Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Manfred Filtz · Heino Henke
Übungsbuch
Elektromagnetische
Felder
Mit162Abbildungen
123
Dr.ManfredFiltz
ProfessorDr.-Ing.HeinoHenke
TechnischeUniversitätBerlin
FachgebietTheoretischeElektrotechnik
Einsteinufer17
D-10587Berlin
E-mail:[email protected]
[email protected]
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ISBN 978-3-540-71853-6 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Vorwort
DievorliegendeAufgabensammlungistausden„ÜbungenzurTheoretischen
Elektrotechnik“ an der Technischen Universität Berlin hervorgegangen und
als Ergänzung zum ebenfalls in diesem Verlag erschienenen Lehrbuch „Elek-
tromagnetische Felder“ [Henke] gedacht. Insofern orientieren sich auch die
hier verwendeten Symbole und Bezeichnungen an [Henke].
DieAufgabensammlungrichtetsichsowohlanStudierendeingenieur-und
naturwissenschaftlicher Studiengänge als Hilfe für die Prüfungsvorbereitung
undWissensvertiefungalsauchanIngenieure,dienacheffektivenLösungswe-
gen für elektromagnetische Problemstellungen suchen. Man findet eine große
Anzahl durchgerechneter Aufgaben aus den folgenden Teilgebieten:
E Elektrostatische Felder
S Stationäres Strömungsfeld
M Magnetostatische Felder
Q Langsam veränderliche (Quasistationäre) Felder
W Beliebig zeitveränderliche Felder (Wellen)
Jedem dieser Teilgebiete ist eine kurze Zusammenfassung der notwendigen
Formeln und Lösungsmethoden ohne Herleitungen vorangestellt. Dabei wird
aber vorausgesetzt, dass der Leser bereits mit dem Stoff einigermaßen ver-
traut ist und sich hier nur noch einmal einen zusammenfassenden Überblick
verschafft. Dieser Überblick erhebt außerdem nicht den Anspruch der Voll-
ständigkeit.DieNummerierungderÜbungsaufgabenerfolgtzurbesserenOri-
entierung durch Voranstellen der oben angegebenen Buchstaben für das je-
weils behandelte Teilgebiet.
Die ausführlich durchgerechneten Beispiele sollen die grundsätzliche Vor-
gehensweise bei der Lösung elektromagnetischer Problemstellungen aufzei-
gen.DerSchwierigkeitsgradderAufgabenvariiertzumTeildeutlich.Eswur-
den nämlich absichtlich auch anspruchsvollere Probleme1 behandelt, um die
praktische Bedeutung aufzuzeigen, die das Gebiet der elektromagnetischen
FeldtheorieinganzunterschiedlichenSituationengewonnenhat.Wirwerden
uns, um nur einige Beispiele zu nennen, u.a. mit
– der feldreduzierenden Wirkung eines Erdseils,
– elektrostatischen Linsen zur Fokussierung von Teilchenstrahlen,
– der Widerstandsmessung mit Hilfe der Vierspitzenmethode,
– transienten Vorgängen in einem Turbogenerator,
– der Verwendung magnetischer Wanderwellen in einer Wirbelstromkanone,
– der Abschirmung durch Wirbelströme,
1 diese sind mit einem Stern gekennzeichnet
VI Vorwort
– dem elektrodynamischen Schweben (Levitation),
– einem phased array zur Erzeugung gerichteter Strahlung,
– einer einfachen Anordnung zur Radarabschirmung,
– einem Beispiel für die Entstehung von Cerenkov-Strahlung
befassen, zumindest unter Verwendung einfacher Modelle. Genannt werden
soll an dieser Stelle auch noch die besonders für den Elektroingenieur wich-
tige Berechnung von Kapazitäten und Induktivitäten, wofür es zahlreiche
Beispielaufgaben gibt. Dabei stehen natürlich im Rahmen dieses Buches vor
allem die konkrete Berechnungsmethode und weniger technische Gesichts-
punkte im Vordergrund.
GeradebeidenanspruchsvollerenAufgabenstellungenwirdbesondersdie
NotwendigkeitderModellbildungdeutlich.DerLesersollerkennen,wiedurch
sinnvolleVernachlässigungeneinProblemeineranalytischenLösungzugäng-
lichwerdenkann,ohnedassdabeidiephysikalischenGegebenheitenzustark
verfälscht werden.
