Table Of ContentDer Abdruck der Arbeiten [B] und [C] erfolgte mit freundlicher Genehmigung des VerJages Walter
de Gruyter & Co., Berlin (West).
Der Verlag dankt der Leipziger Universitiitsbibliothek (AuBenstelle der Sektion Mathematik der Karl
Marx-Universitiit), insbesondere Frau I. LETZEL, fUr vielf"altige Unterstiitzung.
Seite 6 zeigt die Portriitbiiste "Georg Cantor" (W. LOBACH, Berlin, 1915), die sich im Besitz der Martin
Luther-Universitiit Halle-Wittenberg befindet (Foto: D. BRANDT, Halle).
Die Vorlagen fUr den Faksimileabdruck des Briefes auf den Seiten 42-44 stellte nach einem Hinweis
von W. JENTSCH, Halle, freundlicherweise das Institut Mittag-Leffler, Djursholm, zur VerfUgung.
Die Vorlage fUr den Faksimileabdruck auf Seite 156 stellte freundlicherweise das Archiv fUr Geschichte
der Naturforschung und Medizin, Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina HallejSaale,
zur VerfUgung (Nr. 2849; vgl. AHL 15, 1983, S. 42).
Der Verlag dankt auBerdem Herrn Buchbindermeister W. FRENKEL, Leipzig, fUr die hilfreiche Unter
stiitzung.
ISBN-13:978-3-211-95826-1 e-ISBN-13:978-3-7091-9516.1
DOl: 10.1007/978-3-7091-9516-1
TEUBNER-ARCHIV rur Mathematik' Band 2
@ BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1984
1. AufJage
VLN 294-375/47/84 . LSV 1095
Lektor: Jiirgen WeiB
Gesamtherstellung: INTERDRUCK, Graphischer GroBbetrieb Leipzig, III/18/97
G. Cantor
Cber unendliche,
lineare Punktmannigfaltigkeiten
Arbeiten zur Mengenlehre aus den lahren
1872-1884
Herausgegeben und kommentiert
von
G. ASSER
Dieser zweite Band der Reihe "TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik" enthiilt mit
Kommentaren versehene fotomechanische Nachdruckeder in den Jahren 1872 bis 1884
erschienenen mengentheoretischen Arbeiten GEORG CANTORS, mit denen dieser - nach
einer heute allgemein anerkannten Auffassung - zum Begriinder der Mengenlehre und
der mengentheoretischen Topologie wurde.
Damit Iiegen 100 Jahre nach Erscheinen der grundlegenden Arbeiten CANTORS zur
Mengenlehre diese wieder im Original und aus heutiger Sicht kommentiert vor.
m
LEIPZIC
BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig
Distributed by Springer-Verlag Wien New York
The second volume in the series "TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik" contains an
annotated photomechanical reprint of the writings on the Theory of Sets published by
GEORG CANTOR in the years 1872 to 1884, works which, by common consent, made
CANTOR the founder of the theory of sets and set topology.
Thus, 100 years after their first appearance, CANTOR'S basic texts on set theory are
again available in their original form, with the addition of a commentary that views the
material from a present day standpoint.
Ce deuxieme volume de la serie "TEUBNER-ARCH IV zur Mathematik" contient
des reimpressions photomecaniques, accompagnees de commentaires, des travaux de
a
GEORG CANTOR sur la theorie des ensembles, parus au cours des annees 1872 1884, par
lesquels celui-ci - d'apres une conception generalement reconnue aujourd'hui - devenait
Ie fondateur de la theorie des ensembles et de la topologie ensembliste.
Ainsi, 100 ans apres la parution des travaux fondamentaux de CANTOR sur la theorie
des ensembles, ceux-ci reapparaissent dans leur version originale, avec des commentaires
d'un point de vue actuel.
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Vorwort
Der vorliegende zweite Band der Reihe "TEUBNER-ARCHlY zur Mathematik" ent
hillt fotomechanische Nachdrucke der grundlegenden Arbeiten Georg CANTORS zur
Mengenlehre aus den Jahren 1872 bis 1884. Er umfaBt allejene Publikationen CANTORS,
durch die er - nach einer heute allgemein akzeptierten Auffassung - zum Begriinder der
Mengenlehre und der mengentheoretischen Topologie wurde, und will damit diese fUr
die Herausbildung der heutigen Mathematik so fundamentalen Arbeiten einem breiten
Leserkreis im Original leicht zugiinglich machen.
