Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretär Professor Dr. h.c. Dr. E.h. Leo Brandt
Nr. 1009
Privatdozent Dr. Hans Wilhelm Schüßler
Institut für elektrische Nachrichtentechnik der Technischen Hochschule Aachen
Prof. Dr.-Ing. Volker Aschoff
Ober die Darstellung von Obertragungsfunktionen
und Netzwerken am Analogrechner
Als Manuskript gedruckt
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
ISBN 978-3-663-03772-9 ISBN 978-3-663-04961-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-04961-6
G 1 i e der u n g
Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen . S. 5
1. Einleitung S. 7
2. Behandlung von linearen Differentialgleichungen mit konstan-
ten Koeffizienten auf dem Analogrechner S. 8
2.1 Benötigte Bausteine des Analogrechners S. 8
2.2 Lösungen von linearen Differentialgleichungen S. 10
3. Schaltungen von Übertragungsfunktionen ...•.•. S. 12
3.1 Übertragungsfunktion und kennzeichnende Zeitfunktion S. 13
3.11 Definitionen ....•.•••..•.•. S. 13
3.12 Eigenschaften von Übertragungsfunktionen und kenn-
zeichnenden Zeitfunktionen s. 14
3.13 Aufspaltung der Übertragungsfunktion S. 17
3.2 Darstellung von Übertragungsfunktionen ... S. 20
3.21 Unmittelbare Darstellung der Gesamtfunktion . S. 20
a) Polynomübertragungsfunktionen S. 20
b) Allgemeine Übertragungsfunktionen s. 24
3.22 Darstellung nach Aufspaltung in Teilübertragungs-
funktionen . . . . . . . . . . . . . . . S. 29
a) Polynomübertragungsfunktionen S. 29
b) Allgemeine Übertragungsfunktionen s. 31
3.23 Vergleichende Betrachtung und Diskussion der
Fehlermöglichkeiten . S. 35
4. Schaltung spezieller Netzwerke am Analogrechner ..•. S. 39
4.1 Allgemeines . • . . . . ... S. 39
4.2 Rechenschaltungen für Zweipole. s. 40
4.21 Einfache Zweipole .... S. 40
4.3 Zusammenschaltung von Zweipolen s. 43
4.4 Darstellung der AbzFeigschaltung . s. 44
4.41 Analyse der allgemeinen Abzweigschaltung s. 45
4.42 Koppelpläne zur Abzweigschaltung .••. S. 51
a) Abzweigschaltung erster Art S. 51
b) Abzweigschaltung zweiter Art s. 56
c) Abzweigschaltung dritter Art. s. 58
4.5 Abschließende Bemerkungen s. 68
4.6 Diskussion der Fehlermöglichkeiten . s. 70
Sei te 3
5· Die Messung des Frequenz- und Zeitverhaltens · · · · S. 72
. . . .
5. 1 Allgemeines · · · · · · · · · s. 72
5.2 Messung des Frequenzverhaltens S. 73
s.
5·21 Aufgabenstellung und Erzeugung der Meßfrequenz 73
5·22 Verfahren der üblichen Meßtechnik S. 74
. .
5·23 Das Abtastverfahren · · · · s. 76
a) Messung der Ortskurve · s. 76
b) Messung des Betrages s. 80
c) Messung der Phase · S. 82
. .
5·24 Das Impulsverfahren · · · · · · · · · · · · · s. 84
5·3 Zeitverhalten des Netzwerkes · · · · s. 86
5.31 Spannungs sprung (Ermittlung der Übertragungs-
. . . .
funktion) · · · · · · · · · · · · s. 86
5·32 Stoßfunktion (Ermittlung der kennzeichnenden
. .
Zeitfunktion) · · · · · s . 86
5.33 Impulse endlicher Länge S. 89
. . .
6. Beispiele · · s . 90
•
.
