Une généralisation de la conjecture de point fixe de Schauder

0.21 MB·French

by  Robert Cauty

UNE GÉNÉRALISATION DE LA CONJECTURE DE POINT
FIXE DE SCHAUDER
2
1 ROBERTCAUTY
0
2
Résumé. WeprovethefollowinggeneralisationofSchauder’sfixedpoint
n
a conjecture : Let C1,...,Cn be convex subsets of a Hausdorff topologi-
J cal vector space. Suppose that the Ci are closed in C = C1∪···∪Cn.
If f : C → C is a continuous function whose image is contained in a
2
compact subset of C, then its Lefschetz number Λ(f) is defined, and if
1
Λ(f)6=0, then f hasa fixed point.

]
T
A
h. 1. Introduction
t
a Soit X un espace topologique séparé. Une fonction continue f : X → X
m
estdite compacte si f(X) est contenu dans un sous-ensemble compact de X.
[
Pourdéfinir,lorsquecelaestpossible,lenombredeLefschetzΛ(f)d’unetelle

1 fonction, nous utilisons la cohomologie d’Alexander-Spanier à coefficients
v
rationnels.
6
Nous démontrerons la généralisation suivante de la conjecture de point
8
5 fixe de Schauder.
2
. Théorème. Soit C = C1∪···∪Cn, où C1,...,Cn sont des sous-ensembles
1
convexes d’un e.v.t. séparé E qui sont fermés dans C. Si f :C → C est une
0
2 fonction continue compacte, alors Λ(f) est défini. Si Λ(f)6= 0, f a un point
1 fixe.
:
v
La démonstration suitleschéma quenous avons expliquédans [3]pourles
i
X espaces ULC. Malheureusement, les résultats exposés dans [3] ne sont pas
r directement applicables ici, car nous ne savons pas si C estULC, même dans
a
lecasoùilestmétrisableetC = C ∪C .Leproblèmevientdel’absenced’un
1 2
théorème d’addition pour les espaces ULC. Soient X et X des fermés d’un
1 2
espace métrisable X tels que X = X ∪X . Si X , X et X = X ∩X sont
1 2 1 2 0 1 2
ULC,X est-ilaussiULC?Laréponseaffirmativen’estconnuequedanslecas
où X est un rétracte de voisinage de X (voir [6]), mais cette condition n’est
0
pas toujours vérifiée. Il existe des ensembles convexes métrisables C ⊂ K
0
tels que C soit fermé dans K, que K soit un rétracte absolu, mais que C
0 0
n’en soit pas un (voir [1]); alors C n’est pas un rétracte de voisinage de K.
0
Si C = C ∪C où (C ,C ) et (C ,C ) sont des copies de (K,C ), C est-il
1 2 1 0 2 0 0
ULC?
1991 Mathematics Subject Classification. 55M20.
Key words and phrases. Schauder’s conjecture, algebraic ANR.
1
2 ROBERTCAUTY
Comme dans tous les problèmes de point fixe de ce type, la partie la
plus délicate de la démonstration est le cas où C est métrisable. Dans ce
cas, C a le type d’homotopie du nerf du système {C ,...,C }, ce qui nous
1 n
permet d’utiliser l’homologie singulière pour définir Λ(f), et une variante
de la technique, introduite implicitement dans [2], d’« approximation »des
fonctions continues par des morphismes de chaînes définis sur le complexe
S(C,Q) des chaînes singulières de C à coefficients rationnels. Toutefois, les
arguments de [2] ne peuvent être appliqués directement ici car, bien que les
1
C soient des rétractes absolus de voisinage algébriques , nous ne savons pas
i
s’il en est de même de C. Cela vient du fait qu’on ne sait pas si le théorème
d’addition est vrai pour les rétractes absolus de voisinage algébriques : si X
1
et X sont des fermés de l’espace métrisable X tels que X = X ∪X et que
2 1 2
X , X et X = X ∩X sont des rétractes absolus de voisinage algébriques,
1 2 0 1 2
X est-il aussi un rétracte absolu de voisinage algébrique? Pour contourner
cette difficulté, nous démontrerons à la section 3 un résultat d’invariance de
l’homologie par «petites déformations » du complexe de chaînes S(C,Q).
Lepassageducasmétrisableaucasgénéralsuitleschéma,exposédans[3],
utilisant l’espace convexe libre associé à un compact X, et la représentation
de ce compact comme limite d’un système projectif particulier de compacts
métrisables.
Bien que l’utilisation des coefficients rationnels suffise pour la démonstra-
tion du théorème, certains résultats auxiliares sont vrais -avec les mêmes
démonstrations- pour tout anneau de coefficients, et nous les formulerons et
démontrerons dans cette généralité.
