Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESfFALEN
Nr. 2H41 /Fachgruppe Mathematik/lnformatik
Herausgegeben vom Minister fUr Wissenschaft und Forschung
Rolf Joachim Nessel
Gerhard Wilmes
Lehrstuhl A fi1r Mathematik
der Rhein. -Westf. Techn. Hochschule Aachen
tiber Ungleichungen
yom Bernstein-Nikolskii- Riesz-Typ
in Banach Raumen
Westdeutscher Verlag 1979
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Nessel, Rolf Joachim:
Uber Ungleichungen vom Bernstein-Nikolskii
Riesz-Typ in Banach Raumen I Rolf Joachim
Nessel ; Gerhard Wilmes. - Opladen : West
deutscher Verlag, 1979.
(Forschungsberichte des Landes Nordrhein
Westfalen ; Nr. 2841 : Fachgruppe Mathematik,
Informatik)
ISBN -13: 978-3-53 1-02841-5 e-ISBN- 13: 978-3-322-88191-5
DOl: 10.1007/978-3-322-88191-5
NE: Wilmes, Gerhard:
o 1979 by Westdeutscher Verlag GmbH, Opladen
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag
Inhalt
1. Einleitung 5
2. Multiplikatoren .••••. · 14
2.1 Definitionen . 14
2.2 Duale Strukturen • 20
2.3 Das Fourier SpektralmaB · 29
3. Verallgemeinerte Polynome und de La Vallee Poussin
Mittel . . . . . . • • . . . . . 32
3.1 Verallgemeinerte Polynome 32
3.2 De La Vallee Poussin Operatoren 36
3.3 Potentialr.!iume . 39
4. Einige Ungleichungen fUr Polynome in Banach R.!iumen. 46
4.1 Interpolation von Banach R.!iumen . . . . . .. 46
4.2 Ungleichungen vom Bernstein- und Nikolskii-Typ 51
4.3 Ungleichungen vom Riesz-Typ . . . . . .. 56
5. Beispiele und Anwendungen 60
5.1 Das mehrdimensionale trigonometrische System 60
5.2 Jacobi Entwicklungen . . 67
5.3 Hermite Entwicklungen 70
5.4 Laguerre Entwicklungen 73
5.5 Ganze Funktionen exponentiellen Typs in Riesz
Potential- und Besov R.!iumen . . . . 75
5.6 Ein Umkehrsatz fUr die beste Approximation durch
ganze Funktionen vom exponentiellen Typ in RN 82
Literaturverzeichnis ......................••............ 85
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1. Einleitung
Als Ausgangspunkt dieser Arbeit kann die Ungleichung
(1.1 ) Itnl q•2w < Cpq nl/P-l/qntnlp,2w (l<p<q<"')
In ikx
fUr trigonometrische Polynome t (x) : = k cke angesehen
n =-n
werden (vgl. § 5.1). Sie wurde. zusammen mit einer mehrdimen-
sionalen Version und analogen Resultaten fUr ganze Funktionen
exponentiellen Typs, von S.M. Nikolskii [31) 1951 bewiesen.
Danach werden Ungleichungen der Art (1.1). also Absch~tzungen
zwischen verschiedenen Normen ein und derselben Funktion
(mit kompaktem Spektrum). in der Literatur h~ufig als Unglei
chungen vom Nikolskii-Typ bezeichnet. Wir wollen uns dem an
schlleBen, j edoch erw~hnen, daB (1.1) fUr den Fall q = co
schon bei D. Jackson [22] 1933 zu finden ist und daB ana loge
Ergebnisse ,auch fUr 0 < p < 1, unabh~ngig von G. Szego - A.
Zygmund [43] 1953 erhalten wurden. 1m Ubrigen sei fUr aus
fUhrliche Kommentierungen der schon recht umfangreichen
(Folge-) Literatur auf [18;28;44;49] verwiesen (siehe auch
§ 5.1).
Das Anliegen dieser Arbeit ist es nun, einen allgemeinen
Rahmen zu konstruieren, der es gestattet, Ungleichungen vom
Typ (1.1) fUr eine groBe Klasse von Orthogonalentwicklungen
in Banach R~umen zu betrachten. Neben der Herleitung neuer
Ungleichungen wird dabei ein einheitlicher Zugang zu einer
Reihe von bislang in der Literatur isoliert auftretenden
Einzelergebnissen moglich. Insbesondere wird ersichtlich
werden, daB auch klassische Ungleichungen von S.N. Bernsteirt
1912 und M. Riesz 1914 als solche vom Typ (1.1) verstanden
werden k1:innen.