7· Zusammenfassung · · · · · S • 102
Literaturverzeichnis S. 104
Seite 4
Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen
t Zeit (als normierte Größe benutzt)
t, T, td bestimmte Zeitwerte (meist normiert)
I
p=O'+jw komplexe Kreisfrequenz (als normierte
Größe benutzt)
f Frequenz (als normierte Größe benutzt)
5 (t) Zeitfunktion allgemein
51(t),5p(t) Eingangsfunktion
52(t),50(t) Ausgangsfunktion
a(t) kennzeichnende Zeitfunktion allgemein
Ö( t) Diracstoß
s
(p) Laplacetransformierte der Zeitfunktion set)
S, (p)
A(p) = S2(P) Übertragungs funktion allgemein
Pol einer Übertragungs funktion
Pop Nullstelle einer Übertragungsfunktion
Koeffizient des Nennerpolynoms
Koeffizient des Zählerpolynoms
n Grad des Nennerpolynoms
m Grad des Zählerpolynoms
=
A(jW) P(jw) + jQ(jw) Frequenzgang
Vp
IA(j w)1 = 2 + Q2 I Betrag des Frequenzganges
~(w) =a re ton pQ Winkel des Frequenzganges
Uq Quellspannung
Z (p) Widerstandsfunktion
y (p) Leitwertfunktion
Zq (p) Widerstand des Querelementes einer Abzweig
schaltung
Leitwert des Längselementes einer Abzweig
schaltung
Sei te 5
H (p) Betriebsübertragungsfaktor
L/C, R Größen von normierten Schaltelementen
K--' Größen der reziproken normierten
- L
Schaltelemente
D-- -C'
G=-'
R
I Strom allgemein
Eingangsstrom
Ausgangsstrom
Potential allgemein
Ausgangspotential
Anpassungsfaktor bei Wellenparameter
filtern
Cl, kl,···M Konstante
',2 .... Indizes
~,Il,l'l)n,m,
Sei te 6
1. Einleitung
In den letzten Jahren sind die elektronischen Rechenmaschinen in sehr
starkem Maße weiter entwickelt worden. Dabei wurde bei den Digitalma
schinen eine wesentlich höhere Operationsgeschwindigkeit angestrebt,
während bei den Analogmaschinen die Entwicklung auf größere Genauigkeit
gerichtet war. Bei beiden Maschinenarten wurde zusätzlich eine hohe Be
triebssicherheit sowie vor allem eine möglichst einfache Bedienung bei
großer Flexibilität erreicht. Gleichzeitig ging das Bestreben dahin,
diese Maschinen in steigendem Maße für die Lösung der in Wissenschaft,
Technik und Wirtschaft auftretenden mathematischen Probleme einzusetzen.
Es gelingt dabei, immer neue Gebiete der Bearbeitung mit diesen Maschi
nen zu erschließen.
Die besonders bei elektronischen Analogrechnern relativ einfache Bedie
nung gestattet es, die einzelnen Bausteine des Rechners auch ohne ein
gehende Kenntnis der internen Vorgänge zu benutzen. Die Art der Anwen
dung wird dabei im wesentlichen durch das behandelte Problem, nicht so
sehr durch die Maschine bestimmt. In sehr übersichtlicher Form ist das
bei der Behandlung von Übertragungssystemen und Netzwerken auf dem Ana
logrechner möglich. Dabei wird die Maschine primär nicht als Rechenge
rät, sondern als ein sehr flexibles Übertragungssystem bzw. Netzwerk
aufgefaßt. Die Rechenschaltung ergibt sich in strenger Analogie zur
Übertragungsfunktion oder zum Netzwerk. Da alle Überlegungen vom Stand
punkt des vorgelegten Problems her durchgeführt werden, sind Kenntnisse
auf dem Gebiet der Übertragungs- und Netzwerkstheorie wesentlicher als
die Kenntnis des Rechners selbst. Eine Vielzahl von Aufgaben dieses Ge
bietes läßt sich dann wesentlich leichter als mit üblichen Mitteln be
handeln. Die vorliegende Arbeit stellt eine Reihe von Verfahren bereit,
nach denen Übertragungsfunktionen und spezielle, für ~ie Anwendungen
wichtige Netzwerke in übersichtlicher Form geschaltet werden können.
Dabei wurden stets Rechenschaltungen angestrebt, die bausteinartig und
damit flexibel sind und außerdem möglichst direkt der vorgelegten Auf
gabe entsprechen. Auf eine nähere Beschreibung des Rechengerätes wurde
bewußt verzichtet. Für die hier behandelten Aufgaben konnten die Bau
steine des Rechners fast stets als fehlerfrei angenommen werden.
