Um Algoritmo de Newton de Ponto Interior e Aplicações na Fundição Eletromagnética de Metais

210 Pages·2009·2.71 MB·Portuguese

by  Alfredo Canelas Botta

COPPE/UFRJ
UMALGORITMODENEWTONDEPONTOINTERIOREAPLICAÇÕESNA
FUNDIÇÃOELETROMAGNÉTICADEMETAIS
AlfredoCanelasBotta
Tese de Doutorado apresentada ao Programa
de Pós-graduação em Engenharia Mecânica,
COPPE, da Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do título de Doutor em Engenharia
Mecânica.
Orientadores: JoséHerskovits
JeanRodolpheRoche
RiodeJaneiro
Abrilde2009
UMALGORITMODENEWTONDEPONTOINTERIOREAPLICAÇÕESNA
FUNDIÇÃOELETROMAGNÉTICADEMETAIS
AlfredoCanelasBotta
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ
COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM
CIÊNCIASEMENGENHARIAMECÂNICA.
Aprovadapor:
Prof.JoséHerskovits,D.Ing.
Prof.JeanRodolpheRoche,Ph.D.
Prof.ManuelErnanideCarvalhoCruz,Ph.D.
Prof.JoséClaudiodeFariaTelles,Ph.D.
Prof.AntonioAndréNovotny,D.Sc.
Prof.BerardiSensale,D.Ing.
RIODEJANEIRO,RJ–BRASIL
ABRILDE2009
CanelasBotta,Alfredo
UmAlgoritmodeNewtondePontoInterioreAplicaçõesna
FundiçãoEletromagnéticadeMetais/AlfredoCanelasBotta. –
RiodeJaneiro: UFRJ/COPPE,2009.
XXI,189p.:il.;29,7cm.
Orientadores: JoséHerskovits
JeanRodolpheRoche
Tese (doutorado) – UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia
Mecânica,2009.
ReferênciasBibliográficas: p. 170–178.
1. Otimização de forma. 2. Algoritmos de punto interior.
3. Fundição Electromagnética. I. Herskovits, José et al.. II.
UniversidadeFederaldoRiodeJaneiro,COPPE,Programade
EngenhariaMecânica. III.Título.
iii
Agradecimentos
Agradeço aos professores José e Jean, pela orientação e pelo grande apoio para a
realizaçãodestetrabalho.
Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
(CNPq), a Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de
Janeiro (FAPERJ), e a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES)pelosuportefinanceiro.
A Ana, e aos meus queridos pais, Carlos e Marisa, pelo carinho, incentivo e apoio
constantes.
Aos amigos do Laboratório Optimize com os quais trabalhei junto, Sandro, Gabriel,
Henry,MarioeMiguel.
AosdocentesdoProgramadeEngenhariaMecânicadaUFRJ.
Aosdocentesdo“InstitutodeEstructurasyTransporte”deUruguai.
AopessoaladministrativodoProgramadeEngenhariaMecânicadaUFRJ.
Àspessoasquecolaboraramdeformadiretaouindireta,pormeiodeincentivo,etroca
deexperiências.
iv
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para
aobtençãodograudeDoutoremCiências(D.Sc.)
UMALGORITMODENEWTONDEPONTOINTERIOREAPLICAÇÕESNA
FUNDIÇÃOELETROMAGNÉTICADEMETAIS
AlfredoCanelasBotta
Abril/2009
Orientadores: JoséHerskovits
JeanRodolpheRoche
Programa: EngenhariaMecânica
Neste trabalho é apresentado um método para otimização em Engenharia Mecânica.
O mesmo é baseado na utilização do Método dos Elementos de Contorno, na formulação
SANDdoproblemadeotimizaçãoenautilizaçãodeumAlgoritmodePontoInterior.
Um algoritmo de ponto interior baseado no algoritmo de direções viáveis FDIPA é
proposto. Omesmo,aquichamadoFDIPA-H,permiteutilizaramatrizhessiananossiste-
mas lineares que definem a direção de busca. A demonstração de convergência global do
algoritmoFDIPA-Héapresentada,assimcomoumacomparaçãocomdoisdosmaisbem
sucedidos algoritmos de otimização conhecidos para uma importante coleção de proble-
masteste.
O método proposto é utilizado na solução do problema de otimização de forma dos
indutoresutilizadosnaFundiçãoEletromagnéticadeMetais. Duasformulaçõessãoapre-
sentadas para este problema, assim como uma técnica geral para satisfazer as restrições
geométricasdenãosuperposiçãodosdiferentesdomínios.
v
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements
forthedegreeofDoctorofScience(D.Sc.)
ANEWTON-BASEDINTERIORPOINTALGORITHMANDAPLICATIONSTO
ELECTROMAGNETICCASTINGOFMOLTENMETALS
AlfredoCanelasBotta
April/2009
Advisors: JoséHerskovits
JeanRodolpheRoche
Department: MechanicalEngineering
This work presents a numerical method for optimization in Mechanical Engineering.
It is based on the Boundary Element Method, the SAND formulation of the optimization
problemandtheapplicationofanInteriorPointAlgorithm.
An interior point algorithm based on the feasible directions algorithm FDIPA is pro-
posed. It was called FDIPA-H and allows the use of the hessian matrix in the linear
systems that define the line search. A proof of global convergence of the algorithm is
given, as well as a numerical comparison with two state of the art algorithms for a large
collectionofknownbenchmarkproblems.
The propose method is employed for the shape optimization of the inductors used in
the Electromagnetic Casting. Two formulations are presented for this problem, as well
as a general technique for taking into account the geometric constraints that avoid the
overlappingbetweendifferentdomains.
vi
Sumário
ListadeFiguras x
ListadeTabelas xvii
Notação xxi
1 Introdução 1
2 Preliminares 7