Selbstverständlich bedarf es zuvor einiger „Fingerübungen“, um sich
schlussendlich an mehr praxisorientierte Probleme heranzuwagen. Dies hat
zur Folge, dass nicht alle Aufgaben einen sofort ersichtlichen Praxisbezug
aufweisen, sondern eher das Ziel verfolgen, eine bestimmte Arbeitsweise an
einem einfachen Beispiel einzuüben.
Im Anschluss an die durchgerechneten Beispiele werden dann noch spe-
ziell zur Kontrolle des eigenen Lernfortschrittes kurze Ergänzungsaufgaben
gestellt, bei denen nur das Resultat angegeben ist.
Im Gegensatz zur Mechanik wird bei Aufgaben zum Elektromagnetismus
häufigeingewisserMangelanAnschaulichkeitbeklagt.Dasistdurchausver-
ständlich, denn wenn man sich auch über die Auswirkungen elektromagne-
tischer Felder im Klaren ist, so ist das Feld selbst natürlich nur eine auf
Faraday zurückgehende Abstraktion. Dennoch hat man auch hier die Mög-
lichkeit der Veranschaulichung in Form sogenannter Feldlinien (Faradays
lines of force). Daher werden in diesem Übungsbuch auch immer wieder sol-
che Feldlinienbilder gezeigt. Sie illustrieren ein häufig unübersichtliches ma-
thematischesResultatundgebendarüberhinausdieMöglichkeit,Ergebnisse
auf ihre Plausibilität hin zu überprüfen. Dazu gehört sicherlich etwas Erfah-
rung, welche sich aber nach einer gewissen Zeit der Beschäftigung mit den
Übungsaufgaben einstellen dürfte.
An dieser Stelle möchten wir den Tutoren des Fachgebietes Theoretische
Elektrotechnik Claudia Choi, Joel Alain Tsemo Kamga sowie Abdurrahman
Öz unseren besonderen Dank für das Korrekturlesen und Nachrechnen der
Aufgaben aussprechen.
Berlin, im Juli 2007 Manfred Filtz
Heino Henke
Inhaltsverzeichnis
1. Elektrostatische Felder ................................... 1
Zusammenfassung wichtiger Formeln .......................... 1
Grundgleichungen im Vakuum ........................... 1
Elementare Feldquellen.................................. 2
Superposition .......................................... 2
Materie im elektrischen Feld ............................. 3
Differentialgleichungen für das Potential................... 3
Rand- und Stetigkeitsbedingungen........................ 4
Elektrische Feldenergie .................................. 4
Elektrischer Fluss ...................................... 5
Kapazität ............................................. 5
Kräfte im elektrischen Feld .............................. 6
Spiegelungsverfahren.................................... 6
Aufgaben .................................................. 7
E1 Kraftberechnung mit dem Coulombschen Gesetz...... 7
E2 Superposition von Ladungen....................... 8
E3 Unendlich lange, gerade Linienladungen ............. 8
E4 Kreisförmige Flächenladung ....................... 9
E5 Feldberechnung mit dem Gaußschen Gesetz.......... 10
E6 Halbkugelförmige Raumladung, Ladungsschwerpunkt . 12
E7 Lineare Dipolverteilung ........................... 15
E8 Elektrischer Liniendipol ........................... 16
E9 Dipolverteilung auf einer Fläche (Doppelschicht) ..... 17
E10 Feldreduzierende Wirkung eines Erdseils ............ 18
E11 Äquipotentialflächen .............................. 21
E12 Kapazität zwischen zylindrischen Leitern ............ 22
E13∗ Polarisierte Platte ................................ 24
E14 Stetigkeitsbedingungen am dielektrischen Zylinder.... 28
E15 Spiegelung am dielektrischen Zylinder............... 29
E16 Linienladung vor einem dielektrischen Halbraum ..... 30
E17 Energie einer kugelförmigen Raumladung............ 32
E18 Teilkapazitäten .................................. 33
E19 Kräfte an metallischen Oberflächen ................. 35
E20 Elektrischer Dipol vor einer leitenden Kugel ......... 36
VIII Inhaltsverzeichnis
E21 Kapazität einer Stabantenne....................... 38
E22 Randwertproblem in kartesischen Koordinaten ....... 40
E23 Elektrostatische Linse (periodischer Fall) ............ 45
E24∗ Elektrostatische Linse (aperiodischer Fall) ........... 49
