Über Pro-p-Fundamentalgruppen markierter arithmetischer Kurven

0.36 MB·German

by  Alexander Schmidt

Über Pro-p-Fundamentalgruppen
markierter arithmetischer Kurven
Alexander Schmidt
16. Januar 2009
9
0
0
Abstract
2
n Letk beaglobal field,pan oddprimenumberdifferentfrom char(k) and
a S, T disjoint, finite sets of primes of k. Let GTS(k)(p) = G(kST(p)|k) be the
J Galois group of the maximal p-extension of k which is unramified outside S

6 andcompletely split atT.WeprovetheexistenceofafinitesetofprimesS0,
1 which can be chosen disjoint from any given set M of Dirichlet density zero,
suchthatthecohomologyofGTS∪S0(k)(p)coincideswiththeétalecohomology
T] oftheassociated markedarithmeticcurve.Inparticular,cd GTS∪S0(k)(p)=2.
N Furthermore,wecanchooseS0 insuchawaythatkST∪S0(p)realizesthemaxi-
mal p-extension kp(p) of thelocal field kp for all p∈S∪S0, thecup-product
h. H1(GTS∪S0(k)(p),Fp)⊗H1(GTS∪S0(k)(p),Fp)→H2(GTS∪S0(k)(p),Fp)issurjec-
t tiveandthedecomposition groupsoftheprimesinS establishafreeproduct
ma insideGTS∪S0(k)(p).This generalizes previous work of theauthorwhere simi-
lar results were shown in the case T = ∅ under the restrictive assumption
[ p∤#Cl(k) and ζp ∈/ k.

3
v 1 Einführung
2
7
7 Esseienk einZahlkörper,S eine endliche Stellenmengevonk und peine Primzahl.
0 Mit kS(p) bezeichnen wir die maximale außerhalb S unverzweigte p-Erweiterung
. von k und setzen
6
0 GS(k)(p)=G(kS(p)k).
|
8
Die Gruppe G (k)(p) ist im Fall, dass S alle Primteiler von p enthält, gut (wenn
0 S
: auch lange nicht vollständig) verstanden; siehe Kapitel X von [NSW] für einen
v
Überblick über die bekannten Ergebnisse. Im Fall, dass S nicht alle Stellen über p
i
X enthält,war,abgesehendavon,dassdie GruppeG (k)(p) endlichpräsentierbarist,
S
r bis vor kurzem nur wenig bekannt.
a
Im Fall k =Q fand J. Labute [La1] im Jahr 2005 die ersten Beispiele von Paa-
ren (S,p) mit der Eigenschaft, dass G (Q)(p) die kohomologischeDimension 2 hat
S
und p nicht in S liegt.Dieser Fortschrittwar durchdie neuentwickelte Theorieder
mildenPro-p-Gruppenmöglich.DerAutorkonntedannLabutesErgebnisseaufbe-
liebige Zahlkörperausdehnen[S1,S2],wobeider Fokusaufder K(π,1)-Eigenschaft
lag.Diese besagt,dassdie KohomologiederGruppeG (k)(p) mitderétalenKoho-
S
mologie des Schemas Spec( )rS übereinstimmt, was insbesondere kohomologische
k
Dimension 2 impliziert. Allerdings mussten bei gegebenem Zahlkörper k endlich
viele Primzahlen von der Betrachtung ausgeschlossen werden, nämlich die Teiler
der Klassenzahl und solche p mit ζ k. Es hat sich nun herausgestellt, dass diese
p
∈
Einschränkungeliminiertwerdenkann,wennmanvonvornhereineineallgemeinere
Fragestellungbetrachtet,nämlichdienachderGruppeGT(k)(p).HiersindS undT
S
endliche Stellenmengen, kT(p) die maximale p-Erweiterung von k, die unverzweigt
S
1
außerhalb S und voll zerlegt bei T ist, und GT(k)(p)=G(kT(p)k). Diese Gruppe
S S |
ist auch im Funktionenkörperfall interessant.
In dieser Arbeit zeigen wir ohne Annahmen an S und T, dass durch Hinzu-
nahme endlich vieler Stellen zu S eine Situation geschaffen werden kann, in der
GT(k)(p) die kohomologischeDimension 2 und weitere gute Eigenschaftenhat. Bei
S
der Wahl der hinzuzunehmenden Stellen kann man überdies eine gegebene Stellen-
menge der Dirichletdichte 0 (also insbesondere die Stellen über p) vermeiden. Das
genaue Resultat lautet folgendermaßen.
