Transition from the performing of arithmetic tasks to the understanding of con-cepts. The

172 Pages·2005·1.34 MB·English

by  Kauko Hihnala

(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:3)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:6)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:9)(cid:13)(cid:15)(cid:9)(cid:14)(cid:12)(cid:11)(cid:16)(cid:17)(cid:10)(cid:13)(cid:18)(cid:15)(cid:19)(cid:9)(cid:20)(cid:6)(cid:3)(cid:16)(cid:21)(cid:18)(cid:8)(cid:18)(cid:22)(cid:3)(cid:9)(cid:17)(cid:15)(cid:12)(cid:9)(cid:6)(cid:18)(cid:16)(cid:13)(cid:17)(cid:8)(cid:9)(cid:23)(cid:14)(cid:6)(cid:14)(cid:17)(cid:23)(cid:16)(cid:21)
(cid:2)(cid:3)(cid:4)
(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:15)(cid:6)
(cid:8)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:31) !(cid:29)"(cid:9)(cid:25)(cid:27)#$!(cid:28)(cid:28)(cid:24)%!(cid:25)(cid:29)(cid:25)(cid:28)(cid:24)
(cid:26)(cid:31)(cid:25)!(cid:28)(cid:28)(cid:29)!&(cid:29)"(cid:9)’%%(cid:31)$(cid:28)(cid:31)%!(cid:25)(cid:29)"
(cid:20)(cid:29)$(cid:27)(cid:25)(cid:26)#(cid:27)((cid:27)((cid:24)!(cid:25)(cid:29)"(cid:9)%(cid:24)(cid:28)(cid:29)%(cid:24)(cid:24)(cid:28)(cid:28)!(cid:25)(cid:29)"
(cid:24))(cid:24)(cid:28)(cid:28)(cid:29)((cid:27)"(cid:9)(cid:26)(cid:29)(cid:30)!(cid:28)(cid:28)’%!"(cid:29)"
(cid:24)$!(cid:28)%(cid:29)(cid:28)!!(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:24)(cid:9)(cid:24)(*(cid:29)+$(cid:24)(cid:24)"(cid:9)(cid:25)!!$$’(cid:28)(cid:28)(cid:31)(cid:29)(cid:25)(cid:25)(cid:31)
(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:3)(cid:8)(cid:5)(cid:15)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:18)(cid:20)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:18)

Copyright © , by University of Jyväskylä
ABSTRACT

Hihnala, Kauko
Transition from the performing of arithmetic tasks to the understanding of con-
cepts. The development of pupils' mathematical thinking when shifting from
arithmetic to algebra in comprehensive school
Jyväskylä: University of Jyväskylä, 2005, 169 p.
(Jyväskylä Studies in Education, Psychology and Social Research
ISSN 0075-4625-278)
ISBN 951-39-2279-0
Summary
Diss.

This study clarifies what kind of prerequisites there would be to start the study-
ing of algebra in comprehensive school earlier than during last years. The study
was performed in two phases. The first phase included a four-year follow-up
study as a case study targeted to single age group of 89 pupils. The study sur-
veyed the mathematical skills of pupils from the sixth to the ninth grade on
general level. The measurements were made in autumns and in the spring of
the ninth grade with tests lasting for an hour. The follow-up was followed by a
cross-study. Its measurements were made in the autumn 2001. The cross-study
included 1,019 pupils from the sixth to the ninth grade from three primary
schools and five secondary schools in a mid-size Finnish town. On the basis of
this study the command of proportionality did not seem to be the qualification
for skills in algebra. It rather seemed that pupils need similar abilities for these
areas of mathematics. The skills in algebra were approximately the same among
the pupils from the sixth to the eighth grade. On the basis of the results ob-
tained it would be natural to teach proportionality and algebra simultaneously
in comprehensive school, parallel and interlocked, at least from the sixth grade
onwards.

Keywords: algebra, arithmetic, mathematical thinking, proportionality
Author´s address Kauko Hihnala
Opettajantie 4 A 2
40900 Säynätsalo
[email protected]

Supervisors Professor (em) Maija Ahtee
University of Jyväskylä, Finland

Senior Researcher Pekka Kupari
Institute for Educational Research
University of Jyväskylä, Finland

Professor Jouni Viiri
Department of Teacher Education
University of Jyväskylä, Finland

Reviewers Professor Erkki Pehkonen
Department Applied Sciences of Education
University of Helsinki, Finland

Docent Kaarina Merenluoto
Department of Teacher Education
University of Turku, Finland

Opponent Professor Erkki Pehkonen
Department Applied Sciences of Education
University of Helsinki, Finland
ESIPUHE

