Un critère d'épointage des sections $l$-adiques

0.27 MB·French

by  Niels Borne

Un critère d’épointage des sections l-adiques
2
1 Niels Borne Michel Emsalem
0
2 24 janvier 2012

n
a
J
1 Introduction
2
2
Soit Y une courbe géométriquementconnexe sur un corps k de type fini sur

] Q. On dispose de la suite exacte courte des groupes fondamentaux étales
T
N (∗Y) 1→π1(Yk¯,x¯)→π1(Y,x¯)→Gk →1
h. où k¯ est une clôture algébrique, G = Gal(k¯/k) est le groupe de Galois absolu
k
t dek,etx¯ estunpointgéométriquede Y.SoientàprésentX une courbepropre
a
m lisse géométriquement irréductible, et U le complémentaire dans X d’un divi-
seur D défini sur k. On s’intéresse dans cet article à la question suivante, dite
[
d’épointage des sections :

1
v lessectionsdelasuiteexacte(∗X)serelèvent-ellesendessectionsdelasuite
9 exacte (∗ )?
U
8
Une des motivations pour l’étude de ce problème est que la conjecture des
5
4 sections pour X, qui affirme que toute section de (∗X) provient d’un point k-
. rationnel de X, implique une réponse positive à la question de l’épointage des
1
0 sections.
2 Réciproquement, il est bien connu des spécialistes qu’une réponse positive
1 à la question de l’épointage des sections permettrait de réduire la conjecture
v: des sections au cas de la droite projective privée d’un nombre fini de points.
i Pour donner un sens précis à cette assertion, on doit formuler une version de
X
la conjecture des sections pour des courbes éventuellement non propres, où à
r
chaque point à l’infini est associé un «paquet» de (classes de conjugaison de)
a
sections, qui a le cardinal du continu.
Comme une référence pour cette réduction de la conjecture de sections
semblefairedéfaut,nousenavonsinclusuneesquisseassezdétaillée(voir§3.1),
enprenantle partide remplacerles courbes affinespar des orbicourbesquileur
sont «homotopiquement équivalentes», mais dont la propreté permet un trai-
tementbeaucoupplusuniforme(voir§2.2),les«paquets»mentionnésci-dessus
correspondantàdeslimites projectivesde pointsrationnelssurcesorbicourbes.
Nousnouslimiteronsàl’étudedelaquestiondel’épointagedessectionsdans
le cadre suivant. Pour tout nombre premier l, considérons la suite exacte
(∗Y)[ab,l] 1→H1(Yk¯,Zl)→π1[ab,l](Y,x¯)→Gk →1
1
oùπ[ab,l](Y,x¯)désignelequotientdeπ (Y,x¯)parlenoyaudumorphismenaturel
1 1
π1(Yk¯,x¯) → H1(Yk¯,Zl). Dans ce cadre se pose la question de l’épointage des
sections l-adiques :
les sections de la suite exacte (∗ )[ab,l] se relèvent-ellesen des sections de la
X
suite exacte (∗ )[ab,l]?
U
Ce type de problème a été récemment soulevé par Mohamed Saïdi (voir
[Sai10]). On montrera dans cet article l’énoncé suivant :
Théorème 1. Soient k un corps de type fini sur Q, G son groupe de Galois
k
absolu, X/k une courbe propre et lisse, géométriquement connexe, D ⊂ X un
diviseur réduit, U = X\D l’ouvert complémentaire, et x ∈ U un point géomé-
trique. On fixe une extension galoisienne finie k′/k contenant les corps de défi-
nition de tous les points de D et un nombre premier l ne divisant pas [k′ : k].