2.1 Métodosdepontointeriorparaotimizaçãonãolinear . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Problemadeotimizaçãonãolinear . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Convergênciaglobaldealgoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 AlgoritmodeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4 AlgoritmoFDIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Métododoselementosdecontorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Cálculodasmatrizeselementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Equaçãoparapontosnointeriordoselementos . . . . . . . . . . 23
2.2.3 SistemadeequaçõesdoMEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 FormulaçãoSAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 FormulaçãoSANDparaotimizaçãoestrutural . . . . . . . . . . . 29
2.4 Diferenciaçãocomrelaçãoàforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Movimentosedescriçõesmaterialeespacial . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Derivadascomrelaçãoàformadeexpressõesintegrais . . . . . . 38
2.4.3 Análisedesensibilidadeconsiderandooproblemavariacional . . 39
2.4.4 Exemplo: ProblemadeFundiçãoEletromagnética . . . . . . . . . 40
vii
3 AlgoritmodeotimizaçãoFDIPA-H 43
3.1 ConvergênciaglobaldoFDIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 Problemacomrestriçõesdeigualdade . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Matrizesdosproblemasdeotimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 Decomposiçãodematrizessimétricasindefinidas . . . . . . . . . 61
3.3 AlgoritmoFDIPA-H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1 EstudodadireçãodeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.2 Modificaçãodosistemalinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3 DefiniçãodoalgoritmoFDIPA-H . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.4 ConvergênciaglobaldoFDIPA-H . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.1 Algunsdetalhesdaimplementaçãodoalgoritmo . . . . . . . . . 75
3.4.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 OtimizaçãousandooMECeaformulaçãoSAND 80
4.1 Funçõesparcialmenteseparáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2 DetalhesdaimplementaçãodoMEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Minimizaçãodovolumecomrestriçãonacomplacência . . . . . . . . . . 85
4.4 Comparaçãocomoutrosproblemasdeotimização . . . . . . . . . . . . . 99
5 ProblemadeFundiçãoEletromagnética 109
5.1 Omodelomatemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.1 Aformulaçãovariacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Oproblemadireto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.1 Algoritmoderesolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3 Oproblemainverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.1 Duasabordagensparaoproblemainverso . . . . . . . . . . . . . 126
5.3.2 FormulaçãoSAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4 Otimizaçãodaposiçãodosindutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4.1 Problemadiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5 Otimizaçãodaformadosindutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
viii
5.5.1 Indutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.2 Restriçõesgeométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.3 Problemadiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.5.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6 Conclusões 167
Referênciasbibliográficas 178
A ResultadosobtidoscomoFDIPA-H 179
ix
Lista de Figuras
2.1 Problemadeelasticidadelinear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 ComparaçãoentreastécnicasdeotimizaçãoclássicaeSAND. . . . . . . 27
2.3 DefiniçãododomíniotransformadopelocampovetorialV. . . . . . . . . 33
3.1 DireçãodoalgoritmodeNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 TempoparaocálculodeL edesuasderivadas. . . . . . . . . . . . . . . 90
h
4.2 Exemplo1,configuraçãoinicialdaotimizaçãodetopologia. . . . . . . . 92
4.3 Exemplo 1, a) Resultado da otimização de topologia para um 50% do
volumefinal,b)Configuraçãoinicialparaotimizaçãodeforma. . . . . . 93
4.4 Exemplo 1, resultados para a complacência igual a a) 2.22e−2 kNm e b)
3.00e−2kNm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Exemplo1,evoluçãodafunçãoobjetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6 Exemplo2,configuraçãoinicialdaotimizaçãodetopologia. . . . . . . . 94
4.7 Exemplo 2, a) Resultado da otimização de topologia para um 40% do
volumefinal,b)Configuraçãoinicialparaotimizaçãodeforma. . . . . . 94
4.8 Exemplo 2, resultados para a complacência igual a a) 0.80e−2 kNm e b)
1.00e−2kNm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.9 Exemplo2,evoluçãodafunçãoobjetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.10 Exemplo3,configuraçãoinicialdaotimizaçãodetopologia. . . . . . . . 96
4.11 Exemplo 3, a) Resultado da otimização de topologia para um 60% do
volumefinal,b)Configuraçãoinicialparaotimizaçãodeforma. . . . . . 96
4.12 Exemplo 3, resultados para a complacência igual a a) 2.52e−2 kNm e b)
3.60e−2kNm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.13 Exemplo3,evoluçãodafunçãoobjetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.14 Exemplo4,configuraçãoinicialdaotimizaçãodetopologia. . . . . . . . 97
x