Tämä työ sai alkunsa tarpeesta tutkia matematiikan osaamiseen liittyviä on-
gelmia erityisesti peruskoulun yläasteen oppilailla. Oppilaiden siirtyminen ala-
asteelta yläasteelle muodostaa opiskelussa tärkeän nivelkohdan. Oppilaat siir-
tyvät kuusi vuotta kestäneestä luokanopettajan opetuksesta aineenopettajien
opetukseen. Luokanopettajan ja aineenopettajan erilainen koulutustausta aset-
taa opetukselle erilaiset lähtökohdat. Myös luokanopettajan työn jakaantumi-
nen monen oppiaineen kesken rajoittaa hänen mahdollisuuksiaan syventyä ma-
tematiikan opetuksen erityisvaatimuksiin. Vahvimpien kannanottojen mukaan
ala-asteella opetettava matematiikka on eri oppiaine kuin yläasteen matema-
tiikka.
Ala-asteen matematiikan opiskelu luo oppilaalle käsityksiä ja uskomuksia
muun muassa omista kyvyistä ja matematiikasta. Jotkut uskomukset voivat
vaikeuttaa yläasteen oppiainelähtöistä matematiikan opetusta. Uudet perusope-
tuksen opetussuunnitelman perusteet 2004 antavat pienen sysäyksen ala-asteen
ja yläasteen opetuksen yhtenäistämiseen. Luokkien 6–9 opetussuunnitelmien
käsitteleminen yhtenä kokonaisuutena on tärkeä tähän suuntaan vaikuttava
rakenteellinen tekijä. Konstruktivistiseen oppimiskäsitykseen perustuva ope-
tussuunnitelma ja siihen liittyen ongelmakeskeinen opetustapa ovat myös omi-
aan yhdenmukaistamaan matematiikan opetusta eri luokkatasoilla.
Kun ryhdyin tutkimaan opetusta ja oppimista lähes 30 vuoden opetustyön
jälkeen, havaitsin, ettei ole helppo asettua tutkijana tarkastelemaan asioita
oman työn ulkopuolelta. Toisaalta opettajakokemus on suureksi hyödyksi, kun
tutkimuksen tavoitteena on pyrkiä vaikuttamaan opetukseen ja oppisisältöihin.
Ensimmäisen impulssin tämän tutkimuksen käynnistämiseen sain profes-
sori Jouni Välijärveltä keväällä 1996. Keskustellessamme peruskoulun matema-
tiikan opetuksen ongelmista nousi päällimmäisenä esiin edellä mainittu luo-
kanopettaja – aineenopettaja asetelma. Arvioimme tuolloin, että ala-asteella op-
pilaille kehittyvät matematiikka-asenteet saattavat vaikuttaa merkittävästi ylä-
asteen matematiikan opiskeluun. Näitä asioita selvitin lisensiaatintyössäni: On-
nistumisen iloa ja tietämisen tuskaa – affektiivisia ja kognitiivisia kehityspiirtei-
tä peruskoululaisen matematiikan opiskelussa 6. ja 7. luokalla (Hihnala 2000).
Tulokset kuitenkin osoittivat, että varsinkaan ala-asteen ja yläasteen taitekoh-
dassa ei ole nähtävissä matematiikan osaamisen ja matematiikka-asenteiden
välillä sellaisia yhteyksiä, joihin puuttumalla voitaisiin oleellisesti parantaa ylä-
asteen matematiikan opetusta. Oppisisältöjen tarkastelu tuntui antavan pa-
remman lähtökohdan yläasteen matematiikan opiskelun ongelmien selvittämi-
seksi.
Vuosien opettajakokemus: vuosi kunnallisessa keskikoulussa, neljä vuotta
lukiossa ja 23 vuotta peruskoulussa, oli osoittanut, että siirtyminen matematii-
kassa numeroluvuista kirjainlukuihin on monelle nuorelle hämmentävä tapah-
tuma. Asioiden muuttuminen abstrakteiksi koettelee oppilasta ennen kaikkea
tunnetasolla. Moni oppilas kokee, että hänen aiemmin hyväksi havaitulla lasku-
taidollaan ei ole enää mitään merkitystä. Koska tutkimuskirjallisuudesta löytyi
runsaasti tätä aihepiiriä käsitteleviä julkaisuja, oli innostavaa lähteä tutkimaan
tarkemmin aritmetiikasta algebraan siirtymisen ongelmakenttää.
Tutkimukseni alkuvaiheessa tarvitsin ohjeita ja perustietoa siitä, miten
empiirinen tutkimus toteutetaan. Professori Jouni Välijärvi Koulutuksen tutki-
muslaitoksen johtajana ja pitkäaikaisena tutkijana oli oikea henkilö vastaamaan
näihin haasteisiin. Hän tunnusti kuitenkin jo alkuvaiheessa, ettei hänen tietä-
myksensä matematiikasta ole riittävä minun tutkimukseni ohjaamiseen. Sain
neuvon kääntyä erikoistutkija, tohtori Pekka Kuparin puoleen. Valmiin testis-
tön saaminen empiirisen aineiston keräämistä varten ohjasi tutkimustani oike-
aan suuntaan. Tohtori Kupari korosti erityisesti sitä, ettei kannata haksahtaa
