Table Of ContentGrundkurs Mathematik
Otto Forster
Rüdiger Wessoly
Übungsbuch
zur Analysis 1
Aufgaben und Lösungen
. Auflage
Grundkurs Mathematik
Berater
MartinAigner,FreieUniversitätBerlin
PeterGritzmann,TechnischeUniversitätMünchen
VolkerMehrmann,TechnischeUniversitätBerlin
GisbertWüstholz,ETHZürich
Die Reihe „Grundkurs Mathematik“ ist die bekannte Lehrbuchreihe
imhandlichenkleinenTaschenbuch-Formatpassendzudenmathemati-
schenGrundvorlesungen,vorwiegendimerstenStudienjahr. DieBücher
sinddidaktischgutaufbereitet,kompaktgeschriebenundenthaltenviele
BeispieleundÜbungsaufgaben.
In der Reihe werden Lehr- und Übungsbücher veröffentlicht, die bei
der Klausurvorbereitungunterstützen. Zielgruppesind Studierendeder
Mathematik aller Studiengänge, Studierende der Informatik, Naturwis-
senschaften und Technik, sowie interessierte Schülerinnen und Schüler
derSekundarstufeII.
Die Reihe existiert seit 1975und enthält die klassischen Bestseller von
OttoForsterundGerdFischerzurAnalysisundLinearenAlgebrainak-
tualisierterNeuauflage.
WeitereBändedieserReihefindenSieunter
http://www.springer.com/series/12463
(cid:2)
Otto Forster Rüdiger Wessoly
Übungsbuch
zur Analysis 1
Aufgaben und Lösungen
7., erweiterte Auflage
OttoForster RüdigerWessoly(†)
MathematischesInstitut
Ludwig-Maximilians-Universität
München
München,Deutschland
GrundkursMathematik
ISBN978-3-658-17212-1 ISBN978-3-658-17213-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-17213-8
DieDeutsche NationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNatio-
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V
Vorwort zur 1. Auflage
SeitdemErscheinenmeinesBuchesAnalysis1sindwiederholtAnfragenge-
kommen, doch Lo¨sungen zu den U¨bungsaufgaben herauszugeben. Ich stand
demimmerskeptischgegenu¨ber.DasLo¨senvonU¨bungsaufgabenzudenAn-
fa¨ngervorlesungen ist ein unentbehrlicher Bestandteil des Mathematik–Stu-
diums.DasVorliegenvonschriftlichenLo¨sungenverfu¨hrtaberdazu,esselbst
nicht hart genug zu versuchen und zu fru¨h in den Lo¨sungen nachzuschauen.
Außerdem kanneinegedruckteLo¨sungnichtdieBesprechungderAufgaben
in einer U¨bungsgruppeersetzen, in der der Tutor(im allerdingsnichtimmer
erreichtenIdealfall)aufdieverschiedenenLo¨sungsmo¨glichkeitenunddiege-
machtenFehlereingehenundbeiVersta¨ndnisschwierigkeitenindividuellhel-
fenkann.
Andererseits ist der Bedarf an U¨bungsmaterial mit nachpru¨fbaren Lo¨sungen
fu¨r das Selbststudium (z.B. bei Pru¨fungsvorbereitungen) nicht von der Hand
zu weisen. So wurde mit dem vorliegenden Aufgabenbuch ein Kompromiß
versucht:Zuausgewa¨hltenAufgabenwurdenLo¨sungenausgearbeitetundes
wurden auch neue Aufgaben hinzugefu¨gt, so daß genu¨gend viele ungelo¨ste
AufgabenalsHerausforderungfu¨rdenLeseru¨brigbleiben.
AlleAufgabentexte(einschließlichderausdemBuchAnalysis1u¨bernomme-
nen) sind im 1. Teil des Aufgabenbuches abgedruckt. Zu den mit Stern ver-
sehenenAufgabenstehenLo¨sungenim2.Teil,manchmalauchnurHinweise
oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse. In keinem Fall sind die angegebe-
nenLo¨sungenalsalleingu¨ltigeMuster-Lo¨sungenzubetrachten.Zufastallen
AufgabengibtesmehrereLo¨sungswegeundesistoftnureineFragedesGe-
schmacks,welchenWegmanwa¨hlt.AuchsindsicherlichnocheinigeLo¨sun-
genmitmehroderwenigerschwerenFehlern(vonDruckfehlernundVersehen
bis zu logischen Fehlern) behaftet. Der Student mag sich damit tro¨sten, daß
nichtnurihm,sondernauchdemDozentenfu¨rmancheLo¨sungenderU¨bungs-
aufgabenPunkteabgezogenwu¨rden.