On note Pic le schéma de Picard de X, et Pic celui de la courbe obte-
X/k X,D/k
nue à partir de X en pinçant D en un unique point rationnel. On fait les deux
hypothèses suivantes :
1. Il existe un entier naturel N ≥ 1 premier à l et un point rationnel p :
Speck →PicN telqueD soitinclusdanslafibredumorphismecomposé
X/k
X →Pic1 −×−N→PicN en p,
X/k X/k
2. laclassedePic1 appartientausous-groupel-divisiblemaximaldugroupe
X,D
H1(G ,Pic0 ).
k X,D
Alors toute section du morphisme naturel π (X,x)[ab,l] → G se relève en une
1 k
section du morphisme π (U,x)[ab,l] →G .
1 k
Voici un aperçu de la preuve du Théorème 1. La deuxième condition du
théorème équivaut, d’après [HS09], à l’existence d’une section du morphisme
[ab,l]
π (U,x) → G . Le problème revient alors à montrer la surjectivité de l’ap-
1 k
plicationH1(G ,H (U ,Z ))→H1(G ,H (X ,Z )).Uneconditionsuffisante—
k 1 k l k 1 k l
beaucoup plus forte a priori que la condition d’épointage des sections l-adiques
—est,bienentendu,queH (U ,Z ),quiestaprioriuneextensiondeH (X ,Z )
1 k l 1 k l
par un module de Tate qu’il est facile de décrire en fonction des pointes, soit
en fait une somme directe de ces deux représentations galoisiennes pures : on
dira que l’homologie de U est pure. Nous utilisons alors, en le généralisant un
peu,unthéorèmed’UweJannsen(voirThéorème12),pourprouverlethéorème
suivant :
Théorème 2. Supposons que tous les points de D soient rationnels sur une
extension galoisienne finie k′ de k de degré premier à l. L’épimorphisme
H1(Uk¯,Zl)։H1(Xk¯,Zl)
admet une section G -invariante si et seulement si géométriquement, pour tous
k
z,z′ dans le support de D, le diviseur z′−z est de torsion première à l dans la
jacobienne de X.
2
La condition donnée par ce théorème pour que l’homologie soit pure sera
reformulée en la première condition du Théorème 1.
Nousrappelonsdansleparagraphe4laconstructiondel’applicationd’Abel-
Jacobi,quiàuneclassedecyclecohomologueà0surX associeuneextensionde
représentationsgaloisiennes.Lelemmeclé(Lemme8)identifiecetteapplication
à un cobord obtenu à partir de la suite de Kummer pour la jacobienne de X,
dont on sait qu’il est injectif. Comme il semble qu’une preuve n’ait jamais été
publiée,nousenavonsinclusune.Celle-ciutiliseunentrelacemententrelasuite
de Kummer et la suite de cohomologie relative qui fait écho, de manière plus
complexe, à celui qu’on utilise pour définir la classe de cycle d’un diviseur en
cohomologie étale.
Enfin, dans le paragraphe 5.4, nous donnons des exemples explicites de
courbes modulaires épointées dont l’homologie est pure, et pour lesquelles le
Théorème 1 s’applique.
1.1 Remerciements
Nous remercions Damian Rössler pour nous avoir guidés vers le théorème
de Manin-Mumford, et Pierre Parent pour nous avoir fourni les exemples de
courbes modulaires. Nous sommes également reconnaissants envers Jakob Stix
dont les commentaires éclairés ont permis d’améliorer notre texte initial.
2 La conjecture des sections
2.1 Énoncé
SoitX/k unschémadetypefini,géométriquementconnexe,etx:SpecΩ→
X un point géométrique. On dispose de la «suite exacte fondamentale» :
1→π (X ,x)→π (X,x)→G →1 (1)
1 k 1 k
voir [Gro71], IX, Théorème 6.1. Par fonctorialité,un point rationnel induit une
section de cette suite exacte, bien définie à conjugaison près par un élément de
π (X ,x). On obtient ainsi une application :
1 k
s :X(k)→Hom-ext (G ,π (X ,x))
X Gk k 1 k
La conjecture des sections s’énonce ainsi :
Conjecture 1 ([Gro97]). SiX est unecourbepropre et lisse de genresupérieur
ou égal à 2 sur un corps k de type fini sur Q, l’application s est bijective.
