Un Curso De Geometria Diferencial

368 Pages·5.884 MB·Spanish

by  Hernandez Cifre M A Y Pastor Gonzalez J A

Cubierta GeometrA??a Diferencial.qxd:Cubierta Geometría Diferencial 5/8/10 09:15 Página 1
CSIC
Un curso de
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María de los Ángeles Hernández Cifre y José Antonio Pastor González e
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Textos Universitarios (cid:129) 47 G

s María de los Ángeles Hernández Cifre

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La Geometría Diferencial es una disciplina presente en el núcleo central de todos los estudios de Mate- Á P
máticas, así como una herramienta básica en el desarrollo de otras ciencias, como Física, Biología, s o
Arquitectura e Ingeniería; asimismo, está íntimamente ligada a los estudios de Cartografía y Geodesia para lo ni
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la representación geométrica de la Tierra. En este libro se presenta Un curso de Geometría Diferencialsobre e t
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curvas y superficies, enfocado a satisfacer las necesidades de los estudiantes, tanto de grado como de más- A
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ter, que requieren de esta disciplina para consolidar su formación. Conscientes de que para el estudio de rí é
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la Geometría Diferencial son necesarios conocimientos previos y un cierto grado de madurez científica, M o
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los autores han elaborado un texto con una clara pretensión didáctica, empleando un lenguaje directo y
sencillo, con el desarrollo de demostraciones detalladas y, finalmente, con una exhaustiva relación de pro-
blemas (incluyendo la resolución de éstos y el uso de un softwareespecífico). Se ha procurado, asimismo,
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abarcar los contenidos habituales en los cursos de Geometría Diferencial, sin olvidar aquellos otros temas a
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directamente vinculados con ella. El estudiante y el especialista en la materia tienen así en estas páginas c
una buena herramienta para el aprendizaje y el análisis de esta singular rama de las Matemáticas, verda- n
dero puente que comunica y relaciona disciplinas como la Topología, el Álgebra y el Análisis. e
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ISBN 978-84-000991-54-5
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Consejo Superior de
Petro Plancio, Orbis terrarum de integro multis in
47 Investigaciones Científicas
locis emendatus, 1594.
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Un curso de
Geometría Diferencial
Textos Universitarios
47
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María de los Ángeles Hernández Cifre
José Antonio Pastor González
Un curso de
Geometría Diferencial
Teoría, problemas, soluciones
y prácticas con ordenador
CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTÍFICAS
MADRID, 2010
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http://publicaciones.060.es
© CSIC
© María de los Ángeles Hernández Cifre y José Antonio Pastor González
ISBN: 978-84-00-09154-5
NIPO: 472-10-158-2
Depósito Legal: M. 34.552-2010
Ediciones Doce Calles, S. L.
Impreso en España - Printed in Spain
En esta edición se ha utilizado papel ecológico sometido a un proceso
de blanqueado ECF, cuya fibra procede de bosques gestionados de
forma sostenible.
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ASalvador,nuestroMaestro,
quiennosmostro´ labellezadela
Geometr´ıaDiferencial
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Sumario
Pro´logo............................................................. 15
Introduccio´n......................................................... 17
Terminolog´ıaba´sica .................................................. 21
Cap´ıtuloI
Curvasenelplanoyenelespacio ..................................... 25
1.1. Curvasparametrizadas.Lalongituddearco....................... 25
1.1.1. Elcambiodepara´metroylalongituddearco .............. 27
1.2. Teor´ıalocaldecurvasplanas ................................... 32
1.2.1. LacurvaturayeldiedrodeFrenet ........................ 32
1.2.2. TeoremafundamentaldelaTeor´ıaLocaldecurvasplanas .... 34
1.2.3. Evolutas,involutasycurvasparalelas ..................... 36
1.2.4. Comparacio´ndedoscurvasenunpunto................... 38
1.3. Teor´ıalocaldecurvasenelespacio ............................. 40
1.3.1. Lacurvatura,latorsio´nyeltriedrodeFrenet............... 40