Das ist zum ersten die Arbeit "Uber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der
trigonometrischen Reihen" aus dem Band 5 der Mathematischen Annalen, die an frtihere
Publikationen CANTORS tiber trigonometrische Reihen ankntipft und durch die deutlich
wird, daB es zuniichst konkrete analytische Probleme waren, die CANTOR auf die Be
trachtung mengentheoretischer Begriffe fUhrten. Sie enthiilt einerseits die heute allgemein
mit seinem Namen verkntipfte Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen zum
Bereich der reellen Zahlen mittels Fundamentalfolgen und das nach ihm benannte Stetig
keitsaxiom. Andererseits wird in ihr der Begriff der ersten Ableitung P' einer (Iinearen)
Punktmenge P eingeftihrt, der heute einer der grundlegenden BegritTe der mengentheore
tischen Topologie ist und der in den spiiteren Publikationen CANTORS bei der Herausbil
dung der allgemeinen Mengenlehre eine wesentIiche Rolle spielte und ihn insbesondere
zu den transfiniten Ordinalzahlen ftihrte.
Das sind weiterhin die Arbeiten "Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen
aigebraischen Zahlen" und "Ein Beitrag zur Mannigfaitigkeitslehre" aus den Biinden 77
und 84 des Journals fUr die reine und angewandte Mathematik, in denen CANTOR einer
seits die Abziihlbarkeit der Menge der reellen algebraischen Zahlen und die Uberabziihl
barkeit der Menge aller reellen Zahlen sowie andererseits die Gleichmiichtigkeit von
Ebene und Gerade beweist. Mit ihnen legte CANTOR, den Grundstein fUr seine spiitere
Theorie der Miichtigkeiten oder Kardinalzahlen.
SchlieBIich enthillt die vorliegende Ausgabe die 6 Teile der in den Mathematischen
Annalen publizierten Cantorschen Arbeit "Uber unendliche, Iineare Punktmannichfaltig
keiten" aus den Jahren 1879 bis 1884. Sie stellen den eigentIichen Hohepunkt in CANTORS
Schaffe n auf dem Gebiet der Mengenlehre dar. In ihnen gelangt er schrittweise zu den
grundlegenden Begriffen der Mengenlehre und zu wichtigen Begriffen der mengentheore
tischen Topologie (Punktmengenlehre).
Den AbschluB der mathematischen Untersuchungen CANTORS zur Mengenlehre bilden
die beiden Teile seiner 1895 und 1897 nach einer langen durch Krankheit bedingten
Schaffenspause in den Biinden 46 und 49 der Mathematischen Annalen erschienenen
A'Tbeit "Beitriige zur Begrtindung der transfiniten Mengenlehre". In ihr gibt er eine syste
matische Darstellung seiner Resultate tiber transfinite Zahlen. Die Herausgabe eines
fotomechanischen Nachdrucks ist fUr einen spiiteren Ban:d dieser Reihe in Aussicht ge
nommen.
Die Nummern auf der Randleiste der vorliegenden Ausgabe verweisen auf die Kom
mentare und Anmerkungen am Ende dieses Bandes, welche das Yerstiindnis der entspre
chenden Textstelle erleichtern sollen. Bezeichnungen CANTORS, die von den heute tiblichen
Bezeichnungen wesentlich abweichen, sind in einer Liste auf der Seite 157 zusammen
gestellt und erkliirt. Ftir Begriffe, die CANTOR rein anschaulich benutzt, wird in den
Kommentaren eine Lesart vorgeschlagen, die den Cantorschen Yorstellungen und
seinen Beweisideen moglichst nahe kommt. Obwohl die Cantorschen Resultate oft man-
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Vorwort
nigfacher Verallgemeinerungen fahig sind, wird nur in wenigen Ausnahmefiillen hierauf
naher eingegangen. Das Literaturverzeichnis am Ende dieses Bandes enthiilt eine Aus
wahl von Werken, in denen die Weiterfilluung der Cantorschen Untersuchungen beson
ders deutlich wird und wo dann meistens auch die von ihm erzielten Resultate in einen
allgemeineren systematischen Zusammenhang gestellt werden. Auf biographische Fragen
wird in den Kommentaren nur am Rande eingegangen, da in den zahlreichen ausgezeich
neten Biographien CANTORS, von denen die wichtigsten ebenfalls im Literaturverzeichnis
aufgefiihrt sind, die enge Verfiechtung von Personlichkeit und Werk sichtbar wird.
