Table Of ContentJürgen Tietze
Übungsbuch zur
Finanzmathematik
Aus dem Programm _________
~
Mathematik
Analysis 1 und 2
von o. Forster
Einführung in die Analysis
von Th. Sonar
Lineare Algebra
von A. Beutelspacher
Lineare Algebra
von G. Fischer
Numerische Mathematik für Anfänger
von G. Opfer
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1 und 2
von F. Pfuff
Einführung In die angewandte Wirtschaftsmathematik
von J. Tietze
Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik
von J. Tietze
Einführung In die Finanzmathematik
von J. Tietze
Übungsbuch zur Rnanzmathematik
von J. Tietze
Ingenieurmathematik kompakt
von W. Richter
Mathematik zum Studienbeginn
von A. Kemnitz
vieweg _______________- -"
Jürgen Tietze
••
Ubungsbuch zur
Finanzmathematik
Aufgaben, Testklausuren und Lösungen
~
vleweg
Prof. Dr. Jürgen Tietze
Fachbereich Wirtschaft der
Fachhochschule Aachen
Eupener Str. 70
52066 Aachen
[email protected]
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
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Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-03145-9 ISBN 978-3-322-93900-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-93900-5
v
Vorwort
Das vorliegende fmanzmathematische Übungsbuch dient zweierlei Zielsetzung: Zum
einen soll es (als eigenständiges Obungsbuch) zur Festigung und Vertiefung des fi
nanzmathematischen Basiswissens und -könnens beitragen, zum anderen aber auch
(in Ergänzung meines Lehrbuches 1 zur Finanzmathematik) die Examensvorbereitun
gen für Hörerinnen und Hörer der Grundvorlesungen in Wirtschafts-und Finanzma
thematik sowie Investitionen unterstützen.
Zur Erreichung insbesondere des letztgenannten Ziels enthält die Übungssammlung
neben thematisch angeordnetem Übungsmaterial zusätzlich zahlreiche Testklausuren.
Sie sind aus (an der FH Aachen, Fachbereich Wirtschaft geschriebenen) Original
klausuren (Dauer: jeweils 2 Zeitstunden) entstanden und sollen dem Studierenden
neben Informationen über Umfang und Schwierigkeitsgrad die Möglichkeit bieten, im
Selbsttest innerhalb begrenzter Zeit seine Kenntnisse und Fertigkeiten in Finanzmathe
matik zu überprüfen (etwa durch Simulation der Klausursituation zu Hause oder in
einer Lerngruppe).
Viele Aufgaben (im thematischen Teil der Obungssammlung) stammen aus dem Lehr
buch Einführung in die Finanzmathematik. Der Lösungsteil des Übungsbuches dient
daher gleichzeitig als Lösungsbuch für die Aufgaben des genannten Lehrbuches.
Finanzmathematik ist - abgesehen von einigen Randproblemen sowie der notwendi
gen Beherrschung elementarrnathematischen Kalküls - letzten Endes die Lehre eines
einzigen wesentlichen Grundprinzips, dessen Kenntnis und Anwendung hinreichend
für eine erfolgreiche Bewältigung der Finanzmathematik ist. Dennoch gibt es unter
nicht wenigen Studierenden zumindest anf'änglich offenbar Schwierigkeiten, dieses
einzige Grundprinzip der Finanzmathematik (nämlich das aufd em allgemeinen Ver
zinsungsvorgang beruhende Aquivalenzprinzip) in solchen Fällen anzuwenden, bei
denen die gedankenlose Anwendung formelhafter Rezepturen durch eine verbale, auf
reale Vorgänge sich beziehende" verschleiernde" Problemformulierung zunächst un
möglich erscheint.
Lehrbuch: Einführung in die Finanzmathematik, Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden,
3. Auflage 2000
VI Vorwort
Erfahrungsgemäß liegen die Hauptproblerne vieler Studierender nicht so sehr in der Be
herrschung des formal-mathematischen Kalküls, sondern vielmehr in der korrekten
Modellkonstruktion und sicheren Anwendung des finanzmathematischen Grundprin
zips auf unterschiedliche oder auch nur unterschiedlich dargestellte Realprobleme. Da
her bietet diese Übungssammlung vielfach gleichartige Problemstellungen lediglich
unterschiedlich aufbereitet oder numerisch verändert - eben um auch für Bearbeiter,
die noch nicht den finanzmathematischen "Durchblick" besitzen, genügend Übungs
material bereitzustellen nach dem Erfahrungssatz, demzufolge eine Erkenntnis auch
dadurch gewonnen werden kann, dass ein und diesseibe Sache mehrfach und mög
lichst von verschiedenen Seiten aus betrachtet wird.
Aus demselben Grund wurden die Problemstellungen innerhalb der einzelnen Kapitel
nicht immer streng nach sachlichen Gesichtspunkten geordnet. Eine derartige Aufga
benanordnung könnte schon allein aufg rund der logischen Ablauffolge Lösungsansät
ze liefern, die nicht mit dem gestellten Problem zusammenhängen und die dem Bear
beiter möglicherweise nicht vorhandene Eigenerkenntnisse vortäuschen.
