si ω Ω (τ′), on obtient en appliquant th´eor`eme de
n
∈
Dirichlet avec Q = T (ω) que
i+1
CT (ω)−(1+τ′)/n 6 T (ω)ω 6 T (ω)−1/n,
i i Z i+1
k k
et donc que ω Ω(τ′) (voir [2]).
∈
4 D´emonstration de la proposition 3.10
Le vecteur ω est fix´e une fois pour toutes, on notera donc T les p´eriodes T (ω). On
i i
consid`ere une suite de meilleures approximations ω , c’est `a dire une suite de vecteurs ra-
i
tionnels telle que T (ω ω) = T ω et T ω = w Zn. Soit k Zn, comme ω est non
i i i Z i i i
k − k k k ∈ ∈
r´esonant, les produits scalaires k,ω ne peuvent ˆetre entiers que pour un nombre fini de
i
h i
valeurs de i, et on peut d´efinir
i(k) = 1+max i tel que k,ω Z .
i
h i ∈
(cid:8) (cid:9)
4.1 E´tablissons pour commencer les in´egalit´es
T 1 n+(1−n)(1+τ)
k > i(k)−1 > T n(1+τ) .
k k 2√nT1−1/n 2√nC1+1τ i(k)
i(k)
On a
k,ω Z,
i(k)−1
h i∈
et
k,ω > 1/T
i(k) Z i(k)
kh ik
donc
k,ω ω > 1/T .
i(k) i(k)−1 i(k)
|h − i|
On en d´eduit que
1
k > .
k k 2T ω ω
i(k) i(k)−1
k − k
En appliquant le Th´eor`eme de Dirichlet avec Q = T , on obtient
i+1
√n
ω ω 6 √nω ω 6 ,
k i(k)−1− k | i(k)−1− | T T1/n
i(k)−1 i(k)
ce qui donne la premi`ere ´egalit´e. La seconde in´equalit´e est alors une cons´equence directe de
l’hypoth`ese.
7
4.2 Un calcul simple donne alors que
Ti(k) 6 2√nC1+1τ k n(1+µ),
k k
(cid:0) (cid:1)
ou` µ est donn´e dans l’´enonc´e. D´efinissons l’indice
j(k) = min j > i(k) tels que Tj+1 > 2√nC1+1τ k n(1+µ) .
k k
(cid:8) (cid:0) (cid:1) (cid:9)
D’un cot´e, l’in´egalit´e
Tj(k)+1 > 2√nC1+1τ k n(1+µ)
k k
(cid:0) (cid:1)
implique, puisque T 6 CT1+τ, que
j(k)+1 j(k)
Tj(k) > (cid:0)2√nC1+11τ)n11++µτ kkkn11++µτ.
C1+τ
D’un autre cot´e, on a la majoration
Tj(k) 6 2√nC1+1τ k n(1+µ).
k k
(cid:0) (cid:1)
On a donc, comme j(k) > i(k),
k,ωj(k) Z > 1 > 2√nC1+1τ k −n(1+µ). (2)
kh ik T k k
j(k) (cid:0) (cid:1)
En utilisant encore le th´eor`eme de Dirichlet, on obtient
1
ω ω 6
| j(k)− | T1+1/n
j(k)
et donc
|hk,ωj(k)−ωi| 6 T1k+k1k/n 6 Tj1(k)C˜kkkτ1−+τµ, (3)
j(k)
ou` C˜ ne d´epend pas de k. Il est facile de voir que τ < µ, et donc, par (2) et (3) que
k,ω Z > 1 (1 ǫ( k )) > 2√nC1+1τ k −n(1+µ)(1 ǫ( k )),
kh ik T − k k k k − k k
j(k) (cid:0) (cid:1)
ou` ǫ(x) est une fonction qui tend vers 0 lorsque x tend vers l’infini. La proposition annonc´ee
en d´ecoule.
R´ef´erences
[1] Jacobson N. : Basic Algebra I, second edition, W. H. Freeman and Company, New York,
(1985).
[2] Lochak P. : Canonical perturbation theory via simultaneous approximation, Russ.Math.
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[3] Schmidt W. M. : Diophantine Approximation, Lecture Notes in Math. 785 (1980).
8