1.3.2. TeoremafundamentaldelaTeor´ıaLocaldecurvasenR3 .... 43
1.4. Teor´ıaglobaldecurvasplanas.................................. 46
1.4.1. Curvasconvexas ...................................... 47
1.4.2. Ladesigualdadisoperime´trica ........................... 50
Ejercicios ........................................................ 55
Cap´ıtuloII
Lassuperficiesregulares ............................................. 59
2.1. Definicio´ndesuperficie ....................................... 60
2.1.1. Criteriospra´cticosparaladeterminacio´ndesuperficies ...... 64
2.1.2. Propiedadesdelassuperficiesregulares ................... 68
2.1.3. Elcambiodecoordenadas .............................. 71
2.2. Funcionesdiferenciablesdefinidasensuperficies .................. 73
2.2.1. Aplicacionesdiferenciablesdefinidasentresuperficies....... 75
2.2.2. Difeomorfismosentresuperficies......................... 78
2.3. Elplanotangente............................................. 79
2.4. Ladiferencialdeunaaplicacio´nentresuperficies .................. 81
2.4.1. Ladiferencialdeunafuncio´nrealsobreunasuperficie....... 81
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Sumario
2.4.2. Ladiferencialdeunaaplicacio´nentresuperficies ........... 83
2.5. Laprimeraformafundamental ................................. 88
2.5.1. Aplicacionesdelaprimeraformafundamental ............. 90
Midiendolongitudes ................................... 90
Midiendoa´ngulos ..................................... 91
Midiendoa´reas........................................ 91
Ejercicios ........................................................ 95
Cap´ıtulo III
ElteoremaEgregiumdeGauss ....................................... 99
3.1. Orientacio´ndesuperficies ..................................... 100
3.1.1. Otraformadeestudiarlaorientabilidad ................... 103
3.1.2. Laestructuracomplejadeunasuperficie .................. 107
3.1.3. Basespositivasynegativas.............................. 107
3.1.4. Sobrelaorientabilidadenestetexto ...................... 108
3.2. Lasegundaformafundamental ................................. 108
3.3. Laaceleracio´ndeunacurva:curvaturasgeode´sicaynormal ......... 113
3.3.1. Lacurvaturageode´sica ................................. 113
3.3.2. Lacurvaturanormal ................................... 114
3.3.3. Interpretacio´ngeome´tricadelacurvaturanormal ........... 115
3.4. Lascurvaturasprincipales ..................................... 118
3.4.1. Puntosumbilicales..................................... 121
II
3.5. Expresio´nlocalde ,K yH ................................. 124
p
3.6. Lageometr´ıadelacurvaturadeGauss ........................... 130
3.7. Isometr´ıaslocales ............................................ 131
3.8. ElteoremaEgregiumdeGauss ................................. 135
3.8.1. Lasfo´rmulasdeGaussydeWeingarten ................... 136
3.8.2. Ecuacionesdecompatibilidad.TeoremaEgregiumdeGauss.. 138
3.9. Aplicacionesconformeseisoareales.Cartograf´ıa .................. 141
Ejercicios ........................................................ 149
Cap´ıtulo IV
Integracio´nensuperficies.Lassuperficiesminimales .................... 155
4.1. Unaaproximacio´nintuitivaalconceptodea´rea ................... 155
4.2. Integracio´ndefunciones....................................... 157
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Sumario
4.3. Lassuperficiesminimales:unpocodehistoria .................... 162
4.4. Lasdistintasdefinicionesdesuperficieminimal ................... 166
4.4.1. Lassuperficiesminimalescomopuntoscr´ıticosdela´rea ..... 166
4.4.2. Laaplicacio´ndeGaussdeunasuperficieminimal........... 169
4.4.3. Parametrizacionesisotermasensuperficiesminimales ....... 170
4.5. Losprimerosejemplosdesuperficiesminimales................... 171
Ejercicios ........................................................ 174
Cap´ıtulo V
Geode´sicasensuperficies............................................. 177
5.1. Laderivadacovarianteyeltransporteparalelo .................... 178
5.1.1. Camposdevectoresparalelos ........................... 180
5.1.2. Eltransporteparalelo .................................. 183
5.2. Geode´sicas.................................................. 185
5.2.1. Existenciayunicidaddegeode´sicasenunasuperficie ....... 188
5.2.2. Lacurvaturageode´sica ................................. 191
5.3. Laaplicacio´nexponencial ..................................... 192
5.3.1. EllemadeGauss ...................................... 197
5.3.2. Lascoordenadasnormales .............................. 204