Dazu gehen wir in § 2.1 von einer in [10] entwickelten
Theorie fUr Multiplikatoroperatoren eines Banach Raumes X in
sich aus, die sich schon bei anderer Gelegenheit (siehe z.B.
[49] und die dort angegebene Literatur, vgl. auch [35) als
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nUtzlich erwiesen hat. Wesentlich ist hierbei die Festlegung
einer Orthogonalstruktur in Form eines Hilbert Raumes H und
eines in H vorgegebenen SpektralmaBes E. In H werden dann
beschrankte lineare Operatoren der Form
(1. 2) TT f : = f T ( u ) dE ( u ) f (f E H)
fiN
betrachtet, wobei T eine E-wesentlich beschrankte Funktion
sei. FUr Banach Raume X, die einen dichten Durchschnitt mit
H haben (vgl. (2.1.9», lassen sich nun Multiplikatoropera
toren durch starken AbschluB aus (1.2) gewinnen. Dies simu
liert im wesentlichen die klassische Vorlage, falls man H = L2
und X = LP, 1"; P < co, setzt (siehe § 2.3). Urn auch den Fall
X = Lc o im Rahmen der allgemeinen Theorie erfassen zu konnen,
wird in § 2.2 eine Multiplikatortheorie fUr Duale X* von
Banach Raumen X mit der soeben erwahnten Dichteeigenschaft
aufgebaut. DaB dieser Uber Satz 2.2.2 und Def. 2.2.3 be
schriebene Zugang angemessen ist, zeigt sich insbesondere
auch in Satz 2.2.4, der eine allgemeine Dualitatsaussage
liefert, welche die entsprechenden klassischen Resultate
umfaBt.
Ein wei teres Anliegen der beiden ersten Paragraphen be
steht in dem ausfuhrlichen Vergleich mit von uns an fruherer
Stelle gegebenen Multiplikatordefinitionen. So entspricht
der in [25J beschriebene Zugang uber Biorthogonalsysteme
{fk;f~} cXxX* in zuUissigen Banach Raumen X jetzt dem Spe
zialfall diskreter Entwicklungen, wobei z.B. (1.2) die Gestalt
(f E H)
annimmt. DaB hier allgemeine SpektralmaBe verwendet werden,
ergibt sich allein schon aus dem Wunsch, auch kontinuierli
che wie das Fourier SpektralmaB (2.3.2) zuzulassen, urn so
die klassischen Nikolskii Ungleichungen fur ganze Funktio
nen exponentiellen Typs unmittelbar aus einer abstrakten
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Theorie zurUckgewinnen zu k6nnen. Andererseits erlaubte
der Koeffizientenzugang aus [25], d.h. die Verwendung eines
Biorthogonalsystems anstelle einer Schar {Pk} von Projek
tionen, Multiplikatoren zwischen verschiedenen Banach Rau
men X,Y zu untersuchen. In der vorliegenden Arbeit k6nnen
dagegen im wesentlichen nur beschrankte Multiplikatoren
(vgl. (1.2» und somit nur Operatoren betrachtet werden,
die einen Banach Raum X in sich abbilden. er
Schlie~lich
laubt Satz 2.2.4 Uber Def. 2.2.1 den Anschlu2 an den in
[29] gewahlten Aufbau.
Der in § 2.1 - 2 beschriebene Zugang erm5glicht in § 3.1,
einen Polynombegriff in Banach Raumen einzufUhren. Dabei
ist die Vorgehensweise bestimmt durch die klassische Situa
tion, wo H = L2(RN) gesetzt ist, die Raume X = LP(RN),
1 <; p <; co, betrachtet werden und als Polynome vom (radialen)
Grad p > 0 diejenigen ganzen Funktionen vom
(radialen) exponentiellen Typ p angesehen werden, deren
Restriktion auf den reellen, N-dimensionalen Eukl.idischen
Raum RN in LP(RN) liegt. Der Anschlu2 an die abstrakte
Def. 3.1.1 ergibt sich dann Uber den Satz von Paley-Wiener
-Schwartz, der Ep als die Menge aller der Funktionen aus
LP(RN) charakterisiert, deren Fourier Transformierte kom
pakten Trager besitzen.
Zur Herleitung von Nikolskii Ungleichungen zwischen ver
schiedenen Normen so definierter, verallgemeinerter Poly
nome folgen wir dann einem Zugang, der im Grundgedanken auf
E.M. Stein [31] zurUckgeht. Seine Idee war es, da2 man den
Riesz-Thorin Interpolationssatz auf Polynomklassen in
Lebesgue anwenden kann, wenn es gelingt, eine (gleich
R~umen
gradig) beschr~nkte Folge {V } von auf allen LP-R~umen de-
n
finierten Operatoren so zu konstruieren, da2 eine gewisse
Projektionseigenschaft erfiliit ist, d.h., da2 jedes V
n
Polynome Dis zum Grade n identisch reproduziert. Stein's
Vorlage waren die klassischen de La Vallee Poussin Summen
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(delayed means) fUr das trigonometrische System. In (27)
wurde dieser Gedankengang schon benutzt, um Nikolskii Un
gleichungen im Zusammenhang mit regul~ren, di8k~eten Or
thogonalsystemen in gewichteten Lebe8gue R~umen herzu
leiten.
