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Uhungsaufgahen aus der Technischen Mechanik
Statik· Festigkeitslehre • Dynamik
Ubungsaufgaben aus der Technischen Mechanik
Statik · Festigkeitslehre . Dynamik
fur Siudenten
an Technischen Hochschulen und Ingenieurhochschulen
Von Prof. Dr.-Ing. habil. HAN S GO L D N E R
Sektion Grundlagen des Maschinenwesens TU Dresden
12. Auflage . 270 Aufgaben mit Losungen
VEB FACHBUCHVERLAG LEIPZIG
"AIs Arbeitsbuch fiir die Ausbildung an Univcrsitiiten und Hochschulen der DDR anerkannt."
Berlin, November 1979 Minister fiir Hoch- und Fachschulwesen
ISBN-13: 978-3-528-34887-8 e-ISBN-13: 978-3-322-89459-5
DOl: 10.1007/978-3-322-89459-5
© VEB Fachbuchverlag Leipzig 1980
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1980
12. Auflage
Lizenznummer 114-210/9/80
LSV 3024
Satz: VEB Druckhaus "Maxim Gorki", 74 Altenburg
Fotomechanischer Nachdruck: Volksdruckerei Zwickau
RedaktionsschluB: 15. 1. 1980
Bestellnummer: 545 563 1
DDR 10,80M
Vorwort
Mit diesem Buch gibt der Verfasser den Studenten fUr das Grundlagenfach
Technische Mechanik ein Hilfsmittel in die Hand, das ihnen die Vorbereitung fUr
die Priifung erleichtert. Er lieB sich bei der Auswahl der Aufgaben von dem Gedanken
leiten, die Arbeit der Studente n zu verbessern und zu vertiefen. Seit der 9. Auflage
ist eine Anleitung zum Losen von Aufgaben aus den Gebieten Statik und Festig
keitslehre vorangestellt. Dadurch sollen die Studenten befahigt werden, syste
matisch an die Losung der Aufgaben heranzugehen. Es wird empfohlen, die in der
Anleitung gegebenen Hinweise konsequent zu beachten. Fur die Erarbeitung der
Anleitung dankt der Verfasser den Herren Prof. (em.) H. Lohmann und Dr.-Ing.
J. Nickel.
In Absprache mit den Hochschullehrern der Technischen Hochschulen wurde die
10. Auflage auf SI-Einheiten umgestellt.
Einem Wunsche der Studente n entsprechend sind die Abschnitte Statik - Festig
keitslehre - Dynamik nochmals untergliedert. 20 Aufgaben der fruheren Auflage
wurden entfernt, um Platz fur die Anleitung und einige neue Aufgaben zu schaffen.
Verfasser und Verlag
Inhaltsverz.eichnis
Anleitung zum Losen von Aufgaben 9
1. Aufgaben ..... . 26
1.1. Statik ...... . 26
1.1.1. Krafte an einem Punkt 26
1.1.2. Krafte in der Ebene . . 28
1.1.3. Auflager- und SchnittgroJ3enermittlung fUr ebene ·Tragwer~e 31
1.1.4. Krafte im Raum 40
1.1.5. Reibung ....... . 41
1.2. Festigkeitslehre . . . . . 43
1.2.1. Spannungstransformation . 43
1.2.2. Tragheitsmomentenermittlung . 44
1.2.3. Zug und Druck 46
1.2.4. Torsion. 50
1.2.5. Biegung 51
1.2.6. Schub . 54
1.2.7. Behalter 55
1.2.8. Elastische Linie 55
1.2.9. Satz von CASTIGLIANO 60
1.2.9.1. Ebene Probleme· . . 60
1.2.9.1.1. Statisch bestimmte Aufgaben 60
1.2.9.1.2. Statisch unbestimmte Aufgaben 64
