Table Of ContentJurgen Herzberger
Obungsbuch zur
Numerischen Mathematik
Aus dem Programm_ ______
Mathematik
Otto Forster
Analysis I
Qtto Forster / Rudiger Wessoly
Ubungsbuch zur Analysis I
Otto Forster
Analysis 2
Otto Forster / Thomas Szymczak
Ubungsbuch zur Analysis 2
Gerd Fischer
Lineare Algebra
Hannes Stoppel/Birgit Griese
Ubungsbuch zur Linearen Algebra
Gerhard Opfer
Numerische Mathematik fur Anfanger
Jochen Werner
Numerische Mathematik Bd. 1 und 2
Helmut Spath
Numerik
Vievveg ________________________
~
Jurgen Herzberger
iibungsbuch zur
NUlllerischen
Malhelllalik
Typische Aufgaben mit
ausgearbeiteten Losungen
zur Numerik und zum
Wissenschaftlichen Rechnen
I I
Vlewag
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Herzberger, Jurgen:
Obungsbuch zur numerischen Mathematik:
typische Aufgaben mit ausgeorbeiteten Losungen
zur Numerik und zum wissenschaftlichen Rechnen /
Jurgen Herzberger. - Braunschweig; Wiesbaden:
Vieweg, 1998
ISBN 978-3-528-06948-3
Prof. Dr. Jurgen Herzberger
Fachbereich 6 Mathematik
Carl von Ossietzky UniversitCit Oldenburg
Postfach 2503
26111 Oldenburg
E-mail: [email protected]
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1998
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http://www.vieweg.de
Umschlag: Klaus Birk, Wiesbaden
Satz: Christiane BuBelmonn, Oldenburg
Gedruckt auf saurelreiem Papier
ISBN-13: 978-3-528-06948-3 8-ISBN-13: 978-3-322-83138-5
001: 10.1007/978-3-322-83138-5
VORWORT
Das vorliegende Ubungsbuch zur Numerischen Mathematik wendet sich an
Horer einer einftihrenden Vorlesung in die Numerik etwa ab dem dritten Se
mester. Es stellt in seiner Art ein Novum auf dem deutschen Fachbuchmarkt
dar, da so1che Ubungsbticher bisher vereinzelt nur zu Vorlesungen, wie etwa
tiber die Einftihrnng in die Analysis, Lineare Algebra oder Hohere Mathematik,
bekannt sind. Dieses Ubungsbuch deckt in etwa den Standardstoff einer Einftih
rung in die Numerik ab -ausgenommen die Numerik von Differentialgleiehun
gen -wie er in allen gangigen deutschsprachigen Lehrbtichem behandelt wird.
Es ist also nieht auf ein bestimmtes Lehrbuch abgestellt.
Das Ubungsbuch ist in acht Paragraphen gegliedert, die jeweiligen Standard
stoffgebieten der Numerik entsprechen. Jedem Abschnitt mit Ubungsaufgaben
ist eine kurze, tabellarisehe Aufziihlung des zugrundeliegenden Stoffes voran
gestellt urn die in den folgenden Aufgaben mit Losung verwendeten Begriffe
und Verfahren eindeutig zu eharakterisieren. Diese kurzen Absehnitte sollen
kein Lehrbueh in Kurzform sein, konnen aber dennoeh als unvollstandiges Re
petitorium tiber die jeweiligen Gebiete genutzt werden. Das eigentliehe
Ubungsbueh besteht dann aus einer gesammelten Auswahl von Ubungsauf
gaben, we1che mehr oder weniger theoretiseher Natur sind. Jede Aufgabe ist mit
einem ausfiihrliehen Losungsvorsehlag versehen. Es wurde versueht die Wie
dergabe analoger Ubungsaufgaben zu vermeiden. Jede Ubung zur Numerisehen
Mathematik stellt aber aueh ein Teil an praktiseher Programmieriibung dar. Es
wurde bewuBt auf die Aufnahme derartiger Reehenaufgaben verziehtet. Der
Grund dafiir ist, daB bekanntermaBen die Losungen, soweit sie in Zahlform an
fallen, stets yom verwendeten Rechner oder aueh Compiler abhangig sind. Des
halb kame hier dann nieht mehr die zweiwertige 'Aufgabenlogik', namlieh
riehtig oder falsch, zur Anwendung. Insbesondere ist. das der Fall bei dem ersten
Paragraphen tiber Gleitkommaeffekte, die jeweils dem Reehner oder Compiler
VI Vorwort