Theorem 1.1. Es sei k ein globaler Körper und p eine ungerade von char(k) ver-
schiedenePrimzahl.EsseienS,T und paarweisedisjunkteStellenmengenvonk,
M
wobei S und T endlich seien und die Dirichletdichte δ( )=0 habe. Dann exi-
M M
stiert eine endliche zu S T disjunkte Stellenmenge S von k, so dass die
0
∪ ∪M
folgenden Aussagen gelten.
(i) Die Gruppe GT (k)(p) hat die kohomologische Dimension 2 und das Cup-
S∪S0
Produkt
H1(GT (k)(p),F ) H1(GT (k)(p),F ) H2(GT (k)(p),F )
S∪S0 p ⊗ S∪S0 p −→ S∪S0 p
ist surjektiv.
(ii) Es gilt
kT (p) =k (p)
S∪S0 p p
für alle p S S , d.h. die Erweiterung globalerKörper kT (p)k realisiert
∈ ∪ 0 S∪S0 |
für jede Stelle p S S die maximale p-Erweiterung k (p) des lokalen
0 p
∈ ∪
Körpers k .
p
(iii) Die Zerlegungsgruppen der Stellen aus S bilden ein freies Produkt in der
Gruppe GT (k)(p), d.h. der natürliche Homomorphismus
S∪S0
G(k (p)k ) G(kT (p)kS∪T(p))
p∈S(k∗S∪T(p)) p | p −→ S∪S0 | S0
S0
ist ein Isomorphismus von Pro-p-Gruppen.
(iv) Für jeden diskreten GT (p)-p-Torsionsmodul M sind die Kantenhomomor-
S∪S0
phismen der Hochschild-Serre-Spektralfolge für die universelle Pro-p-Über-
lagerung
Hi(GT (k)(p),M) Hi (Xr(S S ),T,M)
S∪S0 −→ et ∪ 0
Isomorphismenfürallei 0.HieristX daseindeutigbestimmteeindimensio-
≥
nale, reguläre, zusammenhängende und über Spec(Z) eigentliche Schema mit
Funktionenkörper k und Hi (Xr(S S ),T,M) bezeichnet die étale Koho-
et 0
∪
mologie der in T markierten arithmetischen Kurve Xr(S S ) mit Werten
0
∪
in der durch M definierten Garbe (siehe Abschnitt 2).
Bemerkungen 1.2. 1.DerGrundfürdenAusschlussderPrimzahlp=2inTheo-
rem 1.1 ist nicht das übliche Problemmit den reellen Stellen, sondern, dass derzeit
noch keine gute Theorie milder Pro-2-Gruppen existiert.
2. Es stellt sich die Frage, ob die Eigenschaften (i)–(iv) dann auch für die Gruppe
GT (k)(p) gelten, wobei S′ eine beliebige, S umfassende und zu T disjunkte
S∪S0′ 0 0
endliche Stellenmenge ist. Wir werden dies in Abschnitt 8 zeigen, falls keine der
Stellen aus S′ rS in der Erweiterung kT (p)k voll zerlegt ist (siehe Satz 8.1).
0 0 S∪S0 |
3. Entsprechende Ergebnisse für die volle Gruppe GT(k), d.h. ohne den Übergang
S
zur maximalen Pro-p-Faktorgruppe,scheinen derzeit außer Reichweite zu sein.
2
Im Zahlkörperfall spielen die Stellen über p keine Sonderrolle in Theorem 1.1,
insbesondere wird nicht angenommen, dass S die Menge S der Teiler von p ent-
p
hält. Aber selbst im Zahlkörperfall mit S S und T = ∅ liefert Theorem 1.1
p
⊃
neue Information: Aussage(ii) war bislang nur bekannt, wenn k eine primitive p-te
Einheitswurzelenthält(SatzvonKuz’min,siehe[Ku]oder[NSW],10.8.4),sowiefür
gewisseCM-Körper(siehe[Mu]oder[NSW],X§8Exercise).Nach(iii)erreichtman
durchHinzunahmeendlichvielerStellenzuS S ,dassdieZerlegungsgruppender
p
⊃
Stellen über p ein freies Produkt innerhalb der Gruppe G (k)(p) bilden. Dies war
S
bislang nur für Stellenmengen S der Dirichletdichte 1 (siehe [NSW], 9.4.4), jedoch
nicht für endliche Stellenmengen bekannt.
Im „zahmen“ Fall S S = ∅ mit T = ∅ wurden in [S2] die Aussagen (i), (ii)
p
∩
und (iv) bewiesen, allerdings nur unter der Voraussetzung p ∤ #Cl(k) und ζ / k.
p
∈
Teilergebnisse im „gemischten“ Fall ∅ S S S wurden von K. Wingberg
p p
∩
[Wi1], Ch. Maire [Mai] und D. Vogel [Vo] erzielt.
