Table Of ContentSCHRIFTEN DES RHEINISCH - WESTFÄLISCHEN INSTITUTES
FÜR INSTRUMENTELLE MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT
BONN
Herausgeber: E. PESCHL, H. UNGER
Serie A, Nr. 14
Eberhard Schock
Über einige lineare Räume von nichtlinearen Abbildungen
1967
FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1868
Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 513.835:513.881
Dr. rer. nato Eberhard Schock
Rheinisch-Westfälisches Institut
für Instrumentefle Mathematik Bonn (11M)
über einige lineare Räume
von nichtlinearen Abbildungen
WESTDEUTSCHER VERLAG KÖLN UND OPLADEN 1967
Diese Veröffentlichung ist zugleich Nr. 14 der «Schriften des Rheinisch-Westfälischen
Institutes für Instrumentelle Mathematik an der Universität Bonn (Serie A)>>
ISBN 978-3-322-97939-1 ISBN 978-3-322-98501-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-98501-9
Verlags-Nr.011868
© 1967 by Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen
Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag'
Vorwort
Nichtlineare Abbildungen von einem topologischen Raum Al in einen topologischen
Raum M' sind in den letzten Jahrzehnten in einem immer stärkeren Maße behandelt
worden. Da die Autoren in der Regel an numerischen Problemstellungen orientiert
waren, wurden meist Abbildungen in Hilbert- oder in Banachräumen behandelt. Es
fehlten aber Untersuchungen über die Gestalt einer beliebigen nichtlinearen Abbildung
von Min M'.
Die Bedingung der Linearität im Urbildraum ist in den meisten Fällen nicht erforderlich,
wenn nicht Probleme im Zusammenhang mit der Differenzierbarkeit untersucht werden.
Dagegen ist die Bedingung der Linearität im Bildraum kaum entbehrlich, wenn man
überhaupt von nicht-»linearen« Abbildungen sprechen will.
Verhältnismäßig neu ist das Interesse an topologischen, insbesondere an topologischen
linearen Räumen von Abbildungen. Das Studium dieser Topologien ist aber gerade
dann besonders wichtig, wenn man Aussagen über den Grenzwert einer Folge von
Abbildungen gewinnen will. Insbesondere ist von Interesse, ob sich jede stetige prä
kompakte Abbildung durch Abbildungen mit endlichdimensionalem Bildraum ap
proximieren läßt. Die Antwort auf diese Frage ist allein schon deshalb so schwierig,
weil sie mit dem bislang noch ungelösten »Basisproblem« zusammenhängt.
Der lineare Raum der ausgearteten Abbildungen, das heißt der Abbildungen mit
endlichdimensionalem Bildraum, läßt sich in verschiedener Weise topologisieren. Im
Falle der linearen Abbildungen in einem Hilbertraum erhält man zum Beispiel den
Raum der nuklearen, der Hilbert-Schmidtschen und den Raum der kompakten Ab
bildungen durch Vervollständigung des Raumes der aus gearteten Abbildungen be
züglich verschiedener Normen (der Normen Y, (5, 1111). Unter diesen Abbildungen
haben die nuklearen mit der Theorie der nuklearen lokalkonvexen Räume eine hervor
ragende Bedeutung erlangt. So ist jede stetige lineare Abbildung von einem nuklearen
lokalkonvexen Raum in einen Banachraum in einem erweiterten Sinne nuklear.
In dieser Arbeit wird der Begriff der nuklearen Abbildung erweitert auf nichtlineare
Abbildungen von einem beliebigen topologischen Raum M in einen linearen nor
mierten Raum Y. Der Raum JV(M, Y) dieser nukleiden Abbildungen wird gewonnen
als Vervollständigung des Raumes der ausgearteten Abbildungen bezüglich der Norm n
(Kapitel 1).
In Kapitel 2 wird der Raum der ausgearteten Abbildungen bezüglich der Quasinorm Äp
vervollständigt. Hier zeigt sich, daß die Vervollständigung bezüglich der Quasinorm ÄI
einen linearen Teilraum von JV (M, Y) ergibt.
In Kapitel 3 wird die Definition der nukleiden Abbildung aus Kapitel 1 ausgedehnt
auf Abbildungen von M in einen lokalkonvexen Raum Y. Dabei stellt sich heraus, daß
diese Definition sehr sinnvoll ist. Es wird bewiesen, daß jede stetige beschränkte
Abbildung von M in einen nuklearen lokalkonvexen Raum Y nu kleid ist.
Schließlich wird ein linearer Raum .'?l'(M, Y) von Potenzreihen in einem Banachraum
untersucht. Zwei spezielle lineare Teilräume erhalten ihre Bedeutung im Zusammen
hang mit dem Raum der nukleiden Abbildungen.
Am Beginn eines jeden Kapitels sind in einer kurzen Inhaltsangabe auch die erforder
lichen historischen Bemerkungen enthalten.