E25 Homogen polarisierter Zylinder..................... 53
E26 Ringladung über einem leitenden Halbraum mit
dielektrischer Halbkugel ........................... 54
E27∗ Lösung einer Poisson-Gleichung .................... 58
Ergänzungsaufgaben ........................................ 63
2. Stationäres Strömungsfeld ................................ 69
Zusammenfassung wichtiger Formeln .......................... 69
Grundgleichungen ...................................... 69
Elementare Feldquellen.................................. 70
Rand- und Stetigkeitsbedingungen........................ 70
Stromwärmeverluste und Widerstand ..................... 71
Spiegelungsverfahren.................................... 71
Aufgaben .................................................. 72
S1 Kugelerder, Schrittspannung....................... 72
S2∗ Vierspitzenmethode............................... 74
S3 Elektrolytischer Trog ............................. 78
S4 Widerstand einer leitenden Kreisscheibe............. 82
S5 Luftblase im leitenden Volumen .................... 86
S6∗ Strömungsfeld in einer Kugel ...................... 87
Ergänzungsaufgaben ........................................ 92
3. Magnetostatische Felder .................................. 95
Zusammenfassung wichtiger Formeln .......................... 95
Grundgleichungen im Vakuum ........................... 95
Elementare Feldquellen.................................. 96
Magnetfeld verteilter Ströme............................. 96
Materie im magnetischen Feld............................ 97
Differentialgleichungen für das Potential................... 97
Rand- und Stetigkeitsbedingungen........................ 98
Magnetischer Fluss ..................................... 98
Magnetische Feldenergie und Induktivität ................. 99
Kräfte im magnetischen Feld............................. 100
Spiegelungsverfahren.................................... 100
Aufgaben .................................................. 100
M1 Kraftberechnung mit dem Ampèreschen Gesetz ...... 100
M2 Leiterschleife im Feld einer Doppelleitung ........... 102
M3 Feldberechnung mit dem Biot-Savartschen Gesetz .... 104
M4 Magnetischer Dipol vor einer Spule ................. 107
M5∗ Permanentmagnet ................................ 109
Inhaltsverzeichnis IX
M6 GegeninduktivitätzwischeneinerKreisschleifeundei-
ner Doppelleitung ................................ 113
M7 Achsenfeld einer Spule ............................ 115
M8 Selbstinduktivität einer Spule ...................... 117
M9 Stromdurchflossene Bandleitung.................... 118
M10 Doppelleitung über einem permeablen Halbraum ..... 121
M11∗ Feldberechnung in einer elektrischen Maschine ....... 125
M12∗ Erzeugung eines magnetischen Wanderfeldes ......... 132
M13 Permeable Hohlkugel ............................. 136
Ergänzungsaufgaben ........................................ 139
4. Quasistationäre Felder.................................... 143
Zusammenfassung wichtiger Formeln .......................... 143
Grundlegende Gleichungen............................... 143
Ohmsches Gesetz für bewegte Leiter ...................... 144
Diffusionsgleichung und Eindringtiefe ..................... 144
Komplexer Wechselstromwiderstand ...................... 145
Aufgaben .................................................. 145
Q1 Unipolarmaschine ................................ 145
Q2 Induktion in einer bewegten Leiterschleife ........... 147
Q3 Induktion durch Rotation ......................... 149
Q4 Lesespule über einem Magnetband (Skalarpotential) .. 150
Q5∗ Lesespule über einem Magnetband (Vektorpotential).. 153
Q6 Stromverteilung in einem mehradrigen Kabel ........ 155
Q7 Induktionsofen ................................... 158
Q8 Diffusion im leitenden Block (Laplace-Transformation) 161
Q9 Diffusion im leitenden Block (Bernoulliansatz) ....... 164
Q10∗ Leitende Platten im transienten Magnetfeld.......... 165
