Übungsaufgaben zur Analysis 2

86 Pages·1987·2.584 MB·German

by  Dr. rer. nat. habil. Horst Wenzel, Oberlehrer Dipl.-Math. Gottfried Heinrich (auth.)

Abhängigkeitsgraph
--. , 1~ , 13
~
Vorbereitungsband Grundlagen ~ Lineare Algebra
- 3 2 14
Different,ial- ,
~ und Lineare
Unendliche Reihen Integralrechnung Optimierung
71 4 • 15
Gewöhnli,che f4- Differential- ...... , -
Differential- rechnung mit Nichtlineare
gleichungen ~ mehreren Variablen Optimierung
~
5
72
Gewöhnliche Integralrechnung
"- Differential- -I- mit ~ ~ Optimale prozes1e6-
gleichungen mehreren Variablen und Systeme
~ ~ •
8
Partielle • Wahrsch,ein lich-17
4 6
Differential- Differenfial- I"" keitsrechnung.
gleichungen geometrie math. Statistik
1 I ..... I
, 9 , 10 211
Komplexe ..~
Funktionen -~ Operatorenrechnung Spieltheorie
12 11 212
~
Spezielle Tensoralgebra " iIII~
Funktionen und -analysis Graphentheorie
I
18 20 • Stochasti,sch e 19111li
-
Numerische Prozesse
~
Methoden Simulation und Modelle
•
..
I
22 23 19211li
• Statistische
Funktionalanalysis Symmetriegruppen Versuchsplanung
•
MATHEMATIK FÜR INGENIEURE, NATURWISSENSCHAFTLER,
ÖKONOMEN UND LANDWIRTE· ÜBUNGSAUFGABEN 2
Herausgeber: Prof. Dr. O. Beyer, Magdeburg . Prof. Dr. H. Erfurth, Merseburg
Prof. Dr. O. Greuel t . Prof. Dr. C. Großmann, Dresden
Prof. Dr. H. Kadner, Dresden· Prof. Dr. K. ManteuffeI, Magdeburg
Prof. Dr. M. Schneider, KarI-Marx-Stadt . Doz. Dr. G. ZeidIer, Berlin
PROF. DR. H. WENZEL
OL DIPL.-MATH. G. HEINRICH
Übungsaufgaben zur
Analysis 2
.4. AUFLAGE
BSB B. G. TEUBNER VERLAGSGESELLSCHAFT
LEIPZICI 1990
Das Lehrwerk wurde 1972 begründet und wird seither herausgegeben von:
Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth, Prof. Dr. Otto Greuel t, Prof. Dr. Horst Kadner,
Prof. Dr. Karl Manteuffel, Doz. Dr. Günter Zeidler
Außerdem gehören dem Herausgeberkollektiv an:
Prof. Dr. Manfred Schneider (seit 1989), Prof. Dr. Christian Großmann (seit 1989)
Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes:
Dr. sc. nato Karl Manteuffel, ordentlicher Professor für mathematische Methoden
der Operationsforschung an der Technischen Universität "Otto von Guericke", Magdeburg
Autoren:
Dr. rer. nat. habil. Horst Wenzel, ordentlicher Professor für Analysis an der Technischen Universität
Dresden (Abschnitte 22.-26.)
Oberlehrer Dipl.-Math. Gottfried Heinrich, Lehrer im Hochschuldienst an der Technischen Universi
tät Dresden (Abschnitte 17.-21.)
Wenzel, Horst:
Übungsaufgaben zur Analysis 2/ H. Wenzel; G. Heinrich. -
4. Aufl. - Leipzig: BSB Teubner, 1990. - 84 S.: 57 Abb.
(Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und
Landwirte; Übungsaufgaben 2)
NE: Heinrich, Goufried:; GT
ISBN 978-3-322-00367-6 ISBN 978-3-322-96423-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96423-6
Math. Ing. Nat.wiss. Ökon. Landwirte, Ü 2
ISSN 0138-1318
© BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1987
4. Auflage
VLN 294-375/46/90 . LSV 1034
Lektor: Jürgen Weiß
Gesarntherstellung: INTERDRUCK Graphischer Großbetrieb Leipzig,
Betrieb der ausgezeichneten Qualitätsarbeit - III/18/97
Bestell-Nr. 666 370 7
00650
Vorwort
Die vorliegenden Übungsaufgaben sind für den Einsatz im Direkt- und Fernstudium
an Universitäten und Hochschulen gedacht. Da die Aufgaben inhaltlich an die Bände 4, 5
und 7/1 der Reihe "Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und
Landwirte" angeschlossen sind, können sie vom Leser auch zum Selbststudium herange
zogen werden. Zum Zwecke der Motivation wird neben innermathematischen Problem
stellungen auch mit einfachen naturwissenschaftlichen, technischen und ökonomischen
Sachverhalten gearbeitet.