In Abschnitt 9 werden wir sehen, dass Theorem 1.1 eine große Klasse von Bei-
spielenliefert,indenenGT(k)(p)einePro-p-Dualitätsgruppeist(sieheSatz9.6).Im
S
Zahlkörperfall mit S S und T =∅ war dies nach Resultaten von Wingberg be-
p
⊃
kannt,sobaldk eineprimitivep-teEinheitswurzelenthält(siehe [Wi2]oder[NSW],
10.9.8).ImFallζ / k gabes lediglichErgebnissefür reell-abelscheZahlkörperund
p
∈
gewisse CM-Körper (siehe [NSW], 10.9.15 und den nachfolgenden Remark).
Wesentlich für den Beweis von Theorem 1.1 sind arithmetische Dualitätssätze,
Hasseprinzipien für die Kohomologie, die Theorie der milden Pro-p-Gruppen nach
Labute und die Technik der freien Produkte vonBündeln vonPro-p-Gruppenüber
einer topologischen Basis, wie sie in Kapitel IV von [NSW] entwickelt wurde.
Der Autor dankt Ph. Lebacque für seine Kommentare zu einer vorläufigen Ver-
sion dieser Arbeit.
2 Der étale Situs einer markierten Kurve
Es sei Y ein eindimensionales, noethersches, reguläres Schema und T eine endliche
Menge abgeschlossener Punkte auf Y. Mit Et(Y) bezeichnen wir wie üblich die
Kategorie der étalen Morphismen von endlichem Typ Y′ Y.
→
Definition 2.1. Die Kategorie Et(Y,T) ist die volle Unterkategorie von Et(Y),
bestehend aus allen Objekten f : Y′ Y mit der Eigenschaft, dass für jeden
→
abgeschlossenenPunkty′ Y′ mity =f(y′) T dieRestklassenkörpererweiterung
∈ ∈
k(y′)k(y) trivial ist. Der étale Situs (Y,T)et der in T markierten Kurve Y besteht
|
aus der Kategorie Et(Y,T) mit surjektiven Familien als Überdeckungen.
Offenbar gilt (Y,∅)et =Yet. Für T1 T2 haben wir einen natürlichen Morphis-
⊂
mus ι : (Y,T1)et (Y,T2)et und somit für jede Garbe F abelscher Gruppen auf
→
(Y,T2)et und jedes i 0 Homomorphismen
≥
Hi (Y,T ,F) Hi (Y,T ,ι∗F).
et 2 et 1
−→
Füreineechteabgeschlossene(unddamitendliche)TeilmengeM Y definiertman
⊂
dielokalenKohomologiegruppenH∗ (Y,T, )aufdieüblicheArtundWeisealsdie
M −
Rechtsableitungen des Funktors
F ker Γ(Y,T,F) Γ(Y rM,T rM,F) .
7−→ →
In gleicherWeise wie für gew(cid:0)öhnlicheétale Kohomologiezeigtm(cid:1)an Ausschneidung,
d.h. es gilt
Hi (Y,T,F)= Hi(Yh,Th,F),
M ∼ x x x
x∈M
M
3
wobei Yh die Henselisierung von Y in x ist, und Th das Urbild von T in Yh (also
x x x
Th = x , falls x T und ansonsten Th = ∅). Auch die Konstruktion des Cup-
x { } ∈ x
Produkts ist vollständig analog zum gewöhnlichen étalen Situs: für Garben F ,F
1 2
auf (Y,T)et und i,j 0 haben wir eine Cup-Produkt-Paarung
≥
Hi (Y,T,F ) Hj (Y,T,F ) ∪ Hi+j(Y,T,F F ),
et 1 et 2 et 1 2
× −→ ⊗
mit den üblichen Eigenschaften.
Ganz analog konstruiertman auch die Fundamentalgruppe. Wir betrachten die
volle Unterkategorie FEt(Y,T) der endlichen Morphismen Y′ Y in Et(Y,T).
→
DieseKategorieerfülltdieAxiomeeinerGaloiskategorie([SGA1],V,4).NachWahl
eines geometrischen Punktes x¯ in Y rT haben wir den Faserfunktor
FEt(Y,T) (Mengen), (Y′ Y) Mor (x¯,Y′),
Y
−→ → 7→
dessen Automorphismengruppe per definitionem die étale Fundamentalgruppe von
(Y,T)ist.Wirbezeichnensiemitπet(Y,T,x¯).VonnunanseiY zusammenhängend.