angepaBte Datenvorgaben in den Aufgabenstellungen erfordem wUrden. Man
bekame also ein Ubungsbuch, das auf einen bestimmten Rechner zugeschnitten
ware. Dies ist aber in keiner Weise wUnschenswert, zumal Rechner wie auch
Compiler sehr schnell einem Wechsel unterworfen sind. AuBerdem solI nicht
verschwiegen werden, daB es fUr alle gangigen numerischen Algorithmen, ab
gesehen von ausgefallenen Varianten, schon entsprechende Programmesamm
lungen gibt. Ihnen solI mit diesem Ubungsbuch keine Konkurrenz gemacht
werden. Das vorliegende Ubungsbuch soIl vielmehr eine echte LUcke auf dem
Lehrbuchmarkt schlieBen und nicht schon vorhandenen iihnlichen BUchem ein
weiteres hinzufUgen. Die Behandlung der Numerik der Differentialgleichungen
wurde bewuBt ausgespart. Das Ubungsbuch ist als Begleitbuch zu einer ein
semestrigen Einfiihrnng gedacht, da in der Regel nur ein Ubungsschein in
Numerik erworben werden muB. Namrlich kann selbst eine solche einse
mestrige Vorlesung auch kurz auf die Numerik der Differentialgleichungen ein
gehen. Das bedingt jedoch wegen der KUrze der dafUr zur VerfUgung stehenden
Zeit eine starke Selektion der Stoffauswahl. Urn moglichst viele solche Mog
lichkeiten abzudecken, mtiBte aber dieses Gebiet in groBer Breite durch ent
sprechende Musteraufgaben behandelt werden. Dies wUrde dann aber zwangs
laufig zu einem Ungleichgewicht im Verhiiltnis zu den anderen Gebieten ftih
ren. Vielerorts ist es Ublich, die Numerik der Differentialgleichungen in einer
eigenen Vorlesung (etwa als Numerische Mathematik II) zu bringen und somit
erscheint es als angebracht ein separates Ubungsbuch dartiber zusammen zu
stellen. Das vorliegende Ubungsbuch setzt einige, kleinere Schwerpunkte, die in
den meisten LehrbUchem eher kurz oder kaum behandelt werden. So nehmen
etwa die Gleitkommarechnung und die Bestimmung der Konvergenzordnung
sowie der BANACHsche Fixpunktsatz einen etwas breiteren Rahmen als Ublich
ein. Dabei liiBt sich nicht verleugnen. daB der Autor selbst eine 'Einftihrnng in
das wissenschaftliche Rechnen' in iihnlicher Art verfaBt hat und auch als Vorle
sungsgrundlage benutzt. Das Buch eignet sich somit auch als Erganzung zu
Vorlesungen, die unter diesem Titel angeboten werden.
vn
Vorwort
Grundlage der Aufgabensammlung dieses Ubungsbuches war das breite Reper
toire an Ubungsaufgaben, welche der Autor in seiner langjiihrigen Vorlesungs
und Ubungstatigkeit an der Universitat Oldenburg verwendet hat. Dabei flossen
auch einige Ubungsaufgaben ein, welche auf die Kollegen Professor Dr. Gotz
Alefeld (seinerzeit TU Berlin) und Professor Dr. Helmuth Spath (ebenfalls Ol
denburg) zuriick gehen. Letzterer hat ebenfalls ein Lehrbuch tiber 'Nurnerik'
verfaBt, das aber keine Aufgaben enthiilt. Einige Aufgaben sind iihnlich abge
faBt, wie in den in der Literaturliste angegebenen Lehrbtichern, meist aber dem
vorliegenden Zwecke angepaBt. Da vielfach Ubungsaufgabentypen durch den
Stoff bereits grob vorgegeben sind, liillt sich dieser geschilderte Sachverhalt
schwerlich vermeiden. Es wurde aber versucht sowohl in der Auswahl der Auf
gaben, in der Art der LOsungsvorschlage als auch in der Gesamtdarstellung ein
neues originelles Buch zu schaffen. Vieles blieb dabei notgedrungen ausge
klammert, da es nur in einigen Lehrbtichern abgehandelt wird und daher fUr ein
allgemeines Ubungsbuch nicht von gro8er Bedeutung ist. Dieses Ubungsbuch
ist absichtlich nicht als vollstiindige Auswahl abgefaBt, sondern solI lediglich
eine Hilfe fUr einen GroBteil der Ubungsaufgaben zu einer Numerikvorlesung
sein.