2. Préliminaires
Danstoutcetarticle, R désigneunanneauunitaire. Touslescomplexes de
chaînes M = {M } de R-modules que nous utiliserons sont positifs (M = 0
p p
pour p < 0) et augmentés sur R. Tous les morphismes de chaînes entre
deux tels complexes seront supposés préserver l’augmentation. Un complexe
de chaînes est acyclique si son homologie réduite est triviale. Un module
gradué est de type fini s’il est engendré par un nombre fini d’éléments.
Pour p ≥ 0, soit ∆ l’ensemble des points (t ,...,t ) de Rp+1 tels que
p 0 p
p
t ≥ 0 pour 0 ≤ i ≤ p et t = 1. Si X est un espace topologique,
i i=0 i
un p-simplexe singulier de X est une fonction continue σ : ∆ → X. Les 0-
p
P
simplexessingulierss’identifientnaturellementauxpointsdeX.Nousnotons
S(X,R) le complexe des chaînes singulières de X à coefficients R; le module
des p-chaînes S (X,R) de ce complexe est le module libre engendré par
p
les p-simplexes singuliers de X. Nous notons H(X,R) le module gradué
d’homologie de ce complexe. Nous identifions chaque simplexe singulier σ
de X à l’élément 1 ·σ de S(X,R). Si A est un sous-ensemble de X, nous
identifionsnaturellementS(A,R)àunsous-complexedeS(X,R).Lesupport
d’une chaîne c ∈ S(X,R) est noté ||c||; c’est le plus petit sous-ensemble C
1. La définition de ces espaces sera rappelée à la section 3
CONJECTURE DE SCHAUDER 3
de X tel que c ∈ S(C,R). En particulier, l’image du simplexe singulier σ
est notée ||σ||. Si σ et τ sont deux simplexes singuliers de X, la notation
σ < τ signifie que σ est une face propre de τ. Si f : X → Y est une fonction
continue, nous notons f : S(X,R) → S(Y,R) et f : H(X,R) → H(Y,R)
# ∗
lesmorphismes induits par f.Siϕestunmorphisme dechaînes, nous notons
ϕ le morphisme qu’il induit sur l’homologie.
∗
Si C est une famille de sous-ensembles d’un espace topologique X, nous
notons S(X,C,R) le sous-complexe de S(X,R) engendré par les simplexes
singuliers dont l’image est contenue dans un élément de C. Le module gra-
dué d’homologie de S(X,C,R) est noté H(X,C,R). Il est connu (voir [8],
§4.4) que si U est un recouvrement ouvert de X, il existe un morphisme de
chaînes Sd :S(X,R) → S(X,U,R) telqueSd (c) =cpourc ∈ S(X,U,R)
U U
et que ||Sd(c)|| ⊂ ||c|| pour toute chaîne c. En outre, notant ι l’inclusion
U
de S(X,U,R) dans S(X,R), il existe une homotopie h : S(X,R) → S(X,R)
entre l’identité et ι ◦Sd telle que ||h(c)|| ⊂ ||c|| pour toute chaîne c. Un
U U
tel morphisme Sd est appelé un opérateur de subdivision. Les homomor-
U
phismes ι : H(X,U,R) → H(X,R) et Sd : H(X,R) → H(X,U,R)
U∗ U∗
induits par ι et Sd respectivement sont des isomorphismes inverses l’un
U U
de l’autre.
Pour tout espace topologique X, nous notons Hˇ∗(X,R) le module de
cohomologied’Alexander-SpanierdeX àcoefficientsR.Sif :X → Y estune
fonctioncontinue, nousnotonsf∗ : Hˇ∗(Y,R) → Hˇ∗(X,R)l’homomorphisme
qu’elle induit.
Si K est un complexe simplicial, nous notons |K| sa réalisation géomé-
trique. Si s et s′ sont des simplexes de K, la notation s ≤ s′ (resp. s < s′)
signifie que s est une face de s′ (resp. une face propre de s′). Pour tout som-
met v de K, nous notons St(v,K) l’étoile ouverte de v dans |K|. Si les som-
mets v ,...,v de K déterminent un simplexe, nous notons hv ,...,v i ce
0 p 0 p
simplexe. Le barycentre d’un simplexe s est noté [s]. Nous notons K′ la sub-
division barycentrique de K; ses simplexes sont de la forme h[s ],...,[s ]i,
0 q
oùs ,...,s sont des simplexes de K tels ques ≤ ··· ≤ s .Nous identifions
0 q 0 q
naturellement |K| et |K′|. Pour tout simplexe s de K, nous notons Trs le
sous-complexe de K′ formé des simplexes h[s ],...,[s ]i tels que s ≤s . Trs
0 q 0
estuncônedesommet [s]ouestréduitàcepoint,donc |Trs|estcontractile.