Um nun dieses Programm in der hier betrachteten, ab
strakten Situation ausfUhren zu konnen, werden allgemeine
Multiplikatorkriterien ben5tigt. Es ist somit entscheidend,
daB solche Kriterien auf der Basis gewisser Summierbar
keitsvoraussetzungen (sog. regul~re SpektralmaBe, vgl.
Def. 2.1.6, Kor. 2.2.8) vorhanden sind (vgl. [10). Da
fUr den allgemeinen Aufbau letztlich nur glatte Multipli
katoren mit kompaktem verwendet werden, konnen wir
Tr~ger
uns hier auf den ganzzahligen, radialen Fall Riesz be
schrankter SpektralmaBe beschranken, was die Kriterien in
Satz 2.1.7 bzw. Kor. 2.2.8 impliziert (fUr wesentlich all
gemeinere Versionen sei auf [11;46;47;52) und die dort
aufgefUhrte Literatur verwiesen). Jedenfalls reichen diese
recht elementaren Kriterien aus, um die Operatoren Taus
E,p
(3.1.4) bzw. V aus (3.2.2) zu konstruieren, die ihrerseits
p
die Def. 3.1.1 der (verallgemeinerten) Polynome bzw. die
Def. 3.2.1 der de La Vallee Poussin Mittel ermoglichen.
Nach diesen Vorbereitungen konnen die zur Herleitung von
Nikolskii-Typ Ungleichungen benotigten Eigenschaften der
Raume in Def. 3.2.3 zum Begriff eines geeigneten Banach
Raumes zusammengefaBt werden.
Wahrend die klassischen Nikolskii Ungleichungen Abschat
zungen eines trigonometrischen Polynoms im Rahmen der LP-
-Skala von Lebesgue Raumen beinhalten, liefern die Unglei
chungen aus § 4.2 Abschatzungen von (verallgemeinerten)
Polynomen in den Normen von Interpolationsr~umen zwischen
geeigneten Banach R~umen. Dazu werden zun~chst in § 4.1
einige Grundlagen und Eigenschaften der Theorie der Inter
polation von Banach R~umen bereitgestellt, wobei bzgl. der
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Konstruktion von Interpolationsr~umen die reelle K-Methode
von Lions-Peetre und die komplexe Methode nach Calderon
betrachtet werden. § 4.2 geht dann von einem Interpolations
paar (XO,X1) von (bzgl. einer rest vorgegebenen Orthogonal
struktur H,E) geeigneten Banach R~umen aus, so daB Polynome
und de La Vallee Poussin Mittel in Xo,X1 und somit in allen
Interpolationsr~umen zwischen Xo und Xl wohlderiniert sind.
Unter der Voraussetzung einer Nikolskii-Typ Ungleichung,
der die Polynome in den Normen der (Endpunkt-) R~ume Xo'
Xl genUgen sollen (siehe Nikolskii Eigenschaft (4.2.1}),
kl)nnen dann in Satz 4.2.1 - 2 allgemeine Ungleichungen vom
Nikolskii-Typ zwischen den Normen von Interpolationsr~umen
zwischen Xo'X1 hergeleitet werden (fUr eine knappe Dar
stellung des Grundgedankens sei auch auf [29] verwiesen).