1
DannsinddieFundamentalgruppenzuverschiedenenBasispunktenisomorph,wobei
derIsomorphismusbisaufinnereAutomorphismenkanonischist.Wirwerdendann
den Basispunkt meist von der Notation ausschließen. Die Fundamentalgruppe ist
proendlich und klassifiziert étale Überlagerungen von Y, in denen jeder Punkt von
T voll zerlegt ist. Die Gruppe He1t(Y,T,Fp) klassifiziert zyklische Überlagerungen
vom Grad p von (Y,T). Daher haben wir Isomorphismen
H1(πet(Y,T)(p),F ) ∼ H1(πet(Y,T),F ) ∼ H1(Y,T,F ),
1 p −→ 1 p −→ et p
wobeiπet(Y,T)(p)diemaximalePro-p-Faktorgruppevonπet(Y,T)bezeichnet.Die-
1 1
senIsomorphismuskannmangutanderHochschild-Serre-Spektralfolgesehen.Wir
betrachten die universelle Pro-p-Überlagerung (^Y,T)(p) von (Y,T). Diese ist ein
Pro-Objekt in FEt(Y,T) und die Projektion
(^Y,T)(p) (Y,T)
−→
ist Galoissch mit Gruppe πet(Y,T)(p). Ist nun M ein diskreter πet(Y,T)(p)-p-
1 1
Torsionsmodul, so erhalten wir die Spektralfolge
Eij =Hi πet(Y,T)(p),Hj (^Y,T)(p),M Hi+j(Y,T,M),
2 1 et ⇒ et
(cid:16) (cid:0) (cid:1)(cid:17)
und insbesondere Kantenhomomorphismen
φ :Hi(πet(Y,T)(p),M) Hi (Y,T,M), i 0.
i,M 1 −→ et ≥
Lemma 2.2. EsseiY eineindimensionales,noethersches,reguläresSchemaundT
eine endliche Menge abgeschlossener Punkte auf Y. Dann sind für jeden diskreten
πet(Y,T)(p)-p-TorsionsmodulM dieHomomorphismenφ undφ Isomorphis-
1 0,M 1,M
men, und φ ist injektiv. Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
2,M
(i) φ ist ein Isomorphismus für alle i und jedes M.
i,M
(ii) φi,Fp ist ein Isomorphismus für alle i.
(iii) Heit((^Y,T)(p),Fp)=0 für alle i 1.
≥
Beweis. NachKonstruktiongiltHe1t((^Y,T)(p),Fp)=0,wasdieersteAussagezeigt.
Gilt (ii), so folgt (i) zunächst für jeden endlichen Modul M, weil πet(Y,T)(p) eine
1
Pro-p-GruppeundalsoF dereinzigeeinfachediskreteπet(Y,T)(p)-p-Torsionsmodul
p 1
4
ist.DasErgebnisüberträgtsichaufbeliebigesM,weilsowohldieKohomologiepro-
endlicher Gruppen, als auch étale Kohomologie mit gefilterten direkten Limiten
kommutiert. Die Implikation (iii) (ii) kann direkt an der Spektralfolge abgele-
⇒
sen werden. Schließlich gelte (i). Jede Klasse in Heit((^Y,T)(p),Fp) liegt bereits in
Heit(Y′,T′,Fp) für eine endliche Zwischenüberlagerung (Y′,T′) von (^Y,T)(p)
(Y,T). Diese entspricht einer offenen Untergruppe U πet(Y,T)(p). Wendet ma→n
(i) auf den π1et(Y,T)(p)-Modul IndUπ1et(Y,T)(p)Fp an, so⊂sie1ht man, dass jedes α ∈
Heit(Y′,T′,Fp) bereits in Heit(Y′′,T′′,Fp) verschwindet, wobei (Y′′,T′′) eine geeig-
nete endliche Zwischenüberlagerung von (^Y,T)(p) (Y′,T′) ist. Dies zeigt (iii)
→
und beendet den Beweis.
Definition 2.3. Wenn die äquivalenten Aussagen von Lemma 2.2 erfüllt sind, so
sagen wir, dass (Y,T) die K(π,1)-Eigenschaft für p hat.
Bemerkung 2.4. Lemma 2.2 und Definition 2.3 dehnen sich in natürlicher Weise
auf Pro-Objekte aus. Eine markierte Kurve (Y,T) hat genau dann die K(π,1)-
Eigenschaft für p, wenn dies für ihre universelle Pro-p-Überlagerung (^Y,T)(p) der
Fall ist.
3 Berechnung von Kohomologiegruppen
Im Folgenden wollen wir die étale Kohomologie markierter arithmetischer Kurven
berechnen. Es sei k ein lokaler oder globaler Körper und p = char(k) eine fixierte
6
Primzahl. Mit µ bezeichnen wir die Gruppe der p-ten Einheitswurzeln und setzen
p
δ = 1, falls µ k ist, und ansonsten δ = 0. Alle Kohomologiegruppen nehmen
p
⊂
Werte in der konstanten Garbe F an, die wir von der Bezeichnung ausschließen.
p
Desweiteren benutzen wir die Bezeichnung
hi(−)=dimFpHeit(−) (=dimFpHeit(−,Fp)).