Si C = {C ,...,C } est une famille de sous-ensembles d’un espace X, le
1 p
sommet du nerf de C correspondant à l’élément C 6= ∅ sera identifié à i. Si s
i
est un sous-ensemble non vide de {1,...,n}, nous posons C = C . Les
s i∈s i
simplexes du nerf de C sont les sous-ensembles non vides s de {1,...,n} tels
T
que C 6= ∅.
s
Lemme 1. Si l’espace C du théorème est normal, alors il a le type d’homo-
topie du nerf de C.
Démonstration. Soit N le nerf de C, et soit m sa dimension. Si s est un
simplexe de N, nous notons d(s) sa dimension.
4 ROBERTCAUTY
Construisons une fonction continue f : C → |N| telle que f(C ) ⊂ |Trs|
s
pour tout simplexe s de N. Pour 0 ≤ p ≤ m, soit C(p) = C . Alors
d(s)≥p s
C(0) = C et C(m) est la réunion disjointe des C tels que d(s) = m. Si
s S
d(s) = m, alors Trs est le 0-simplexe h[s]i, et nous définissons la restriction
f de f à C(m) en posant f (C ) = [s] pour tout m-simplexe s. Soit 0 ≤
m m s
p < m,etsupposons construite larestriction f de f à C(p+1).Si d(s) = p,
p+1
alors Cs ∩C(p+1) = s<s′Cs′. Si s < s′, alors Trs′ ⊂ Trs, donc fp+1(Cs ∩
C(p+1))⊂ |Trs|. |Trs|, étant un polyèdre fini contractile, est homéomorphe
S
à un rétracte d’un cube, donc est un extenseur absolu pour la classe des
espaces normaux d’après le théorème de Tietze-Urysohn. Il existe donc une
fonctioncontinue f : C → |Trs|tellequef |C ∩C(p+1) = f |C ∩C(p+1.
s s s s p+1 s
Si s et s′ sont deux p-simplexes distincts, alors Cs ∩ Cs′ ⊂ C(p+1), ce qui
nous permet de définir la restriction f de f à C(p) par
p
f (x) si x ∈ C(p+1)
p+1
f (x) =
p
(fs(x) si x ∈ Cs avec d(s) = p.
Construisons aussi une fonction continue g : |N| → C telle que, pour
tout simplexe s′ = h[s ],...,[s ]i de N′, g(|s′|) ⊂ C . Si s′ = h[s ]i est un
0 q s0 0
0-simplexe de N′, prenons un point x ∈ C et posons g([s ]) = x . Soit
s0 s0 0 s0
0 < q ≤ k, et supposons définie la restriction de g au (q −1)-squelette de
|N′|. Soit s′ = h[s ],...,[s ]i un q-simplexe de N′. Pour toute face s′′ de s′,
0 q
nous avons g(|s′′|) ⊂ C , donc g envoie le bord de |s′| dans C . Comme
s0 s0
C est convexe, donc contractile, nous pouvons prolonger g à |s′| de façon
s0
que g(|s′|) ⊂C . Pour tout simplexe s de N, nous avons g(|Trs|)⊂ C car,
s0 s
si s′ = h[s ],...,[s ]i est un simplexe de Trs, alors s ≤ s , donc g(|s′|) ⊂
0 q 0
C ⊂ C .
s0 s
Pour toutsimplexesdeN,nousavons g◦f(C ) ⊂ g(|Trs|)⊂ C .Comme
s s
les C sont convexes, nous pouvons définir une homotopie h entre l’identité
s
de C et g◦f par h(x,t) = (1−t)x+tgf(x).
PourtoutsimplexesdeN,nousavonsf◦g(|Trs|)⊂ f(C ) ⊂ |Trs|.Nous
s
achèverons de montrer que f et g sont des équivalences homotopiques en
construisantunehomotopie k : |N|×I → |N|entrel’identitéetf◦g telleque
k(|Trs|×I) ⊂ |Trs| pour tout simplexe s de N. Pour 0≤ q ≤ m, soit T =
q
|Trs|; alors T = |N′|. Si d(s) = m, alors Trs= [s], et la restriction
q≤d(s) 0
de k à |Trs|×I est définie par k([s],t) = [s] pour tout t. Soit 0 ≤ q < m, et
S
supposonsdéfinielarestriction k dek àT ×I.Sisestunq-simplexede
q+1 q+1
N,alors |Trs|∩T = |Trs′|, donc k ((|Trs|∩T )×I)⊂ |Trs|,
q+1 s<s′ q+1 q+1
et la contractilité du polyèdre |Trs| nous permet de trouver une homotopie
S
k : |Trs|× I → |Trs| entre l’identité et la restriction de f ◦ g telle que
s
k |(|Trs| ∩ T ) × I = k |(|Trs| ∩ T × I. Nous pouvons définir la
s q+1 q+1 q+1
restriction k de k à T ×I par
q q
k (x,t) si x ∈T
q+1 q+1
k (x,t) =
q
(ks(x,t) si x ∈|Trs| avec d(s) = q.
