Übungsbuch zur Finanzmathematik: Aufgaben, Testklausuren und Lösungen

366 Pages·2002·13.021 MB·German

by  Prof. Dr. Jürgen Tietze (auth.)

Jiirgen Tietze
Ubungsbuch zur
Flnanzmathematlk
Aus dem Programm--------__.
Mathematik
Analysis 1 und 2
von O. Forster
Elnfiihrung In die Analysis
von Th. Sonar
L1neare Algebra
von A. Beutelspacher
L1neare Algebra
von G. Fischer
Numerische Mathematik fiir Anfinger
von G. Opfer
Mathematik fiir Wirtschaftswlssenschaftler 1 und 2
von F. Pfuff
Elnfiihrung in die angewandte Wirtschaftsmathematlk
von J. Tietze
Obungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik
von J. Tietze
Einfiihrung in die Finanzmathematik
von J. Tietze
Obungsbuch zur Finanzmathematik
von J. Tietze
Ingenleurmathematik kompakt
von W. Richter
Mathematik zum Studlenbeginn
von A. Kemnitz
vieweg ________________ ___"
Jiirgen Tietze
••
Ubungsbuch zur
Finanzmathematik
Aufgaben, Testklausuren und Losungen
2., erweiterte Auflage
I I
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz fUr diese Publikation ist bei
der Deutschen Bibliothek erhiiltlich.
Prof. Dr. Jiirgen Tietze
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften der
Fachhochschule Aachen
Eupener Str. 70
52066 Aachen
E-Mail: [email protected]
1. Auflage 2000
2., erweiterte Auflage August 2002
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 2002
Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer.
www.vieweg.de
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zungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbei
tung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
ISBN 978-3-528-13145-6 ISBN 978-3-322-93920-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-93920-3
v
Vorwort zur 2. Auflage
Das vorliegende fmanzmathematische Obungsbuch dient zweierlei Zielsetzung: Zum
einen solI es (als eigenstandiges Obungsbuch) zur Festigung und Vertiefung des fi
nanzmathematischen Basiswissens und -konnens beitragen, zum anderen aber auch
(in Erganzung meines Lehrbuches 1 zur Finanzmathematik) die Examensvorbereitun
gen fur Horerinnen und Horer der Grundvorlesungen in Wirtschafts-und Finanzma
thematik sowie Investitionen unterstiitzen.
Zur Erreichung insbesondere des letztgenannten Ziels enthalt die Ubungssammlung
neben thematisch angeordnetem Obungsmaterial zusatzlich zahlreiche Testklausuren.
Sie sind aus Originalklausuren (Dauer: jeweils 2 Zeitstunden) entstanden und soIlen
dem Studierenden neben Informationen uber Umfangund Schwierigkeitsgraddie Mog
lichkeit bieten, im Selbsttest innerhalb begrenzter Zeit seine Kenntnisse und Fertigkei
ten in den klassischen Gebieten der Finanzmathematik zu uberprufen (etwa durch
Simulation der Klausursituationzu Hause oder in einer Lerngruppe).
Viele Aufgaben (im thematischen Teil der Obungssammlung) stammen aus dem Lehr
buch "Einfiihrung in die Finanzmathematik" 1. Der Losungsteil dieses Ubungsbuches
dient daher gleichzeitig als Losungsbuch fur die im Lehrbuch enthaltenen Obungsauf
gaben (und ist auch als Losungsbuchforf rilhere Aujlagen des Lehrbuches geeignet).
Die hiermit vorliegende 2. Auflage des Obungsbuches wurde in vielen Details verbes
sert und wesentlich erweitert: Ebenso wie in der 5. Auflage des zugrunde liegenden
Lehrbuches 1 sind hinzugekommen: Kap. 2.4 (Injlation und Verzinsung), Kap. 3.3
(Renten mit veranderlichen Raten) sowie Kap. 7 (Duration-Konzept) und Kap. 8 (Fu
tures und Optionen). Mit den beiden zuletzt genannten Kapiteln weichtauch das vorlie
gende Ubungsbuch von der impliziten Voraussetzung sicherer zukUnftiger Daten ab
und wendet sich Aspekten der Risikoanalyse (Kap. 7 - Duration und Convexity) bzw.
der Einfiihrung in modeme derivative Finanzinstrumente (Kap. 8 - Futures und Optio
nen)zu.
