Un '' rapprochement curieux de l'algèbre et de la théorie des nombres'

517 Pages·2017·3.74 MB·French

by  Jenny Boucard

Un ” rapprochement curieux de l’algèbre et de la théorie
des nombres” : études sur l’utilisation des congruences
en France de 1801 à 1850
Jenny Boucard
To cite this version:
Jenny Boucard. Un ” rapprochement curieux de l’algèbre et de la théorie des nombres” : études sur
l’utilisation des congruences en France de 1801 à 1850. Histoire et perspectives sur les mathématiques
[math.HO]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-00653748￿
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Université Pierre et Marie Curie
École Doctorale Paris Centre
Thèse de doctorat
Discipline : Mathématiques
présentée par
Jenny Boucard
Un « rapprochement curieux de l’algèbre
et de la théorie des nombres » :
études sur l’utilisation des congruences en France de 1801 à 1850
dirigée par Catherine Goldstein et Pierre Lamandé
Soutenue le 9 décembre 2011 devant le jury composé de :
M. Frédéric Brechenmacher ... Université d’Artois
M. Christian Gilain ............. Université Pierre et Marie Curie Paris
Mme Catherine Goldstein ...... Institut de mathématiques de Jussieu
M. Pierre Lamandé ............. Université de Nantes
Mme Jeanne Peiffer ............ Centre Alexandre Koyré
M. David Pengelley ........... New Mexico State University
M. Norbert Schappacher ...... Université de Strasbourg
Institut de Mathématiques de Jussieu
4, place Jussieu
75 005 Paris
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Je reviendrai ailleurs sur ce
rapprochement curieux de l’algèbre et
de la théorie des nombres; et je ferai
voir que les principes généraux de
l’analyse mathématique ont leur
source naturelle dans la simple
considération de l’ordre, ou de la
disposition mutuelle qu’on peut
observer actuellement entre plusieurs
objets : ce qui me paraît le plus haut
point d’abstraction et de généralité où
il soit permis de porter la science.
Louis Poinsot, 1820
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4
Remerciements
Avec les quelques lignes quisuivent, jesouhaite montrer ma reconnaissance envers tous
ceux qui, de près ou de loin, m’ont aidée dans l’élaboration de ma thèse...en espérant
n’oublier personne.
En premier lieu, je tiens à exprimer toute ma gratitude envers mes deux directeurs
de thèse sans lesquels ce travail n’aurait jamais vu le jour. Merci à Pierre Lamandé pour
m’avoir accompagnée dans mes premières expériences en histoire des mathématiques, et
conseillée depuis ma deuxième année de Master. C’est également grâce à lui que je suis
entrée en contact avec Catherine Goldstein, qui a accepté de codiriger cette thèse et qui y
a consacré un nombre d’heures incalculable. Merci donc à elle pour sa grande disponibi-
lité, ses encouragements permanents et ses nombreux conseils qui m’ont permis d’avancer
dans mes recherches. En particulier, merci à son implication dans ce marathon des der-
niers mois qu’a été la rédaction de ces quelques centaines de pages. Sans jamais perdre
patience malgré mes blocages, oublis, incohérences, fautes d’orthographe, de style, ...,
elle m’a soutenue et encouragée jusque dans les dernières heures.
Je tiens également à remercier Jeanne Peiffer et David Pengelley qui ont accepté d’être
rapporteurs de cette thèse malgré des délais très courts. Merci également à Frédéric Bre-
chenmacher, Christian Gilain et Norbert Schappacher pour leur participation au jury.
Bien sûr, je suis également très reconnaissante envers tous les membres du projet His-
toire des mathématiques de l’Institut de Mathématiques de Jussieu qui m’ont accueillie
dans leur équipe ces dernières années et m’ont soutenue intellectuellement, moralement et
techniquement. Un grandmerci également auxdoctorants et anciens doctorants qui m’ont
souvent remonté le moral en partageant leur propre expérience de thésard : je pense tout
particulièrement à Frédéric Brechenmacher, Sébastien Gauthier, Alexandre Guilbaud, Ju-
liette Leloup, Anne-Sandrine Paumier. Plus généralement, merci au personnel de l’UPMC
qui m’a aidée dans mes démarches ces dernières années.