CONJECTURE DE SCHAUDER 5
(cid:3)
Il résulte du lemme 1 que, si C est normal, alors Hˇ∗(C,Q) est de type
fini, donc le nombre de Lefschetz Λ(f) est défini pour toute fonction conti-
nue f : C → C. En outre, Hˇ∗(C,Q) est alors naturellement isomorphe à
Hom(H(C,Q),Q), ce qui permet d’utiliser l’homologie singulière pour cal-
culer Λ(f).
Si C = {C ,...,C } et C′ = {C′,...,C′} sont deux familles de sous-
1 n 1 n
ensembles de X et X′ respectivement, nous dirons que les nerfs de C et C′
sont naturellement isomorphes si, pour tout sous-ensemble non vide s de
{1,...,n}, les conditions C 6= ∅ et C′ 6= ∅ sont équivalentes.
s s
Lemme 2. Soient C = {C ,...,C } et C′ = {C′,...,C′} deux familles de
1 n 1 n
sous-ensembles convexes des e.v.t. E et E′ respectivement, et soient C =
C ∪ ··· ∪ C et C′ = C′ ∪ ··· ∪ C′. Supposons les C fermés dans C et
1 n 1 n i
les C′ femés dans C′. Soit q : C → C′ une fonction continue telle que
i
q(C ) ⊂ C′ pour tout i. Si C et C′ sont normaux et si les nerfs de C et
i i
C′ sont naturellement isomorphes, alors q∗ : Hˇ∗(C′,R) → Hˇ∗(C,R) est un
isomorphisme.
Démonstration. Soit N le nerf commun à C et C′. Comme dans le lemme 1,
construisons une fonction continue f′ : C′ → |N′| telle que f′(C′) ⊂ |Trs|
s
pour tout simplexe s de N. La fonction f = f′ ◦q : C → |N| vérifie alors
f(C ) ⊂ |Trs| pour tout simplexe s de N. L’argument du lemme 1 montre
s
que f′ et f sont des équivalences homotopiques, donc f′∗ : Hˇ∗(|N|,R) →
Hˇ∗(C′,R) et f∗ : Hˇ∗(|N|,R) → Hˇ∗(C,R) sont des isomorphismes. Puisque
f∗ = q∗◦f′∗, q∗ est aussi un isomorphisme. (cid:3)
Nous avons aussi besoin d’une propriété d’invariance de l’homologie sin-
gulière par les «petites déformations ».
Lemme 3. Si l’espace topologique X a le type d’homotopie d’un complexe
simplicial, alors il existe un recouvrement ouvert U de X ayant la propriété
suivante : si V est un recouvrement ouvert de X et si ϕ : S(X,V,R) →
S(X,R) est un morphisme de chaînes tel que, pour tout simplexe singulier σ
de S(X,V,R), il existe un élément de U contenant ||σ|| et ||ϕ(τ)|| pour toute
face τ de σ, alors ϕ ◦Sd (a) = a pour tout a ∈ H(X,R).
∗ V∗
Démonstration. Par hypothèse, il existe un complexe simplicial N et une
équivalence homotopique q : X → |N|. Soit U le recouvrement ouvert de
0
|N|formédesensemblesSt(v,N),oùvparcourtl’ensembleN(0) dessommets
de N, et soit U = q−1(U ) le recouvrement ouvert de X formé des ensembles
0
q−1(St(v,N)), v ∈N(0).
Soient V un recouvrement ouvert de X et ϕ : S(X,V,R) → S(X,R) un
morphisme de chaînes tel que, pour tout simplexe singulier σ de S(X,V,R),
il existe un élément q−1(St(v,N)) de U contenant ||σ|| et ||ϕ(τ)|| pour toute
faceτ deσ,etl’ensembledecesv ∈ N(0) estunsimplexes deN.L’ensemble
σ
St(s ,N) = St(v,N) est contractile. Si τ est une face de σ, alors s ⊂
σ v∈sσ σ
T
6 ROBERTCAUTY
s , donc St(s ,N) ⊂ St(s ,N), et St(s ,N) contient q(||τ||)∪||q ◦ϕ(τ)||
τ τ σ σ #
pour toute face τ de σ. L’acyclicité des ensembles St(s ,N) permet alors
σ
de construire, par récurrence sur la dimension de σ, un élément h(σ) ∈
H(St(s ,N),R) tel que ∂h(σ)+h∂(σ) = q (σ)−q ◦ϕ(σ). Les morphismes
σ # #
de chaînes q ◦ι et q ◦ϕ sont donc homotopes, et nous avons q ◦ι (b) =
# V # ∗ V∗
q ◦ϕ (b) pour tout b ∈ H(X,V,R).
∗ ∗
Pour a ∈ H(X,R), nous avons a = ι ◦Sd (a), d’où
V∗ V∗
q (a) = q ◦ι ◦Sd (a) = q ◦ϕ ◦Sd (a).
