Übungsbuch zur Numerischen Mathematik: Aufgaben, Lösungen und Anwendungen

233 Pages·2004·6.05 MB·German

by  Priv.-Doz. Dr. Robert Plato (auth.)

Robert Plato
Übungsbuch zur
Numerischen Mathematik
Aus dem Programm ___________
Numerische Mathematik
Robert Plato
Numerische Mathematik kompakt
Grundlagenwissen für Studium und Praxis
Dieses Lehrbuch behandelt in kompakter und übersichtlicher
Form die grundlegenden Themen der Numerischen Mathema
tik. Es vermittelt ein solides Basiswissen der wichtigen Algo
rithmen und dazugehörigen Fehler-und Aufwandsbetrach
tungen, das zur Lösung von zahlreichen in der Praxis auftre
tenden mathematischen Problemstellungen benötigt wird.
Die vorangestellten Resultate werden mit elementaren Metho
den hergeleitet. Für die meisten der vorgestellten Verfahren
werden Pseudo-Codes angegeben, die sich unmittelbar in
Computerprogramme umsetzen lassen.
Robert Plato
Übungsbuch zur Numerischen Mathematik
Aufgaben, Lösungen und Anwendungen
Die umfangreiche Aufgabensammlung und die Lösungsvor
schläge ermöglichen den selbständigen Umgang mit Numeri
scher Mathematik sowie eine effiziente Vorbereitung auf an
stehende Klausuren.
Die verwendeten Bezeichnungen sind weitgehend standar
disiert, so dass das Übungsbuch auch unabhängig von dem
Lehrbuch Numerische Mathematik kompakt einsetzbar ist.
vieweg _________________
Robert Plato
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Ubungsbuch zur
Numerischen
Mathematik
Aufgaben, Lösungen und Anwendungen
I I
v1eweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Priv.-Doz. Dr. Robert Plato
Technische Universität Berlin
Institut für Mathematik
Straße des 17. Juni 135
10623 Berlin
E-Mail: [email protected]
1. Auflage Oktober 2004
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2004
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Petra Rußkamp
Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media.
www.vieweg.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt.
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Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-528-03209-8 ISBN 978-3-322-93905-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-93905-0
V
Vorwort
In dem vorliegenden Buch werden Übungsaufgaben zur Numerischen Mathematik und die
dazugehörigen Lösungswege vorgestellt. Dabei werden die folgenden grundlegenden The
men behandelt:
• Interpolation, schnelle Fouriertransformation und Integration,
• direkte und iterative Lösung linearer Gleichungssysteme,
• iterative Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme,
• numerische Lösung von Anfangs- und Randwertproblemen
bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen,
• und Eigenwertaufgaben bei Matrizen sowie Approximationstheorie.
Die in Vorlesungen oder durch ein Selbststudium erlernten Kenntnisse zu diesen Themen
lassen sich durch die hier vorgestellten Übungsaufgaben vertiefen, und die dazugehörigen
Lösungswege sollen eine Lernkontrolle ermöglichen.
In dem ersten Teil des Buches sind die Übungsaufgaben formuliert, darunter auch einige
Programmieraufgaben. Außerdem werden in diesem ersten Teil noch Anwendungen der dis
kreten Fouriertransformation in der Audio- und Bildkompression vorgestellt.
Im zweiten Teil des Buches finden Sie dann vollständige Lösungen zu den im ersten Teil
vorgestellten Übungsaufg aben. Die Ergebnisse zu den Programmieraufgaben sind allerdings
aus Platzgründen zumeist nur teilweise wiedergegeben. Es ist noch zu beachten, dass die
se numerischen Ergebnisse je nach verwendeter Hard- und Software geringfügig variieren
können. Auf die Angabe der zugehörigen Codes (die meisten davon sind von mir in C oder
MATLAB erstellt worden) wird ebenfalls aus Platzgründen verzichtet. Diese finden Sie teil
weise auf der zu dem vorliegenden Übungsbuch gehörenden Webpage
http://www.math.tu-berlin.de/numerik/plato/viewegbuch.
Dort wird auch eine Liste der eventuell anfallenden Korrekturen zu diesem Übungsbuch er
stellt.
vi
Die vorgestellten "theoretischen Übungsaufgaben" (damit sind alle Aufgaben bis auf die Pro
grammieraufgaben gemeint) sind in erster Linie für Studierende der Mathematik-, Physik
und Informatik -Studiengänge an Universitäten gedacht. Bei einigen der Aufgaben handelt
es sich um reine Rechenaufgaben, die auch für andere Studiengänge geeignet sind. Die ver
wendeten Notationen und Lösungshinweise orientieren sich an dem Buch [23]. Allerdings
handelt es sich weitgehend um standardisierte Bezeichnungen, so dass die Übungsaufga
ben und deren Lösungen auch gut in Begleitung zu anderen einführenden Monografien über