Q11 Abschirmung durch leitende Kugelschalen ........... 170
Q12 Schirmung einer HF-Spule......................... 174
Q13 Dünnwandiger Rechteckzylinder im homogenen, ma-
gnetischen Wechselfeld ............................ 176
Q14∗ Doppelleitung über einer leitenden Platte............ 177
Q15∗ Bewegte Doppelleitung über einer leitenden Platte
(Levitation) ..................................... 181
Q16∗ Wirbelstromkanone............................... 186
Ergänzungsaufgaben ........................................ 190
5. Beliebig zeitveränderliche Felder.......................... 195
Zusammenfassung wichtiger Formeln .......................... 195
Grundlegende Gleichungen............................... 195
Homogene Wellengleichung .............................. 196
Komplexe Dielektrizitätskonstante ........................ 196
Poyntingscher Vektor ................................... 196
Ebene Wellen .......................................... 197
X Inhaltsverzeichnis
Retardierte Potentiale................................... 198
Hertzscher Dipol ....................................... 199
Geführte Wellen in Hohlleitern ........................... 199
Aufgaben .................................................. 200
W1 Anpassung von Leitungen ......................... 200
W2 Ebene Welle, elliptische Polarisation ................ 202
W3 Reflexion am geschichteten Medium ................ 206
W4 Unterdrückung von Radarechos .................... 208
W5 Hertzscher Dipol vor einer leitenden Ecke............ 211
W6 Phased Array mit Hertzschen Dipolen............... 213
W7∗ Gruppenstrahler mit λ/2-Dipolen .................. 216
W8 Strahlung eines ringförmigen Stromes ............... 219
W9 Verluste in einer Parallelplattenleitung .............. 221
W10 Parallelplattenleitung mit Dielektrikum ............. 223
W11 Rechteckhohlleiter mit Anregung ................... 226
W12 Wellen im Koaxialkabel ........................... 229
W13 Rundhohlleiter mit dielektrischer Schicht auf der Wand233
W14∗ Rechteckresonator mit Anregung ................... 235
W15∗ Dielektrischer Resonator .......................... 239
W16∗ Cerenkov-Strahlung............................... 242
W17 Komplexer Energiesatz............................ 248
W18 Innerer Wechselstromwiderstand eines Leiters ........ 248
Ergänzungsaufgaben ........................................ 249
Literaturverzeichnis .......................................... 253
Sachverzeichnis ............................................... 255
1. Elektrostatische Felder E
Zusammenfassung wichtiger Formeln
Die Elektrostatik beschäftigt sich mit den Feldern zeitlich konstanter La-
dungsverteilungen. Die Grundlage dafür ist die Coulomb-Kraft
K =QE , (1.1)
welche die Kraft auf eine punktförmige Ladung Q im äußeren elektrischen
Feld E angibt. Handelt es sich bei der felderzeugenden Ladung ebenfalls um
eine Punktladung Q, dann ist deren elektrische Feldstärke
Q R As
E = , ε =8.854·10−12 , (1.2)
4πε R3 0 Vm
0
wobei der Vektor R von der Punktladung zum betrachteten Aufpunkt weist.
(1.2) stellt eine Art Grundbaustein des elektrischen Feldes dar, da sich das
Feld jeder verteilten Ladungsanordnung daraus durch Superposition ergibt.
Grundgleichungen im Vakuum
Die Grundgleichungen der Elektrostatik stellen Spezialfälle der Maxwell-
schen Gleichungen dar und lauten in differentieller bzw. integraler Form
(cid:1)
∇×E =0 , E·ds=0
(cid:1) S (cid:2) (1.3)
q
∇·E = V , ε E·dO = q dV =Q .
ε 0 V gesamt
0 O V
q ist die räumliche Dichte der Ladungsverteilung. Das Oberflächenintegral
V
in (1.3), das sogenannte Gaußsche Gesetz der Elektrostatik, steht für alle
möglichen Ladungen in V und kann in einigen hochsymmetrischen Fällen,
in denen E unabhängig von den Integrationsvariablen ist, direkt zur Feldbe-
rechnung verwendet werden (siehe z.B. Aufg. E5).
Das elektrostatische Feld ist konservativ und somit aus einer skalaren
Ortsfunktion, dem sogenannten Potential φ, bestimmbar
E =−∇φ. (1.4)
