Tutorium Algebra: Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert

299 Pages·2012·3.2 MB·German

by  Florian Modler

Tutorium Algebra

(cid:41)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:81)(cid:3)(cid:48)(cid:82)(cid:71)(cid:79)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:135)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:46)(cid:85)(cid:72)(cid:75)
Tutorium Algebra
(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:78)(cid:3)(cid:89)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:73)(cid:129)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:81)(cid:3)
(cid:72)(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:108)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:78)(cid:82)(cid:80)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:87)
Florian Modler (cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:46)(cid:85)(cid:72)(cid:75)
(cid:39)(cid:85)(cid:82)(cid:86)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:90)(cid:72)(cid:74)(cid:3)(cid:20)(cid:19) (cid:47)(cid:82)(cid:85)(cid:87)(cid:93)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:17)(cid:3)(cid:21)(cid:22)
(cid:22)(cid:20)(cid:20)(cid:24)(cid:26)(cid:3)(cid:54)(cid:68)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:87) (cid:22)(cid:20)(cid:21)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:51)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:72)
(cid:80)(cid:82)(cid:71)(cid:79)(cid:72)(cid:85)(cid:35)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:76)(cid:88)(cid:80)(cid:16)(cid:87)(cid:88)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:17)(cid:71)(cid:72) (cid:78)(cid:85)(cid:72)(cid:75)(cid:35)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:76)(cid:88)(cid:80)(cid:16)(cid:87)(cid:88)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:17)(cid:71)(cid:72)
(cid:43)(cid:82)(cid:80)(cid:72)(cid:83)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:76)(cid:88)(cid:80)(cid:16)(cid:87)(cid:88)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:17)(cid:71)(cid:72)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:26)(cid:23)(cid:16)(cid:22)(cid:19)(cid:19)(cid:28)(cid:16)(cid:19)(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:26)(cid:23)(cid:16)(cid:22)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:16)(cid:25)(cid:3)(cid:11)(cid:72)(cid:37)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:12)
(cid:39)(cid:50)(cid:44)(cid:3)(cid:20)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:19)(cid:19)(cid:26)(cid:18)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:26)(cid:23)(cid:16)(cid:22)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:16)(cid:25)
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:93)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:72)(cid:87)(cid:3)(cid:71)(cid:76)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:51)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:78)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:73)(cid:76)(cid:72)(cid:30)(cid:3)
(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:73)(cid:76)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:80)(cid:3)(cid:44)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:87)(cid:3)(cid:129)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:71)(cid:81)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:16)(cid:81)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:72)(cid:3)(cid:68)(cid:69)(cid:85)(cid:88)(cid:73)(cid:69)(cid:68)(cid:85)(cid:17)
(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:72)(cid:78)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:80)
(cid:139)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:71)(cid:72)(cid:79)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:74)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:20)(cid:22)
(cid:39)(cid:68)(cid:86)(cid:3)(cid:58)(cid:72)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:76)(cid:72)(cid:137)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:3)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:86)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:55)(cid:72)(cid:76)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:88)(cid:85)(cid:75)(cid:72)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:87)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:3)(cid:74)(cid:72)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:129)(cid:87)(cid:93)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:45)(cid:72)(cid:71)(cid:72)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:90)(cid:72)(cid:85)(cid:87)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:71)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:87)(cid:3)
(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:71)(cid:85)(cid:129)(cid:70)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:3)(cid:89)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:56)(cid:85)(cid:75)(cid:72)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:74)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:87)(cid:93)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:74)(cid:72)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:71)(cid:68)(cid:85)(cid:73)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:89)(cid:82)(cid:85)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:61)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:80)(cid:80)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:86)(cid:17)(cid:3)
(cid:39)(cid:68)(cid:86)(cid:3)(cid:74)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:86)(cid:69)(cid:72)(cid:86)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:73)(cid:129)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:76)(cid:72)(cid:79)(cid:73)(cid:108)(cid:79)(cid:87)(cid:76)(cid:74)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:68)(cid:85)(cid:69)(cid:72)(cid:76)(cid:87)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:104)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:72)(cid:87)(cid:93)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:48)(cid:76)(cid:78)(cid:85)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:73)(cid:76)(cid:79)(cid:80)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:3)
