Um Curso de Calculo Vol 2 - Manual de Soluções

162 Pages·2002·12.246 MB·Portuguese

by  Hamilton Luiz Guidorizzi

.
Hamilton Luiz Guidorizzi
UM CURSO DE
CALCULO
Volume 2
y y
C l
* I í r J
V > V
\
J
53 edição
s
LTC
Nointeressededifusãodaculturaedoconhecimento,osautoreseoseditoresenvidaramo
mutáilxizimadoo,edsifsoproçnodpo-asrcaalopcoaslsiízvaerisoascdenetoesnptoorsetesridoorsesdciaresoit.oisnaaduvtoerrtaiidsamdeenqtuea,laqiudeerntmifiactaeçriãaol
dealgumdelestenhasidoomitida.
Direitosexclusivospara a língua portuguesa
Copyright©2001 by Hamilton LuizGuidorizzi
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EsteManualcontémassoluçõesdosproblemasmais
representativosdolivroUmCursodeCálculo,5.*edição,
Vol.2.
Estematerialéde usoexclusivode professoresda matéria.
SUMÁRIO
Capítulo1
1
Capítulo2
4
Capítulo3
14
Capítulo4
26
Capítulo5
36
Capítulo6
46
Capítulo7
51
Capítulo8
61
Capítulo9
68
Capítulo10
73
Capítulo11
81
Capítulo12
90
Capítulo13
102
Capítulo14 117
Capítulo15 130
Capítulo16 139
Capítulo17 157
CAPí
TULO 1
Exercícios /./
1. Seja/:|0. l| —* 0<liadapor
KM
0 se v£
.
-
/(v)=
(cid:127)
I se t£
,
Seja /’umapartiçãoqualquerde|(), I)
P:0 — v()<,V|< »2 < ... < Xj _|< Xj<...<xn= I eseja ^n f(cj)A_i, umasoma
deRiemannde/relativaaestapartição. i=l
SenenhumdosC|,r2 r„pertenceraoconjunto 0,—,11 entãoasomade
Riemannserá zero. 2
K4
Admitindoquealgumoualguns(um.doisou três)r, pertençaaoconjunto
então /<*,) = 1 e/r,) A.v, = AA, (paracadac, 6 ). Portanto,
yn
,
f(Cj )X\ <3máxA*,.
i=l
Dadoe > 0.existirá 5= — (que sódependedec)tal que:
yn
- /(c,jA.v, <esemprequemáx A.r, <8.
I
» l
Emqualquercaso,temos, independentementedaescolhadosc,e para todapartição P
de[0. IJ,com máx àx,<8,que
n
X í^ > ~0 <E.
1
1=1
Portanto.
lim X" /(c/)Ax, =0=Jr1 f(x)dx.
máx Ai, —>0i*=l
.
3
_ 4
T
í1 se 0ss x<1 I
a) Seja /(*) j4 se x=1
12 se 1< x®s2. 2
Seja Pumapartiçãoqualquerde|0,2): 1
I
P:0 -xQ<xi <(cid:127)(cid:127)(cid:127)<Xj__|<Xj< (cid:127)(cid:127)(cid:127)<x„= 2 Vi1I 2
Suponhamosque 1 E [xy ,Xy).Temos
j
X = X /(c«) + f(cj)A*.:j“f -X í^i}**1' ondeAcj)e {1,2,4}
i=l 1=1 _1 / j+l _i
= Xj-., +/fC;)(Xy-Xy ,) + 2(2-Xj)= 3 “ (Xy-Xy ,)+ f(Cj)(Xj ~ Xy_,) + (1-Xj).
Segueque
n _
I /(C|)À*i 31^|.r;* xy-1 I+41xj -xy i|+11-xj|^6máxAx,
I*
í=l
—
Dadoe > 0e tomando-se 5= tem-se
6
máxAx,<5 => IXn /íO^-SK,.
i=l
«
. X
Então lim.- f(cí)A*/ =3independentementedaescolhadec,
máxAt tO
=
i l
Logo.fé integrávelc í f(x)dx=3.
Jo
{^— se xGQ
d)Seja /(í)=
(cid:127) x se x Q.
- ,
Se—ja P: 1 = x0<x < (cid:127)(cid:127)(cid:127)< Xí:- < x^ <...<x„ = 1 umapartiçãoqualquerdel 1.11
1
e sejaum pontodessapartição.Escolhamosij*0daseguinte forma:c,irracionalse
ci<0cCj racional sec,>0.Desse modo./(c,) >0para todo/'.Seguequeasomade
Ricmannserá maiorqueaáreadoretângulode vértices
n
. ^
ou seja f(ci ) X\l > ^1 .(Coneorda?)Poroutrolado,escolhendoct racionalseCj<0
i=l
ecf irracionalsecf > **teremos/(Cj)<0,paratodoi,eportanto, ^/! f(q\) x:<0.
I
1=1
2
n
y