Ce travail n’aurait pas pu être ce qu’il est aujourd’hui sans les exposés et discussions
desgroupesdetravail,séminaires, colloquesorganisés icietailleurs, auxquels j’aiparticipé
ces dernières années : merci donc aux organisateurs et participants, dont les questions,
commentaires et suggestions ont été très bénéfiques. De même, un grand merci à ceux qui
m’ont aidée pour la publication de mon premier article sur Poinsot c’est-à-dire Catherine
et Pierre bien sûr, toute l’équipe de la Revue d’histoire des mathématiques, et tout spécia-
lement lesdeuxrapporteursanonymespourleur relectureattentive etleursconseils avisés.
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Dans le cadre de recherches en histoire des sciences, la possibilité d’accéder aux docu-
ments originaux est primordiale : je remercie donc le personnel des différentes institutions
quim’ont permis d’accéder àdes manuscrits et autresdocuments, ettout particulièrement
celui des archives de l’Académie des Sciences, de la Bibliothèque de l’Institut de France,
et de l’Observatoire Royal de Bruxelles.
À côté de ma thèse, j’ai également enseigné les mathématiques aux charmants élèves
du collège de Valence d’Agen jusqu’en juin dernier. Merci à eux qui, sans le savoir, m’ont
permis de changer d’air, à mes collègues pour leur soutien et leurs encouragements ainsi
qu’au personnel de direction qui a toujours fait en sorte que je puisse me déplacer réguliè-
rement à Paris en m’accordant des emplois du temps adaptés. J’en profite également pour
remercier l’équipe du Département Mathématiques et Histoire des Sciences de l’Université
Paris 8 qui m’accueille cette année en tant qu’Attaché Temporaire d’Enseignement et de
Recherche et qui me permet ainside fairemes premiers pasdans l’enseignement supérieur.
Enfin, je suis très reconnaissante envers ma famille, mes amis, et tout particulièrement
Laurent, qui ont su, pendant ces dernières années, me soutenir et me conseiller dans mes
nombreux moments de doute, et ce, malgré mon manque de disponibilité. Je tiens tout
particulièrement à remercier ceux qui m’ont hébergée de nombreuses fois à Paris (Ma-
thilde, Lise et Thomas, Anouchka et Carole, Anne-Sandrine et Pierre, Lucile et Sylvain)
et ceux qui ont pris du temps pour relire certaines parties de ma thèse : MicHaël (un
grand merci également pour les livres empruntés et les photocopies faites à la BU de
Toulouse), ainsi que ma mère et Laurent, qui auraient certainement préféré consacrer ce
dernier week-end ensoleillé de septembre à autre chose que l’histoire des mathématiques...
Un dernier clin d’œil à Éclipse et Épice qui m’ont souvent inspirée par leur présence plus
ou moins discrète dans mon bureau...
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Résumé
Résumé
Gauss introduit la notion de congruence en 1801 dans les Disquisitiones Arithmeticae.