(cid:71)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:40)(cid:76)(cid:81)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:69)(cid:72)(cid:76)(cid:87)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:78)(cid:87)(cid:85)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:54)(cid:92)(cid:86)(cid:87)(cid:72)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:17)
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:58)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:74)(cid:68)(cid:69)(cid:72)(cid:3)(cid:89)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:88)(cid:70)(cid:75)(cid:86)(cid:81)(cid:68)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:43)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:72)(cid:79)(cid:86)(cid:81)(cid:68)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:58)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:69)(cid:72)(cid:93)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:90)(cid:17)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:76)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:80)(cid:3)(cid:58)(cid:72)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:16)
(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:87)(cid:76)(cid:74)(cid:87)(cid:3)(cid:68)(cid:88)(cid:70)(cid:75)(cid:3)(cid:82)(cid:75)(cid:81)(cid:72)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:86)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:46)(cid:72)(cid:81)(cid:81)(cid:93)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:81)(cid:68)(cid:75)(cid:80)(cid:72)(cid:15)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:82)(cid:79)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:80)(cid:3)(cid:54)(cid:76)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)
(cid:58)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:93)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:16)(cid:3)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:78)(cid:72)(cid:81)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:88)(cid:87)(cid:93)(cid:16)(cid:42)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:87)(cid:93)(cid:74)(cid:72)(cid:69)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:68)(cid:79)(cid:86)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:76)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:70)(cid:75)(cid:87)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:90)(cid:108)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:89)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:77)(cid:72)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:81)(cid:3)
(cid:69)(cid:72)(cid:81)(cid:88)(cid:87)(cid:93)(cid:87)(cid:3)(cid:90)(cid:72)(cid:85)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:129)(cid:85)(cid:73)(cid:87)(cid:72)(cid:81)(cid:17)
Planung und Lektorat:(cid:3)(cid:39)(cid:85)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:71)(cid:85)(cid:72)(cid:68)(cid:86)(cid:3)(cid:53)(cid:129)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:77)(cid:68)(cid:3)(cid:42)(cid:85)(cid:82)(cid:87)(cid:75)
Redaktion: (cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:46)(cid:79)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:79)(cid:75)(cid:124)(cid:73)(cid:72)(cid:85)
(cid:42)(cid:85)(cid:68)(cid:191)(cid:78)(cid:72)(cid:81)(cid:29)(cid:3)Marco Daniel
Einbandabbildung: (cid:139)(cid:3)(cid:38)(cid:68)(cid:85)(cid:82)(cid:79)(cid:92)(cid:81)(cid:3)(cid:43)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:46)(cid:85)(cid:72)(cid:75)
Einbandentwurf:(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:86)(cid:93)(cid:39)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:49)(cid:72)(cid:88)(cid:16)(cid:56)(cid:79)(cid:80)
(cid:42)(cid:72)(cid:71)(cid:85)(cid:88)(cid:70)(cid:78)(cid:87)(cid:3)(cid:68)(cid:88)(cid:73)(cid:3)(cid:86)(cid:108)(cid:88)(cid:85)(cid:72)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:76)(cid:72)(cid:80)(cid:3)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:76)(cid:3)(cid:74)(cid:72)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:87)(cid:72)(cid:80)(cid:3)(cid:51)(cid:68)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:85)
(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:72)(cid:78)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:78)(cid:72)(cid:3)(cid:89)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:39)(cid:40)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:39)(cid:40)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:55)(cid:72)(cid:76)(cid:79)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:41)(cid:68)(cid:70)(cid:75)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:86)(cid:74)(cid:85)(cid:88)(cid:83)(cid:83)(cid:72)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)
(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:14)(cid:37)(cid:88)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:48)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:68)(cid:17)
(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:78)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:80)(cid:17)(cid:71)(cid:72)
Vorwort
Glückwunsch, in euren Händen haltet ihr nun schon unseren dritten Band.
Schnell vorweg: Nach diesem dritten Band wird auch noch ein vierter Band,
„Tutorium höhere Analysis“, in dem es (wie der Name schon sagt) im Wesent-
lichen um Analysis 3 und Funktionentheorie gehen wird, erscheinen; allerdings
erst im Jahr 2013. Und hier wollen wir euch gleich dazu raten, neben Algebra
auchAnalysis3zuhören,dadieseinfachzuderMathematikausbildunggehört.
Welches Buch ihr dafür nehmt, ist natürlich euch überlassen ;-)
In diesem Buch werden wir natürlich des Öfteren Sachen verwenden, die in
den ersten beiden Semestern behandelt wurden. All diese Dinge könnt ihr in
unserenerstenbeidenBüchern[MK11]bzw.[MK12]oderauchinjedemanderen
Analysis- oder Lineare-Algebra-Buch nachlesen.