5.3.3. Lascoordenadasgeode´sicaspolares ...................... 205
Ejercicios ........................................................ 211
Cap´ıtulo VI
ElteoremadeGauss-Bonnet.......................................... 215
6.1. ElteoremadeGauss-Bonnet(versio´nlocal) ...................... 215
6.1.1. Ela´nguloderotacio´ndeunacurvaplana .................. 217
Ela´nguloderotacio´ndeunacurvaplanaregular............ 217
Ela´nguloderotacio´ndeunacurvaplanaregularatrozos .... 219
6.1.2. Holonom´ıa ........................................... 220
Introduccio´n:unapequen˜ahistoria ....................... 220
Lageometr´ıadelaholonom´ıa ........................... 221
Unaaplicacio´n:elpe´ndulodeFoucault ................... 224
6.1.3. Lacurvaturageode´sicaenunaparametrizacio´nortogonal .... 226
Lacurvaturageode´sicadelascurvascoordenadas........... 226
Lacurvaturageode´sicadeunacurvaarbitraria.............. 227
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Sumario
6.1.4. ElteoremadeGreenenR2 .............................. 229
6.1.5. ElteoremadeGauss-Bonnet(versio´nlocal)................ 229
6.2. ElteoremadeGauss-Bonnet(versio´nglobal) ..................... 231
6.2.1. Triangulaciones.Lacaracter´ısticadeEuler-Poincare´ ........ 232
6.2.2. ElteoremadeGauss-Bonnet(versio´nglobal) .............. 234
6.3. ConsecuenciasdelteoremadeGauss-Bonnet ..................... 237
6.3.1. Unaaplicacio´nalaGeometr´ıacla´sica..................... 241
Ejercicios ........................................................ 244
Cap´ıtulo VII
Geometr´ıaDiferencialglobal ......................................... 247
7.1. Lasfo´rmulasdevariacio´n ..................................... 248
7.1.1. Laprimerafo´rmuladevariacio´nparalalongituddearco..... 249
7.1.2. Lasegundafo´rmuladevariacio´nparalalongituddearco .... 253
7.2. Completitud.ElteoremadeHopf-Rinow ......................... 256
7.2.1. Distanciaintr´ınsecaenunasuperficie ..................... 257
7.2.2. ElteoremadeHopf-Rinow.............................. 260
Algunosresultadosprevios.............................. 260
ElteoremadeHopf-Rinow.............................. 267
ConsecuenciasdelteoremadeHopf-Rinow ................ 269
7.2.3. ElteoremadeBonnet .................................. 271
7.3. Elteoremaderigidezdelaesfera ............................... 273
Ejercicios ........................................................ 281
Ape´ndice
Pra´cticasconMathematicar ....................................... 283
Ape´ndiceA:Curvas.Pra´cticasconMathematicar ...................... 285
A.1. Geometr´ıadiferencialdecurvasplanas .......................... 285
A.1.1. Lacurvaturadeunacurvaplanaylalongituddearco........ 285
A.1.2. Representacio´ngra´ficadecurvas......................... 286
A.1.3. Algunosejemplosdecurvasplanascla´sicas................ 286
A.1.4. Gra´ficasdefuncionesdefinidasatrozos ................... 291
A.1.5. Generacio´ndina´micadealgunascurvas ................... 291
A.1.6. Evolutasycurvasparalelas.............................. 293
A.2. Geometr´ıadiferencialdecurvasenelespacio ..................... 294
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Sumario
A.2.1. Representacio´ngra´ficadecurvasalabeadas ................ 294
A.2.2. EltriedrodeFrenet,lacurvaturaylatorsio´n ............... 295
Ape´ndiceB:Superficies.Pra´cticasconMathematicar................... 297
B.1. Ejemplosdesuperficies ....................................... 297
B.1.1. Superficiesderevolucio´n ............................... 298
B.1.2. Superficiesnoorientables............................... 299
B.1.3. Superficiesminimales .................................. 301
B.2. Lacurvaturadegaussylacurvaturamedia ....................... 302
B.3. Geode´sicas.................................................. 303
Ape´ndiceC:Solucionesalosejercicios .................................. 305
SolucionesalosejerciciosdelCap´ıtuloI.............................. 305
SolucionesalosejerciciosdelCap´ıtuloII ............................. 313
SolucionesalosejerciciosdelCap´ıtuloIII ............................ 319
SolucionesalosejerciciosdelCap´ıtuloIV ............................ 336
SolucionesalosejerciciosdelCap´ıtuloV ............................. 339
SolucionesalosejerciciosdelCap´ıtuloVI ............................ 350
SolucionesalosejerciciosdelCap´ıtuloVII............................ 357
Bibliograf´ıa ......................................................... 367
´Indiceterminolo´gico.................................................. 371
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