Über Thetareihen zu großen Untergruppen der rationalen Modulgruppe: Vorgelegt in der Sitzung vom 15. Januar 1972

64 Pages·1972·2.627 MB·German

by  W. H. H. Petersson (auth.)

w.
H. H. Petersson
aber Thetareihen zu groj3en Untergruppen
der rationalen Modulgruppe
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
Jahrgang 1972, 1. Abhandlung
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
Sitzungsberichte
der Heidelberger Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
Die Jahrgiinge bis 1921 einschliejJlich erschienen im Verlag von Carl Winter, Universitiits
buchhandlung in Heidelberg, die Jahrgiinge 1922-1933 im Verlag Walter de Gruyter & Co.
in Berlin, die Jahrgiinge 1934-1944 bei der WeijJschen Universitiitsbuchhandlung in Heidel
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1. W. Rauh. Vegetationsstudien im Hohen Atlas und dessen Vorland. DM 17.80.
2. E. Rodenwaldt. Pest in Venedig 1575-1577. Ein Beitrag zur Frage der Infektkette bei
den Pestepidemien West-Europas. DM 28.-.
3. E. Nickel. Die petrogenetische Stellung der Tromm zwischen BergstraBer und Biillsteiner
Odenwald. DM 20.40.
Inhalt des Jahrgangs 1953/55:
1. Y. Reenpaa. Uber die Struktur der Sinnesmannigfaltigkeit und der Reizbegriffe. DM 3.50.
2. A. Seybold. Untersuchungen tiber den Farbwechsel von Blumenblattern, Frtichten und
Samenschalen. DM 13.90.
3. K. Freudenberg und G. Schuhmacher. Die Ultraviolett-Absorptionsspektren von ktinst
lichem und nattirlichem Lignin sowie von Modellverbindungen. DM 7.20,
4. W. Roe1cke. Uber die Wellengleichung bei Grenzkreisgruppen erster Art. DM 24.30.
Inhalt des Jabrgangs 1956/57:
1. E. Rodenwaldt. Die Gesundheitsgesetzgebung der Magistrato della sanita Venedigs
1486-1550. DM 13.-.
2. H. Reznik. Untersuchungen tiber die physiologische Bedeutung der chymochromen Farb
stoffe. DM 16.80.
3. G. Hieronymi. Uber den altersbedingten Formwandel elastischer und muskularer Arterien.
DM 23.-.
4. Symposium tiber Probleme der Spektralphotometrie. Herausgegeben von H. Kienle.
DM 14.60.
Inhalt des Jahrgangs 1958:
1. W. Rauh. Beitrag zur Kenntnis der peruanischen Kakteenvegetation. DM 113.40.
2. W. Kuhn. Erzeugung mechanischer aus chemischer Energie durch homogene sowie durch
quergestreifte synthetische Faden. DM 2.90.
Inhalt des Jahrgangs 1959:
1. W. Rauh und H. Falk. Stylites E. Amstutz, eine neue Isoetacee aus den Hochanden
Perus. 1. Teil. DM 23.40.
2. W. Rauh und H. Falk. Stylites E. Amstutz, eine neue Isoetacee aus den Hochanden
Perus. 2. Teil. DM 33.-.
3. H. A. WeidenmiUler. Eine allgemeine Formulierung der Theorie der Oberflachenreak
tionen mit Anwendung auf die Winkelverteilung bei Strippingreaktionen. DM 6.30.
4. M. Ehlich und M. Mtiller. Uber die Differentialgleichungen der bimolekularen Reaktion
2. Ordnung. DM 11.40.
5. Vortrage und Diskussionen beim Kolloquium tiber Bildwandler und Bildspeicherriihren.
Herausgegeben von H. Siedentopf. DM 16.20.
6. H. J. Mang. Zur Theorie des <x-Zerfalls. DM 10.-.
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
Jahrgang 1972, 1. Abhandlung
W. H. H. Petersson
Uber Thetareihen
zu groBen Untergruppen
der rationalen Modulgruppe
(Vorgelegt in der Sitzung vom 15. Januar 1972)
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1972
ISBN-13: 978-3-540-05878-6 e-ISBN-13: 978-3-642-65417-6
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Universitiitsdruckerei H. Stiirtz AG, Wiirzburg
Uber Thetareihen zu groBen Untergruppen
der rationalen Modulgruppe
W. Hans H. Petersson
Mathematisches Institut der Universitiit, Munster
§ O. Einleitung
In der vorliegenden Abhandlung werden Thetareihen einer komplexen
Variablen konstruiert und untersucht, welche zu Untergruppen vom
Index 1 oder 3 der rationalen Modulgruppe r geh6ren. Der Indexwert 3
1
tritt bevorzugt auf; die Mehrzahl der neu eingefiihrten Thetareihen
r,9. 1r
stelIt Modulformen der sog. Thetagruppe dar, die in: den Index 3
hat. Das Vorbild dieser Modulformen findet sich als 8 = 8 unter den
3
drei klassischen Theta-Nullwerten
L
82(7:)= expn i m2 ;,
mE 1 (2)
(0.1)
+00
L
83(r)= expnim2~, 80(~)=83(r+l),
m=-oo
r,9. r
und kann als Invariarnoz gruppe von 8 in 1r od efiniert werdelnr (vgl. [8] *).