3
Inhalt
1. Nukleide Abbildungen in einen normierten Raum ........................ 5
2. Abbildungen vom Typus /p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
3. Nukleide Abbildungen in einen lokalkonvexen Raum 23
4. Lineare Räume von Potenz reihen in Banachräumen ....................... 28
4.1 Der lineare Raum der homogenen Polynome ......................... 28
4.2 Der lineare Raum der Potenzreihen ................................. 30
4.3 Der lineare Raum Y\(M, Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 33
4.4 Der lineare Raum 9 (M, Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
v
4.5 Der lineare Raum 9 (M, Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 40
a
Literaturverzeichnis ..................................................... 41
4
1. Nukleide Abbildungen in einen normierten Raum
1.0 SCHATTEN [16], GROTHENDIECK [4], RUSTON [14], PIETSCH [13] und andere
untersuchten eine Klasse von stetigen linearen Abbildungen von einem Banachraum X
in einen Banachraum Y, die als Operatoren der Spurklasse bzw. als nukleare Ab
bildungen bezeichnet werden.
In Anlehnung an diese Arbeiten soll hier eine Klasse von stetigen beschränkten Ab
bildungen von einem beliebigen topologischen Raum M in einen linearen normierten
Raum Y untersucht werden. Die Menge SeM, Y) dieser im folgenden nukleid ge
nannten Abbildungen bildet einen linearen Raum, in dem man eine Norm definieren
kann. In 1.5 wird gezeigt, daß die Klasse der nukleiden Abbildungen die der nuklearen
umfaßt. In 1.10 wird bewiesen, daß der Bildraum jeder nukleiden Abbildung nuklear
ist im Sinne von DYNIN und MITIAGIN [2]. Schließlich gibt Satz 1.14 Auskunft über
die Existenz von genügend vielen nukleiden Abbildungen.
1.1 Sind X und Y zwei beliebige normierte Räume, so heißt eine lineare Abbildung
L E.P (X, Y) nuklear, wenn es stetige lineare Funktionale li E X' und Elemente Yi E Y
mit
I !11d . IIYd <
00
i~l
gibt, so daß L die Form
für alle x E X hat. Für jede nukleare Abbildung L setzt man
I 111d . IIYill,
v(L) = inf
i~l
wobei das Infimum über alle möglichen Darstellungen von L gebildet werden soll,
die die genannten Bedingungen erfüllen.
Die Gesamtheit aller nuklearen Abbildungen von X in Y bildet einen linearen normier
ten Raum mit der Norm v, der vollständig ist, wenn Yein Banachraum ist.
Insbesondere gilt für symmetrische positiv semidefinite nukleare Abbildungen L in
einem Hilbertraum H, daß die Reihe
für jedes vollständige Orthonormalsystem {xd konvergiert und den Wert v (L) hat
(vgl. GEL FAND und WILENKIN [3]).
1.2 Die Definition der nuklearen Abbildungen läßt sich in einfacher Weise für nicht
lineare beschränkte Abbildungen von einem topologischen Raum M in einen nor
mierten Raum Y verallgemeinern.
Es sei M ein beliebiger topologischer Raum, Y ein linearer normierter Raum. Eine
stetige Abbildung T von M in Y heiße beschränkt, wenn gilt
seT) = sup IITxl1 < 00.
XEM
5
i
Insbesondere sei für stetige beschränkte reell- (oder komplex-)wertige Funktionen
auf M
Ilill = sup li(x) I·
XEM
Definition:
Eine stetige beschränkte Abbildung T von M in Y heiße nukleid, wenn es stetige
beschränkte Funktionen ii auf M und Elemente Yi E Y gibt mit
L lilill . lIYiIl <
00,
i~l
so daß für alle x E M gilt
L00
Tx = ii(X)Yi.
i~ 1
Die Gesamtheit dieser nukleiden Abbildungen werde mit %(M, Y) bezeichnet. Für
jede Abbildung T E%(M, Y) sei
00
n(T) = inf L Illill . IIYil1 '
i~ 1
wobei das Infimum über alle Darstellungen von T gebildet wird, die die oben ge
nannten Bedingungen erfüllen.
1.3 Satz:
%(M, Y) ist ein linearer Raum. n und s sind Normen in%(M, Y).
Beweis:
+
Für zwei Abbildungen E, T2 E%(M, Y) werde die Summe Tl T2 definiert durch
+ +
(Tl T2) x = Tlx T2x
für x E M. Hat man für Tl und T2 Darstellungen
I0 0
Tlx = ili(X)Yli (1)
i ~ 1
L00
T2x = h(X)Y2i (2)
i ~ 1
mit
00
L IIAili . IIYkil1 < k E{l, 2},
00
i~l
so ist
L00 + L
ili(X)Yli h(X)Y2i
i ~ 1 i ~ 1
+
eme Darstellung für Tl T2• Da die Reihen (1), (2) absolut konvergieren, ist
+
Tl T2 E%(M, Y).
Für eine Zahl oc und für TE % (M, Y) ist die Abbildung T definiert durch
(ocT) x = ocTx.