X
L’injectivitéestconnueetestuneconséquenceduthéorèmedeMordell-Weil
(voir par exemple [Sti08], Appendix B).
3
2.2 Orbicourbes
Par orbifolde, on entendra un champ de Deligne-Mumford, qui est généri-
quement un schéma. Une orbicourbe est une orbifolde réduite de type fini sur
un corps, qui est de dimension 1. Les orbicourbes peuvent être construites par
recollement,mais on dispose aussid’une descriptionagréablede leurs foncteurs
des points, due à Vistoli, qu’on rappelle brièvement.
2.2.1 Champ des racines
Onrappellequelechamptorique[A1|G ]estisomorpheauchampclassifiant
m
les couples (L,s), où L est un faisceau inversible sur X et s est une section de
ce faisceau.
Définition 3 ([AGV08]). 1. Soit un schéma X, muni d’un couple (L,s), où
L est un faisceau inversible sur X et s est une section de ce faisceau. On
appelle champ des racines r-ièmes de (L,s) le champ
r (L,s)/X =X ×[A1|Gm][A1|Gm]
où le produit fibré epst pris par rapport aux morphismes (L,s) : X →
[A1|G ], et l’élévation à la puissance r : ·⊗r :[A1|G ]→[A1|G ].
m m m
2. Si D est un diviseur de Cartier effectif sur X, et s est la section cano-
D
nique de O (D), on note r D/X le champ r (O (D),s )/X.
X X D
3. Soit I un ensemble fini, r = (r ) une famille d’entiers r ≥ 1, et
p i i∈I p i
D=(D ) une famille de diviseurs de Cartier effectifs sur X. On note
i i∈I
r D/X le champ X,i∈I ri Di/X. On appellera ri la multiplicité de Di.
Remaprque 1. En dimQension 1p, ou plus généralement lorsque l’on considère
un schéma muni d’un diviseur à croisements normaux simples, les champs des
racines définis ci-dessus sont suffisants. Pour un diviseur à croisements nor-
maux généraux, il faudrait les remplacer par les champs des racines généralisés
considérés dans [BV10].
2.2.2 Groupe fondamental des champs de Deligne-Mumford
Soit X un champ de Deligne-Mumford connexe. On se fixe un point géo-
métrique x. Le groupe fondamental (étale) basé en x été défini et étudié dans
[Noo04] et [Zoo02]. Sa définition repose sur le fait que la catégorie RevX des
morphismesY →X d’unchampde Deligne-MumfordversX quisontreprésen-
tables finis et étales est (équivalente à) une catégorie galoisienne.
SionsupposeX detype finietgéométriquementconnexesuruncorpsk,on
disposedela«suiteexactefondamentale»(1);ladémonstrationdel’exactitude
estlamêmequedanslecasdesschémas,voir[Gro71],IX,Théorème6.1.Comme
deux points rationnels isomorphes donnent lieu à des sections conjuguées, on
dispose d’une application :
s :IsClX(k)→Hom-ext (G ,π (X ,x))
X Gk k 1 k
4
des classes d’isomorphisme de points k-rationnels vers les sections de la suite
exacte fondamentale à conjugaison près.
2.2.3 Orbicourbes hyperboliques
Définition 4. 1. On appelle orbicourbe1(sous-entendu par la suite : propre
et lisse) sur un corps k un champ des racines X = r D/X, où X est une
courbe propre et lisse sur k, (D ) est une famille finie de diviseurs de
Cartier effectifs et réduits sur Xi,ir∈I=(r ) une fapmille d’entiers r ≥1,
i i∈I i
premiers à la caractéristique de k. Le genre de X est celui de X.
2. Si X est une orbicourbe de genre g sur k, on définit sa «caractéristique
d’Euler-Poincaré orbifolde» par :
1−r
χorb(X)=2−2g+ degD i
i
r
i
i∈I
X
3. On dit alors que l’orbicourbe X est hyperbolique si χorb(X)<0.
Remarque 2.