Zum Gebrauch des Übungsbuches:
Die Aufgaben sind kapitelweise durchnummeriert. Zusätzlich zu jeder Aufgabennum
mer ist in kursiver Schrift die entsprechende Aufgabennummer aus dem Lehrbuch an
gegeben. So handelt es sich etwa bei "Aufgabe 5.40 (5.2. 92)"um die laufende Aufgabe
40 aus Kapitel 5 dieses Übungsbuches und zugleich um die entsprechende Aufgabe
5.2.92 des Finanzmathematik-Lehrbuches. Da die Reihenfolgen der Aufgaben von
Übungs-und Lehrbuch übereinstimmen, dürfte das Auffmden der entsprechendenAuf
gaben/Lösungen des Lehrbuches wenig problematisch sein.
*
Ein an einer Aufgabe weist auf einen etwas erhöhten Schwierigkeitsgrad hin.
Ein © an einer numerischen Lösung bedeutet, dass ein in der Aufgabe geforderter
Vorteilhaftigkeitsvergleich zugunsten der "lachenden" Alternative ausfällt.
Zahlen in eckigen Klammem, z. B. [40], beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am
Schluss des Buches.
Als "Lösungen" sind in buntem Wechsel ausführliche Herleitungen, knapp gefasste
Lösungshinweise oder auch nur die numerischen Endresultate aufgeführt.
Nahezu sämtliche Effektivzinsermittlungen (insbesondere in Kap. 5 und 6 sowie in
den Testklausuren) erfordern numerische Iterationsverfahren (etwa die Regula jalsi)
zur Lösung der entsprechenden, teils recht komplexen Äquivalenzgleichungen. Ich
habe die angegebenen Lösungen stets auf mehr als sechs Nachkommastellen genau
ermittelt und anschließend aufv ier bis zwei Nachkommastellen gerundet.
Numerische Resultate wurden mit einem herkömmlichen elektronischen Taschenrech
ner (Genauigkeit: 9-10 NachkommastelIen) ermittelt. Dabei wurden in aller RegelZwi
schenergebnisse mit voller Stellenzahl gespeichert und ungerundet weiterverarbeitet.
Vorwort VII
Lediglich das Endresultat wurde auf i.a. zwei bis vier Nachkornrnastellen gerundet.
Diese Vorgehensweise (sowie die Verwendung ungerundeter Effektivzinssätze) kann
dazu fuhren, dass innerhalb von Tilgungsplänen oder Vergleichskontostaffelrechnun
gen gelegentlich geringfügige Abweichungen (in der letzten Dezimale) durch Runde
fehlerausgleich auftreten. Dies ist der Preis für exakt "aufgehende"Vergleichskonten.
Je nach Baujahr und Genauigkeit der vom Leser verwendeten Rechengeräte sowie
abhängig von der Anzahl bzw. Komplexität der Rechenschritte oder von der Rundung
von Zwischenresultaten können beim Bearbeiten leichte Abweichungen von den hier
angeführten numerischen Endergebnissen auftreten.
Sollten Sie gröbere Ungenauigkeiten, Ungereimtheiten oder schlicht den einen oder
anderen Fehler entdecken, so würde ich mich sehr über Ihre diesbezügliche Rückmel
dung freuen, z.B. via E-mail: [email protected] - ich werde jeder/jedem von
Ihnen antworten und in allen Fällen auch um eine schnelle Antwort bemüht sein.
Zum Schluss gebührt mein Dank dem Vieweg-Verlag und hier besonders Frau Ulrike
Schmickler-Hirzebruch für ihre stets hilfreiche Unterstützung in den nun schon vielen
Jahren erfolgreicher Zusammenarbeit.
Aachen, im Juni 2000 Jürgen Tietze
IX
Inhalt
Vorwort ............ . V
Abkürzungen, Variablennamen . XI
I 11
Aufgaben Lösungen
1 155
Voraussetzungen und Hilfsmittel ......... 3 157
1.1 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 3 157
1.2 Lineare Verzinsung und Äquivalenzprinzip . 11 159
1.3 Diskontrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 18 166
2 Exponentielle Verzinsung (Zinseszinsrechnung) . 23 169
2.1 Reine Zinseszinsrechnung und Äquivalenzprinzip 23 169
2.2 Gemischte, unterjährige, stetige Verzinsung 27 174
2.3 Abschreibungen .................. 33 179
3 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 183
3.1 Standardprobleme (Rentenperiode = Zinsperiode ) . 39 183
3.2 Auseinanderfallen von Renten-und Zinsperiode . 52 194
3.3 PreissteigerunglInflation. . . . . . . . . . 60 202
4 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 203
4.1 Standardprobleme der Tilgungsrechnung . . . . 63 203
4.2 Tilgungsrechnung bei unterjährigen Zahlungen 71 214
5 Die Ermittlung des Effektivzinssatzes
in der Finanzmathematik ...... 75 231
5.1 Grundlagen, Standardprobleme . 75 231
5.2 Investitionsrechnung . . . . . . . 83 243
5.3 Effektivzinsermittlung bei unterjährigen Leistungen. 93 250
6 Kurs-und Renditeberechnung
von festverzinslichen Wertpapieren 103 281
7 Testklausuren 1-18 ......... 107 287
Forme1anhang .. 311
Literaturhinweise 317
XI
Abkürzungen, Variablennamen
A entspricht ggf. gegebenenfalls
%,0/00 Prozent, Promille GL Gegenleistung
I +i Zuwachsfaktor GmbH Gesellschaft mit beschränkter
I-i Abnahmefaktor Haftung
96/7/1 Kreditkonditionen (Bsp.)