∗ ∗ V∗ V∗ ∗ ∗ V∗
Puisque q est un isomorphisme, cela entraîne que a = ϕ ◦Sd (a). (cid:3)
∗ ∗ V∗
Si ϕ est un endomorphisme d’un espace vectoriel E, nous notons trϕ,
quand elle est définie, la trace au sens de Leray de cet endomorphisme.
Toutes les propriétés de la trace et du nombre de Lefschetz au sens de Leray
dont nous avons besoin se trouvent dans [5].
Si U est un recouvrement ouvert d’un espace X et A un sous-ensemble
de X, la notation St(A,U) désigne la réunion de tous les éléments de U
qui rencontrent A. Nous notons St(U) le recouvrement formé des ensembles
St(U,U) avec U ∈ U. Si Y est un sous-ensemble de X, la notation U|Y
désigne le recouvrement de Y formé des ensembles U ∩Y, U ∈ U.
Nous utiliserons le fait suivant dans la démonstration du lemme 5.
Lemme 4. Soit F un fermé d’un espace métrisable X, et soit U ={U |α ∈
α
A} un recouvrement localement fini de F par des ouverts de F. Il existe
une famille localement finie V = {V |α ∈ A} d’ouverts de X telle que
α
V ∩F = U pour tout α∈ A et que les nerfs de U et V soient naturellement
α α
isomorphes.
Démonstration. NouspouvonssupposerU 6= ∅pourtoutα∈ A,cequinous
α
permetd’identifierAàl’ensembledessommetsdunerfN deU.PuisqueU est
localement fini et F métrisable, il existe une fonction continue ψ : F → |N|
telle que U = ψ−1(St(α,N)) pour tout α ∈ A. Puisque X est métrisable,
α
il existe un voisinage ouvert W de F dans X et une fonction continue ψ¯ :
W → |N|prolongeantψ(voir[7],théorème10.4,page105).Pourα ∈ A,soit
W = ψ¯−1(St(α,N)); c’est un ouvert de X tel que W ∩F = U . La famille
α α α
{W |α ∈ A} est localement finie dans W ([7], lemme 10.2 page 102) et les
α
nerfs des familles U et W sont naturellement isomorphes, étant isomorphes
aunerfdelafamille{St(α,N)|α ∈ A}.SoitV unvoisinageouvertdeF dans
X tel que V ⊂ W. Alors la famille V = {V |α ∈ A}, où V = W ∩V pour
α α α
tout α ∈ A est localement finie dans X et vérifie V ∩F = U pour tout α.
α α
Puisque les nerfs des familles U et W sont naturellement isomorphes et que
U ⊂ V ⊂ W pour tout α, les nerfs des familles U et V sont naturellement
α α α
isomorphes. (cid:3)
CONJECTURE DE SCHAUDER 7
3. Une propriété des réunions finies de rétractes absolus de
voisinage algébriques
Le résultat que nous démontrerons das cette section entraîne que, si l’es-
paceC duthéorèmeestmétrisable,ilestpossibled’«approximer»lafonction
compacte f par des morphismes de chaînes dont les images sont de type fini.
C’est la clef de la démonstration dans le cas métrisable.
Pour tout complexe simplicial N, nous notons C(N,R le complexe des
chaînes orientées de N à coefficients R. Le module C (N,R) des q-chaînes
q
de ce complexe est libre, et a une base en correspondance biunivoque avec
les q-simplexes de N, le générateur correspondant au q-simplexe s étant un
générateur de C (s,R). Nous identifions C (N,R) au R-module libre engen-
q q
dré par les q-simplexes de N en fixant une fois pour toutes un générateur
de chaque C (s,R), que nous notons encore s. Si s est un 0-simplexe, le
p
générateur fixé de C (s,R) est celui d’augmentation 1.
0
Les notions suivantes ont été introduites dans [2].
Définition 1. Soient N un complexe simplicial, X un espace topologique et
U un recouvrement ouvert de X. Une réalisation algébrique partielle de N
dans X relativement à U est la donnée d’un sous-complexe M de N conte-
nant tous les sommets de N et d’un morphisme de chaînes µ : C(M,R) →
S(X,R) tel que, pour tout simplexe s de N, il existe un élément de U conte-
nant||µ(t)|| pour touteface t desappartenant àM.SiM = N,laréalisation
algébrique est dite complète.
Définition 2. Un espace métrisable X est appelé un R-rétracte absolu de
voisinage algébrique si, pour tout recouvrement ouvert U de X, il existe un
recouvrement ouvert V de X qui est plus fin que U et tel que, pour tout
complexe simplicial N, toute réalisation algébrique partielle de N dans X
relativement à V se prolonge en une réalisation complète de N relativement
à U.
Dans le lemme suivant, l’anneau R est supposé noethérien.