1. X est hyperbolique si et seulement si X l’est. Lorsque k =C, l’orbicourbe
k
X est hyperbolique si et seulement si son revêtement universel est le demi-
plan de Poincaré : voir [BN06], §5.
2. Si Y → X est un revêtement (étale) de degré d, alors il résulte de la for-
muledeHurwitzqueχorb(Y)=dχorb(X),enparticulierY esthyperbolique
si et seulement si X l’est.
Conjecture 2. Si X est une orbicourbe hyperbolique géométriquement connexe
sur un corps k de type fini sur Q, l’application s est bijective.
X
Cette conjecture a un caractère folklorique. Elle est un peu plus fine que la
conjecturedessectionspourlescourbesaffinesénoncéeentermesde«paquets»
dans [Gro97]. En effet, soit X/k une courbe propre lisse, munie d’un diviseur
D, telle que la courbe affine U = X\D soit hyperbolique, c’est-à-dire 2−2g−
degD < 0. Alors pour r > degD , l’orbicourbe r D/X est hyperbolique.
degD+2g−2
Comme d’après le lemme d’Abhyankar π (U,x) ≃ lim π (r D/X,x), on en
1 ←p−r 1
déduit que la validité de la Conjecture 2 implique que
p
s :limIsCl r D/X(k)→Hom-ext (G ,π (U ,x))
U ←− Gk k 1 k
r
p
est une bijection. On a une injection canonique U(k)→lim IsCl r D/X(k), le
←−r
membrededroitecorrespondantauxpaquetsauxquelsilaétéfaitallusiondans
p
l’introduction.Les points rationnelsdes champs des racines ontdonc permis de
compléterU(k)demanièrenaturelle.Onpeutparailleursanalyserprécisément
lacontributiond’unpointrationnelàl’infini(voirl’appendiceA)cequipermet
de donner une description explicite du membre de gauche, au moins lorsque D
est totalement décomposé.
1. Il faudrait montrer l’équivalence avec la définition donnée précédemment, mais nous
nouscontenterons d’utilisercette dernièredéfinition,quiestlapluspratique.
5
3 Épointage de sections
3.1 Épointage de sections profinies
Onfixek uncorpsetX/k unecourbeproprelissegéométriquementconnexe
de genre g ≥2.
Conjecture 3 (Conjectured’épointage). Sik est un corps de type finisur Q et
U est un ouvert non vide de X, alors toute section de π (X,x)→G se relève
1 k
en une section de π (U,x)→G :
1 k
π (U,x)
1
gg
(cid:15)(cid:15) qq
π (X,x) //G
1 k
La Conjecture 3 est une conséquence de la Conjecture 1, comme on peut le
voir à partir du diagramme
lim IsCl r D/X(k) // Hom-ext (G ,π (U ,x))
←−r sU Gk k 1 k
p
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
X(k) // Hom-ext (G ,π (X ,x))
sX Gk k 1 k
Eneffet,leCorollaire17impliquequelaflècheverticaledegaucheestsurjective.
Réciproquement,silaConjecture3estvraie,alorslaconjecturedessections
pour U (resp. pour toute orbifolde X d’espace des modules X) implique la
conjecture des sections pour X. On peut se servir de ce fait pour réduire la
Conjecture 1 à la Conjecture 3, et à la Conjecture 2 limitée aux orbicourbes
hyperboliques d’espace des modules la droite projective. En effet, en partant
d’unecourbehyperboliqueX,etenfixantunmorphismenonconstantarbitraire
X → P1, il est aisé de construire un morphisme étale X → P, où X (resp.
P) est une orbicourbe d’espace des modules X (resp. P1). Mais on peut alors
montrer en utilisant l’existence et l’unicité du relèvement des chemins étales
que la conjecture des sections pour P entraîne la conjecture des sections pour
X (pour ce dernier point, on pourra consulter [Sti11], Chapter 13, pour le cas
des schémas).