Mit dem vorliegenden Band verbinden Verlag und Herausgeber den Wunsch und die
Hoffnung, daB er - 100 Jahre nach Erscheinen des obengenannten sechsteiligen Beitra
ges - viele und insbesondere auch jiingere Mathematiker dazu anregert moge, einmal
einen Blick in klassische Arbeiten ihres Faches zu werfen, zu denen sicher auch die hier
vereinigten Arbeiten CANTORS zur Mengenlehre gehoren.
Greifswald, August 1984 GiiNTER ASSER
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Inhalt
[A] G. Cantor: Dber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonome-
trischen Reihen. (Math. Ann. 5 (1872), 123-132; [26, S. 92]) .......... , . .. . . 9
[B] G. Cantor: Dber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen
Zahlen. (Journal f. d. reine u. angew. Math. 77 (1874), 258-262; [26, S. 115]) ... 20
[C] G. Cantor: Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. (Journal f. d. reine u. angew.
Math. 84 (1878), 242-258; [26, S. 119]) .................................. 25
[D] G. Cantor: Dber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten ([26, S. 139])
Teil 1. (Math. Ann. 15 (1879), 1-7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
Teil2. (Math. Ann. 17 (1880), 355-358) .................................. 52
Teil3. (Math. Ann. 20 (1882), 113-121) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56
Teil4. (Math. Ann. 21 (1883), 51-58) . . . . .. . . . .. . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . .. .. 65
Teil5. (Math. Ann. 21 (1883), 545-591) . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . .. . . . . . . . . .. 73
Teil6. (Math. Ann. 23 (1884),453-488) .................................. 120
Kommentare und Anmerkungen ......................................... 157
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 177
Namen-und Sachverzeichnis ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 178
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GEORG CANTOR wurde am 3. Marz (19. Februar) 1845 in St. Petersburg geboren.
Schon in jungen Jahren kommt er mit seinen Eltern nach Deutschland. Er besucht 1856
bis 1859 in Wiesbaden das Gymnasium, 1859/60 in Darmstadt die Realschule und an-·
schlieBend Kurse der dortigen Hoheren Gewerbeschule. 1862 beginnt er in Ztirich mit
dem Studium der Mathematik und setzt dieses 1863-1867 in Berlin bei KUMMER, KRO
NECKER und WEIERSTRASS fort. 1867 promoviert er in Berlin und legt 1868 die Staats
prtifung flir das Lehramt abo Er habilitiert sich 1869 an der Universitat Halle und wirkt
hier, zunachst als Privatdozent, ab 1872 als Extraordinarius und ab 1879 als Ordinarius,
bis zu seiner Entpfiichtung im Jahre 1913. 1m Jahre 1884 erleidet CANTOR einen schweren
psychischen Zusammenbruch, und in den weiteren Lebensjahren unterbrechen haufige
Depressionen sein wissenschaftliches Schaffe n. Auf seine wesentliche Initiative kommt
es 1890 zur Grtindung der "Deutschen Mathematiker-Vereinigung", zu deren erstem
Vorsitzenden er gewahlt wird, und er gehort zu den Initiatoren internationaler Mathe
matikerkongresse, deren erster 1897 in Ztirich stattfand. CANTOR war Mitglied der Natur
forschenden Gesellschaft (Leopoldina) in Halle, Korrespondierendes Mitglied der Got
tinger Gesellschaft cler Wissenschaften, Ehrenmitglied zahlreicher wissenschaftlicher
Gesellschaften sowie Ehrendoktor der Universitaten Christiania und St. Andrews. Am
6. Januar 1918 ist GEORG CANTOR in Halle verstorben.
"Fruchtbaren Begriffsbildungen und SchluBweisen wollen wir,
wo immer nur die geringste Aussicht sich bietet, sorgfaltig nach
sptiren und sie pfiegen, sttitzen und gebrauchsfahig machen. Aus
dem Paradies, das CANTOR uns geschaffen, solI uns niemand ver
treiben konnen."