Es versteht sich von selbst, dass die vorliegende Auflage auch in Hinblick auf die seit
September 2000 in Deutschland gultige Preisangabenverordnung (PAng V) sowie auf
die WiihrungsumsteIlung zum Jahresbeginn 2002 aktualisiert wurde. Nach der nun
mehr gUltigen Preisangabenverordnung 2000 erfolgt die Effektivzinsermittlung von
Verbraucherkreditennach der (internationalen) ISMA-Methode.
Finanzmathematik ist - abgesehen von einigen Randproblemen sowie der notwendi
gen Beherrschung elementarmathematischen Kalkuls - letzten Endes die Lehre eines
1 Lehrbuch: Einfiihrung in die Finanzrnathematik, Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden,
5. Auflage 2002
VI Vorwort
einzigen wesentlichen Grundprinzips, dessen Kenntnis und Anwendung hinreichend
fur eine erfolgreiche Bewiiltigung der Finanzmathematik ist. Dennoch gibt es unter
nicht wenigen Studierenden zumindest anfanglich offenbar Schwierigkeiten, dieses
einzige Grundprinzip der klassischen Finanzmathematik (niimlich das aufd em allge
meinen Verzinsungsvorgang beruhende Aquivalenzprinzip) in solchen Fiillen anzu
wenden, bei denen die gedankenlose Anwendung formelhafter Rezepturen durch eine
verb ale, auf reale Vorgiinge sich beziehende" verschleiernde" Problemformulierung
zuniichst umnoglich erscheint.
ErfahrungsgemiiB liegen die Hauptprobleme vieler Studierender nicht so sehr in der Be
herrschung des formal-mathematischen Kalkiils, sondern vielmehr in der korrekten
Modellkonstruktion und sicheren Anwendung des fmanzmathematischen Grundprin
zips aufunterschiedliche oder auch nur unterschiedlich dargestellte Realprobleme. Da
her bietet diese Obungssammlung vielfach gleichartige Problemstellungen lediglich
unterschiedlich aufbereitet oder nurnerisch veriindert - eben urn auch fur Bearbeiter,
die noch nicht den fmanzmathematischen" Durchblick" besitzen, genugend Obungs
material bereitzustellen nach dem Erfahrungssatz, demzufolge eine Erkenntnis auch
dadurch gewonnen werden kann, dass ein und diesselbe Sache mehrfach und mog
lichst von verschiedenen Seiten aus betrachtet wird.
Aus demselben Grund wurden die Problemstellungen innerhalb der einzelnen Kapitel
nicht immer streng nach sachlichen Gesichtspunkten geordnet. Eine derartige Aufga
benanordnung konnte schon aHein aufgrund der logischen Ablauffolge Losungsansiit
ze liefem, die nicht mit dem gesteHten Problem zusammenhiingen und die dem Bear
beiter moglicherweise nichtvorhandene Eigenerkenntnisse vortiiuschen.
Zurn Gebrauch des Obungsbuches:
Die Aufgaben sind kapitelweise durchnurnmeriert. Zusatzlich zu jeder Aufgabennurn
mer ist in kursiver Schrift die entsprechende Aufgabennummer aus dem Lehrbuch an
gegeben. So handelt es sich etwa bei "Aufgabe 5.35 (5.3.56)" urn die laufende Aufgabe
35 aus Kapite1 5 dieses Obungsbuches und zugleich urn die entsprechende Aufgabe
5.3.56 des Finanzmathematik-Lehrbuches. Da die Reihenfolgen der Aufgaben von
Obungs-und Lehrbuch ubereinstimmen, diirfte das Auffmden der entsprechenden Auf
gaben/Lasungen des Lehrbuches wenig problematisch sein.