3.2 Abélianisation de la partie géométrique
Pour l premier, on peut considérer le plus grand quotient pro-l-abélien
H (X ,Z ) de π (X ,x) et pousser la suite exacte
1 k l 1 k
1→π (X ,x)→π (X,x)→G →1
1 k 1 k
par π (X ,x)։H (X ,Z ), et de même pour U (voir figure 1). On peut donc
1 k 1 k l
formuler un problème d’épointage des sections l-adiques :
6
1 // π (U ) //π (U) // G // 1
1 k 1 k
}}④④④④④④④④④④ (cid:127)(cid:127)⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧ ✒✒✒✒✒✒✒✒✒✒✒✒✒✒
1 // π (X ) //π (X) // G //1
1 k 1 k
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
1 // H (U ,Z ) //π[ab,l](U) //G // 1
1 k l 1 k
⑥ ✁ ✓✓
⑥⑥⑥⑥ ✁✁✁✁ ✓✓✓✓✓✓
(cid:15)(cid:15) ~~⑥⑥⑥⑥⑥ (cid:15)(cid:15) (cid:0)(cid:0)✁✁✁✁ ✓✓✓✓✓✓✓✓
1 // H (X ,Z ) //π[ab,l](X) // G //1
1 k l 1 k
Figure 1 – Abélianisation de la partie géométrique
π (U,x)[ab,l]
1
hh
(cid:15)(cid:15)
oo
π (X,x)[ab,l] //G
1 k
Remarque 3. La conjectured’épointage n’implique pas uneréponse positive au
problème d’épointage des sections l-adiques, mais seulement que toute section
de π[ab,l](X,x) → G venant d’une section profinie de π (X,x) → G se re-
1 k 1 k
lève en une section de π[ab,l](U,x) → G . Cette dernière propriété, qui est une
1 k
conséquence commune de la conjecture d’épointage et d’une réponse positive au
problème d’épointage des sections l-adiques, peut se formuler de la façon sui-
vante : toute section profinie G →π (X,x) se relève au quotient intermédiaire
k 1
dans la suite d’épimorphismes
π (U,x)։π (X,x)× π (U,x)[ab,l] ։π (X,x).
1 1 π1(X,x)[ab,l] 1 1
Nous comptons revenir en détail sur ce quotient intermédiaire dans un travail
ultérieur.
3.3 Une condition suffisante d’épointage des sections l-
adiques
Si π[ab,l](X,x)→G n’admet pas de section, le problème d’épointage ne se
1 k
posepas.Danslecascontraire,ilestéquivalentàl’existenced’unesectionpour
π[ab,l](U,x)→G etàlasurjectivitédeH1(G ,H (U ,Z))→H1(G ,H (X ,Z )).
1 k k 1 k l k 1 k l
La premièreconditionestcomplètementcomprise:une conditionnécessaire
[ab,l]
etsuffisanteàl’existence d’unesectionpourπ (U,x)→G aété donnéepar
1 k
Harari et Szamuely :
7
Théorème 5 ([HS09]). Le morphisme π[ab,l](U,x)→G admet une section si
1 k
etseulementsilaclassedePic1 appartientausous-groupel-divisiblemaximal
X,D
de H1(G ,Pic0 ).
k X,D
(Ici, Pic0 désigne la jacobienne généralisée de U, et Pic1 le torseur
X,D X,D
universel de degré 1 sous Pic0 ).
X,D
La deuxième condition est plus mystérieuse. Une condition suffisante à la
surjectivité de H1(G ,H (U ,Z )) → H1(G ,H (X ,Z )) est l’existence d’une
k 1 k l k 1 k l
section du morphisme H (U ,Z ) ։ H (X ,Z), compatible avec l’action du
1 k l 1 k l
groupe de Galois absolu G .