1.2.9.2. Raumliche Probleme. . . 71
1.2.10. "Ubertragungsmatrix . . . . . 73
1.2.11. Trager starker Kriimmung . . 73
1.2.12. Rotationssymmetrische Probleme 73
1.2.1.3. Stabilitat. . . . . .' . . . 74
1.2.14. . Plastizitat - Viskoelastizitat 75
1.3. Dynamik ....... . 76
1.3.1. Kinematik ....... . 76
1.3.2. Dynamische Grundgleichung - Energiesatz - Impulssatz 77
1.3.3. Schwingungen . . . . 87
1.3.3.1. Einfache Schwingungen. . 87
1.3.3.2. Gekoppelte Schwingungen 96
1.3.3.3. Nichtlineare Schwingungen 98
1.3.4. Massentragheitsmoment 99
2. Losungen ..... . 101
2.1. Statik ....... . 101
2.1.1. Kriifte an einem Punkt 101
7
2.1.2. Krafte in der Ebene ................. 104
2.1.3. Auflager- und SchnittgroBenermittlung fiir ebene Tragwerke 112
2.1.4. Krafte im Raum 139
2.1.5. Reibung . . . . . . . . 144
.2.2. Festigkeitslehre 146
2.2.1. Spannungstransformation 146
2.2.2. Tragheitsmomentenermittlung 147
2.2.3. Zug - Druck 152
2.2.4. Torsion 158
2.2.5. Biegung 160
2.2.6. SchUb . 167
2.2.7. Behiilter 169
2.2.8. Elastische Linie 171
2.2.9. Satz von CASTIGLIANO 192
2.2.9.1. Ebene Probleme 192
2.2.9.1.1. Statisch bestimmte Aufgaben 192
2.2.9.1.2. Statisch unbestimmte Aufgaben 202
2.2.9.2. Raumliche Probleme 228
2.2.10. tJbertragungsmatrix. 235
2.2.11. Trager starker Kriimmung . . 236
2.2.12. Rotationssymmetrischc Proble.me 237
2.2.13. Stabilitat ........ 242
2.2.14. Plastizitat - Viskoelastizitat 245
2.3. Dynamik ........ 248
2.3.1. Kinematik . . . . . . . . 248
2.3.2. Dynamische Grundgleichung - Prinzip D'A LEMBERT - Energiesatz - Impuls-
satz . . . . . . . . . 249
2.3.3. Schwingungen ..... 270
2.3.3.1. Einfache Schwingungen 270
2.3.3.2. Gekoppelte Schwingungen 292
2.3.3.3. Nichtlineare Schwingung 305
2.3.4. Massentragheitsmoment . 306
Anleitung zum Losen von Aufgaben
Die Anleitung solI Sie dazu anhalten, bei der Losung jeder Aufgabe der Technischen
Mechanik systematisch vorzugehen. Sie unterstiitzt Sie gleichzeitig beim Verstand
nis der Vorlesungen, Dbungen und Lehrbiicher. An vielen Stellen wird auf die je
weiligen Seiten des Lehrbuches Goldner/Holzwei13ig "Leitfaden der Technischen
Mechanik", 6. Auf!., VEB Fachbuchverlag Leipzig (abgekiirzt Go) hingewiesen.
Die Anleitung besteht aus den Teilen
Leitblatter zum Losen von Aufgaben der Statik
Musterbeispiele zum Losen von Aufgaben der Statik
Leitblatter zum Losen von Aufgaben der Festigkeitslehre
Musterbeispiele zum Losen von Aufgaben der Festigkeitslehre
Erganzungsblatter
LeitbHttter geben die Schrittfolge bei der Losung von Aufgaben eines Teilgebietes
der Technischen Mechanik an.
Musterbeispiele zeigen die Losung von Aufgaben, die fiir ein bestimmtes Teilgebiet
der Technisc}:ten Mechanik typisch sind.
Erganzungsblatter erklarerrin den Leitblattern undin der Vorlesung benutzte Begriffe.