Ein * an einer Aufgabe weist auf einen etwas erhOhten Schwierigkeitsgrad hin.
Ein () an einer numerischen Lasung bedeutet, dass ein in der Aufgabe geforderter
Vorteilhaftigkeitsvergleich zugunsten der "lachenden" Alternative ausfaHt.
Zahlen in eckigen Klammern, z.B. [40], beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am
Schluss des Buches.
Gelegentlich wird in dies em Obungsbuch auf entsprechende Pas sagen (Fo rmein, Deji
nitionen, Regeln, Tabellen, Beispiele, Abbildungen, Bemerkungen) des Lehrbuches
verwiesen, gekennzeichnetdurch (z.E.) LB (7.4.7) oder LB Tab. 8.8.19 usw.
Vorwort VII
Die inhaltlichen ElWeiterungen haben in einigen Fallen zu Umstrukturierungen (und
damit Umnummerierungen) gefiihrt. Falls daher dieses Ubungsbuch als Losungsbuch
fur die Aufgaben der 4. (oder einer noch frilheren) Auflage des Lehrbuchs dienen soIl,
sind folgende Anderungen in der Aufgaben-Nummerierung des aktuellenLehrbuches
zu beachten:
- Die bisherigenAufg. 5.2.74-5.2.93 sind numnehr die Aufg. 9.3.22-9.3.41.
- Die bisherigenAufg. 5.5.13 -5.5.17 sindnumnehr die Aufg. 6.1.13 -6.1.17.
- Die bisherigenAufg. 5.5.31-5.5.37 sindnumnehr die Aufg. 6.3.8 -6.3.14.
In einigen wenigen Fallen weicht die Aufgabenstellung einer Aufgabe dieses Obungs
buches von der entsprechenden Aufgabe des Lehrbuches geringfugig abo Vor einer
zeitraubenden Fehlersuche sollten daher zuvor die Aufgabentexte verglichen werden.
Als "Losungen" sind in buntem Wechsel ausfiihrliche Herleitungen, knapp gefasste
Losungshinweise oder auch nur die numerischen Endresultate aufgefiihrt.
Nahezu samtliche Effektivzinsermittlungen (insbesondere in Kap. 5 und 6 sowie in
den Testklausuren) erfordem numerische Iterationsverfahren (etwa die Regula falsi)
zur Losung der entsprechenden, teils recht komplexen Aquivalenzgleichungen. Ich
habe die angegebenen Losungen stets auf mehr als sechs Nachkommastellen genau
ermittelt und anschlie13end auf vier bis zwei N achkommastellen gerundet.
Numerische Resultate wurden mit einem herkommlichen elektronischen Taschenrech
ner (Genauigkeit: 9-10 Nachkommastellen) ermittelt. Dabei wurdenin aller RegelZwi
schenergebnisse mit voller Stellenzahl gespeichert und ungerundet weiterverarbeitet.
Lediglich das Endresultat wurde auf i. a. zwei bis vier N achkommastellen gerundet.
Diese Vorgehensweise (sowie die Verwendung ungerundeter EjJektivzinsstitze) kann
dazu fiihren, dass innerhalb von Tilgungspliinen oder Vergleichskontostaffelrechnun
gen gelegentlich geringfugige Abweichungen (in der letzten Dezimale) durch Runde
fehlerausgleich auftreten. Dies ist der Preis fur exakt "aufgehende" Vergleichskonten.
Je nach Baujahr und Genauigkeit der vom Leser velWendeten Rechengeriite sowie
abhiingig von der Anzahl bzw. Komplexitiit der Rechenschritte oder von der Rundung
von Zwischenresultaten konnen beim Bearbeiten leichte Abweichungen von den hier
angefiihrten numerischen Endergebnissen auftreten.
Sollten Sie grobere Ungenauigkeiten, Ungereimtheiten oder schlicht den einen oder
anderen Fehler entdecken, so wiirde ich mich sehr uber Ihre diesbezligliche Ruckmel
dung freuen, z. B. via E-mail: [email protected] - ich werde jeder/jedem von Ihnen
antworten und in allen Fallen auch um eine schnelle Antwort bemUht sein.
