Table Of ContentMartin Kreh · René Goertz
Florian Modler
Tutorium
Höhere Analysis
Mathematik von Studenten
für Studenten erklärt und
kommentiert
Tutorium Höhere Analysis
Martin Kreh • René Goertz (cid:129) Florian Modler
Tutorium Höhere Analysis
Mathematik von Studenten für
Studenten erklärt und kommentiert
Dr.MartinKreh RenéGoertz
InstitutfürMathematikund InstitutfürMathematikund
AngewandteInformatik AngewandteInformatik
UniversitätHildesheim UniversitätHildesheim
Hildesheim,Deutschland Hildesheim,Deutschland
FlorianModler
Hannover,Deutschland
ISBN978-3-8274-3003-8 ISBN978-3-8274-3004-5(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-8274-3004-5
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
SpringerSpektrum
©Springer-VerlagGmbHDeutschland2018
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht
ausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.
DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,Mikroverfilmungenunddie
EinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder
Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann
benutztwerdendürften.
DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenin
diesemWerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlag,noch
dieAutorenoderdieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdes
Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografischeZuordnungen
undGebietsbezeichnungeninveröffentlichtenKartenundInstitutionsadressenneutral.
VerantwortlichimVerlag:AndreasRüdinger
Einbandabbildung:(c)CarolynHall
Zeichnungen:MarcoDaniel,MatthiasLinden,Dr.MartinLay,Dr.MartinKreh
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier
SpringerSpektrumisteinImprintdereingetragenenGesellschaftSpringer-VerlagGmbHDeutschland
undistTeilvonSpringerNature
DieAnschriftderGesellschaftist:HeidelbergerPlatz3,14197Berlin,Germany
Vorwort
Einigevoneuchdenkensichvielleichtgerade:„Dasistjetztjanunschondervierte
BandvondenbeidenverrücktenStudentenModlerundKreh!“Daraufkönnenwir
nur antworten: „Ja, das ist korrekt :-)!“ Und diesmal haben wir uns Verstärkung
geholt ;-) Wir freuen uns, dass wir diesen vierten Band noch schreiben durften
und dass wir es auch nach all den Jahren endlich geschafft haben. Beachtet auch,
dasszuvoreindritterBandmitdemNamenTutoriumAlgebraerschienenist(siehe
[MK12]).Unddiesistauchgutso,dennmansollteinseinemMathematikstudium
sowohl Analysis 3 als auch Algebra hören. Es gehört zur Grundausstattung jedes
Mathematikers.
Viele von euch werden vielleicht auch den ersten Band [MK13] bzw. den
zweiten Band [MK11] kennen, in denen wir uns mit den Grundlagenvorlesungen
zurAnalysisundzurLinearenAlgebrabeschäftigthaben.Füralle,diediesebeiden
Bändenichtkennen:WirwerdenzwardesÖfterenaufdieseBändeverweisen,dann
aber nicht, weil wir wollen, dass ihr diese Bücher kauft (klar, könnt ihr dies auch
machen, wenn sie euch gefallen), sondern vielmehr, weil wir in diesem Buch den
Stoff aus den Anfängervorlesungen Analysis 1 und 2 bzw. Lineare Algebra 1 und
2voraussetzenwerden.AnwelcherStelleihrdiesenStoffbraucht,istentsprechend
notiert. Notfalls schlagt ihr also einfach in einem Buch über Analysis 1, 2 oder
LineareAlgebra1,2nach.DennesgibtnochvieleguteandereBücherdazu.
Worumgehteshier?
DasBuchistindreiTeilegeteilt:
1.Teil: Maß-undIntegrationstheorie
2.Teil: Mannigfaltigkeiten
3.Teil: Vektoranalysis
ImWesentlichengehtesalsoumAnalysis3unddieMannigfaltigkeiten.Wenn
ihrnunimdrittenSemesterseid,sostehtihrbaldvorderEntscheidung,inwelche
Richtung ihr gehen wollt. Eher in die angewandte Mathematik wie numerische
Mathematik,StochastikoderFinanzmathematikodereherindiereineMathematik
wie Analysis, Differentialgeometrie, Algebra, partielle Differentialgleichungen,
algebraischeGeometrie,ZahlentheorieoderetwasanderesExotisches?Daheristes
V
VI Vorwort
meistensauchso,dassdieProfessorenineinerAnalysis3-Vorlesungdasmachen,
wasihnenammeistenSpaßmacht.DadiesbeiunsvorallemdieMannigfaltigkeiten
sind, gehen wir in diesem Buch besonders darauf ein. Klassisch dagegen sind die
Inhalte der Maß- und Integrationstheorie und die der Vektoranalysis, die wir hier
daherauchbehandelnwerden.