Bei der Erarbeitung dieses Übungsheftes wurden die Erfahrungen aus den Mathematik
lehrveranstaltungen an der Technischen Universitä.t Dresden und an anderen Hochschu
len der DDR genutzt. Wir danken für die eingegangenen Hinweise, die alle sorgfältig ge
prüft und in der Regel berücksichtigt wurden.
Unser besonderer Dank gilt den Herren Oberlehrer Dipl.-Math. Helmut Ebmeyer
(Technische Universität Dresden, Mitarbeit bei den Abschnitten 17.-21.) und Dr.-Ing.
RalfKuhrt (Humboldt-Universität Berlin, Mitarbeit bei den Abschnitten 22.-26.). Sie ha
ben wertvolle Hinweise aus der Sicht des Fernstudiums gegeben.
Aufgaben mit höherem Schwierigkeitsgrad oder umfangreicherem Rechenaufwand sind
mit einem Stern gekennzeichnet.
Für Hinweise und Vorschläge, die der Verbesserung der Aufgabensammlung dienen,
sind wir stets dankbar.
Dresden, April 1986 H. Wenzel
G. Heinrich
Inhalt
17. Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler, partielle Ableitungen und totales Diffe-
rential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
18. Implizite Funktionen, der Satz von Taylor und Extremwertaufgaben . . . . . 11
19. Skalare Felder und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20. Parameterintegrale und Doppelintegrale - Integrale über ebene Bereiche. . 21
21. Integrale über räumliche Bereiche . . . . . . . . . . 27
22. Kurven-und Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . 31
23. Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
24. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1.0rdnung. . . . . 41
25. Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung . 45
26. Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen 51
Lösungen und Lösungshinweise 53
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
17. Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler,
partielle Ableitungen und totales Differential
(Bd.4, 1., 2.1.-2.5., 3.1.-3.6.)
17.1. Gesucht sind alle Punkte P(x;y;z) des R3, für welche gilt:
a) y = 14, b) x2 + y2 + (z - 4)2 = 0,
c) zx = 1, d) z + y = 0,
e) (x + 5)2 + Z2 = 8, f) lxi + IYI + Izl ~ 1,
g) 19 + ~(x - 6)2 + y2 - 81 ~ 0, h) max {X2,y2, Z2} ~ 4 .
(Geometrische Interpretation!)
17.2. Skizzieren Sie die folgenden Flächen! Überlegen Sie vorher, welche Kurven sich er
geben, wenn die Flächen mit Ebenen x = const, y = const, z = const geschnitten werden.
a) x2 + Z2 = 9, b) Z2 + 9x2 + 4y2 = 1,
c) y2 = x2 + Z2 , d) Z2 - 4x2 + y2 = 1,
e) Z2 = x2 + y2 + 1, f) z = x2 + 1 - y2.
17.3. Von der Funktion z = J ,~',y) sind die Niveaulinien zu bestimmen. Von der in der
x,y-Ebene skizzierten zugehörigen "Karte der Fläche" schließe man auf die. Gestalt der
durch f bestimmten Fläche F im R 3.
a) z=x-6, b) z=~I-y2, 1Y1~1, c) Z=X2_ y2+4,
d) z = 10 - ~ x2 + y2 , e) z = x2 + (y + 2)2 - 4 ,
f) z = (x + 1) (y - 3) , g) z = 3 - 4x2 - 9y2 •
17.4. Für die durch z = f(x,y) gegebene Funktion zeichne man die Projektionen einiger
Höhenlinien in die x,y-Ebene.
xy x·_y x2 + y2
a) z = x2 + 1 ' b) z=e Y ,y=l=O, c) Z = 2y ,y =1= 0,
!;
1
d) z = x2 + y2 ' e)* z = exp (-xy2) , f)* z = ~ + (xy =1= 0 in d), f)).
17.5. Für die Funktion z = f(x,y) ist der größtmögliche Definitionsbereich Die R2 zu er
mitteln. Man skizziere DI und gebe jeweils den Wertevorrat UJ an. Welche der Mengen
Di> UJ sind beschränkt?
a) z = x + y + sin (xy) , b) z=~l-y +e-x2,
c) z = TI, d) z = 3 + ~ x2 - y2 ,
1
e) z = (4 - x2 - y2) -2, f) z = ~y - x2 + ~XL y.