Zum Schluss gebUhrt mein Dank dem Vieweg-Verlag und hier besonders Frau Ulrike
Schmickler-Hirzebruch fur ihre stets hilfreiche Untersrutzung in den nun schon vielen
Jahren erfolgreicher Zusammenarbeit.
Aachen, im Juli 2002 Jiirgen Tietze
IX
Inhalt
v
Vorwort ............ .
Abkiirzungen, Variablennamen . X
I II
Aufgaben Losungen
1 173
Voraussetzungen und Hilfsmittel ........ . 3 175
1. 1 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 3 175
1.2 Lineare Verzinsung undAquivalenzprinzip . 11 177
1.3 Diskontrechnung. . . . . . . . . . . . . . . 18 184
2 Exponentielle Verzinsung (Zinseszinsrechnung). 23 187
2.1 Reine Zinseszinsrechnung und Aquivalenzprinzip 23 187
2.2 Gemischte, unterjiihrige, stetige Verzinsung 27 192
2.3 Abschreibungen ..... 33 197
2.4 Inflation und Verzinsung. . . . . . . . . . . 38 200
3 Rentenrechnung.................. 41 203
3.1 Standardprobleme (Rentenperiode = Zinsperiode) . 41 203
3.2 Auseinanderfallen von Renten-und Zinsperiode . 54 214
3.3 Renten mit veranderlichen Raten ..... 62 222
4 Tilgungsrechnung................... 69 229
4.1 Standardprobleme der Tilgungsrechnung .... 69 229
4.2 Tilgungsrechnung bei unterjiihrigen Zahlungen 77 240
5 Die Ermittlung des Effektivzinssatzes
in der Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . 81 257
5.1 Grundlagen, Standardprobleme . . . . . . . . . 81 257
5.2 EffektivzinsermittIung bei unterjiihrigen Leistungen . 89 269
6 Kurs-und Renditeberechnung
bei festverzinslichen Wertpapieren . . . . . . . . . . . 99 301
7 Aspekte der Risikoanalyse - das Duration-Konzept. . 103 309
8 Derivative Finanzinstrumente - Futures und Optionen 107 315
9 Investitionen . . . . 115 333
10 Testklausuren 1-18 125 341
Formelanhang .. 365
Literaturhinweise 371
x
Abkiirzungen, Variablennamen
~ entspricht DM Deutsche Mark
%,0/00 Prozent, Promille 360TM 360-Tage-Methode
1+i Zuwachsfaktor $ Dollar
l-i Abnahmefaktor
360TM 360-Tage-Methode e EulerscheZahl (::::2,71828183)
96/7/1 Kreditkonditionen (Bsp.) € Euro
eff. effektiv
A (aquivalente) Annuitat EG Europaische Gemeinschaft (EU)
A+,A- Aktie long, Aktie short et Investitionseinzahlung zum Ende
a.H. auf Hundert der Peri ode t
Abb. Abbildung etc. et cetera (und so weiter)
AG Aktiengesellschaft, Amtsgericht EV! Endvermogen bei Investition
at Investitionsauszahlung zum EVu Endvermogen bei Unterlassung
Ende der Periode t evtl. eventuell
At Annuitat am Ende der Periode t
G Gewinn
BEP Break Even Point Gc+ Gewinn der Long-Call-Position
Bsp. Beispiel (analog: Ge-,Gp+,Gp-,GA+,GA-J
bzw. beziehungsweise gem. gemaB
ggf. gegebenenfalls
c Dynamik- F aktor (= 1+ i dyn); Quo- GL Gegenleistung
tient zweier aufeinander folgender Gmbhl Gesellschaft mit beschriinkter
Glieder einer geometrischen Folge Haftung
C+,C- long call, short call
Co (Emissions-) Kurs eines fest- H.J. Halbjahr
verzinslichen Wertpapiers
Co Kapitalwert einer Investition Prozentsatz, Zinssatz
Co (i) Kapitalwertfunktion i* nomineller Zinssatz eines fest-
ca. circa, ungeflihr verzinslichen Wertpapiers
c.p. ceteris paribus La. im allgemeinen
Cn Riicknahmekurs eines festverzins- i.H. im Hundert
lichen Wertpapiers aquivalenter Zinssatz
~aqu
Ct aktueller finanzmathematischer Tageszinssatz
~d
Kurs (Preis) eines Wertpapiers Steigerungsrate, Dynamikrate
~dyn
Ct* aktueller Borsenkurs eines fest- leff Effektivzinssatz
verzinslichen Wertpapiers IH Halbjahreszinssatz
linfJ Inflationsrate
d Differenz zweier aufeinander ikon konformer Zinssatz
folgender Glieder einer arithme- iM Monatszinssatz
tischen Folge incl. inklusive (einschIieBIich)
D Duration nomineller Zinssatz
~nom
dCo (kleine) Kursanderung insgesamt
~nsg.