Wir beginnen mit einer lokalen Berechnung. Für einen lokalen Körper k, der keine
Erweiterung von Q ist, benutzen wir die Konvention [k : Q ] = 0. Desweiteren
p p
bezeichnen wir mit Hnir(k) die unverzweigte Kohomologie und setzen
Hi (k)=Hi(k)/Hi (k).
/nr nr
Mit A∨ bezeichnen wir das Pontrjagin-Dualvon A.
Satz 3.1. Es sei k ein nichtarchimedischer lokaler Körper mit von p verschiedener
Charakteristik. Es sei X =Spec( ), x der abgeschlossene Punkt von X und T =∅
k
oderT = x .DannverschwindendielokalenétalenKohomologiegruppenHi(X,T)
{ } x
für i 1 und i 4, und es gilt
≤ ≥
H1 (k) falls T =∅,
H2(X,T)= /nr
x ∼( H1(k) falls T = x ,
{ }
also
h2(X,T)=δ+[k :Q ]+#T .
x p
Desweiteren gilt H3(X,T) = H2(k) = µ (k)∨, also h3(X,T) = δ, und wir haben
x ∼ ∼ p x
die Euler-Poincaré-Charakteristik-Formel
3
( 1)ihi(X,T)=[k:Q ]+#T .
− x p
i=0
X
5
Beweis. Da X henselschist, haben wir IsomorphismenHeit(X)∼=Heit(x) für alle i.
Da es im Fall T = x keine nichttrivialen étalen Überdeckungen von (X,T) gibt,
{ }
erhalten wir
1 für i=0,
hi(X,T)= 1 #T für i=1,
 −
0 für i 2.

≥
Außerdem gilt Xr{x} = Spec(k),also Heit(Xr{x}) ∼= Hi(k). Der lokale Dua-
litätssatz (siehe [NSW], Theorem 7.2.6) zeigt He2t(Xr{x}) ∼= µp(k)∨, und nach
[NSW], Corollary 7.3.9, erhalten wir
h1(Xr x )=1+δ+[k :Q ].
p
{ }
Schließlich ist der natürliche Homomorphismus He1t(X) He1t(Xr x ) injektiv.
→ { }
Daher erhalten wir die Aussage des Satzes aus der exakten Ausschneidungsfolge
Hi(X,T) Hi (X,T) Hi (Xr x ) Hi+1(X,T) .
···→ x → et → et { } → x →···
Nun sei k ein globaler Körper und X das eindeutig bestimmte eindimensionale,
reguläre,zusammenhängendeundüberSpec(Z)eigentlicheSchemamitFunktionen-
körperk(alsoX =Spec( ),wennkeinZahlkörperist,undimFunktionenkörperfall
k
ist X eine glatte, projektive Kurve über einem endlichen Körper). Es seien S und
T disjunkte endliche MengennichtarchimedischerStellenvonk,alsodisjunkte end-
liche Mengen abgeschlossenerPunkte von X.
Wir bezeichnen mit S die Menge der archimedischen Stellen von k (S = ∅
∞ ∞
im Funktionenkörperfall).In Galois-Terminologie(und ohne Erwähnungdes Basis-
punktes) gilt
πet(XrS,T)=GT (k):=G(kT k),
1 S∪S∞ S∪S∞|
wobeikT diemaximaleErweiterungvonkbezeichnet,dieunverzweigtaußerhalb
S∪S∞
S S und voll zerlegt bei T ist. Für eine Zwischenerweiterung K k von kT k
∪ ∞ | S∪S∞|
bezeichnen wir mit
(XrS,T)
K
die Normalisierung(XrS) der KurveXrS inK,die inderStellenmengeT(K)
K
der Fortsetzungen von Stellen von T auf K markiert ist. Ist K k endlich, so ist
|
(XrS,T) ein Objekt in FEt(XrS,T), ansonsten ein Pro-Objekt.
K
Sei nun p=char(k) eine fixierte Primzahl. Mit
6
kT,el
S∪S∞
bezeichnenwirdiemaximaleelementar-abelschep-Erweiterungvonk inkT und
S∪S∞
bemerken, dass
G(kST∪,eSl∞|k)∼=He1t(XrS,T)∨
gilt. Mit S bezeichnen wir die Menge der Teiler von p (also S = ∅ im Funktio-
p p
nenkörperfall). Nimmt man im Zahlkörperfall p = 2 oder k total imaginär an, so
6
können wir die archimedischen Stellen ignorieren, d.h. es gilt
GT(k)(p)=GT (k)(p) =πet(XrS,T)(p) .