17.6. Skizzieren Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von z = f(x,y)!
a) z=ln(x2- y2), b) z=~x2+3y2_9 + ~,
17, Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler 5
c) z= I~ny(-yr-xx) ' d) z = (2 - eX) -21 ~ x + 3 - Iy I ,
o
e) z=arcsin(5-2y+2x), z= xy
~ x2 + y2 - 2xy ,
17.7. Man bestimme lim f(x,y) , wenn sich P längs
P~(O,O)
()() der x-Achse; ß) der y-Achse; y) der Geraden y = tx, t = const,
bewegt. Läßt sich aus den erhaltenen Ergebnissen etwas über die Existenz von
lim f(x,y) folgern?
(x,y)~(O,O)
a) f(x,y) = sXi n2 +(x Yy) 2 ' b) f( x,y ) = y2x2s i+n 24x '
y2 _ x2 2x+ y2
c) f(x,y) = x2 + y2 ' d) f(x,y) =-x4--y- '
17.8. Die folgenden Grenzwerte sind - falls sie existieren - zu berechnen,
a) lim e-XYcosx, b) I1, m -sin- 8x y
(x,y)~(O,O) 2xy ,
(x,y)~(rr,O)
x2y I, x - 3
c) (x,yl)i~m(O ,O) X 2 + Y 2 ' d) (x,y)1~m(3 ,3) -X - Y ,
1 - cos (x2 + y2) 4(x + y)ln(y2x)
e) (x,yl)i~m(O, O) (x2 + y2)2 0* (X,yl)i-«m2 ,-2) exp X 2 - Y 2 '
17.9. Welche der Funktionen z = f(x,y) sind im Ursprung stetig?
{ ~_ für (x,y) =1=(0,0),
a) f(x,y) = x2 + y2
,0 für (x,y) = (0,0),
2xy(y2 - x2)
für (x,y) =1= (0,0),
b) f(x,y)= { OX2+y2
für (x,y) = (0,0),
sin2(x-y) für lxi + lyl > 0,
c)* f(x,y) = { 1;1 + lyl
für Ixl+lyl=O,
exp-y- -- für x2 + y2 > 0,
d) f(x,y) = { e x2 + y2
für x2 + y2 = 0,
17.10.* Zeigen Sie, daß von der Funktion
°
_.xy_2 _ fiu' r x 2 + y 2 > .
f(x,y) = { x2 + y4 °
o für x2 + y2 =
die partiellen Ableitungen Ix, 1;, im Nullpunkt existieren - aber f(x,y) dort nicht stetig
ist.
6 17. Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler
17.11. Alle partiellen Ableitungen erster Ordnung sind zu bestimmen.
1 X2
a) z(x,y)=xtanY+3- xy3-6, b) h(x),x2)=ln-,
XI
z
c) g(x,y,z)=lnxy+2In [;y -Inzx,
d)W( X , z) -- z3 co2sh .z. 2' e) u(s' t)2 = -s e 2t + arcta1sn -+- st-t '
17.12. Für die folgenden Funktionen sind die partiellen Ableitungen erster Ordnung all
gemein und an der Stelle (xo;Yo) zu ermitteln:
a) z = ~2x + 3xy + 4y, (xo;Yo) = (1; 1),
b) z = cos (eXY + xy), (xo;Yo) = (0; 1),
c) z = x2Y, (xo;Yo) = (2; 1),
d) z=ln(2-e-y), (xo;Yo)=(O;O),
x2 _ y2
e) z = In (xo;Yo) = (4; 3).
~X2 + y2 '
-+
17.13. Die Funktion g(t, x) = (1 - 2tx + t2) genügt der Beziehung ~~ = h (t, x) g(t, x).
Geben Sie h(t, x) an!
17.14. a) Von der Funktion z = f(x,y) = arctan yx +- 31 ist der größtmögliche Definitions
bereich im R2 anzugeben.
b) Welche Werte ergeben sich rur lim fex, y) , wenn Yo E R 1 ist?
(x.y)~(I,yo)
c) Man gebe einige Höhenlinien an.
d) Nach der Berechnung aller partieller Ableitungen bis zur 2. Ordnung ist der Ausdruck
~z = zxx + zY.Y zu bilden.
17.15. Von der Funktion z = f(x,y) sind'alle partiellen Ableitungen erster und zweiter
Ordnung zu bilden.
X L
a) z = sin(ax + by), b) z= x2 + y2 ' c) Z = xex,
d) z=ln(x2+y), e) z = xy arcsin x, f) z = x + y -Ix - yl,
x x - 3y
g) z = yln - -tany + --- h) z = yX + xy•
Y x-I'
~)
17.16. Ist die Funktion z = x . exp ( - Lösung der Differentialgleichung
xZxy + 2(zx + Zy) = yzy'y ?