Die Invarianzgruppen [2] von 8 und [2] von 8 in (vgl. (3.7))
2 0
r,9. r;
bilden mit eine volle Klasse Konjugierter in man gelangt dem
1
gemaB wie bei (0.1) von der expliziten Darstellung einer Modulform
r,9.
der durch zwei der iiblichen Transformationen zu expliziten Dar
stellungen von Modulformen der r [2] und ro [2]. Von den Graden
0
(Dimensionen) - r der entstehenden Modulformen ist festzustellen, daB
hier ganz- und halbzahlige Werte r (die stets >0 sind) gleichberechtigt
auftreten.
lr
Als Analogon der Thetareihen (0.1) fiir die volle Modulgruppe
hat man die Dedekindsche Modulform
n
1J(~)= (expni~) (1_e2"ik<)
12 k=l
anzusehen, die durch die Eulersche Identitat
+00 ~
1J(~)= In~oo (-l)lnexpn i(6m+ 1)212 (0.2)
* Zu [n] S. das Verzeichnis der Literatur am Ende der Abhandlung.
- 5 -
6 W. H. H. Petersson
als Thetareihe dargestellt wird. Eine Darstellung als einfache Thetareihe
besteht nach C. G. J. Jacobi auch fUr 1]\1:) gemiiB
I
1]3(1:)= mexpnim2 ;. (0.3)
m= 1 (4)
Das im folgenden angewendeteVerfahren ergibt zuniichst die - natiir
lich explizite - Konstruktion einer groBeren Anzahl von unendlichen
Systemen von Thetafunktionen, welche siimtlich ganze Modulformen der
genannten Grade zur vollen Modulgruppe oder zur Thetagruppe dar
stellen. Aus ihnen lassen sich unendliche Teilsysteme solcher Funktionen
herausgreifen, deren Fourier-Koeffizienten konkreter Rechnung zugiing
lich sind. Das liefert einerseits iibersichtliche und realisierbare Bedin
gungen dafUr, daB irgendeine gegebene dieser Funktionen nicht identisch
verschwindet. Andrerseits liiBt sich bei hinreichender Spezialisierung von
einer einzelnen solchen Thetareihe oder (seltener) einer Linearkombina
tion zweier von ihnen der Divisor bestimmen. Daraus folgt unmittelbar
die Darstellbarkeit der genannten Funktion durch das zum Divisor ana
loge Potenzprodukt von Primformen der vorliegenden Gruppe.
In der diesen Darstellungen entsprechenden Auffassung der Identi
tiiten (0.2, 3) von Euler und Jacobi gestatten diese sehr weitreichende
Verallgemeinerungen und Analogisierungen. Von letzteren werden im
folgenden Text allein mehrere Dutzend angegeben; die meisten von ihnen
diirften neu sein. Zu den Verallgemeinerungen s. z. B. (7 .10 b).
Dagegen sind die verwendeten Konstruktionsprinzipien iiberwiegend
nicht neu. Sie bestehen - bei iiblicher Vorgabe einer quadratischen
Form - in Kongruenzbedingungen fUr die auftretenden ganzzahligen
Summationsbuchstaben; in oszillierenden Einheitswurzeln als Koeffi
zienten an den Reihengliedern; in Werten gewisser Ellipsoidfunktionen
(Analoga der Kugeifunktionen), ebenfalls als Koeffizienten an den
Reihengliedern; schlieBlich in der Ausnutzung gewisser Symmetrie
eigenschaften der Reihenglieder, wodurch eine - oft drastische - Reduk
tion auf Teilreihen oder Reihen mit vereinfachten Gliedern erreicht wird.
Die zugrunde liegende Hauptformel der Thetatransformation wird hier
nur fUr quadratische Diagonaiformen benotigt und bedarf zu ihrer Ab
leitung nach dem Verfahren von B. Schoeneberg [16] lediglich eines
zusiitzlichen einfachen Induktionsschlusses.