Die Arbeit gliedert sich in drei Hauptabschnitte, denen eine Übersicht
über die üblichen Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen vor
angestellt ist. Im ersten Hauptabschnitt wird die Darstellung von Über
tragungsfunktionen, im zweiten die bestimmter Netzwerke behandelt.
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Meßmethoden, mit denen sowohl das Frequenzverhalten wie das Zeitverhal
ten der für die erste oder zweite Aufgabe gefundenen Rechenschaltung
untersucht werden können, werden anschließend erläutert. Einige Beispie
le werden im letzten Abschnitt behandelt.
2. Behandlung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten auf dem Analogrechner
2.1 Benötigte Bausteine des Analogrechners
In der Tabelle 1 sind die wichtigsten Bausteine eines elektronischen
Analogrechners zusammengestellt, soweit sie hier und im folgenden be
nötigt werden. Die Tabelle zeigt außer den Schaltzeichen die Beziehun
gen für die Ausgangsfunktionen und bringt damit die Definitionen deF
Wirkungsweise der einzelnen Geräte.
Tab e 1 1 e 1
Bausteine des Analogrechners
Bezeichnung SchaItn;chfm Alsgangsze/tfunktion
'I/(t).~ I
Integrierverstärker 5uftrl~ -t..
J(Js,,rtJdt+ 5iO)
S, (t) J( 52{f) ... , 0
n n
~'~:~ n
Summierverstärker :;JtJ -L'<vos,,(t)
J-n'2 5 (t) 1='
s,n(t} 2
s,,(tJB>--s;
n
Umkehr verstärker 512(t} -1 - [ S,y(t}
s 'n (t) 52{f) .".,
Pofenfiomf!ter s, (f)0--S 2(t) J(os,(t) .- O~J(ftl
sn~tJ
Muftipliziergerät 511 (t) 05,2 (t)
512(t)
Der Integrierverstärker liefert am Ausgang die negative Summe der mit
den Faktoren k~ multiplizierten Integrale der Eingangsfunktionen s1~ und
des Anfangswertes. Der Summierverstärker bildet die negative Summe der
mit k~ multiplizierten Eingangsfunktionen. Er wird nicht so häufig ge
braucht wie sein Spezialfall, der Umkehrverstärker, bei dem die Fakto
ren alle gleich eine;, sind.
Sei te 8
Eine Multiplikation mit einem konstanten Faktor unter 1 wird mit Hilfe
eines Potentiometers durchgeführt. Praktisch muß dabei der Einfluß der
Belastung des Potentiometers durch die nachfolgende Schaltung berück
sichtigt werden, was meist bei handelsüblichen Rechenanlagen durch eine
Kompensationseinrichtung sehr erleichtert wird.
Das Multipliziergerät gestattet schließlich die Multiplikation beliebi
ger am Rechner erscheinender Zeitfunktionen miteinander. Je nach der
Arbeitsweise erscheint dabei die Ausgangsfunktion positiv oder negativ.
Im folgenden wird stets angenoillmen, daß das Produkt mit positivem Vor
zeichen erscheint.
Für die Messungen an Rechenschaltungen sind noch einige Spezialgeräte
zweckmäßig, die im Abschnitt 5 erläutert werden.
Es wird zunächst stets vorausgesetzt, daß die Arbeitsweise der Bausteine
exakt durch die für die Ausgangszeitfunktionen angegebenen Beziehungen
beschrieben wird. Die tatsächlich auftretenden Fehler werden später be
rücksichtigt. Bei den hier behandelten Anwendungen sind dabei folgende
Fehlerquellen zu beachten:
Integrier- und Summierverstärker arbeiten nur bis zu einer bestimmten
maximalen Frequenz, die von der jeweiligen Maschine abhängt, mit aus
reichender Genauigkeit. Der hervorgerufene Fehler läßt sich dadurch
praktisch vermeiden, daß man durch entsprechende Transformation der zu
behandelnden Differentialgleichungen und Netzwerke dafül' sorgt, daß die
auf der Maschine auftretenden Funktionen nur Spektralanteile innerhalb
des Arbeitsbereiches der Maschine enthalten. Mit dieser Frequenzbegren
zung hängt zusammen, daß die bei den Verstärkern auftretenden Faktoren
gewisse Maximalwerte nicht überschreiten dürfen. Diese Werte liegen,
abgesehen von der Dimension, etwa bei 100. Die Transformation der Glei
chungen so, daß bei der für die Berechnung geeigneten sogenannten Ma
schinengleichung diese Werte nicht überschritten werden, bedeutet zu
gleich die Beschränkung auf den zulässigen Frequenzbereich. Diese Trans
formation ist schon mehrfach in der Literatur behandelt worden (s. z.B.