17.17. Man bestimme lXERI in w=(X2+y2+ Z2)", (x;y;z)*(O;O;O), so, daß w der
Gleichung Wxx + wY.Y + Wzz = 0 genügt.
17. Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler 7
17.18. Berechnen Sie das vollständige Differential von
x
a) z=-
x+y'
c) z = In (y + ~ x2 + y2 ) , d) z = ~x - y + In../xi,
x
e)z=ysin(x+y)- ~, f) z=Intan-.
x2 - 2 y
:2
(~
17.19. Für die Funktion z = 4ln vergleiche man im Punkt P ; 2) die Differenz der
Funktionswerte llz mit dem Wert des vollständigen Differentials dz und berechne
Illz - dz I, falls
IX) dx = dy = 0,5; 13) dx = -0,1, dy = 0,3; y) dx = 0,02, dy = 0,16
gilt. Die Ergebnisse sind zu interpretieren.
17.20. Man untersuche, ob die folgenden Ausdrücke vollständige Differentiale sind und
bestimme gegebenenfalls eine zugehörige Funktion z = <P(x,y).
a) (2x + 2xy4) dx + (4y3 x2 + 3y2) dy,
b) x sinydx + x2 cosydy,
c) (2e3Y - 4 cos3 x sin x) dx + (6x + y) e3Ydy,
2y 2x
d) (x + y)2 dx - (x + y)2 dy,
rx L xrx
e) eSinxy( + y cos XY) dx + [cos xy] esinXYdy.
17.21. Für welche reellen Werte von oe ist der Ausdruck
oexe-XYdy + ( __1 _ - yeIXXY) dx
1-x4
vollständiges Differential einer Funktion z = f(x,y)?
Geben Sie in diesem Fall z = f(x,y) an.
17.22. Berechnen Sie das Differential d2z für
a) z(x,y) = xy, b) z(s,t)=sin(s+t),
c) w(u, v) = eUv, d) z(x,y) = x2In..Jy + xsin2y.
17.23. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die durch z = f(x,y) gege
bene Fläche im Punkt Po (xo;Yo; zo).
a) z = x2 + y2,
b) z = x2 + 4xy - 2y2 mit Po(2; 1; zo),
c) z = ~ ~4 - (x2 + y2) mit Po(1; {2; zo).
17.24. Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene in einem beliebigen Punkt der
durch z = f(x,y) = x2 + y gegebenen Fläche F? Man bestimme alle Punkte von F, für die
die zugehörige Tangentialebene parallel zur x-Achse liegt, und skizziere F.
8 17. Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler
-.Ix -
17.25. Für 0< a = const ist durch z = j(x,y) = Ca - ..fY)' mit Df = {(x;y) I x ~ 0/\ Y
~ O} eine Fläche F gegeben. Man bestimme alle Punkte von F, für welche die Tangential
ebene r existiert, gebe deren Gleichung an und zeige, daß die Summe der Achsenab
schnitte von r mit den Koordinatenachsen gleich a2 ist.
17.26. An einem geraden Kreiskegel ergaben sich aus einer Messung die Werte r = 30 cm
für den Grundkreisradius und h = 40 cm für die Höhe. Wie groß sind absoluter und relati
ver Fehler der Mantelfläche höchstens, wenn IArl = IAh I ~ 0,1 cm angenommen werden
kann?
17.27. Man bestimme den relativen Fehler des Volumens eines geraden Kreiskegels, falls
dessen Radius einen relativen Fehler von 2 % und die Höhe einen relativen Fehler von 3 %
aufweisen.
I
17.28. Welcher relative Fehler ist bei der Berechnung von R gemäß R = C· 2""' c = const,
r
zu erwarten, wenn 1= 100 m, r = 10-3 m gemessen wurden und lAll ~ 5 cm, IArl
~ 10-1 mm gilt?
17.29. Zwei Widerstände sind parallelgeschaltet. Für den Ersatzwiderstand gilt
R ·R
R = 1 2. Man berechne den größtmöglichen absoluten und relativen Fehler des Er-
R + R
1 2
satzwiderstandes, wenn R1 = (450 ± 2) n und R2 = (150 ± 1) n gemessen wurde!
17.30. Zur Bestimmung der Brennweite j eines Kugelspiegels wurden Gegeastandsweite
a = (12 ± 0,1) cm und Bildweite b = (5 ± 0,05) cm gemessen. Welcher absolute und wel-
cher relative Fehler ergibt sich für die gemäß ~ = ~ + ~ berechnete Brennweite?