Die AusfUhrungen des Textes gliedern sich wie folgt:
Nach dieser Einleitung werden in § 1 Grundbegriffe zusammen
gestellt. Dies geschieht wegen der vorkommenden Grade, und weil nicht
selten Untergruppen von endlichem Index der Modulgruppe Erweite
rungen quer zur Modulgruppe besitzen, alsbald in der Begriffssprache
der automorphen Formen reeller Dimension zu Grenzkreisgruppen von
- 6 -
"Ober Thetareihen zu groBen Untergruppen der rationalen Modulgruppe 7
erster Art. Dazu wird ein Satz bewiesen, der sich fiir automorphe For
men, die nicht in der Gestalt Poincarescher Reihen erscheinen, als sehr
niitzlich erweist.
In § 2 wird die Hauptformel und ein zu dem obigen analoger Satz
bewiesen, der sich nun auf Thetareihen und Untergruppen der Modul
gruppe bezieht.
§ 3 enthlilt die konkrete Systematik der automorphen Funktionen,
Formen und Primformen fiir die Gruppen lr und ra., sowie eine Zusam
menstellung einfacher Thetareihen (der Grade --!- und -1-) zu diesen
Gruppen (d.h. zur ra.). Es ist bemerkenswert, daB es deren neben den
obigen B3, 11, 113 noch 5 weitere gibt. Aile 8 finden sich, leider mit Druck
fehlern, zum erstenmal in einer Tabelle bei van Lint ([9], S. 47), der
sie aufgrund ihrer Beziehung zu Dirichletreihen aus diesen abgeleitet
hat (vgl. hinsichtIich 114 B31 auch Hecke [6]).
In den §§ 4, 5, 6 werden fiir einen ersten Teil der insgesamt betrachte
ten unendlichen Reihen Resultate der oben angedeuteten Art abgeleitet.
Das geschieht in § 4 fiir Thetareihen zur quadratischen Einheitsform,
in den §§ 5, 6 fiir solche zu quadratischen Diagonalformen, in deren
Koeffizienten die Primzahlen 3 bzw. 2 eingehen. Fiir den anderen Teil
der unendlichen Reihen ergeben sich die entsprechenden Resultate aus
den bereits gewonnenen durch Transformation mit einer Matrix K't, die
ra. gemliB
(1 -3) __
K* __Vl i_ K*-1 (0.4)
2- 1 -1 - 2
in sich iiberfiihrt (§ 7).
1m angehiingten § 8 wird die Wirkung des Vorzeichens ( _l)m in der
Thetareihe in (0.2) auf die Eigenschaften der dargestellten Funktion
paradigmatisch durch den Vergleich mit
+ -r
00
Bo(-r, 6)= m=~oo expn i(6m+ 1)212 (0.5)
demonstriert. Es zeigt sich, daB Bo(-r,6) eine automorphe Form der
Gruppe ro [6] darstellt; diese hat vier Spitzenklassen und in 1r den
Index 12. Das gegeniiber 11(-r) kompliziertere Verhalten von Bo(-r,6)
kommt auch in der Tabelle der Ordnungen dieser Funktion in den
Spitzen sowie in ihrer Darstellung
Bo(-r,6)=11-1(-r)11(2-r)112(3-r)11-1(6-r) (0.6)
zum Ausdruck; (0.6) ergibt zuslitzlich die explizite Gestalt des Multi
plikatorsystems von Bo (-r, 6) auf r 0 [6]. Aus der genannten Tabelle lliBt
sich sehr einfach ableiten, daB r 0 [6] als diskrete Invarianzgruppe von
Bo(-r,6) in SL(2, JR.) maximal ist.
7 -
8 W. H. H. Petersson
Das auf 8 (7:, 6) angewendete Verfahren liefert analoge Resultate fiir
0
drei einfache Thetareihen lihnIicher Art, die jedoch ganze Spitzenformen
des Grades - 1-darstellen. Als Invarianzgruppen erscheinen r 0 [2], ro [2],
r
0 [3]. Durch diese Thetareihen lassen sich die Restfunktionen bei der
analytischen Approximation der Darstellungsanzahlen durch ternare
quadratische Formen in [1] ausdriicken.
Allgemein kann gesagt werden, daB die Darstellung ganzer Spitzen
formen durch Thetareihen, etwa die der §§ 4-7 (soweit ausfiihrbar)
gegeniiber der Darstellung durch Poincaresche Reihen einen eminenten
Vorteil deshalb aufweist, weil es praktisch so gut wie unmoglich ist,
die Fourier-Koeffizienten Poincarescher Reihen numerisch zu bestimmen.
Die Thetareihen bieten in diesem Zusammenhang wohl auch den Vorteil
betrachtlicher Vereinfachung gegeniiber den Funktionen von [13], § 7,
die ebenfalls finit berechenbare Fourier-Koeffizienten haben. Allerdings
besteht fUr die Funktionen aus [13], § 7, und ihre zu den anderen Multi
plikatorsystemen gehOrigen Analoga diese Eigenschaft im Verein mit der
Basiseigenschaft beziiglich der ganzen Formen bei beliebiger negativer
reeller Dimension.