6
Ist
00
L
Ji(X)Yi
i= 1
eine Darstellung für T, so ist
200:
IXJi(X)Yi
i = 1
eine Darstellung für IX T.
Daher ist .AI (M, Y) ein linearer Raum.
Ebenso einfach sind die Normeigenschaften nachzuweisen. Ist nämlich n(T) = 0 für
T E.AI(M, Y), so gibt es zu jedem 15 > 0 eine Darstellung
00
2.:
Tx = Ji(X)Yi
i = 1
für XE M mit
00
2: IIJiII . bill <
Q.
i = 1
Daher ist IIJi II . bill < 15 für alle i, also ist T = O. Seien zwei Abbildungen Tl, T2
E.AI(M, Y) gegeben. Für beliebiges 15 > 0 gibt es dann Darstellungen
L00
Tkx = lki(x)Yki
i = 1
für XE M, k E{l, 2} mit
L00 Illkill . IIYkil1 < n(Tk) + 15/2.
i = 1
Daher gilt für die Summe
n(TI + T2) ~ L00 Illlill '11Ylill + L00 Ilhll '11Y2ill < n(TI) + n(T2) + Q.
i-i i-i
Daraus erhält man für 15 -+ 0 die Dreiecksungleichung. Schließlich sieht man sofort
die Gültigkeit der Relation
n(IXT) = IIXI n(T)
für T E.AI(M, Y) und Zahlen IX.
Die Normeigenschaften von s sind bekannt.
1.4 Lemma:
Für T E.AI(M, Y) gilt stets
seT) ~ n(T).
Beweis:
Ist T E.AI(M, y), und hat man für ein beliebiges 15 > 0 eine Darstellung
200:
Tx = Ji(X)Yi
i-i
7
für XE M mit
L lifill ·IIYill < n(T) + 0,
i = 1
dann gilt
seT) = sup IITxl1 = sup II L fi(X)Yill :;:;; L lifill ·IIYill < n(T) + 0,
XEM XEM i=l i=l
°
woraus für ---+ 0 die Behauptung folgt.
Insbesondere gilt für Abbildungen vom Rang* 1 mit
Tx = 1(x)y
für x E M stets
seT) = n(T) = 11111 . IIYII·
(»cross-property«, vgl. SCHATTEN [16], S. 54.)
1.5 Es wird nun gezeigt, daß die nuklei den Abbildungen die nuklearen umfassen.
Es gilt der
Satz:
Sind X und Y lineare normierte Räume, ist M die Einheitskugel in X, L die Ein
schränkung einer nuklearen Abbildung von X in Yauf M, so gilt
L E%(M, Y) und n(L) = v(L).
Beweis:
L läßt sich darstellen durch
L00
Lx = lt (x) Yi
i=l
für x E M mit linearen Funktionalen auf X. Wegen
Illtil = sup Ili(X)1 = sup Ili(X)1
Ilxll
XEX XEM
gilt die Behauptung.
1.6 Lemma:
Ist {Tk} eine n-Cauchyfolge aus %(M, Y) und gibt es eine stetige beschränkte Ab
bildung T von M in Y mit
lim Tkx = Tx
für alle XE M, so ist T E%(M, Y), und es gilt
n-lim Tk = T.
* Der Rang einer stetigen beschränkten Abbildung T oder die Dimension des Bildraumes
von T ist gleich der Dimension des kleinsten abgeschlossenen linearen Teilraumes von Y,
der das Bild von T enthält.
8
Beweis:
Sei {ik} eine monotone Teilfolge der natürlichen Zahlen, so daß gilt
n(Tm - Tn) < 1/2k+2
Dann lassen sich die nuklei den Abbildungen Tik+l - Tik darstellen in der Form
00
(Ti k+l - Ti k) X = L" . f(ik ) (x) y(ik )
i ~ 1
für XE M mit
L Ilf}k) 11 . lIY}k) 11 < 1/2k+2. (3)
i~l
Man hat also für m = 1,2, ...
für x E M, also für m -". 00
L I00
(T-Tik)X= f}j)(x)Aj)·
j~k i~l
Außerdem gilt wegen (3)
n(T - Tik) < L00 1/21+2 = 1/2k+l.
j~k
Daher sind die Abbildungen T - Tik und somit auch T nukleid. Schließlich ist wegen
n(T - Ti) ~ n(T - Tik) + n(Tik - Ti) < 1/2k
für i ~ ik die Aussage
n-lim Ti = T
bewiesen.
1.7 Aus 1.4 und 1.6 erhält man die
Folgerung:
Ist Y vollständig, so ist.AI (M, Y) ein Banachraum.
Beweis:
Sei {Tk} eine n-Cauchyfolge aus.Al(M, Y). Dann gilt wegen 1.4, daß {Tk} eine s-Cauchy
folge ist. Für jedes XE M ist daher {Tkx} eine Cauchyfolge, denn es gilt
IITk1X- Tk2xll ~ s(Tk1 - Tk2)·
Die Abbildung T von M in Y werde definiert durch
Tx = lim Tkx
für x E M.
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