DieArbeitandiesemBuchhabeichzusammenmitmeinemlangja¨hrigenAs-
sistentenandenUniversita¨tenMu¨nsterundMu¨nchen,Dr.Ru¨digerWessolybe-
gonnen.DiegemeinsameArbeitwurdeauchnachseinemAusscheidenausder
Universita¨t,alserfu¨reinevonihmselbstmitbegru¨ndeteSoftware-Firmaarbei-
tete,fortgesetzt.NochvorderFertigstellungdesManuskriptsistHerrWessoly
VI
plo¨tzlichundunerwartetverstorben.SeinemAndenkenseidiesesBuchgewid-
met.
ZudankenhabeichauchHerrnThomasSzymczak(Dinslaken),derselbsta¨ndig
einLo¨sungsbuchzurAnalysis2erarbeitethatunddersichbereiterkla¨rthat,
dasManuskriptzumvorliegendenBuchinLATEXzusetzenunddabeimanche
FehlerundUnebenheitenausdemTexteliminierthat.Nichtzuletztverdankt
das Buch sein Erscheinen dem beharrlichen und unermu¨dlichen Einsatz von
FrauU.Schmickler-HirzebruchvomVieweg-Verlag.
Mu¨nchen,Februar1995 OttoForster
Vorwortzur2.Auflage
Fu¨r die 2. Auflage dieses U¨bungsbuches habe ich die bekannt gewordenen
Druckfehlerkorrigiert(vielenDankdensorgfa¨ltigenLeserinnenundLesern!)
undeineAnpassungandieneuesteAuflagedesBuchesAnalysis1vorgenom-
men,dasseitder5.AuflagemancheA¨nderungenerfahrenhat.Sosindeinige
fru¨hereU¨bungsaufgabenjetztindenHaupttextderAnalysis1integriert.Dafu¨r
wurdenindasU¨bungsbuchneueAufgabenundLo¨sungenaufgenommen.
Mu¨nchen,Ma¨rz2004 OttoForster
Vorwortzur7.Auflage
Indervorliegenden7.AuflagediesesU¨bungsbuchswurdenbekanntgewordene
FehlerkorrigiertsowieeinigeneueAufgabenundLo¨sungenhinzugefu¨gt.
Mu¨nchen,Oktober2016 OttoForster
VerweisenachdemMuster“vgl.An.1,§XX,SatzY”beziehensichaufdas
Lehrbuch
OttoForster:Analysis1,SpringerSpektrum,12.Aufl.2016.
VII
Inhaltsverzeichnis
I Aufgaben
§1 Vollsta¨ndigeInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2 DieKo¨rperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§3 Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§4 Folgen,Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§5 DasVollsta¨ndigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§6 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§7 Konvergenzkriterienfu¨rReihen. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§8 DieExponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§9 Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§10 Funktionen,Stetigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§11 Sa¨tzeu¨berstetigeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§12 LogarithmusundallgemeinePotenz . . . . . . . . . . . . . . 29
§13 DieExponentialfunktionimKomplexen . . . . . . . . . . . . 31
§14 TrigonometrischeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§15 Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§16 LokaleExtrema.Mittelwertsatz.Konvexita¨t . . . . . . . . . . 37
§17 NumerischeLo¨sungvonGleichungen . . . . . . . . . . . . . 39
§18 DasRiemannscheIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§19 IntegrationundDifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§20 UneigentlicheIntegrale.DieGamma–Funktion . . . . . . . . 49
§21 Gleichma¨ßigeKonvergenzvonFunktionenfolgen . . . . . . . 51
§22 Taylor–Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§23 Fourier–Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
VIII
II Lo¨sungen
§1 Vollsta¨ndigeInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§2 DieKo¨rperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§3 Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§4 Folgen,Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§5 DasVollsta¨ndigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§6 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§7 Konvergenzkriterienfu¨rReihen. . . . . . . . . . . . . . . . . 99
§8 DieExponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
§9 Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
§10 Funktionen,Stetigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§11 Sa¨tzeu¨berstetigeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§12 LogarithmusundallgemeinePotenz . . . . . . . . . . . . . . 125
§13 DieExponentialfunktionimKomplexen . . . . . . . . . . . . 130
§14 TrigonometrischeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§15 Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
§16 LokaleExtrema.Mittelwertsatz.Konvexita¨t . . . . . . . . . . 149
§17 NumerischeLo¨sungvonGleichungen . . . . . . . . . . . . . 157
§18 DasRiemannscheIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
§19 IntegrationundDifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
§20 UneigentlicheIntegrale.DieGamma–Funktion . . . . . . . . 179
§21 Gleichma¨ßigeKonvergenzvonFunktionenfolgen . . . . . . . 185
§22 Taylor–Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§23 Fourier–Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Teil I
Aufgaben