k
3.4 Traduction en cohomologie
On note K = ker(H (U ,Z ) ։ H (X ,Z)); c’est un Z -module de type
1 k l 1 k l l
fini muni d’une action continue de G . Comme Z -module, K est même libre
k l
de rang r − 1 où r = #|X \U |, comme il découle du théorème donnant la
k k
structure de π (X ,x) (resp. de π (U ,x)). Il est plus confortable d’étudier la
1 k 1 k
suite duale de cohomologie. Précisément, on a d’après [Gro71], Exposé XI, §5,
un isomorphisme naturel de Z -module libres de type fini munis d’une action
l
continue de G :
k
H1(X ,Z (1))≃Hom(H (X ,Z ),Z (1))
k l 1 k l l
et de même pour U. Le foncteur Hom(·,Z (1)) étant une auto-anti-équivalence
l
de la catégoriedes Z -module libres de type fini, quiconserveles suites exactes,
l
l’épimorphisme H (U ,Z) ։ H (X ,Z ) admet une section si et seulement si
1 k l 1 k l
le monomorphisme H1(X ,Z (1)) ֒→ H1(U ,Z (1)) admet une rétraction. Le
k l k l
Théorème 12 dira exactement quand cette condition se produit.
4 Application d’Abel-Jacobi
4.1 Définition
On reproduit ici une construction d’Uwe Jannsen (voir [Jan90]). Soit X/k
une variété propre et lisse, j un entier, Zj(X) le groupe abélien libre engen-
dré par les cycles de codimension j sur X, Zj(X) le sous-groupe des cycles
0
cohomologues à zéro. On définit un morphisme :
cl′ :Zj(X) →Ext1(Z ,H2j−1(X ,Z(j)))
0 l k l
de la manière suivante. Soit z un cycle de codimension j, cohomologue à zéro,
on note Z =|z| son support, et U =X\Z. L’image cl′(z) de z est la classe [E]
de l’extension E obtenue à partir de la suite de cohomologie relative par image
réciproque comme dans le diagramme suivant :
8
0 //H2j−1(X ,Z (j)) //H2j−1(U ,Z (j)) //H2j (X ,Z(j)) //H2j(X ,Z(j))
k l k l Z k l k l
OO k OO OO
cl(z)
0 //H2j−1(X ,Z (j)) //E //Z // 0
k l l
Le premier groupe de la première suite exacte est nul (au moins lorsque Z est
lisse, ce qui suffira par la suite) car :
H2j−1(X ,Z(j))≃H (Z ,Z (d−j))≃H2d−2j+1(Z ,Z (d−j))∨ =0
Z k l 2d−2j+1 k l k l
k
vu que 2d−2j+1>2dimZ.Le diagrammede droite commute carz estcoho-
mologueàzéro.Enfin,onauraitpuseulementimposer|z|⊂Z,l’extensionE est
alors indépendante du choix de Z, par fonctorialité de la suite de cohomologie
relative en la paire (X,Z).
On note Zj (X) le groupe des cycles de codimension j à support dans Z,
Z
Zj (X) le sous-groupe des cycles homologiquement équivalents à zéro, et de
Z 0
manièresimilaireH2j (X ,Z(j)) lenoyaudeH2j (X ,Z (j))→H2j(X ,Z (j)).
Z k l 0 Z k l k l
k k
On dispose d’une extension «universelle» :
0 →H2j−1(X ,Z(j))→H2j−1(U ,Z(j))→H2j(X ,Z (j)) →0
k l k l Z k l 0
k
Lesélémentscl′(z),pourz ∈Zj (X) ,représententdesobstructionsàl’existence
Z 0
d’une section. Comme cl : Zj (X) → H2j (X ,Z(j)) passe au quotient par
Z 0 Z k l
k
l’équivalence rationnelle, on peut définir cl′ sur le sous-groupe du groupe de
Chow correspondant:
Définition 6. On note encore
cl′ :CHj(X) →Ext1(Z ,H2j−1(X ,Z (j)))
0 l k l
l’application obtenue par passage au quotient, à partir de celle définie ci-dessus.
