Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Dietlinde Lau
Übungsbuch
zur Linearen Algebra
und analytischen
Geometrie
Aufgaben mit Lösungen
Zweite, überarbeitete und ergänzte Auflage
123
Prof.Dr.DietlindeLau
Institut für Mathematik
Universität Rostock
Ulmenstraße 69, Haus 3
18057 Rostock
Deutschland
[email protected]
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-19277-7 e-ISBN978-3-642-19278-4
DOI10.1007/978-3-642-19278-4
SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;
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MathematicsSubjectClassification(2010):15-01,65Fxx
(cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2007,2011
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Vorwort zur zweiten Auflage
Im Unterschied zur ersten Auflage enth¨alt die vorliegende zweite Auflage 16
statt 15 Kapitel mit L¨osungen der U¨bungsaufgaben aus
D. Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1.
Dritte, korrigierte und erg¨anzte Auflage, Springer 2011
(nachfolgend kurz Buch genannt).
Die dritte Auflagedes BuchesunterscheidetsichvonderzweitenAuflage,auf
diesichdieersteAuflagedesU¨bungsbuchsbezog,durcheinErg¨anzungskapitel
u¨ber die Grundlagen der Kombinatorik, zu denen im Buch auch U¨bungsauf-
gaben zu finden sind.
Die L¨osungen der neuen Aufgaben zeigen anhand von Beispielen, wie man
gewisse Abz¨ahlbarkeitsprobleme der Linearen Algebra mit kombinatorischen
Methodenl¨osenkannundwieS¨atzederLineareAlgebrainderKombinatorik
nutzbar sind.
Dank der Hinweise aufmerksamer und kritischer Leser, die ich mir natu¨rlich
auch fu¨r die zweite Auflage wu¨nsche, konnten einige Fehler aus der ersten
Auflage korrigiertwerden.
MeinbesondererDank giltmeinenKollegenDr.Walter Harnauund Dr.Kar-
sten Sch¨olzel sowie den Diplommathematikern Matthias B¨ohm und Konrad
Sperfeld, die dafu¨r gesorgt haben, daß mein erster Entwurf fu¨r das Kapi-
telmit denKombinatorik-Aufgabenu¨berarbeitetundSchreibfehlerkorrigiert
wurden.
Rostock, im Januar 2011 Dietlinde Lau
Vorwort zur ersten Auflage
Das vorliegende U¨bungsbuch ist eine Erg¨anzung zu
D. Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. 2. Auflage, Springer 2007
(nachfolgend kurz Buch genannt)1
in dem im Teil IV (Kapitel 16–18) U¨bungsaufgaben zu den Teilen I–III ohne
L¨osungen angegeben sind.
Dem Wunsch einer Reihe von Lesern der ersten Auflage folgend, sind im
U¨bungsbuch nun die L¨osungen (oft mit ausfu¨hrlichen L¨osungswegen) der
U¨bungsaufgabenausdemBuchzufinden.DiesesU¨bungsbuchmachtnatu¨rlich
nur Sinn, wenn die Leser zun¨achst selbst¨andig versuchen,die entsprechenden
AufgabenbeiderVorlesungsnachbereitungundbeiderPru¨fungsvorbereitung
zu l¨osen.
Da im Buch in den Kapiteln 1–15 auch einige weggelassene Beweise als
U¨bungsaufgabenaufgegebenwurden,enth¨altdasU¨bungsbuchzueinigendie-
ser Aufgaben ebenfalls L¨osungen.
Die Aufteilung des U¨bungsbuches in einzelne Kapitel folgt der Aufteilung
des Buches. Innerhalb eines Kapitels sind die Aufgaben nach ihrem mathe-
matischen Inhalt sortiert. Kurze Informationen u¨ber die in den Aufgaben zu
u¨bendenmathematischenFaktenfindetmandirekthinterdenAufgabennum-
mern.
S¨amtliche AngabenzuKapiteln, Abschnitten, S¨atzenundLemmata beziehen
sich auf das Buch.
BeieinigenRechenaufgaben,zudenenesbereitseinigeBeispieleimBuchgibt,
sind nur die Endergebnisse (eventuell mit Zwischenergebnissen) angegeben.
Nebenrechnungen (wie z.B. das L¨osen von Gleichungssystemen oder die Be-
rechnung von Determinanten), die bereits in vorangegangenen Aufgaben be-
handelt wurden, werden nicht mehr ausfu¨hrlich angegeben.
1 Mankannnatu¨rlichauchdieersteAuflagedesBuchesbenutzen,wennmanbeach-
tet,daßsichdurchErg¨anzungsaufgabendieNummerneinigerAufgabenge¨andert
haben.
VIII Vorwort zur ersten Auflage
Falls nach der L¨osung einer Aufgabe nicht sofort ein Aufgabentext kommt,
ist das Ende der L¨osung durch2 gekennzeichnet.