Bei der Losung jeder beliebigen Aufgabe sind neben den vorgeschriebenen Losungs
schritten folgende Grundsatze zu beacht en:
1. Bilden Sie sich stets vor Losungsbeginn eine deutliche Vorstellung von der Auf
gabe! Undeutliche Vorstellungen fiihren zu falschen Losungswegen und Losungen.
2. Formulieren Sie in kurzer schriftlicher Form die Analyse und Klassifikation der
Aufgabe und die der Losung zugrunde Iiegenden Gedankengange! Sie gewinnen so
klare V orstellungen als Ausgangspunkt des Denkprozesses.
3. Gehen Sie schrittwe~se vor! Das Dberspringen von Losungsschritten, bevor eine
ausreichende Fertigkeit beim Losen von Aufgaben erreicht ist, kann sich rachen;
der zunachst geringe Zeitgewinn wird bei der Fehlersuche mehrfach zugesetzt.
4. Bemiihen Sie sich um deutliche Schrift! Sie erleichtern sich die Arbeit und schlie
Ben z. B. Dbertragungsfehler aus.
5. Stellen Sie den Losungsgang in einer iibersichtIichen Anordnung dar! Heben Sie
dabei Zwischen- und Endergebnisse hervor (unterstreichen, einrahmen)! GuteAn
ordnung und Schaffungvon BIickpunkten erleichtern den LosungsprozeB.
6. ~umerieren Sie wichtige Gleichungen, Formeln u. a.! Man findet sich dadurch bei
deren Gebrauch schneller zurecht.
7. Fertigen Sie saubere, deutliche, vollstandige und ingenieurgerechte Skizzen und
Diagramme an! Sie beseitigen dadurch eine weitere Fehlerquelle.
9
Leitblatt zum Losen von Aufgaben der Statik
Losungsschritte Hin
weise
Analyse und 1 Ermitteln des Modells, falls es nicht unmittelbar gegeben E 1
Klassifika ist.
tion der Ermitteln der Bauelemente des Modells (Balken, Stabe,
Aufgabe' Stiitzungen) usw.
Ermitteln der am Modell angreifenden auBeren Krafte und
Momente.
Priifen des Systems auf statische Bestimmtheit. E30
Festlegung 2 Allgemein: Speziell:
des Losungs analytisch CREMoNA-Plan
weges grafisch Schnittverfahren
grafo-analytisch usw.
1m folgenden wird der typische Rechengang fUr statisch bestimmte,
ebene Systeme gezeigt. Die Losung erfolgt analytisch.
Ermitteln der 3 Freimachen einzelner Tragwerke bzw. mehrerer verbundener E22
Stiitzreak- Tragwerke.
tionen Die Richtung der angenommenen Krafte und Momente in
den Stiitzungen ist zunachst beliebig.
4 Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungell. E 23
5 Berechnell der unbekanllten Krafte und Momente aus den
Gleichgewichtsbedingungen. Zusammenstellen der Ergebnisse.
6 Gegebenenfalls Diskussion des Losungsweges und dcr Ergeb
nisse.
Ermitteln der 7 Belasten der frcigemachten Tragwerke durch die unter 5. er
Schnitt- rechneten Krafte und Momente.
groBen Unterteilen der Balken in Bereiche und Wahl der Koordi- E28
natensysteme. E 29
8 Schnitt der Balken in jedem Bereich. E 24
Herauszeichnen eines der durch den Schnitt entstandenen
Balkenteile und Antragen der SchnittgroBen (Langskraft,
Querkraft, Biegemoment). Aufstellen der Gleichgewichts
bedingungen. Berechnen der SchllittgroBen aus diesen Glei
chungen. Zusammenstellen der Ergebnisse.
9 Grafische Darstellung der Verlaufe der SchnittgroBen, wobei
ausgezeichnete \Yerte und u. U. auch Zwischenwerte zu be
rechnen sind.
Es ist der Zusammenhang zu beachten :
IJl"1 = IFQ'I = Iql , 1\ ~
=dz
10 Gegebenenfalls Diskussion. des Losungsweges und der Ergeb
nisse.