Lemme 5. Soient X ,...,X des fermés d’un espace métrisable X tels que
1 n
X = X ∪···∪X et que X soit un R-rétracte absolu de voisinage algébrique
1 n u
pour tout sous-ensemble non vide u de {1,...,n} tel que X = X 6=
u i∈u i
∅. Alors, pour tout recouvrement ouvert U de X, il existe un recouvrement
T
ouvert V de X et un morphisme de chaînes ϕ : S(X,V,R) → S(X,R)
vérifiant
(i) pour tout simplexe singulier σ de S(X,V,R), il existe U ∈ U contenant
||σ|| et ||ϕ(τ)|| pour toute face τ de σ,
(ii) pour tout compact D de X, il existe un voisinage E de D dans X tel
que ϕ(S(E,R)∩S(X,V,R)) soit de type fini.
Démonstration. Pour tout sous-ensemble u de {1,...,n}, nous notons m(u)
son cardinal. Soit k le plus grand entier tel qu’il existe un sous-ensemble
u de {1,...,n} avec m(y) = k et X 6= ∅. Pour 1 ≤ j ≤ k, soit X(j) =
u
X ; c’est un sous-ensemble fermé de X.
m(u)≥j u
S
8 ROBERTCAUTY
Soit U un recouvrement ouvert de X. Soit U0 un recouvrement ouvert de
X tel que St(U0) soit plus fin que U. Pour 1 ≤ j ≤ k, nous construirons un
recouvrement (relativement) ouvert Uj de X(j) et, pour tout sous-ensemble
u de {1,...,n} tel que X 6= ∅, nous construirons des recouvrements (relati-
u
vement) ouverts U et W de X de façon que les conditions suivantes soient
u u u
vérifiées.
(1) Si m(u) = j, alors U est plus fin que Uj−1|X et, pour tout complexe
u u
simplicial N, toute réalisation algébrique partielle de N dans X relative-
u
ment à U se prolonge en une réalisation algébrique complète relativement à
u
Uj−1|X .
u
(2) St(W ) est plus fin que U .
u u
(3) Uj est plus fin que Uj−1|X(j) pour tout 0 < j ≤ k.
(4) Uj|X est plus fin que W pour tout u⊂ {1,...,n} tel que m(u) = j.
u u
Si Uj−1 est construit, le fait que X est un R-rétracte absolu de voisinage
u
algébrique nous permet de trouver U vérifiant (1), et l’existence de W
u u
résulte de la paracompacité de X . Une fois les W construits pour tout u
u u
telquem(u)= j,toutpointxdeX(j)aunvoisinage O(x)telqueO(x)∩X
u
soit contenu dans un élément de W pour tout u tel que m(u) = j et x ∈ X
u u
et que O(x)∩X = ∅ si x ∈/ X . Prenons alors pour Uj un recouvrement
u u
ouvert de X(j) plus fin que Uj−1|X(j) et que {O(x)|x ∈ X(j)}.
Nous construirons maintenant, par récurrence descendante, des ensembles
A ⊂ ··· ⊂ A et, pour k ≥ j ≥ 1, un recouvrement ouvert localement
k 1
fini V = {V |α ∈ A } de X qui est plus fin que Uj. Nous construirons
j α,j j j
aussi, pour tout sous-ensemble non vide u de {1,...,n} tel que X 6= ∅, un
u
sous-ensemble A′ de A de façon que A soit la réunion disjointe des A′
u m(u) j u
avec m(u) ≥ j et que la condition suivante soit vérifiée.
(5) Si i∈/ u, alors V ∩X = ∅ pour tout α ∈ A′ et tout j ≤ m(u).
α,j i u
X(k) est la réunion disjointe des X 6= ∅ tels que m(u) = k. Pour chaque
u
tel u, soit V = {V |α ∈ A′ } un recouvrement ouvert localement fini de
u α,k u
X plus fin que Uk. Soit A la réunion disjointe des A′ avec m(u) = k, et
u k u
soit V = V .
k m(u)=k u
Soit 1 ≤ j < k, et supposons A et V construits. Le lemme 4 nous
j+1 j+1
S
permet de trouver une famille V = {V |α ∈ A } d’ouverts de X(j),
j+1 α,j j+1
localement finie dans X(j), telle que V ∩ X(j + 1) = V pour tout
α,j α,j+1
α ∈ Aj+1, et dont le nerf estbnaturellement isomorphe au nerf de Vj+1.