ImLiteraturverzeichnisdiesesU¨bungsbuchessindnursolcheWerkezufinden,
die ebenfalls U¨bungsaufgaben mit L¨osungen enthalten, Quellen einiger Auf-
gaben sind und auf die verwiesen wird. Eine vollst¨andige Liste der fu¨r dieses
U¨bungsbuchbenutztenLiteraturundweitereLiteraturverweisefindetmanim
Buch.
Fu¨r die technische Hilfe bei der Herstellung der Latex-Fassung dieses Buches
m¨ochteichmichbeimeinenKolleginnenFrauSusannDittmerundFrauHeike
Schubertbedanken.Fu¨rdasKorrekturlesenunddieA¨nderungsvorschl¨agegilt
mein Dank denMathematik-Studenten Antje SamlandundKarstenSch¨olzel.
Sehr hilfreich waren auch die Hinweise meiner Kollegen Prof. Dr. F. Pfender
und Dr. M. Gru¨ttmu¨ller, die mir noch kurz vor dem Fertigstellungstermin
dieses Buches beim Korrekturlesen geholfen haben.
Bei den Mitarbeitern des Springer-Verlages m¨ochte ich mich fu¨r die sehr an-
genehme Zusammenarbeit bedanken.
Rostock, im Juni 2007 Dietlinde Lau
Inhaltsverzeichnis
1 Aufgaben zu: Mathematische Grundbegriffe ............... 1
2 Aufgaben zu: Klassische algebraische Strukturen .......... 63
3 Aufgaben zu: Lineare Gleichungssysteme, Determinanten
und Matrizen.............................................. 99
4 Aufgaben zu: Vektorr¨aume u¨ber einem K¨orper K .........115
5 Aufgaben zu: Affine R¨aume................................125
6 Aufgaben zu: Vektorr¨aume mit Skalarprodukt .............135
7 Aufgaben zu: Euklidische und unit¨are affine Punktr¨aume ..153
8 Aufgaben zu: Eigenwerte, Eigenvektoren und
Normalformen von Matrizen...............................159
9 Aufgaben zu: Hyper߬achen 2.Ordnung ....................175
10 Aufgaben zu: Lineare Abbildungen ........................191
11 Aufgaben zu: Affine Abbildungen..........................201
12 Aufgaben zu: Einfu¨hrung in die Numerische Algebra ......207
13 Aufgaben zu: Gleichungsau߬osung .........................211
14 Aufgaben zu: Lineare Gleichungssysteme mit genau einer
L¨osung ....................................................219
15 Aufgaben zu: Interpolation ................................229
16 Aufgaben zu: Grundlagen der Kombinatorik...............233
Literaturverzeichnis ...........................................245
1
Aufgaben zu:
Mathematische Grundbegriffe
Wir beginnen mit einigen Aufgaben, um den Gebrauch der im Abschnitt 1.1
vereinbarten Abku¨rzungen (aus der mathematischen Logik) beim Aufschrei-
ben mathematischer Sachverhalte zu u¨ben.1
Vor dem Bearbeiten der nachfolgenden Aufgaben 1.1–1.22 lese man die Ab-
schnitte 1.1 und 1.2.
Die Aufgaben 1.23–1.53setzen Kenntnisse der Abschnitte 1.1–1.4 voraus.
Die Aufgaben 1.54–1.63 geh¨oren zum Abschnitt 1.5, fu¨r den Kenntnisse aus
denAbschnitten1.2,1.4und1.5erforderlichsind.Fu¨rdieAufgaben1.64–1.79
zum Abschnitt 1.6 und die Aufgaben 1.80–1.82 zum Abschnitt 1.7 ben¨otigt
man nur wenige Kenntnisse aus den Abschnitten 1.1–1.4.
Verwenden von logischen Symbolen
Aufgabe 1.1 ( und )
∃ ∀
Sei M eine Menge. Geben Sie umgangssprachliche Formulierungen an, die
inhaltlich mit
(a) x M :E ( Es existiert ein x M mit der Eigenschaft E.“);
∃ ∈ ” ∈
(b) x M : A ( Fu¨r alle x M gilt die Aussage A.“)
∀ ∈ ” ∈
u¨bereinstimmen.
L¨osung. (a): Z.B. ist x M : E“ inhaltlich gleichwertig mit
”∃ ∈
– Es gibt ein x M mit der Eigenschaft E.
∈
– Es existiert ein x M, das die Bedingung E erfu¨llt.
∈
– Mindestens ein x M hat die Eigenschaft E.
∈
– Ein x M erfu¨llt E.
∈
(b): Z.B. ist x M : A“ inhaltlich gleichwertig mit
”∀ ∈
1 Ausfu¨hrlicheHinweisezumFormulierenmathematischerGedankenfindetmanin
[Beu 2006].
D. Lau, Übungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch,
DOI 10.1007/978-3-642-19278-4_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