Wenn man die Anzahl der Darstellungen natiirlicher Zahlen durch
die Werte bestimmen will, die eine gegebene quadratischeForm in den
Punkten eines gegebenen Gitters annimmt, und wenn man hierbei so
wohl die exakte Asymptotik als auch die finite Berechenbarkeit der
Darstellungs-Komponenten erreichen will, so benotigt man diese zweite
Eigenschaft fUr die Fourier-Koeffizienten der beteiligten ganzen Spitzen
formen. Explizite Losungen dieser Art werden fiir zwei solche Probleme
in § 8 angegeben. Auf die Behandlung anderer solcher Probleme in [21J
mit bis zu drei verschiedenen Methoden sei hingewiesen; keine dieser
Methoden ist der hier verwendeten ahnlich.
Einige der weiter unten abgeleiteten Identitaten lassen sich als Dar
stellungen von 11m (fUr sehr wenige ganze m> 3) durch Thetareihen inter
pretieren. Dieser Sachverhalt entspricht den Zielen einiger Verfasser, die
nach (nicht-trivalen) finiten Darstellungen der Fourier-Koeffizienten
moglichst vieler der 11m gesucht haben. Eine sehr kleine Anzahl solcher
Darstellungen ist, wie berichtet*, elementar-arithmetisch bewiesen wor
den, was hohes Interesse beanspruchen darf (vgl. hierzu die AusfUhrungen
zum FaIle m = 1 in [2], Kap. 7).
§ 1. Grundlagen. Ein Satz fiber automorphe Formen
Wir verstehen unter <C, JR., <Q, 7l, IN die Mengen bzw. der komplexen,
reeIlen, rationalen, ganzen, natiirlichen Zahlen; a = : b und b: = a be-
* Personliche Mitteilung von Herrn Morris Newman (Bureau of Standards, Washing
ton D.C., USA). Danach verdankt man Herrn Freeman Dyson sowohl neue Resultate
als auch sehr anregende Vermutungen in dieser Richtung.
- 8 -
Uber Thetareihen zu groBen Untergruppen der rationalen Modulgruppe 9
deuten, daB b durch a definiert wird. -r = x + iy (x, yE 1R.) bezeichnet eine
komplexe Variable, die meistens auf die obere Halbebenef>:={-rE<Cly>O}
~)
beschrankt wird. Einer Matrix S= (: aus GL(2,1R.) wird die
Abbildung
a-r+b
(Ll)
c-r+d
der -r-Kugel auf sich zugeordnet.
r
Unter einer Grenzkreisgruppe von erster Art verstehen wir eine
~ _~)
diskrete, die Matrix - I: = ( - enthaltende Untergruppe von
18:= SL(2,1R.) (1.2)
r
derart, daB die durch (1.1) homomorph entsprechende Abbildungs
r
gruppe einen meBbaren Fundamentalbereich in f> von endlichem posi
tivem hyperbolischen Flacheninhalt besitzt. Bezeichnet 4 n Pr dies en
Flacheninhalt, so gilt
r
r
Hier ist Pr das Geschlecht von (d. h. der entsprechenden kompakten
r,
Riemannschen Flache) und qr das VerzweigungsmaB von d.h., die uber
die Vertreter der Kongruenzklassen parabolischer und elliptischer Fix
punkte mod r in f>u1R.u{oo} zu erstreckende 1'(1_[-1), wo I die betr.
Fixpunktordnung angibt. Bei parabolischen Fixpunkten hat man sinn
gemaB [-1 = 0 zu setzen. Die obige Summe kann, wenn wie ublich einem
Nichtfixpunkt in f> die Fixpunktordnung 1 zugewiesen wird, uber aIle
r
Kongruenzklassen mod in f>r:=f>u~ erstreckt werden; ~ bezeichnet
r.
die Menge der parabolischen Fixpunkte (Spitzen) von Der Gruppen
rang Pr nimmt beim Dbergang von r zu einer - I enthaltenden Unter
gruppe £1 von r mit m:= [r: £1]< 00 den Faktor m auf.
Zu den Grenzkreisgruppen von erster Art geh6ren die Modulgruppe
lr: =SL(2, Z), aIle ihre -I enthaltenden Untergruppen von endlichem
Index sowie deren samtliche Obergruppen in 18, soweit diese diskret
r
sind. Bezeichnet eine Untergruppe der Modulgruppe mit den genannten
Eigenschaften, so gilt
(1.3)
Wir ubertragen die Typeneinteilung und die Fixpunkte der Ab
bildungen (1.1) (wie z. T. bereits geschehen) auf die betr. Matrizen S
und Eigenschaften von Mengen von Abbildungen (1.1) ebenso auf die
r ±I
betr. Matrizenmengen. Wenn parabolische Matrizen =1= enthiilt,
- 9 -