S S∪S∞ 1
Teil(iv)unseresHauptresultatsTheorem1.1(cid:0)besagt,dasswirfürp(cid:1)=2,p=char(k),
6 6
durchHinzunahmeendlichvielerStellenzuS erreichen,dass(XrS,T)dieK(π,1)-
Eigenschaft für p hat. Dies ist im Spezialfall S S und T = ∅ schon ohne die
p
⊃
Hinzunahme von Stellen wohlbekannt:
6
Satz 3.2. Es seik einglobalerKörper,p=char(k) eine Primzahlund S S eine
p
6 ⊃
endliche, nichtleere Stellenmenge von k. Dann sind für jeden diskreten G (k)-
S∪S∞
p-Torsionsmodul M die natürlichen Abbildungen
Hi(G (k),M) Hi (XrS,M)
S∪S∞ −→ et
Isomorphismenfürallei 0.IstM überdieseindiskreterG (k)(p)-p-Torsions-
≥ S∪S∞
modul, so sind auch die natürlichen Abbildungen
Hi(G (k)(p),M) Hi(G (k),M)
S∪S∞ −→ S∪S∞
Isomorphismen für alle i 0.
≥
Beweis. Für einen Beweis der ersten Aussage siehe [Mi2], II, Proposition 2.9. Die
zweiteAussageisteinResultatvonO.Neumann,siehe[NSW],Corollary10.4.8.
WirbenutzennachfolgenddiefolgendenBezeichnungen,wobeipstetseinePrim-
zahl ungleich char(k) sei.
r die Anzahl der reellen Stellen von k
1
r die Anzahl der komplexen Stellen von k
2
r =r +r , die Anzahl der archimedischen Stellen von k
1 2
δ gleich 1, wenn µ k, und ansonsten gleich 0
p
⊂
δ gleich 1, wenn µ k , und ansonsten gleich 0
p p p
⊂
Cl (k) =Pic(XrS), die S-Idealklassengruppe von k
S
E =H0(XrS,G ), die S-Einheitengruppe von k
k,S m
·n
A =ker(A A), wobei A eine abelsche Gruppe ist, und n N
n
→·n ∈
A/n =coker(A A), wobei A eine abelsche Gruppe ist, und n N.
→ ∈
Falls k positive Charakteristik hat, so gilt r1 = r2 = r = 0 und Ek,∅ ist die
multiplikative Gruppe des endlichen Konstantenkörpers. Wie zuvor schließen wir
in Kohomologiegruppendie konstanten Koeffizienten F von der Notation aus. Die
p
Voraussetzung p = 2 oder k total imaginär im Zahlkörperfall wird in der ganzen
6
Arbeit gemacht. Daher vereinbarenwir die folgende Konvention:
Der Begriff Stellenmenge meint stets eine Menge nichtarchimedischer Stellen.
Satz3.3. EsseienS undT disjunkte,endlicheStellenmengendesglobalenKörpers
k. Im Zahlkörperfall sei überdies p = 2 oder k total imaginär. Dann verschwinden
6
die Gruppen Hi (XrS,T)=0 für i 4 und es gilt
et
≥
3
χ(XrS,T):= ( 1)ihi(XrS,T)=r+#T [k :Q ].
p p
− −
Xi=0 p∈XS∩Sp
Beweis. Im Fall T = ∅ und S S ist die Aussage wohlbekannt: nach [Mi2], II,
p
⊃
Theorem 2.13(a), hat man χ(XrS)= r und außerdem gilt
2
−
r [k :Q ]=r +r [k :Q]= r ,
p p 1 2 2
− − −
pX∈Sp
wobei im Funktionenkörperfall [k : Q] = 0 gesetzt sei. Wir betrachten die exakte
Ausschneidungsfolge
Hi(X ,T ) Hi (X,T) Hi (Xr(S T)) ,
···→ p p p → et → et ∪ →···
p∈S∪T
M
7
wobei X die Komplettierung von X bei p ist (die Kohomologiegruppen der Kom-
p
plettierung und der Henselisierung stimmen überein). Man erhält das Ergebnis für
S = ∅ und beliebiges T durch Benutzung dieser Ausschneidungsfolge für S = S
p
und durch Anwendung von Satz 3.1. Das Resultat für beliebiges S erhält man aus
dem Fall S =∅ mit Hilfe der Ausschneidungsfolge
Hi(X ) Hi (X,T) Hi (XrS,T) ,
···→ p p → et → et →···
p∈S
M
und einer erneuten Anwendung von Satz 3.1.