10
Musterbeispiele zum Losen von Aufgaben der Statik
Losungs Die Aufgabe und ihre Losung
schritte
Aufgaben
Gegeben:
steHung
q,a,F = qa
Gesucht:
1. Auflagerreaktionen, Stab-und
Gelenkkrafte.
2. FL-, FQ-, M-Verlauf fiir die
a a a a Balken (analytische Losung
und Skizzen).
Analyse 1 Die Aufgabe Iiegt bereits als Ersatzsystem vor.
und Klassifi Es besteht aus: 2 geraden Balken, 3 Staben, 1 Festlager,
kation der 1 RoHenlager, 1 Gelenk.
Aufgabe
Die Belastung erfolgt durch eineEinzelkraft Fund durch eine konstante
Streckenlast q.
Beim Freimachen treten 8 Unbekannte auf:
FAX' FAy. FB, FGx, FGy, FsI' FS2' Fsa·
Die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen betragt ebenfalls 8 (ie 3 fUr
Balken, 2 fUr Knotenpunkt). Das ErSatzsystem ist statisch bestimmt.
Festlegung 2 Analytische Losung fur Auflagerreaktionen, Gelenk- und Stabkrafte und
des Losungs auch fur die SchnittgrOllen. (SpezieHe Losungsverfahren sind nicht ge
weges forded und werden auch nicht benotigt.)
Ermitteln der 3 Freimachen der Balken und des Knotenpunktes:
Stutzreak
tionen
III
4 Gleichgewichtsbedingungen:
f2
I:--+-FAx+FGx+-Fsl = 0
2
f2
tFAY-2"FsI - FS2 - FGy
-q.2a =0
..-..
~
A-Fs2·a-FGII·2a-q.2a2=0 B-FGlI·a=O
f2
+ -2 - +
III: --+ --FSI f5 Fsa F = 0
2 5
f2
t - FSI + FS2 + -1 ,yr5; Fsa = 0
2 5
11
Musterbeispiele zum Losen von Aufgaben der Statik
Dosungs Die Aufgabe und ihre Losung
schritte
5 Aus den G1eichgewichtsbedingungen folgen:
7
FAx=qa FB =-qa FGy=O Fsz = -2qa
3
FAy = -5 qa FGx=-2-q a F.S I '= -51-'2 qa FS3 = -v5q a
3 3 3 3
6 Diskussion: Es ist auch moglich, die Gleichgewichtsbedingungen fiir
das gesamte System aufzustellen:
--l> - FAx + F = 0
t FAy+FB-4qa=0
A~ F B· 3a + F· a - 4qa· 2a = 0
Hieraus folgt unmittelbar:
5
FAx = F =qa FAy=-qa
3
7
FB = - qa
3
Die nun noch unbekannten Stab- und GelenkkriHte lassen sich aus den
G1eichgewichtsbedingungen fiir die Teilsysteme bestimmen.
Ermitteln der 7 Die beiden Balken werden freigemacht und durch die unter 5 berech
Schnitt neten Kriifte belastet.
groBen Nach Unterteilen der Balken in Bereiche werden die Koordinatensysteme
festgelegt.
q 2 2
qa
1ag':"-"'Y-"'2r;"a't-',U Jqa
I-
J17!J
~
ZT Z2 Z.1
Gleichgewichtsbedingungen SchnittgroBen
2 2
--l> - FLI - - qa = 0 Fu = --qa
3 3
t FQl + 2qa - q(a + ZI) = 0 FQI = -q(a - Zl)
~ _ MI + 2qazi _ q(a + ZI)2 = 0 MI = -q(a - ZI)2
2 2
--l> - FL2 - -2 qa = 0 FL2 = -"32 qa
3
t FQ2 - qzz = 0 FQ2 = qzz
~ -M2 - q2Z 22 =0 Mz =--q2 Z-22
12