An dieser Stelle mOchte ich einigen Personen meinen Dank fUr die Hilfe und
Unterstiitzung bei der Abfassung und Erstellung des Manuskriptes zu diesem
Ubungsbuch aussprechen. Zunachst danke ich vielmals Frau Christiane BtiBel
mann, die mit viel Geschick und Hingabe das druckfertige Manuskript aus einer
nicht immer iibersichtlichen Vorlage erstellt hat. Bei dieser Art von Buch kann
man meines Erachtens dies ruhig als den Hauptanteil am Entstehen des Buches
bezeichnen. Daneben mochte ich Herrn Professor Dr. Gtinter Mayer (Rostock)
fUr die Durchsicht der Rohfassung des Manuskriptes zu diesem Buch und die
dabei gemachten Verbesserungsvorschlage und Hinweise auf Fehler danken.
Dem Vieweg Verlag mit Frau Schmickler-Hirzebruch als zustiindige Lektorin,
mochte ich fUr die verstiindnisvolle Bereitschaft zur Herausgabe dieses
VIII Vorwort
Ubungsbuches danken, das als ein Experiment auf dem Fachbuchmarkt ange
sehen werden kann. Es bleibt aus meiner Sicht zu hoffen, daB eine moglichst
weite und lange Verbreitung dieses Ubungsbuches die Miihen aller am Ent
stehen des Buches Beteiligten belohnen wird.
Oldenburg, September 1997 Jiirgen Herzberger
INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT V
INHALTSVERZEICHNIS IX
§1 Rechnerarithmetik
1.1 Grundbegriffe
l.2 Aufgaben zur Rundung und Rechnerarithmetik 4
1.3 Summationsverfahren in Gleitkommaarithmetik 8
1.4 Aufgaben zu Summationsalgorithmen 9
l.5 Rundungsfehler in arithmetischen Ausdriicken - subtrak-
tive AuslOschung 16
l.6 Aufgaben zur Auswertung arithmetischer Ausdriicke 17
§2 Polynome und Interpolation 23
2.1 Polynome 23
2.2 Aufgaben zu Polynomen 23
2.3 Polynominterpolation 27
2.4 Aufgaben zur Polynominterpolation 29
2.5 Spline-Interpolation 37
2.6 Aufgaben zur Spline-Interpolation 38
§3 Numerische Differentiation und RICHARDsoN-Extrapolation 41
3.1 Numerische Differentiation 41
3.2 Aufgaben zur numerischen Differentiation 42
3.3 RICHARDSON-Extrapolation 44
3.4 Aufgaben zur RICHARDSON-Extrapolation 45
§4 Numerische Integration 49
4.1 NEWTON-CoTEs-Formeln 49
4.2 Aufgaben zu NEWTON-COTES-Formeln 50
x Inhaltsverzeichnis
4.3 Methode der unbestimmten Koeffizienten 56
4.4 Aufgaben zur Methode der unbestimmten Koeffizienten 57
§ 5 BANAcHScher Fixpunktsatz, sukzessive Substitution und
Konvergenzordnung 63
5.1 BANAcHscher Fixpunktsatz 63
5.2 Aufgaben zum BANAcHschen Fixpunktsatz und zur suk
zessiven Substitution 64
5.3 Konvergenzordnung von lterationsverfahren 72
5.4 Aufgaben zur Konvergenzordnung von Interationsver-
fahren 73
§ 6 NichtIineare Gleichungen 79
6.1 Uisungsverfahren fUr nichtlineare Gleichungen 79
6.2 Aufgaben zur Losung von nichtlinearen Gleichungen 80
6.3 Polynomwurzelbestimmung 87
6.4 Aufgaben zur Polynomwurzelbestimmung 87
§ 7 Matrixanalysis und Normen 93
7.1 Hilfsrnittel aus der Matrixanalysis 93
7.2 Aufgaben zur Matrixanalysis 93
7.3 Vektor-und Matrixnormen 97
7.4 Aufgaben zu Vektor-und Matrixnormen 99
§ 8 Lineare Gleichungssysteme 115
8.1 Uisungsmethoden fUr lineare Gleichungssysteme 115
8.2 Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen 117
LITERATURVERZEICHNIS 127
STICHWORTVERZEICHNIS 131