Des Weiteren versuchen wir, ab und an auch nur einen groben Überblick über
bestimmteThemenzugeben,umbeieuchInteressefürdieseGebietezuweckenund
euchzuanimieren,mithilfeandererLiteratureinwenigmehrdarüberzuerfahren,
denn Studium ist ab sofort (eigentlich schon ab dem ersten Semester) mehr und
mehr ein Selbststudium. Ihr bekommt nicht mehr alles vorgeschrieben, sondern
müsstselbstsehen,waseuchinteressiert,euchindieentsprechenden Vorlesungen
setzenundauchzuHauseselbstständigLiteratursuchenundeinpaarBücherlesen.
DasKonzeptbleibtwiederdasbewährte
Das Konzept ist genau wie bei den ersten beiden Bänden. Zunächst werden wir
in jedem Kapitel die wichtigsten Definitionen und Sätze mit Beweisen geben.
Im Anschluss daran findet ihr die Erklärungen zu den Definitionen, Sätzen und
Beweisen mit vielen Abbildungen und Beispielen. Einige von euch kennen dieses
Konzeptschon,anderelernenesjetzterstneudazu;vielleichtlernensieauch,eszu
lieben:-).
DerInhalt
Wie schon oben angedeutet, haben wir versucht, uns an einer herkömmlichen
Analysis 3-Vorlesung zu orientieren. Im ersten Teil wird es um Mengensysteme,
Mengenfunktionen, messbare Abbildungen, Konvergenzssätze wie den Satz von
Fubini,denTransformationssatzundvorallemumdasLebesgue-Integralgehen.Ihr
lerntalsoindiesemTeilnebendemklassischenRiemann-IntegralausderAnalysis
1 ein weiteres Integral kennen. Die Vor- und Nachteile werden wir dort vor allem
herausarbeiten.
Im zweiten Teil geht es dann um Mannigfaltigkeiten. Wir werden dort die
Analysis 2 aus dem Rm versuchen auf allgemeineren Objekten, den Mannigfaltig-
keiten,durchzuführenundzuverallgemeinern.Eswirddaherumtopologischeund
differenzierbareMannigfaltigkeiten,Untermannigfaltigkeiten,Tangentialräumeund
dieIntegrationaufMannigfaltigkeitengehen.HöhepunktwirdderSatzvonStokes
sein. Ihr kennt ihn alle aus der Schule noch (um genau zu sein: in der einfachsten
Form).Glaubtihrnicht?Na,dannwartetmalab!
Der dritte Teil handelt von der Vektoranalysis. Dies wird eher ein kurzer
Abschnitt sein, welcher nur aus den beiden Kapiteln der Grundbegriffe der Vek-
toranalysisunddenSätzenvonGreen,GaußundStokesbesteht.
Danksagungen
Zu guter Letzt dürfen in einem Vorwort niemals die Danksagungen fehlen. Denn
(dieswarbeimerstenundzweitenBandauchschonso)einBuchentstehtniemals
ohnedieHilfevonanderenMenschen.ManbrauchtzunächstKorrekturleser:Dies
warenwiedereinmalDr.FlorianLeydecker,DominikBilitewski,JeltoBorgmann,
Vorwort VII
Henry Wegener, Benjamin Kirwa, Kim Weber, Olga Berlovych, Prof. Dr. Carsten
Elsner, Marco Soriano, Daniel Pape, Felix Lubbe und Stefan Hasselmann, die
unsaufFehler,BeispieleundUngenauigkeitenaufmerksamgemachthaben,sowie
TatjanaStrasser,diedasganzeWerkakribischaufFehlerdurchsuchthat.Dafürsei
allenherzlichstgedankt!
Weiterbrauchtmanjemanden,derunsbeiallenmöglichenFragenzuLaTeXhilft
oderunseinigedieserwundervollenAbbildungenerstellt.DieswareinweiteresMal
MarcoDaniel,demwirwiedereinmalherzlichdanken.