17.31. Das Volumen einer Kugel soll mit einer Genauigkeit von 0,1 % bestimmt werden.
Wie groß darf dabei der relative Fehler des Radius, höchstens sein, wenn für 1I = 3,141 59
einmal der Näherungswert 3,14 und zum anderen 3,142 verwendet wird?
17.32. Mit welchem absoluten und relativen Fehler muß man bei der Ermittlung des Vo
'1
lumens eines geraden Kegelstumpfes rechnen, wenn der Grundkreisradius ~c 5 cm, der
Deckkreisradius r2 = 4 cm und die Höhe h = 6 cm gemessen und alle Größen mit einem
absoluten Fehler von höchstens 0,1 cm abgelesen wurden?
17.33. Von einem Dreieck ist die Basis c = 1400 m genau bestimmt worden. Die beiden
anliegenden Winkel und ß betragen etwa 51° und 48°. Mit welcher Genauigkeit kann
(X
man die Länge der Seite a angeben, wenn (X und ß einen absoluten Fehler von 0,50 auf
weisen?
17.34. Bei der Vermessung eines ebenen dreieckigen Geländes erhielt man a = (84,3
± 0,1) mund b = (73,2 ± 0,2) m für zwei Seiten und 48,6° ± 0,2° für den Winkel zwischen
a und b. Gesucht ist die Länge der dritten Seite c. Welcher prozentuale Fehler tritt auf?
17.35.* Von einem gleichschenkligen Dreieck wurden die Basis und der gegenüberlie
gende Winkel mit einem Fehler von 1 % bzw. 0,5° gemessen. Welcher relative Fehler er
(X
gibt sich für den Flächeninhalt des Umkreises des Dreiecks? Wann ist dieser Fehler mini
mal?
17. Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler 9
17.36. Für die mittelbare Funktion z = f(x,y) mit x = x(t), y = y(t) ist t = ~~ zu be
rechnen.
a) z = 3x2 + 2xy + y2 mit x = sin t, y = cos t,
b) z=ln[(x+y)xy],x=t2-1,y=t2+1 (ltl>l),
L 1
c) z=xex,x=t,y(t)=lnt (t>I).
17.37. Von der mittelbaren Funktion z = f(x,y) mit x = x(t), y = y(t) ist t(t) zu ermit
teln (zx, Zy, x(t), jet) sollen existieren und stetig sein).
~~~~,
a) z= b) z=tan(xy), c) z=xY•
17.38. Von z = f(x,y) sollen alle partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung stetig
existieren, y = g(x) sei zweimal differenzierbar.
a) Man bilde F'(x) und F" (x) von F(x) = f[x, g(x)].
p(; ;
b) Was ergibt sich speziell rur z = In (x + y) und g(x) = sinx im Punkt I)?
17.39. Von F(u,v)=f1x(u,v),y(u,v)] mit x=~,y=uv bilde man den Ausdruck
u
*
T:= u2F• • - v2Fvv + uFo - vF. . u O.
(Die benötigten partiellen Ableitungen sollen stetig existieren.)
17.40. Von z = fex, y) ist die Ableitung im Punkt P(xo; Yo) in der vorgegebenen Richtung
zu·bestimmen. (Der orientierte Winkel zwischen der Richtung und der positiven x-Achse
sei (X mit -rr < (X ~ rr.)
a) z = X2y3, P(I; -2), (Xl = -31T- ' (X2 ="r6r ' b) Z=~X2+y2 ,P(3;4),(X=;,
!
c) z = x2 y2' p({ 3; 1), (Xl = ~ rr,
17.41. Man bestimme die Richtung (X (siehe auch Aufgabe 17.40.), in welcher die durch
z = f(x,y) gegebene Fläche im Punkt P(xo;Yo) am stärksten ansteigt. Wie groß ist der An
stieg tan qJ der Fläche in dieser Richtung?
a) z = x3 - x2y + 2(x - y) , P(O; 0) ,
b) z = 2x2 - 3xy + y2 + (1 + {3)y - {3, P(l; 1),
c) z=(,[3 -1)x2+y2-2x+2y+3{3, P(-1;0),
p( ;
d) z = 2x2 - xy2 + 151n (y2 + 1) - 6 ..fY cos (2x - 3), ~ 3) .
17.42. Für die durch z = c(x2 + y3), C > 0, bestimmte Fläche ist die Konstante C so zu
bestimmen, daß der ~teilste Anstieg der Fläche im Punkt P(I; 2) unter dem Anstiegswin-
kel qJ = "r4r erfolgt.