Um was soll es hier gehen?
Wie der Titel schon sagt: Um Algebra ;-) Genauer wird das sein:
Erinnerung an Gruppen, Ringe, Körper,
Ringe,
Gruppen,
Galoistheorie,
transzendente Zahlen.
Dabei wird die Galoistheorie, eine Art „Standard“ im dritten Semester, den
weitaus größten Teil einnehmen. Da jedoch ab dem dritten Semester die Vor-
lesungen immer mehr voneinander abweichen, solltet ihr (vor allem, wenn euch
eines der Themen hier interessiert) noch in den Büchern unserer Literaturliste
blättern.
Da ihr nun auch schon etwas fortgeschrittener seid, werden wir euch ein paar
Übungen mehr als sonst überlassen. Dies solltet ihr als Chance sehen, eure
mathematischen Fähigkeiten noch weiter zu verbessern.
Das Konzept bleibt wieder das bewährte
Das Konzept wird wieder wie in unseren ersten Büchern sein (falls ihr diese
schon kennt, alles wie gewohnt ;-)) Für diejenigen, die unsere Bücher nicht
kennen sollten, eine kurze Erläuterung: Im ersten Teil jedes Kapitels werdet
ihr jeweils die Definitionen und Sätze inklusive Beweise finden. Im zweiten Teil

vi
stehen dann die Erklärungen zu den Definitionen und Sätzen, zusammen mit
vielen schönen Beispielen und Abbildungen.
Der Inhalt
Nun etwas genauer zum Inhalt: Im ersten Kapitel werden wir einige Tatsachen,
die aus früheren Semestern bekannt sein sollten, wiederholen. Hier sollte euch
also möglichst viel oder sogar alles noch bekannt vorkommen.
Dann werden wir einige Tatsachen über Ringe behandeln. Dazu gehören spe-
zielle Arten von Ringen genauso wie Ideale. Im Anschluss daran werden wir
Polynomringe und den Zusammenhang zu den unterliegenden Ringen betrach-
ten. Am Ende werden wir die wichtigen Irreduzibilitätskriterien kennenlernen.
Ringe werden nicht nur in der Algebra, sondern auch in der Zahlentheorie sehr
oft gebraucht. Wir haben versucht, eine gute Balance zu finden, verzichten da-
für aber ab und an auf einige Resultate, die wir hier im Weiteren auch nicht
brauchen.
Im Anschluss an Ringe werden wir uns etwas näher mit Gruppen beschäftigen.
Auch wenn Gruppen für sich selbst genommen sehr interessant sind, so werden
wirhierdochnursolcheThemenansprechen,diewirspäterfürdieGaloistheorie
brauchen. Konkret sind das Gruppenoperationen, der Satz von Frobenius, die
Sylow-Sätze und etwas über die Erzeuger von symmetrischen Gruppen.
Der dritte Teil ist der Hauptteil dieses Buches. Hier werden wir die Galoistheo-
rie entwickeln. Angefangen von algebraischen Körpererweiterungen werden wir
Galoisgruppen und -erweiterungen kennenlernen. Wir werden dann das Fort-
setzungslemma und den Satz vom primitiven Element beweisen. Nach einem
kurzen Einschub über endliche Körper werden wir dann auf den Hauptsatz der
Galoistheoriehinarbeiten.AuchwerdenwirdenwichtigenFundamentalsatzder
Algebrabeweisen.WirwerdendannGleichungendrittenundviertenGradesge-
nauermitHilfesymmetrischerPolynomeuntersuchen.DasnächsteKapitelwird
sich der Fragestellung widmen, wann man die Nullstellen eines Polynoms mit
Wurzelausdrückenaufschreibenkann.NachderBehandlungdiesersogenannten
Auflösbarkeit werden wir auf eine weitere Anwendung der Galoistheorie hin-
arbeiten, der Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hierfür werden wir zunächst
KreisteilungskörperbehandelnundzumBeispielsehen,welcheregulärenn-Ecke
man konstruieren kann.