EinweitererundsehrherzlicherDankgehtanCarolynHall,diewiedereinmal
eingrandiosesCovererstellthat.Danke!Leiderpasstdasursprünglichvorgesehene
CoverinzwischennichtmehrvollständigzumInhaltdesBuchesundauchnichtzur
Covergestaltung der neuen Auflagen unserer anderen Bände. Deswegen findet ihr
nunaufdemUmschlagdasvonunserenanderenBändenbekannte(undnichtminder
schöne)BildmitderBadewanne.DasursprünglichvorgeseheneCovermöchtenwir
euch dennoch nicht vorenthalten, ihr findet es am Ende des Vorwortes. Wenn ihr
außerdem auch unser Buch Tutorium Algebra in der ersten Auflage habt, könnte
euchbeidenbeidenCovernetwasauffallen.Mehrwirdhierabernichtverraten;)
Ein Dank gilt außerdem unseren Familien, Freunden und Freundinnen, die
uns immer unterstützt haben und oftmals auf uns verzichten mussten, weil der
Erscheinungstermin des Buches dann doch plötzlich immer näher rückte. Danke,
ihrseiddieBestenundWertvollsten,diewirhaben!Bleibtso,wieihrseid:-).
EinDankgiltweiterhinunserenLehrernKnutSmoczyk,StefanWewers,Helmut
Köditz,MarcoSorianoundallen,diewirjetztvergessenhaben.
WieimmergehtaucheinbesondererDankanunsereLektorenAndreasRüdinger
undAnjaGrothfürdietolleZusammenarbeitbeiallunserenWerken,fürhilfreiche
AnmerkungenundinsbesonderebeidiesemBandfürihreGeduldmituns.
NunabergenugderReden,genießtdasBuch,undfürFehlerhinweisesindwir,
wieimmer,sehrdankbar!
HannoverundHildesheim MartinKreh
Oktober2017 RenéGoertz
FlorianModler
VIII Vorwort
Inhaltsverzeichnis
TeilI Maß-undIntegrationstheorie............................... 1
1 MengensystemeundMengenfunktionen ........................ 3
1.1 Definitionen ........................................... 4
1.2 SätzeundBeweise ...................................... 8
1.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 16
1.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 28
2 MessbareAbbildungen ....................................... 31
2.1 Definitionen ........................................... 31
2.2 SätzeundBeweise ...................................... 32
2.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 36
2.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 40
3 DasLebesgue-Integral ....................................... 43
3.1 Definitionen ........................................... 43
3.2 SätzeundBeweise ...................................... 45
3.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 52
3.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 59
4 IntegralsätzeunddieBerechnungvonLebesgue-Integralen ....... 63
4.1 Definitionen ........................................... 64
4.2 SätzeundBeweise ...................................... 66
4.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 84
4.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 86
TeilII Mannigfaltigkeiten ....................................... 121
5 TopologischeunddifferenzierbareMannigfaltigkeiten............ 123
5.1 Definitionen ........................................... 123
5.2 SätzeundBeweise ...................................... 130
5.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 139
5.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 157
IX
X Inhaltsverzeichnis
6 Tangentialräume ............................................ 161
6.1 Definitionen ........................................... 161
6.2 SätzeundBeweise ...................................... 164
6.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 175
6.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 182
7 Untermannigfaltigkeiten...................................... 187
7.1 Definitionen ........................................... 187
7.2 SätzeundBeweise ...................................... 189
7.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 195
7.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 199
8 IntegrationaufMannigfaltigkeiten............................. 203
8.1 Definitionen ........................................... 204
8.2 SätzeundBeweise ...................................... 213
8.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 234
8.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 240
TeilIII Vektoranalysis .......................................... 245
9 GrundbegriffederVektoranalysis ............................. 247
9.1 Definitionen ........................................... 248
9.2 SätzeundBeweise ...................................... 251
9.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 255
9.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 271
10 Gauß,GreenundStokes...................................... 275
10.1 Definitionen ........................................... 275
10.2 SätzeundBeweise ...................................... 276
10.3 ErklärungenzudenDefinitionen........................... 279
10.4 ErklärungenzudenSätzenundBeweisen ................... 280
Symbolverzeichnis ............................................... 287
Literaturverzeichnis ............................................. 289
Sachverzeichnis ................................................. 291