DAVID HILBERT
"Die in den Jahren 1879-84 in sechs Teilen erschienene Abhand
lung gehort zu den Erscheinungen in der Geschichte, wo sich ein
durchaus. neuer, mit den Anschauungen der Vergangenheit und
Gegenwart in volIigem Widerspruch stehender Gedanke von
epochemachender Bedeutung durchringt und mit wachsender
Deutlichkeit herauskristalIisiert, in seiner Ktihnheit und Neu
artigkeit auch dem Schopfer seIbst nur allmahlich bewuBt wer
dend .,' Die Redaktion der Mathematischen Annalen hat sich ein
hohes Verdienst erworben, indem sie die Spaiten ihrer Zeitschrift
diesen Ideen offnete, die damaIs die mathematische und philo
sophische Welt vor den Kopf stieBen und noch tiber ein Jahrzehnt
lang einen bitteren Kampf urn ihre Anerkennung zu flihren
hatten,"
ADOLF FRAENKEL
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MATHEMATISCHE ANNALEN
HERAUSGEGEBEN
VON
A. CLEBSCH UND C. NEUMANN,
PRO.'J:i:S80R IN GOTTINGRN. pnO}'ESSOR IN T.. E[PZIG.
V. Band.
LEIPZIG,
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.
1872.
Uebel' die Ausdehnung eines Satzes aus del' Theorie
del' trigonometrischen Reihen.
Von G. CANTOR in HALLE a. S.
1m Folgenden werde ieh eine gewisse Ausdehnung des Satzes,
dass die trigonometrisehen Reihendarstellungen eindeutig sind, mit
theilen.
Dass zwei trigonometrisehe Reihen:
+ + + +
tbo I (an sinnx bn cos nx) und -lbo' I (a,: sin nx bn' cos nx),
welehe filr jeden Werth von x eonvergiren und dieselbe Summe haben,
iu ihren Coeffieienten ubereinstimmen, habe ieh im "Journal fur die
reille und angewandte Mathematik, Bd. 72. S. 139" naehzuweisen
versucht; in einer auf diese Arbeit sieh beziehenden Notiz habe ieh
a. a. O. ferner gezeigt, dass dieser Satz aueh erhalten bleibt, wenn
man fill' eine endliehe Anzahl von Werthen des x entweder die Con
vergenz oder die Uebereinstimmung der Reihensummen aufgiebt.
Die hier beabsiehtigte Ausdehnung besteht darin, dass filr eine
unendZ-iche 1\.nzahl von Werthen des x im Intervalle (0 ... (2 :11:)) auf
die Convergenz oder auf die Uebereinstimmung der Reihensummen
verziehtet wird, ohne dass die Gliltigkeit des Satzes aufhOrt.
Zu dem Ende bin ieh aber genothigt, wenn aueh zum grossten
Theile. nul' andeutungsweise, Erorterungen voraufzusehieken, welehe
dazu dienen mogen, Verhaltllisse in eill Licht zu stellen, die stets auf
tl'eten, sobald Zahlengrossell in endlieher odel' unendlieher Anzahl
gegeben sind; dabei werde ieh zu gewissen Definitionen hingeleitet,
welehe hier nur zum Behufe einer mogliehst gedrallgten Darstellung
des beabsiehtigten Satzes, dessen Beweis im § 3. gegeben wird, auf
gestellt werden.
§ 1. 2
Die rationalen Zahlen bilden die Grundlage fUr die Feststellung
des weiterell Begrifl'es einer Zahlengrosse; ieh will sie das Gebiet A
nennen (mit Einsehluss der Null).
Wenn ieh VOIl einer Zahlengrosse im weiteren Sinne rede, so
gesehieht es zunaehst in dem FaIle, dass eine dureh eill Gesetz ge
gebene unendliehe Reihe von rationalen Zahlen:
(1) au au'" an, ...•.
vorliegt, welehe die Beschafl'enheit hat, dass die Differenz an+m - an
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