d.h. das heiBt Ip Periodenzinssatz
di (kleine) Zinssatzanderung lQ Quartalszinssatz
AbkUrzungen, Variablennamen XI
ireal Realzinssatz o.a. oben angefiihrt, oben angegeben
ire} relativer Zinssatz o.a. oder ii.hnlich(es)
is stetiger Zinssatz; oHG offene Handelsgesellschaft
Zinssatz nach Steuern
ISMA International Securities Market p Prozentfu6, Zinsfu6
Association P+,P- long put, short put
iT Tilgungssatz p.a. pro anno (pro Jahr)
PoPp Callwert, Putwert
1. Jahr p.d. pro Tag
p.H. pro Halbjahr
K Grundwert, Bezugsgro6e p.M. pro Monat
K Convexity, Konvexitat p.Q. proQuartal
Ko (Anfangs-)Kapital, Barwert, p* nomineller Zinsfu6 eines fest-
Kreditsumme verzinslichen Wertpapiers
Ko Barwert einer ewigen Rente PA ngV Preisangabenverordnung
Kap. Kapitel Per. Periode
KG Kommanditgesellschaft
Km Kontostand, Restschuld q Aufzinsungsfaktor (= J +i)
Kn Endkapital, Endwert q-n Abzinsungsfaktor
K~ Endkapital nach Steuern qn Aufzinsungsfaktor
kon. konfonn Qu. Quartal
Kt Zeitwert einer Zahlung (sreihe)
Restschuld am Ende der Periode t r interner Zinssatz einer Investition;
Kt-l Restschuld zu Beginn d. Per. t (stetiger) Marktzinssatz
Kx,y Realwert eines im J ahr x verfiig- r unterjiihrige Rate, z.B. Monatsrate
baren Kapitals aufPreisniveau- R Rate (nhOhe)
basis des Jahres y lR Menge der reellen Zahlen
R* aquivalente Ersatzrate,
I Liter Kontoendstand
L Leistung Ro Barwert einer (nachschussigen)
LB Lehrbuch "Einfiihrung in die Rente
Finanzmathematik" (siehe Vorwort) Ro Barwert einer ewigen Rente
Ifd. Nr. laufende Nummer reI. relativ
log, In Logarithmus Rn Gesamtwert einer Rente am Tag
der letzten (n-ten) Rate, Endwert
M. Monat einer (nachsschiissigen) Rente
m.a.W. mit anderen Worten Rt Einzahlungsuberschuss (= et - au
MD modifizierte Duration zum Ende der Periode t
ME Mengeneinheit
min Minute s Skontosatz
Mio. Millionen (106) S stock price, (aktueller) Aktienkurs
Mon. Monat Sem. Semester, Halbjahr
Mrd. Milliarden (109) s.o. sieheoben
MWSt. Mehrwertsteuer s.u. sieheunten
sog. sogenannte
n Laufzeit, Terminzahl a Volatilitat
N(d) Funktionswert der Standard-
Nonnalverteilung t Laufzeit in Tagen, laufende Num-
nom. nominell mer einer (Tilgungs-) Periode