L’historiographie classique relie le plus souvent l’histoire de cette notion au développe-
ment de la théorie des nombres algébriques, une histoire construite autour d’un groupe
de mathématiciens allemands. Pourtant, d’autres auteurs ont publié des travaux en lien
avec les congruences dans la première moitié du XIXe siècle, et ce dans des perspectives
différentes. Dans ce travail, nous nous proposons de rendre compte de ces dernières en
nous concentrant sur les travaux de la scène française publiés entre 1801 et 1850. À partir
d’une première lecture globale des textes de notre corpus, nous montrons d’abord que les
congruences n’y ont pas connu un développement autonome mais ont été étudiées dans
un lien étroit avec les équations. Toutefois, les différentes pratiques rencontrées sont très
variées, que ce soit du point de vue des méthodes, des outils en jeu ou des configurations
disciplinaires en jeu. Nous étudions ensuite plusieurs travaux arithmétiques d’Euler, de
Lagrange, de Legendre et de Gauss afin de comprendre certaines origines de cette activité
multiforme mise en évidence dans notre première partie. Nous nous concentrons enfin sur
les travaux de deux auteurs de notre corpus, Louis Poinsot et Augustin Louis Cauchy, qui
ont joué un rôle important dans l’élaboration et la diffusion de résultats et de pratiques
liés aux congruences, même s’ils ont pratiquement disparu des histoires de la théorie des
nombres publiées au XXe siècle.
Mots-clefs
Algèbre, Cauchy, congruences, Poinsot, théorie des nombres, histoire des mathéma-
tiques au XIXe siècle.
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“A curious encounter between algebra and number
theory” : studies on the uses of congruence in France
between 1801 and 1850
Abstract
Gauss introduced the notion of congruence in 1801 in the Disquisitiones Arithmeticae.
The standard historiography connects its history to the development of algebraic number
theory, a history built around a group of German mathematicians. However other authors
in the first half of the nineteenth century published works related to congruences from
different perspectives. We study here some of them while focusing on the French scene
between1801and1850.Fromaglobalreadingofthetextsofourcorpus,wefirstshowthat
congruences did not develop in France as an autonomous field, but as one tightly linked to
the theory of equations. However, the different practices thus encountered were far from
uniform, whether in terms of methods, tools or disciplinary configurations. We then study
arithmetical works of Euler, Lagrange, Legendre and Gauss in order to understand some
of the origins of the multifarious activity analyzed in our first part. Finally, we focus on
the work of two authors, Louis Poinsot and Augustin Louis Cauchy, who played a key
role in elaborating and circulating results and practices related to congruences, but who
have virtually disappeared from twentieth-century histories of number theory.
Keywords
Algebra, Cauchy, congruences, Poinsot, number theory, history of mathematics in the
nineteenth century.
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Table des matières
Introduction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I Les résidus et les congruences dans les publications de 1801 à 1850 . . . . 21
Chapitre 1 Construction du corpus : méthode. . . . . . . . . . . . 22
I Critères de repérage des textes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II Un premier repérage de corpus : les synthèses postérieures . . . . . . . . . 23
III Vers le corpus final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IV Dickson a posteriori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chapitre 2 Les résidus et les congruences dans les livres. . . . . . . 29
I Les monographies de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II La place des résidus et les congruences dans l’enseignement scientifique français 32
Chapitre 3 Les résidus et les congruences dans les périodiques. . . . 40
I Présentation des périodiques utilisés pour notre étude . . . . . . . . . . . 40
II Résidus et congruences dans les journaux : 1800-1835 . . . . . . . . . . . 46
III Résidus et congruences dans les journaux : 1835-1850 . . . . . . . . . . . 79
Chapitre 4 Des sources communes pour des perspectives différentes . 111
I Résidus et congruences dans les journaux en France de 1801 à 1850 . . . . . 111
II Résidus et congruences en France de 1801 à 1850 : un discours commun, des
réponses variées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
II Sources communes : les résidus et les congruences chez Euler, Lagrange,
Legendre, Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Chapitre 5 Les travaux d’Euler et de Lagrange autour du théorème
des quatre carrés - vers une théorie des résidus? . . . . . . . . . . . . 124
I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
II Euler et les sommes de carrés : 1736-1751 . . . . . . . . . . . . . . . . 127
III Lagrange et la résolution de problèmes indéterminés du second degré : 1766-
1770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
IV Euler, Lagrange et le théorème des quatre carrés : 1770-1773 . . . . . . . . 158
V Euler, Lagrange et le théorème de Wilson : 1771-1773 . . . . . . . . . . . 172
VI Euler(, Lagrange) et la théorie des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . 179
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