Spezialf~lle der in § 4.2 bereitgestellten allgemeinen
Ungleichungen vom Nikolskii-Typ liefern den Zusammenhang
mit klassischen Ungleichungen von S.N. Bernstein 1912
(1. 3) II t' II p
n L
211"
und ihrer Verallgemeinerung von M. Riesz 1914
(1.4) <; !!II t ( u +.2!...) - t ( u _.2!... ) II
2 n 2n n 2n LP
211"
fUr trigonometrische Polynome tn. muS jedoch in
Zun~chst
§ 3.3 ein abstrakter Zugang zu Potentialr~umen konstruiert
werden. Hierzu gehen wir von einer lokal E-wesentlieh be-
N
sehr~nkten Funktion 1/1 E Lmlo e (R ,E) aus und betraehten den
Operator
81/1P : = f 1/1 (u) dE (u ) P,
I I
u <; P
der fUr Polynome P in H vom (radialen) Grad p > 0 wohldefi
niert ist. Der Potentialraum Xl/I eXist dann definiert als
der Definitionsbereich des X-Absehlusses von 81/1, falls er
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existiert. Wieder sind es die de La Vallee Poussin Mittel,
die hierbei Uber den Begriff eines lokalen Multiplikators
ein handliches, hinreichendes Kriterium erm~glichen (siehe
Satz 3.3.3). Es ist nun interessant, in diesem Zusammen
da~
hang immer die Bernstein-Typ Ungleichung (vgl. (4.2.19»
(1. 5)
fUr Polynome P vom (radialen) Grad p>O gilt, wobei die Ord-
p
nung ~ Uber (4.2.18) gegeben ist und sich in den Anwendun-
gen zumeist als bestmoglich herausstellt. So entspricht im
Spezialfall ~(u) := iu bzgl. des trigonometrischen Systems
der Operator B~ der ersten Ableitung d/dx, und (1.5) repro
duziert (1.3) bis auf eine Konstante. Andererseits fassen
wir in dieser Arbeit Bernstein Ungleichungen als Nikolskii
-Typ Ungleichungen in Bezug auf die R~ume X,X~ auf, und
Satz 4.2.3 besagt, da~ fUr einen geeigneten Banach Raum X
und einen Potentialraum X~ eX immer die Nikolskii Eigen
schaft (4.2.20) erfUllt ist. Als unmittelbare Anwendung der
allgemeinen S~tze 4.2.1- 2 folgen somit in Kor. 4.2.4 Unglei
chungen vom Bernstein-Nikolskii-Ty.p in
Interpolationsr~umen
zwischen X,X~.
Die von (1.5) zu einer Ungleichung vom
Versch~rfung
Riesz-Typ wird in § 4.3 behandelt. Wieder wird sich (1.4)
als ein sehr einfacher Spezialfall der allgemeinen Unglei
chung (4.3.11) herausstellen (vgl. Kor. 5.1.3).
An Hand einer Reihe recht unterschiedlicher Beispiele
sollen in Kap. 5 einige Anwendungsmoglichkeiten der bislang
abstrakt gehaltenen Ergebnisse aufgezeigt werden. Dabei
5011 insbesondere demonstriert werden, mit dem hier ge
da~
allgemeinen Zugang ein einheitlicher Rahmen fUr
w~hlten
eine Vielzahl bekannter wie neuer, konkreter Ungleichungen
vom Bernstein-Nikolskii-Riesz-Typ gegeben ist.
In § 5.1 besch~ftigen wir uns mit den Anwendungen im
Zusammenhang mit dem N-dimensionalen trigonometrischen
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System. Interpoliert man das Paar wA := (L121 f,L'2"'w ) nach der
komplexen Methode, so erh~lt .man als unmittelbare Anwendung
von Satz 4.2.2 die klassische Ungleichung (1.1) (fUr trigo
nometrische Polynome tp(u) := Ilkl~p ckeikU), w~hrend sich
Uber die reelle Interpolationsmethode so fort ihre Verallge
meinerung auf Lorentz R§ume (etwa 1 < Po < Pl < '"', 1 ~ Qo,ql ~ '"')
N(l/po-l/Pl)
ItpI L2 .. (Pl,Ql) ~ Cp.Q.(2p+l) ItplL (p Q)
.. J J 21f 0' 0
ergibt (siehe Kor. 5.1.1). Geht man dagegen von dem Paar
!:= (C21f,C~1f) aus und interpoliert reell, so liefert eine
Anwendung von Satz 4.2.1 die Absch§tzung
(O~a~a~r)
in Lipschitz R§umen (siehe Kor. 5.1.5). SchlieBlich sei noch
auf die Riesz-Typ Ungleichung (5.1.29)
in L~n aufmerksam gemacht, wobei Dm eine Ableitung (vgl.
(5.1.1» der Ordnung UmU = r und w der r-te radiale Ste-
r,p
tigkeitsmodul (5.1.27) ist (vgl. auch Kor. 5.5.6 -7).
In § 5.2 behandeln wir entsprechende Fragen fUr Jacobi
Entwicklungen. 1st LP(-l,l) der Ubliche Lebesgue Raum bzgl.
w a b
des Gewichts w(u):= (l-u) (1+u) , a,b>-l, a+b~-l, so
fUhrt eine komplexe Interpolation des Paares !:= (Ll,L'"')
w w
zu der allgemeinen Nikolskii Ungleichung (5.2.7) fUr Jacobi
Polynome, die im Spezialfall a = b = 0 (Legendre) die klassi
sche Nikolskii Ungleichung
fUr algebraische Polynome reproduziert (siehe (5.2.8».