Korollar 3.4. Es seien S und T disjunkte, endliche Stellenmengen des globalen
Körpers k. Dann erhalten wir eine exakte Folge
H1(XrS,T)֒ H1(XrS) H1 (k ) H2(XrS,T)։H2(XrS)
et et nr p et et
→ → →
p∈T
M
und Isomorphismen Hi(XrS,T) ∼ Hi(XrS) für i 3.
−→ ≥
Beweis. Dies folgt aus Satz 3.1 durch den Vergleich der Ausschneidungsfolgen für
XrS und Xr(S T) sowie für (XrS,T) und Xr(S T).
∪ ∪
UmFormelnfürdieindividuellenKohomologiegruppenangebenzukönnen,füh-
ren wir die Kummergruppe VT(k) ein. Es seien S und T endliche disjunkte Stel-
S
lenmengen von k und p = char(k) eine fixierte Primzahl, die wir von der Notation
6
ausschließen. Wir setzen
VT(k):= a k× a k×p für v S und a U k×p für v / T /k×p,
S { ∈ | ∈ v ∈ ∈ v v ∈ }
wobeiU dieEinheitengruppedeslokalenKörpersk bezeichnet(Konvention:U =
v v v
k×, wenn v archimedisch ist). In Termen von flacher Kohomologie gilt
v
VT(k)=ker H1(Xr(S T),µ ) H1(k ,µ ) .
S fl ∪ p −→ p p
p∈S
(cid:0) Y (cid:1)
Lemma 3.5. Für S =∅ gibt es eine natürliche exakte Folge
0 E /p VT(k) Cl (k) 0.
k,T ∅ p T
−→ −→ −→ −→
Insbesondere gilt dimFpV∅T(k)=dimFppClT(k)+r−1+#∅T +δ, es sei denn k ist
ein Funktionenkörper und T =∅,in welchemFall dimFpV∅(k)=dimFppCl(k)+δ
gilt. Für beliebiges S und jede weitere Stelle p / S T haben wir die exakte Folge
∈ ∪
0 VT (k) φ VT(k) U k×p/k×p.
−→ S∪{p} −→ S −→ p p p
Insbesondere ist VST(k) stets endlich. Für p∈/ Sp gilt dimFpcoker(φ)≤δp.
Beweis. Zu a V∅T(k) gibt es ein eindeutig bestimmtes gebrochenen T-Ideal mit
∈
(a) = ap. Die Zuordnung a [a] induziert einen surjektiven Homomorphismus
7→
V∅T(k) pClT(k) mit Kern Ek,T/p. Zusammen mit dem Dirichletschen Einheiten-
→
satz zeigt dies die erste Aussage.Die zweite exakte Folge ergibt sich direkt aus den
Definitionen der vorkommenden Objekte. Für p ∈/ Sp gilt dimFpUpkp×p/kp×p = δp,
was die letzte Aussage zeigt.
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Theorem 3.6. Es seien S und T disjunkte, endliche Stellenmengen des globalen
Körpers k und p eine Primzahl ungleich char(k). Im Zahlkörperfall sei überdies
p=2 oder k total imaginär. Dann gilt Hi (XrS,T)=0 für i 4 und
et
6 ≥
h0(XrS,T) = 1,
h1(XrS,T) = 1+ δp−δ+dimFpVST(k)+ [kp :Qp]−r−#T,
pX∈S p∈XS∩Sp
h2(XrS,T) = δp−δ+dimFpVST(k)+θ,
p∈S
X
h3(XrS,T) = θ.
Hierbei ist θ gleich 1 falls δ =1 und S =∅ und ansonsten gleich 0.
Beweis. Die Aussage über h0 ist trivial und das Verschwinden der Kohomologie in
Dimension größer gleich 4 ist bereits in Satz 3.3 enthalten. Artin-Verdier-Dualität
(siehe [Maz], 2.4 oder [Mi2], Theorem 3.1) bzw. étale Poincaré-Dualität ([Mi1], V,
Corollary 2.3) zeigen
He3t(X)∨ ∼=HomX(Fp,Gm)=µp(k).