In der Galoistheorie werden wir uns vor allem mit der Struktur hinter den
NullstellenvonPolynomenbeschäftigen.AuchwennmanbeivielenPolynomen
dieNullstellennichtsoleichtsieht(odersogargarnichtdurchWurzelausdrücke
aufschreibenkann),sokannmansehreinfachetwasüberRechenausdrückedieser
Nullstellensagen.ZumBeispielist(beieinemnormiertenPolynom)dasProdukt
dieser Nullstellen genau der konstante Koeffizient des Polynoms, während die
vii
Summe (bis auf Vorzeichen) genau der Koeffizient vor dem xn−1 ist (wenn hier
n den Grad des Poylnoms bezeichnet).
Auch kompliziertere Ausdrücke in den Nullstellen, die Summen und Produkte
enthalten, spielen eine Rolle. Durch Untersuchen dieser Ausdrücke lassen sich
dannauchInformationenüberdieNullstellenselbstgewinnen.Dabeisindjedoch
meistens nicht (nur) die Nullstellen selbst für uns interessant, sondern vielmehr
die Struktur die dahintersteht.
Im vierten Teil werden wir uns dann kurz mit transzendenten, also nicht alge-
braischenZahlenbeschäftigen.HierbeiwidmenwirunsimWesentlichensolchen
Sätzen, die uns sagen, dass es überhaupt transzendente Zahlen gibt. Das High-
light hier wird der Satz von Lindemann-Weierstraß sein.
Danksagungen
Wieder einmal gibt es viele Menschen, denen wir an dieser Stelle zu danken
habenundohnediediesesBuchnichtwäre,wasesist.EingroßerDankgebührt
natürlichallunserenKorrekturlesern,dieunsaufUngereimtheitenaufmerksam
gemacht haben. Namentlich sind dies: Dr. Marco Soriano, Dr. Martin Stein,
Dr. Florian Leydecker, Henry Wegener, Jelto Borgmann, Lisa Hegerhorst, Kim
Weber, Susanne Hensel, Norbert Engbers und Maren Klingenhöfer.
Auch das beste Buch wäre nichts ohne ein schönes Cover. Wie schon bei den
ersten beiden Bänden war hier wieder Carolyn Hall aktiv und hat uns dieses
tolle Cover gestaltet. Danke :-) Ein kleines Detail des Covers wurde diesmal
außerdem von Mark Hunter designt, auch hierfür möchten wir danken.
Bei den Grafiken und anderen LaTeX-Fragen hatten wir diesmal gar zwei kom-
petente Helfer. Vielen Dank hierfür an Marco Daniel und Matthias Linden.
Auch unseren beiden Lektoren von Springer Spektrum, Dr. Andreas Rüdinger
und Anja Groth gebührt wieder ein großer Dank für die tolle Zusammenarbeit.
ZuletztseinochunserenFamilien,FreundenundFreundinnengedankt,dieauch
dieses Mal wieder einige Zeit auf uns verzichten mussten.
Nun aber genug der Reden, genießt das Buch, und für Fehlerhinweise sind wir,
wie immer, sehr dankbar!
Hannover und Göttingen, Juli 2012
Florian Modler und Martin Kreh
Inhaltsverzeichnis
1 Erinnerung an Gruppen, Ringe und Körper................ 1
1.1 Definitionen ................................................. 1
1.2 Sätze und Beweise............................................ 5
1.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 18
1.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 28
2 Ringe und Ideale........................................... 39
2.1 Definitionen ................................................. 39
2.2 Sätze und Beweise............................................ 41
2.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 52
2.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 59
3 Polynomringe und Irreduzibilität von Polynomen .......... 67
3.1 Definitionen ................................................. 67
3.2 Sätze und Beweise............................................ 69
3.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 74
3.4 Erklärung zu den Sätzen und Beweisen.......................... 78
4 Gruppenoperationen und die Sätze von Sylow ............. 89
4.1 Definitionen ................................................. 89
4.2 Sätze und Beweise............................................ 91
4.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 99
4.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 105
5 Körpererweiterungen und algebraische Zahlen ............. 113
5.1 Definitionen ................................................. 113
5.2 Sätze und Beweise............................................ 115
5.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 120
5.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 125
6 Endliche Körper ........................................... 131
6.1 Definitionen ................................................. 132
6.2 Sätze und Beweise............................................ 133
6.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 139
6.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 143
7 Anfänge der Galoistheorie ................................. 149
7.1 Definitionen ................................................. 149
7.2 Sätze und Beweise............................................ 150
7.3 Erklärungen zu den Definitionen ............................... 157
7.4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen........................ 160
8 Galoiserweiterungen und der Hauptsatz der Galoistheorie.. 165
8.1 Definitionen ................................................. 165
8.2 Sätze und Beweise............................................ 166