Puisque V est plus fin que Uj+1, qui est plus fin que Uj, nous pouvons,
j+1
quitte à diminuer les V , supposer que V est plus fine que Uj. Si i∈/ u et
α,j j+1
sim(u)≥ j+1,alorsV estdisjointduferméX pourtoutα∈ A′ ;quitte
α,j+1 i u
a diminuer Vα,j, nous pouvons aussi supbposer qu’il est disjoint de Xi. Pour
tout v ⊂ {1,...,n} tel que m(v) = j, recouvrons le fermé X \ {V |α ∈
v α,j
A } ⊂ X \X(j+1) par une famille localement finie V = {V |α ∈ A′}
j+1 v v α,j v
d’ouverts de X contenus dans X \X(j +1) et dans des élémSents de Uj.
v v
CONJECTURE DE SCHAUDER 9
CommeX \X(j+1) estouvertdansX(j), lesV avecα ∈ A′ sontouverts
v α,j v
dans X(j); en outre, ils vérifient (5). Soit A la réunion disjointe de A et
j j+1
des A′ avec m(v) =j, et soit V = V ∪ V .
v j j+1 m(v)=j v
Posons A = A , V = V et V = V pour α ∈ A. Nous supposons
1 1 α α,1
S
que les V sont non vides, ce qui nbous permet d’identifier A a l’ensemble
α
des sommets du nerf K de V. Pour u ⊂ {1,...,n} tel que X 6= ∅, soit
u
A = A′. Notons que
u u⊂v v
(6) poSur tout simplexe s = hα0,...,αqi de K, il existe un unique sous-
ensemble u de {1,...,n} tel que s ∩ A′ 6= ∅ et s ⊂ A ; en outre, si
s us us
j = m(u ), alors V ∩···∩V ∩X 6= ∅.
s s α0 αq us
En effet, soit j le plus grand entier tel que {α ,...,α } ⊂ A . Il résule
s 0 q js
du choix des familles V que V ∩··· ∩V 6= ∅. Il existe p tel que
j+1 α0,js αq,js
α ∈ A \ A (A = ∅). Si u est le sous-ensemble de {1,...,n} tel
p js js+1 k+1 s
que αp ∈ A′us, il résultbe de (5) que us ne dépend pas du choix de l’élément
α tel que α ∈ A \A et que α ∈ A pour 1 ≤ a ≤ q. La deuxième
p p js js+1 a us
affirmation de (6) résulte du fait que, V ⊂ X \X(j +1).
αp,js us s
PuisqueV estlocalement fini,si σ estunsimplexesingulier deS(X,V,R),
l’ensembledesα ∈ Atelsque||σ|| ⊂ V estunsimplexes deK.Siτ estune
α σ
face de σ, alors s ⊂ s . Soit T l’ensemble des suites finie t = (σ ,...,σ )
σ τ σ 0 q
de faces de σ vérifiant σ < ··· < σ ; pour une telle t, h[s ],...,[s ]i est
0 q σq σ0
un simplexe s′ de K′. Soit K′ le sous-complexe de K′ formé des simplexes
t σ
s′ où t parcourt T .
t σ
Toute suite t ∈ T est une sous-suite d’un élément t′ = (σ ,...,σ ) de
σ 0 p
T tel que σ = σ, donc s′ est face d’un simplexe s′ de K′ dont [s ] est
σ p t t′ σ σ
un sommet. Il en résulte que K′ est un cône de sommet [s ] ou est réduit
σ σ
à [s ], donc C(K′,R) est acyclique. Si σ < τ sont deux simplexes singuliers
σ σ
de S(X,V,R), alors T ⊂ T , donc K′ ⊂ K′. Procédant par récurrence
σ τ σ τ
sur la dimension de σ, l’acyclicité des complexes C(K′,R) nous permet de
σ
trouver un morphisme de chaînes ζ : S(X,V,R) → C(K′,R) tel que ζ(σ) ∈
C(K′,R) pour tout simplexe singulier σ ∈ S(X,V,R).
σ
Pour 1 ≤ j ≤ k, soit K le sous-complexe plein de K engendré par les
j
sommets appartenant à A ; posons K = ∅. Pour 1 ≤ j ≤ k + 1, soit
j k+1
L = K′(0)∪K′, où K′(0) est le 0-squelette de K′. Pour u⊂ {1,...,n}, soit
j j
K le sous-complexe plein de K engendré par les sommets appartenant à
u
A .
u
Nous construirons maintenant un morphisme de chaînes ξ : C(K′,R) →
S(X,R) vérifiant
(7) Pour tout simplexe s′ = h[s ],...,[s ]i de K′, il existe U ∈ Uj(s0)−1 tel
0 p
que ξ(C(s′,R)) ⊂ S(X ∩U,R) (u(s ) et j(s ) comme dans (6)).