liian monimutkaisiin tutkimusmenetelmiin. Tärkeintä on pyrkiä esittämään
saamansa tulokset selkeästi ja ymmärrettävästi. Koska tutkimusaineistoni pai-
sui kuitenkin varsin laajaksi, tarvitsin asiantuntijan apua myös tutkimustulos-
ten analysoinnissa. Sakari Valkonen suoritti ammattitaidolla tarvittavat tieto-
koneajot ja opasti tulosten tulkinnassa.
Lisensiaatintyötäni varten olin seurannut yhden ikäluokan (89 oppilaan)
matematiikan osaamista kuudennen luokan syksystä kahdeksannen luokan
syksyyn. Seuraamista oli luontevaa jatkaa peruskoulun loppuun asti. Jyväsky-
län koulujen opettajien myötävaikutuksella sain varsin vaivattomasti kerätyksi
tarvitsemani empiirisen aineiston. Käyttämäni testit oli laadittu matematiikan
tietojen ja taitojen mittaamiseen yleisellä tasolla, joten niiden perusteella ei saa-
tu kovin tarkkaa kuvaa oppilaiden algebran osaamisesta. Syksyllä 2001 kerättiin
lisää empiiristä aineistoa poikittaistutkimuksella, joka kohdistui 1019 peruskou-
lun kuudennesta yhdeksänteen luokkien oppilaaseen. Tällä mittauksella saatiin
tietoa oppilaiden osaamisesta murtolukujen, verrannollisuuden, prosenttilas-
kun ja algebran alueella. Kun kaikille oppilaille esitettiin sama testi (kuudes-
luokkalaisille ilman prosenttilaskuja), saatiin kuva siitä, mitä algebran ymmär-
tämiseen tarvittavia valmiuksia oppilailla on ennen, kuin algebran opiskelu
opetussuunnitelman mukaan aloitetaan. Kiitokset rehtori Jouko Rikkolalle, joka
tarjosi koulun resursseja kyselylomakkeiden tuottamiseen ja myöhemmin tut-
kimustulosten esittelyyn.
Tutkimuksen tekoa hidasti alkuvaiheessa epätietoisuus siitä, voidaanko
tällainen matematiikan opetusta ja oppimista käsittelevä väitöskirjatyö esittää
matematiikan laitoksen julkaisuna. Eräässä seminaarissa käytyjen keskustelujen
perusteella tämän kaltaisten tutkimusten suunniteltiin edustavan didaktista
matematiikkaa, joka poikkeaisi jonkin verran kasvatustieteeseen perinteisesti
kuuluvasta matematiikan didaktiikasta. Professori Maija Ahtee lopetti minun
jahkailuni. Hän kehotti suorittamaan kasvatustieteen syventävät opinnot ja esit-
tämään tutkimustyön opettajankoulutuslaitoksen julkaisuna. Professori Ahteen
ohjaamat seminaari-istunnot sekä kasvatustieteen opintojen että opettajien tut-
kijakoulun merkeissä auttoivat etsimään oman tutkimuksen perusideaa. Vaivo-
jaan säästämättä ja työtuntejaan laskematta professori Ahtee jaksoi neuvoa kä-
destä pitäen, millaisia kysymyksiä tutkijan tulee esittää ja miten niihin etsitään
vastauksia.
Syksyllä 2002 sain tilaisuuden keskittyä kolmen kuukauden ajan päätoi-
misesti tutkimusraportin laatimiseen. Jyväskylän yliopiston kasvatustieteellinen
tiedekunta teki sen taloudellisesti mahdolliseksi. Kesällä 2004 professori Esa
Penttinen tutustui työhöni ja antoi täsmälliset ohjeet lähdeviittausten käyttöön
ja kieliasun tarkistamiseen. Keväällä 2005 työn käsikirjoitus oli lopulta siinä
vaiheessa, että se voitiin jättää tarkastettavaksi. Työni esitarkastajat kasvatustie-
teen tohtori dosentti Kaarina Merenluoto ja professori Erkki Pehkonen osoitti-
vat kannustavilla lausunnoillaan, missä kohdin työni oli jäänyt keskeneräiseksi.
Työn viimeistelyvaiheessa professori Jouni Viiri tutustui työhöni ja ohjasi minut
tekemään tarpeelliset muutokset ja korjaukset.
Tutkimustyöni jatko-opintoineen oli alun perin suunniteltu kuuden vuo-
den mittaiseksi, mutta se kesti yhdeksän vuotta. Vaimoni Sirkku on kannusta-
nut minua eteenpäin, vaikka tutkimustyöni on usein hallinnut perhe-elämää.
Kriittiset kommentit ovat auttaneet minua selkeyttämään ilmaisua ja muista-
maan, että tutkijan näkökulma on erilainen kuin opettajan. Tyttäreni Riikka on
suomen kielen asiantuntijana oikonut kielen käyttöön liittyviä mutkia. Unoh-
tamatta asiantuntijoiden korvaamatonta apua tutkimustyöni edistymisessä pi-
dän perheen antamaa tukea korvaamattomana ja omistan tämän työn perheel-
leni. Esitän sydämelliset kiitokseni Teille kaikille työni tukijoille.

Säynätsalossa lokakuussa 2005
Kauko Hihnala