Logo, nãoexiste Ltal que máxlbimx.-»0 _ f(cj)±Xj =L, independentementedaescolha
dosCj.Ou seja, a função nãoé integrá(cid:127)vel(cid:127).
Exercícios 1.2
.
1
^
-
a) /U)= T 1 ^.v ^ 2.
1 + xL
» —
A 1unção/ écontínuaem IR.Logo—,/écontínuaem[ 1.2|.
Pelo teorema 1,se/écontínuaem[ 1,2],entào/éintegrável.
-
se 2SSJC<1
»
c) /( = 2
se 1*£ JC< 2.
x
—
fé limitada em [ 2, 2],pois.para todo.rem[-2.2),0 «/»*£ 4;/édescontínua
apenasem x = 1. Pelo teorema 2,comofé limitadaem|-2,2]edescontínua apenasem
.t = 1,então/é integrável em [-2,2].
.0 se x=0
e) fix)= —
sen ,0< JC 1.
x
A funçãoélimitadae descontínua apenasem x = 0.Logo.peloteorema2.a funçãoé
integrável.
-
Í 2 se 1 x<0
JT
8) /(*)=(cid:127)5 se x =0
2 se 0<JC^1
.
fé limitadaem (-1 1];/sóédescontínuaemJT = 0. Portanto, féintegrável.
3
CAPí 2
TULO
Exercícios 2.1
1.
í | se 0ss .x< 1
a) Jo/(.x)dx,onde /(.x)=li1 se 1^ x 2
.
/é integrávelem10, 2],poisé limitadaedescontínuaapenasem.x = 1.
£ J
Temos /(.x)dx = /(.x)dx+ /(.x)dLx
Em10, l].*.x)diferede 2apenasem.x = 1. Daí,
^
J
/(.x)dx = 2dx =[2X]}, =2
0
Em[1.2].**) = — Logo
.x (cid:127) ,
£ ^
J
/(.xUx = ‘ =[ln.x]“ =ln2
[
Portanto, f(x)dx = 2+ ln 2.
Jo
| j
c) f( x)dx. onde /(.x)= j+ v2 se .x*1
5 se x = 1
ffé integrávelem[ 1.3],poisé limitadaedescontínuaapenasem.x = 1.
/(.x)dx = Jf-‘l—1+It-— dx + íJl —l +.r--dx
| ^
- [ln(1+*2>]’ +I[ln(1+*2)]^
^
-- [In 2-ln2]+i[lnl0-ln2]
1
=Tln5
.
-
J2 1
d) g{u)du, ondeg(u)= x u **1
u se |II|<1
—
gé integrá\el em [ 2,2] pois g écontínuaem [-2.2].
I
- -
se — 1
- u
Temos jç(u) = « se 1<M<1
1
se u>1
*>
Logo.
U« uu Cv í1 f2
“ ' + udu+Jl :
“1 M
HC [TL - I
[ í
* *
=i-±+I-i--1 +1 =1.
2 2 2 2
2.
b) J f(t)dl.onde /(/)=(cid:127)** se -1 ts;1
( se />1
—
—
Para todox 2* 1,/éintegrávelem[ 1,x],pois,nesteintervalo, /élimitadae
descontínuanomáximoem umponto.Temos:
,
JV —
se 1^ x«1
J*m :
dt = r
i
t~ dt+ 2dt se JT>1
r
£ 1 —
Como r2 = « 2dt=2x 2
Jl
3
segueque:
—
x3 -1 -
J*/(0dt =- 3 + 3 se I« x«1
4
2x se x>1
3
c) J /ÍO<//.onde/(0=|t2 se -1 f < 1
^ 2 se t>1
5
—
Para todox ^ 1 fé integrável cm (v,01,sex ^ 0,eem [0,*1,se x >0,poisnestes
intervalos fé limitadaedescontínua no máximoem um ponto.
x
j ri dt se 1
í = Jo
f(t)dt r
f
Jo **+ 2dt se x> l
[Jo Jl
.
-
Temos JV* 4i f‘ ^r =i; í'2dt=2x-2.
Jo 3 Jo 3 Ji
.
Logo
—
í 3
* -
se I*5 x 1
[*/(')<* 3 —
Jo -
2x se x>1
3
Exercícios2.2
.
I
j2 se 0«t <1
j
a) F(x)= f(t)dt,onde /(f)= 1
^ se f 5|
t
.
Odomíniodef éintervalo[0 +oo[.Temos:
r
- 2 dt se 0« x<1
F(x)= f f(t)dt = J>o
Jo J Jx dl
+ , se x ^ I
i
.
Então
F(x)= Í2.r se 0« jr< l
12+ In x se x >1
3
1 e
6
c) F(x)=\Xf(t)dt. onde /(,)=/? se / ^0
{0 se r>0.
F(.t)= Jo se v 0 ou F(x)= zx se .t^0
0 se .v >0 se x>0
-
I
_
2
d) F(x)=J /(0di onde f(i)=|0J se t =s1
( se t>1
r0 se x*£1
^(.t)= <// = x-1 se x> I
I i
1
I
-
0 se /—^ 1
f
J) F(x)= - f(t)dt,onde /(/)» t2 se 1</< I
J f o se t>1
0 SC X ^ “1
/rfjr)= J1t~7 d/t = -—'i n* =-*—3 + —i se —I <*<1
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2
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í
3