H.J. Halbjahr
A (äquivalente) Annuität
a.H. auf Hundert Prozentsatz, Zinssatz
Abb. Abbildung i* nomineller Zinssatz eines fest-
AG Aktiengesellschaft, Amtsgericht verzinslichen Wertpapiers
AIBD Association of International i.a. irn allgemeinen
Bond Dealers i.H. irn Hundert
at Investitionsauszahlung äquivalenter Zinssatz
~äqu
in Periode t Id Tageszinssatz
At Annuität am Ende der Periode t Ielf Effektivzinssatz
iH Halbjahreszinssatz
Bsp. Beispiel ikon konformer Zinssatz
bzw. beziehungsweise 1M Monatszinssatz
incl. inklusive (einschließlich)
Co (Emissions-) Kurs eines fest- inom nomineller Zinssatz
verzinslichen Wertpapiers insg. insgesamt
Co Kapitalwert einer Investition ~p Periodenzinssatz
Co(i) Kapitalwertfunktion Quartalszinssatz
~Q
ca. circa, ungefähr Ire! relativer Zinssatz
Cn Rücknahmekurs eines festverzins- is stetiger Zinssatz
lichen Wertpapiers ISMA International Securities Market
Ct aktueller fmanzmathematischer Association
Kurs (Preis) eines Wertpapiers IT Tilgungssatz
Ct* aktueller Börsenkurs eines fest- iv vorschüssiger Zinssatz
verzinslichen Wertpapiers
J. Jahr
d.h. das heißt
DM Deutsche Mark K Grundwert, Bezugsgröße
Ko (Anfangs-)Kapital, Barwert,
e Eulersche Zahl KreditsUTIlllie
€ Euro Kö Barwert einer ewigen Rente
eff. effektiv Kap. Kapitel
EG Europäische Gemeinschaft (EU) KG Kommanditgesellschaft
et Investitionseinzahlung zum Ende Km Kontostand, Restschuld
der Periode t Kn Endkapital, Endwert
etc. et cetera (und so weiter) kon. konform
EV, Endvermögen bei Investition Kt Zeitwert einer Zahlung (sreihe)
EVu Endvermögen bei Unterlassung Restschuld am Ende der Periode t
evtl. eventuell Kt-l Restschuld zu Beginn d. Per. t
XII Abkürzungen, Variablennamen
1 Liter R* äquivalente Ersatzrate,
L Leistung Kontoendstand
Ifd. Nr. laufende Nummer ~ Barwert einer (nachschüssigen)
log, In Logarithmus Rente
Rö Barwert einer ewigen Rente
M. Monat rel. relativ
m.a.W. mit anderen Worten Rn Gesamtwert einer Rente am Tag
min Minute derletzten (n-ten) Rate, Endwert
Mio. Millionen (106) einer (nachsschüssigen) Rente
Mon. Monat Rt Einzahlungsüberschuss (= et - at)
Mrd. Milliarden (109) zum Ende der Periode t
MWSt. Mehrwertsteuer
s Skontosatz
n Laufzeit, Terminzahl Sem. Semester, Halbjahr
nom. nominell s.o. siehe oben
o.a. oben angeführt, s.u. siehe unten
oben angegeben sog. sogenannte
o.ä. oder ähnlich(es)
oHG offene Handelsgesellschaft t Laufzeit in Tagen, laufende Num-
mer einer (Tilgungs-) Periode
p Prozentfuß, Zinsfuß T Laufzeit einer Investition,
p.a. pro anno (pro Jahr) Tilgungsrate bei Ratentilgung
p.d. pro Tag Tab. Tabelle
p.H. pro Halbjahr TDM tausend DM
p.M. pro Monat T€ tausend€
p.Q. pro Quartal Tt Tilgung am Ende der Periode t
p* nomineller Zinsfuß eines fest TV Tilgungsverrechnung
verzinslichen Wertpapiers
P AngVP reisangabenverordnung u.a. unter anderem, und andere
Per. Periode usw. und so weiter
q Aufzinsungsfaktor (=1 +i) v.H. vom Hundert
q-n Abzinsungsfaktor vgl. vergleiche
qn Aufzinsungsfaktor vs. versus, gegen
Qu. Quartal
Z Prozentwert
r interner Zinssatz einer Investition z.B. zum Beispiel
r konforme Ersatzrate, unteIjährige ZE Zeiteinheit
Rate, Monatsrate Zn Zinsen
R Rate(nhöhe) Zt Zinsen am Ende der Periode t
IR Menge der reellen Zahlen ZV Zinsverrechnung