Numerik einsetzbar sein sollten.
Die meisten der hier vorgestellten Übungsaufgaben sind von mir als betreuender Assistent
in Numerikvorlesungen an der TU Berlin verwendet worden. Einige dieser Aufgaben habe
ich dabei aus früheren Lehrveranstaltungen übernommen und stammen nicht von mir. Ein
paar der in diesem Buch verwendeten Übungsaufgaben sind dann noch an der Christian
Albrechts-Universität zu Kiel entstanden, wo ich in den Jahren 2000 bis 2002 Numerikvor
lesungen gehalten habe.
Ich möchte abschließend Dipl. Math. Olivier Pfeiffer danken, der das Manuskript gelesen
und viele wertvolle Verbesserungsvorschläge gemacht hat. Dem DFG-Forschungszentrum
"Mathematik für Schlüsseltechnologien" (FZT 86) in Berlin danke ich für Unterstützung und
Frau Schmickler-Hirzebruch sowie Frau Rußkamp vom Vieweg Verlag für die angenehme
Zusammenarbeit.
Berlin, im August 2004 Robert Plato
vii
Inhaltsverzeichnis
Vorwort V
Inhaltsverzeichnis xviii
I Aufgaben 1
1 Polynominterpolation I Aufgaben 1
2 Splinefunktionen I Aufgaben 6
3 Diskrete Fouriertransformation 9
3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . 9
3.2 Diskrete Cosinustransformation 13
3.3 Audiokompression ...... . 14
3.3.1 Audiosignale, Abtastung 14
3.3.2 Speicherplatzbetrachtungen 15
3.3.3 Audioaufzeichnung in komprimierter Form 16
3.3.4 Die Dekodierung 18
3.3.5 MP3-Dateien 19
3.4 Zweidimensionale diskrete Fouriertransformation 19
3.5 Zweidimensionale diskrete Cosinustransformation . 22
3.6 Kompression digitaler Bilder . . . . . . . . 24
3 .6.1 Speicherplatzbetrachtungen . . . . 24
3.6.2 Das Komprimierungsformat JPEG . 24
3.6.3 Ein Beispiel ........ . 25
3.7 Kompression digitaler Videodateien 25
4 Lineare Gleichungssysteme I Aufgaben 27
5 Nichtlineare Gleichungssysteme I Aufgaben 35
6 Numerische Integration I Aufgaben 38
7 Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme I Aufgaben 40
8 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme I Aufgaben 44
9 Randwertprobleme I Aufgaben 52
viii
10 Gesamtschritt-, Einzelschritt-und Relaxationsverfahren I Aufgaben 58
11 CG- und GMRES-Verfahren I Aufgaben 64
12 Eigenwertprobleme I Aufgaben 66
13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme I Aufgaben 69
14 Peano-Restglieddarstellung I Aufgaben 72
15 Approximationstheorie I Aufgaben 74
II Lösungen 76
1 Polynominterpolation I Lösungen 76
2 Splinefunktionen I Lösungen 86
3 Diskrete Fouriertransformation I Lösungen 92
4 Lineare Gleichungssysteme I Lösungen 101
5 Nichtlineare Gleichungssysteme I Lösungen 122
6 Numerische Integration I Lösungen 129
7 Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme I Lösungen 135
8 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme I Lösungen 141
9 Randwertprobleme I Lösungen 163
10 Gesamtschritt-, Einzelschritt-und Relaxationsverfahren I Lösungen 177
11 CG- und GMRES-Verfahren I Lösungen 191
12 Eigenwertprobleme I Lösungen 194
13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme I Lösungen 203
14 Peano-Restglieddarstellung I Lösungen 210
15 Approximationstheorie I Lösungen 213
Literaturverzeichnis 217
Index 219
1
Teil I Aufgaben
1 Polynominterpolation I Aufgaben
Aufgabe 1.1 Für drei gegebene Funktionen f, g, h : JR.N :> V --+ lR. und einen Häufungs
punkt x* E JR.N von V zeige man Folgendes:
(a) f(x) = o(g(x)) für V 3 x--+ x* ===} j(x) = O(g(x)) für V 3 x--+ x*.
(b) f(x) = O(g(x)) und g(x) = O(h(x)) für V 3 x--+ x*
===} f(x) = O(h(x)) für V 3 x--+ x*.
(c) O(f(x))o(g(x)) = o((jg)(x)) für V 3 x--+ x*.
(d) O(o(f(x))) = o(O(f(x))) = o(f(x)) für V 3 x--+ x*.
Aufgabe 1.2 Man zeige Folgendes: Für gegebene paarweise verschiedene Stützstellen x0,
x1, ... , Xn E lR. ist die Abbildung JR.n+l --+ IIn, (f0, fl, ... , fn)T r--+ P linear, wobei P das
jeweilige Interpolationspolynom bezeichnet.
Aufgabe 1.3 ( Hermite-Interpolation) Man zeige: Zu paarweise verschiedenen reellen Zah
len x0, x1, ... , Xr sowie nichtnegativen ganzen Zahlen m0, m1, ... , mr E No mit L:j=o mi
= n + 1 und vorgegebenen Zahlen !Yl E lR. für v = 0, 1, ... , mi- 1 und j = 0, 1, ... , r
existiert genau ein Polynom P E IIn mit der Eigenschaft
für v = 0, 1, ... ,mj -1,
j = 0, 1, ... , r.
Aufgabe 1.4 Zu paarweise verschiedenen reellen Zahlen x0, x1, ... , Xn weise man für die
induzierten Lagrangeschen Basispolynome Folgendes nach:
n =
L
(a) Lk(x) 1;
k=O
(b) für s = 0,
für 1 ::; s ::; n,
für s=n+l.
Aufgabe 1.5 Gegeben seien n + 1 paarweise verschiedene Stützstellen x0, x1, ... , Xn· Die
Stützkoeffizienten bezüglich der ersten m + 1 Stützstellen x0, x1, ... , Xm (mit 0 ::; m ::; n)