u(s0) 0 0
Pour construire ξ, fixons, pour tout simplexe s = hα ,...,α i de K, un
0 q
point x ∈ V ∩ ··· ∩ V ∩ X . Nous définissons la restriction ξ de
s α0 αq us k+1
ξ à C(L ,R) = C(K′(0),R) en envoyant le générateur de C([s],R) sur
k+1
10 ROBERTCAUTY
le 0-simplexe singulier x pour tout simplexe s de K. Nous construirons
s
ensuite les restrictions ξ de ξ à C(L ,R) par récurrence descendante. Soit
j j
1 ≤ j ≤ k, et supposons ξ construite. Pour tout u ⊂ {1,...,n} tel que
j+1
m(u) = j, soit M = K′ ∩L ; c’est un sous-complexe de K′ contenant
u u j+1 u
tous les sommets de K′. Nous allons vérifier que la restriction ξ¯ de ξ
u u j+1
à M est une réalisation algébrique partielle de K′ dans X relativement à
u u u
U . D’après (1), ξ¯ se prolongera en une réalisation algébrique complète ξ
u u u
relativement à Uj−1|X . Comme L = L ∪ K′ et K′ ∩K′ ⊂
u j j+1 m(u)=j u u1 u2
L si m(u ) = m(u ) = j et u 6= u , nous pourrons alors définir ξ par
j+1 1 2 1 2 j
S
ξ |C(L ,R) = ξ et ξ |C(K′,R) = ξ pour tout u tel que m(u) = j.
j j+1 j+1 j u u
La condition (7) pour les simplexes de K′ résulte de la définition d’une
u
réalisation algébrique complète relativement à Uj−1|X .
u
Fixons u tel que m(u) = j. Soit s′ = h[s ],...,[s ]i un simplexe de K′,
0 p u
et soit α un sommet de s . Pour 1 ≤ a ≤ p, nous avons u ⊂ u , d’où
0 0 sa
X ⊂ X , et le point x appartient à V ∩ X = V ∩ X . Puisque
usa u sa α0 u α0,j u
V est plus fin que Uj, il existe U ∈ Uj tel que x ∈ U ∩X pour tout
j 0 sa 0 u
a ≤ p. Soit s¯ = h[s ],...,[s ]i une face de s′ contenue dans L . La
a1 ar j+1
condition (7) étant vérifiée au rang j + 1, il existe Us¯ ∈ Uj(sa1)−1 tel que
||ξ(sˆ)|| ⊂ U ∩ X ⊂ U ∩ X pour toute face sˆ de s¯; en particulier,
s¯ u(sa1) s¯ u
U contient x . Puisque s¯ est contenu dans L , nous avons j(s ) > j,
s¯ sa1 j+1 a1
et (3) garantit l’existence d’un élément Uj de Uj contenant U . Puisque
s¯ s¯
x ∈ U ∩ U ∩ X , nous avons Uj ∩ X ⊂ St(U ∩ X ,Uj|X ), donc
sa1 s¯ 0 u s¯ u 0 u u
St(U ∩ X ,Uj|X ) contient ||ξ(s¯)|| pour toute face s¯ de s′ appartenant
0 u u
à L . Les conditions (4) et (2) garantissent que St(U ∩ X ,Uj|X ) est
j+1 0 u u
contenu dans un élément de U , donc ξ¯ est bien une réalisation algébrique
u u
partielle dans X relativement a U . La construction de ξ est ainsi achevée.
u u
Soit ϕ = ξ◦ζ : S(X,V,R) → S(X,R).
Soit σ un simplexe singulier de S(X,V,R). Il existe α ∈ A tel que ||σ|| ⊂
0
V .Pourtoutefaceτ deσ,α estunsommetdes ,cequientraîneque,pour
α0 0 τ
tout t∈ T , le point x appartient à V . Il résulte de (7) et (3) qu’il existe,
σ st α0
pour tout simplexe s′t de Kσ′, un élément Ut de U0 tel que ξ(C(s′t,R)) ⊂
S(Ut,R). En particulier, si [sτ] est un sommet de st (τ est une face de σ), Ut
contient le point x de V , donc est contenu dans St(V ,U0). Nous avons
sτ α0 α0
donc ξ(C(K′,R)) ⊂ S(St(V ,U0),R). Puisque ζ(τ) appartient à C(K′,R)
σ α0 σ
pour toute face τ de σ, St(V ,U0) contient ||σ||∪||ϕ(τ)|| pour toute face τ
α0
de σ. Comme V est plus fin que U0 et St(U0) plus fin que U, la condition (i)
est vérifiée.
Soit D un compact de X. Puisque V est localement fini, il existe un voi-
sinage E de D dans X tel que l’ensemble A des α ∈ A pour lesquels
E
V ∩E 6= ∅ est fini. Soit K le sous-complexe plein de K engendré par les
α E
sommets appartenant à A . Pour tout simplexe singulier σ appartenant à
E
S(E,R)∩S(X,V,R), s appartient à K pour toute face τ de σ, donc K′
τ E σ
est contenu dans K′ . Il en résulte que ϕ(S(E,R)∩S(X,V,R)) est contenu
E
dans ξ(C(K′ ,R)). Comme K′ est un complexe fini, C(K′ ,R) est de type
E E E