Remarque 4. Jannsen attribue à Deligne [Del79] l’idée d’associer une exten-
sionàuncycle.Cedernierconsidèred’ailleursplutôtletorseursousH2j−1(X ,Z (j))
k l
donné par l’image réciproque de cl(z) dans H2j−1(U ,Z (j)). C’est bien sûr un
k l
point de vue équivalent vu l’isomorphisme
Ext1(Z ,H2j−1(X ,Z (j)))≃H1 (G ,H2j−1(X ,Z (j))).
l k l cont k k l
où H∗ désigne la cohomologie continue [Jan88].
cont
4.2 Injectivité lorsque j = 1 : preuve « élémentaire »
Théorème 7 ([Jan90],§9.20). Soit X une variété propre et lisse sur un corps
k de type fini sur Q, et l un nombre premier. Alors l’application d’Abel-Jacobi :
cl′ :CH1(X)0⊗ZZl →Ext1(Zl,H1(Xk,Zl(1)))
est injective.
9
Pour la commodité du lecteur, nous reproduisons dans ce paragraphe le
début de la preuve donnée par Uwe Jannsen, puis nous la complétons au para-
graphe suivant. Pour une preuve de l’injectivité de l’application d’Abel-Jacobi
dans le cadre plus général des 1-motifs, on pourra consulter la thèse de Peter
2
Jossen .
Preuve du Théorème 7. Soit A = Pic0 , et n ≥ 1 un entier . De la suite de
X/k
Kummer : 0→A[ln]→A−×−l→n A→0, on tire :
A(k)
0→ −→δ H1(G ,A(k)[ln])→H1 (G ,A)[ln]→0
ln k cont k
En passant à la limite projective sur n, il vient :
A(k)
0→lim −→δ limH1(G ,A(k)[ln])→T (H1 (G ,A))→0 (2)
←− ln ←− k l cont k
n n
En effet lim1 A(k) = 0, vu que les applications de transition A(k) → A(k) sont
←−n ln ln+1 ln
surjectives, donc le système projectif vérifie la condition de Mittag-Leffler.
Pour analyser le premier terme de (2), on note que, comme d’après le théo-
rèmedeMordell-Weil,A(k)estungroupeabéliendetypefini,onaA(k)⊗ZZl ≃
lim A(k), et on dispose d’un monomorphisme3 naturel CH1(X)≃ Pic0(X)֒→
←−n ln 0
Pic0 (k) = A(k). En ce qui concerne le second terme, on a, d’après [Jan88],
X/k
§3, une suite exacte :
1
0→limA(k)[ln]→H1 (G ,T (A(k)))→limH1(G ,A(k)[ln])→0
←− cont k l ←− k
n n
Or,toujours d’aprèsle théorème de Mordell-Weil, A(k)[ln] estun l-groupeabé-
lien fini, d’ordre borné indépendamment de n, donc les applications de tran-
sition ×lN : A(k)[ln+N] → A(k)[ln] sont nulles pour N ≫ 0, ce qui montre
à nouveau que le système projectif vérifie la condition de Mittag-Leffler, et
donc l←im−1nA(k)[ln] = 0. Enfin Tl(A(k)) = Tl(Pic0(Xk)) ≃ l←im−nH1(Xk,µln) =
H1(X ,Z (1)). On a donc obtenu un monomorphisme :
k l
δ :CH1(X)0⊗ZZl ֒→H1cont(Gk,H1(Xk,Zl(1)))
et le lemme suivant conclut donc la preuve du théorème :
Lemme8. Vial’isomorphismenaturelExt1(Z ,H1(X ,Z (1)))≃H1 (G ,H1(X ,Z (1))),
l k l cont k k l
on a δ =cl′.
Démonstration. La preuve est reportée à la partie 4.3.
2. Iln’estpasclairpournoussilaProposition6.2.1decettethèsedonneuneautreversion
uniquementdelapremièrepartiedelapreuve, oubiensielledonneunepreuve complètedu
Théorème 7, qui contournerait le Lemme 8. Celui-ci nous paraît de toute façon d’un intérêt
indépendant.
3. Ilnes’agitpasengénéral d’unisomorphisme,voirparexemple[Sti10],§2.
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