[1] bis [8]). Ergänzende Bemerkungen dazu sowie Betrachtungen über die
Transformation der Netzwerke folgen in den entsprechenden Abschnitten.
Wenn nicht besonders angegeben, wird stets vorausgesetzt, daß die Ma
schinengleichung bereits vorliegt und unmittelbar am Rechner geschaltet
werden kann. Der mit der Frequenzbandbegrenzung verbundene Fehler wird
daher nicht weiter berücksichtigt.
Sei te 9
Der durch die Belastung der Potentiometer sich ergebende Fehler kann,
wie schon erwähnt, durch entsprechend veränderte Einstellung der Poten
tiometer vermieden werden. Die Potentiometer sind häufig an Verstärker
eingänge angeschlossen, deren zugehörige Verstärkungsfaktoren k~ eben
falls mit Fehlern behaftet sind. Dabei wird natürlich angenommen, daß
dieser Fehler innerhalb der Genauigkeitsgrenzen der Maschine liegt. Es
wird in den folgenden Abschnitten angegeben, wann dieser Fehler stört
und wie er vermieden werden kann.
Wie bei allen Anwendungen elektronischer Analogrechner ist der Null
punktfehler der Verstärker prinzipiell von großem Einfluß. Er macht
sich sowohl bei der Messung des Zeitverhaltens als auch bei der des
Frequenzverhaltens der untersuchten Netzwerke und Funktionen störend
bemerkbar. Zur Vermeidung sind in der Regel schon beim Bau der Maschine
geeignete Maßnahmen getroffen worden. Daher hatte bei den bisher prak
tisch durchgeführten Untersuchungen diese Fehlerquelle nur sehr geringe
Bedeutung. Auch sie wird im folgenden nicht weiter berücksichtigt.
2.2 Lösung von linearen Differentialgleichungen
Die Lösung einer Differentialgleichung auf dem Analogrechner ist häufig
behandelt worden (s. z.B. [1] bis [8]). Sie wird hier nur kurz für den
Fall skizziert, daß nur die Störfunktion selbst, nicht auch ihre Ablei
tungen in der zu behandelnden Differentialgleichung auftreten.
Üblicherweise löst man die Gleichung nach der höchsten Ableitung der
gesuchten Funktion auf, die sich dann als Linearkombination aller Ablei
tungen niedrigerer Ordnung und der Störfunktion schreibt. Durch fortge
setzte Integration gewinnt man apparativ diese Ableitungen, durch Li
nearkombination gemäß den Koeffizienten der Gleichung rückwärts wieder
die höchste Ableitung der gesuchten Funktion, von der ausgegangen wurde.
In Abbildung 1 sind die Koppelpläne für die Lösung der Differential
gleichungen 1., 2. und 3. Ordnung für den Fall aufgezeichnet, daß alle
Anfangswerte Null sind. Die nötige Summierung zur Bildung der höchsten
Ableitung erfolgt im ersten Integrierverstärker. Die gezeichneten Schal
tungen gelten für die Koeffizienten 0 ~ a .. ~ 1. Ist a~ > 1, so muß der
hier mit eins angenommene Integrationsfaktor größer gewählt werden. Bei
den Schaltungen für die Lösung der Gleichung 1. und 3. (allgemein unge
radzahliger) Ordnung erscheint das Ergebnis mit negativem Vorzeichen.
Erforderlichenfalls muß noch ein Umkehrverstärker nachgeschaltet werden.
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