Desweiteren impliziert das Verschwinden von Heit(Xp,Tp) für i 2 zusammen mit
≥
dem lokalen Dualitätssatz ([NSW], Theorem 7.2.6) Isomorphismen Hp3(Xp,Tp)∨ ∼=
H2(kp,Fp)∨ ∼=µp(kp) für jeden Punktp vonX.NachKorollar3.4 istHe3t(X,T)→
He3t(X)∼=µp(k)∨ ein Isomorphismus. Nun betrachten wir die Ausschneidungsfolge
H3(X) α H3(X,T) β H3(XrS,T) H4(X ).
p → et → et → p p
p∈S p∈S
M M
Der rechts stehende Term verschwindet nach Satz 3.1, also ist β surjektiv. Die zu
α duale Abbildung ist die natürliche Abbildung
µ (k) µ (k ).
p p p
→
p∈S
M
Diese ist injektiv, es sei denn δ = 1 und S = ∅. Wir erhalten h3(XrS,T) = 1
falls δ = 1 und S = ∅, und ansonsten gleich 0. Mit Hilfe des Isomorphismus
H1(GTS(k))→∼ He1t(XrS,T)erhalten wir die Aussageüber h1 aus der Berechnung
der ersten Kohomologie von GT(k), die in [NSW], Theorem 10.7.10, durchgeführt
S
ist.SchließlichfolgtdasErgebnisfürh2mitHilfederEuler-Poincaré-Charakteristik-
Formel aus Satz 3.3.
DasVerschwindenderKohomologieinDimensiongrößer2 zusammenmitLem-
ma 2.2 impliziert das
Korollar 3.7. Für S =∅ und jede ZwischenerweiterungK k von kT(p)k sind die
6 | S |
folgenden Bedingungen äquivalent.
(i) (XrS,T) hat die K(π,1)-Eigenschaft für p.
K
(ii) Der Homomorphismus φ2,Fp :H2(GTS(K)(p))→He2t((XrS,T)K) ist surjek-
tiv und es gilt cd GT(K)(p) 2.
S ≤
9
4 Dualität für markierte arithmetische Kurven
Nun leiten wir einen Dualitätssatz für markierte arithmetische Kurven ab. Hierzu
betrachtenwir für eine GarbeF auf(XrS,T)et die Schafarewitsch-Tate-Gruppen
Xi(k,S,T,F)=ker Hi (XrS,T,F) Hi(k ,F) .
et p
−→
p∈S
(cid:0) M (cid:1)
Die konstanten Koeffizienten F = F schließen wir von der Notation aus, und ge-
p
nauso verfahren wir mit leerem T. Desweiteren setzen wir
BT(k)=VT(k)∨.
S S
Theorem 4.1. Es sei k ein globaler Körper und p eine Primzahl ungleich char(k).
Im Zahlkörperfall sei p = 2 oder k total imaginär. Es seien S und T disjunkte
6
endliche Stellenmengen von k. Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus
X2(k,S,T) ∼ BT(k).
−→ S
Insbesondere ist X2(k,S,T) endlich.
Bemerkung 4.2. DurchÜbergangzumLimesüberalleendlichenTeilmengenver-
allgemeinert sich Theorem 4.1 direkt auf den Fall einer beliebigen, also nicht not-
wendig endlichen Stellenmenge S.
Beweis von Theorem 4.1. Wir wählen eine endliche Stellenmenge Σ so groß, dass
S T S Σ gilt und Pic (XrΣ) p-torsionsfrei ist. Dann verschwin-
∪ ∪ p ⊂ k(µp)
den die Gruppen X1(k,Σ) und X1(k,Σ,µ ). Hieraus folgt das Verschwinden von
(cid:0) p (cid:1)
X2(k,Σ)=X1(k,Σ,µ )∨ (nachSatz3.2undPoitou-Tate-Dualität,[NSW],Theo-
∼ p
rem 8.6.7) und die Exaktheit der Folge
0 VT(k) H1(XrΣ,µ ) H1(k ,µ ) H1 (k ,µ ).
−→ S −→ et p −→ p p × /nr p p
pY∈S p∈ΣY\(S∪T)
Wir dualisieren diese exakte Folge und betrachten das kommutative Diagramm
H1(k ) H1 (k ) // H1(XrΣ,µ )∨ ////BT(k)
p × nr p et p S
pY∈S p∈(cid:127)Σ_Y\(S∪T)
(cid:15)(cid:15)
H1(XrΣ)(cid:31)(cid:127) // H1(k ) ////H1(XrΣ,µ )∨
et p et p
p∈Σ
Y
(cid:15)(cid:15)(cid:15)(cid:15)
H1(k ) H1 (k ).
p × /nr p
pY∈T p∈ΣY\(S∪T)
Die mittlere Zeile ist ein Teil der langen exakten Folge von Poitou-Tate (siehe
[NSW], Theorem 8.6.10) und daher exakt. Das Schlangenlemma liefert uns die Ex-
aktheit von
(I) H1(XrΣ) H1(k ) H1 (k ) BT(k) 0.
et −→ p × /nr p −→ S −→
p∈S p∈Σ\(S∪T)
Y Y
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