Table Of ContentFrance Kriianié
TOPOLO§KE GRUPE:
Druétvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije
Ljubljana 1974
UNIVERZA v LJUELJANI
INETITUT ZA MATEMATIKO, nzxzo m HEHANIKO
ODDELEK ZA HATEHATIIO
PDSTDIPLOMSKI SEMINAR IZ MATEMATIKE
1. Ivan Vidav: 0 kategorijah in algebrski K—teoriji. 1971
2. France Kriianié: Punkcije veé kompleksnih spremenljivk
1971.
3/4s Zimski in letni semester 1971/72. 1972
5. Ivan Vidav: Grupe K“, K1 111 I2 1974
6. France Kriianié: TopoloEke g'rupe 1974
KAZALO
TOPOLOGIJA
1. Topolo§ki slovar nouIIratoo'navooo-ooeevooono-touatioco
2. TopoloEki slovar (nadalaevanje) .0..................... 16
3. TopoloEke grupe ..................».................... 27
4. Podgrupe .............o..°......a....n....eoo.......... 36
5. Transformacijske grupe. Primeri .......,.e.............
ANALIZA
AMS Subj.Class.(197o) 22—02 6. Funkcije na grupi ..,.n..g....uaa.oe..u...e..a......;;. 54
7, Funkcije na lokalno kompaktni grupi .9..u..o.v.....;;.. 59
8. Haarov integral a.gna...}..:.aa.‘...an...nuno...;...ae. 69
9. Primeri ..a.oQ.....69..,...an¢,,.......‘.o.......;.°.o. 79
10. Konvolucija funkcija Grupna algebra H”.Hmuu...“o 85
HOMOTOPIJA
11. Fundamentalna grupa in prostor poti gaeuups-uauucanu-ua
12. Xrovni prostori ....ng........k.......e......¢a........
13. Krovne grape. Primeri ...n.........°..o.u............,°
6 1974 Druétvo matematikov, fizikov in astronomov SRS
Pregled literature .o...........u...5.........c.o...a n... 125
stvarno in imensko kazalo .eao.u...un.°....,.n...,..uo...... 127
1. Tormoén SLOVAK
Naj ho X poljubna nmoéica, 90!) njena partitivna nmoiica.
V moiico X uvedemo topologijoy bri k0 izberemo podmnoiico partitivne
mnoiice 0 = @(X) take, d3 so izpolnjeni aksiomi:
1.: Mmoiica X in prazna mnoiica {0' sta v (9 .
2.: Kakerkoli ie izberemo muciice i2 0 , njihova
unija je v (0 .
3»: Kakorkoli ie izberemo kméno mnogo mnoiic iz G ,
njihov presek je v, (9 a
Mnoiici K, v katero smo uvedli topologijo, pravimo
topolo§ki‘ prostor. Iz iste mnoiice X 1ahko napravimo veE topoloékih
prostorov, Ee ima 1e veé kot en elemenh Tedaj lahko uvedemo vanjo
vsaj (Ive topologiji: kaotiéno, k9 sestavljata (9 1e x in 56, ter
diskretno, ko je (9 = 9(X).
Elementom X pravimo toéke. Elemente 0 imenujemo
odprte moiice, njihove komplemente pa zaprte mnoiice. Primeri se.
da je moiica hkrati zaprta in odprta. V vsaki topologiji sta taki
muciici x in 95, v éiskretni topologiji pa je sploh vsaka mnoiica
hia'ati zaprta in odprta.
Baza topologije je taka podmnoiica g; c 0, da je vsak
element 0 unija elementov iz 9? . Baza topolagi‘o natanko doloéa.
m8- .39-
a) Dmiina 93hr) mi prazna.
Podmnoiica A v: x je odprta (A e (D) natanko tah‘at, k0
b) Vsakenm para U a @(x), v e @(x), ustreza w saflx),
med vsako toifiko x e A in A lanko winemo element B e 9: x e B c A.
_da jew:UnV.
Definiréjmo: Druiina podmnoéic je pokritje prostora X,
c) Naj bo y e U a @(x). Tedaj obstoja V e Q30). da je
5e 39 njihova unija ves prostor x. Baza topologije je oéitno pokritje
VcUn
prastora X. Vsakega pokritja pa ne moremo proglasiti 2a bazo topolou
Pogoj a velja, ker je .93 pokI-itje, b je (1), a pa pove,
giJe. Sodilo, ki pave, ali je pokritje dobro za uvedbo topologije, ali
da sestavljajo 33 odprte mnoiice.
ne, se glasi:
Z druiinami okolic lahko uvedemo topologijo v X:
Pokritje je baza topologije natanko takrat, ko za
Imejmo mnoiico X, vsaki toéki x e x pa naj ustreza
poljubna dva Elana pokritja U in V velja:
Q(x):9’(x), da veljajo pogoji a, b, c. Unija 39 vseh a(x) je tedaj
Vsaki toéki x, ki je hkrati v U in v V, ustreza element
baza topologije.
pokritja w, da je
XEWGUHV (1) Dokazije oéitno pokritje. Pa tudi pogoj (1) je
«
Res! Naj boa} baza, tedaj sta U in V odprti, odpr'c je izpolnjen: Vzemimo dve mnoiici U a 9? in V e .95 . Naj bo na primer
U s g(y), V e flu) in x e UnV. Ker je x e U eafly), obstoja p0 c
nij presek in pogoj je izpolnjen.
Pa imejmo pokritje, ki zadoééa pogoju. Za odprte pro— wl e a(x), V11 :,U' Prev tako obstaja W2 233(x), wacw. Tedaj po 1:
ngjdemo W e g(x); da je chln 1‘12: Unv. Izrek je dokazan.
glasimo vse moiice pcakritja in vse mogoée njihove unije, sem §tejmo
tudi 9i. Pogoj (1) pove, da so tudi preseki élanov pokritja odprti. V topologiji; Xi smo jo mredli z osnov‘nimi druiinami
Odtod pa ie n1 veé teiko pokazati, da Veljajo v51 aksiomi topologije. okolic QR)” torej velja:
{’Mnoiica A‘je odprta natanlco takrat. k0 vsakenm x e A
Odprti mnoiici, ki vsebuje toéko x pravimo okolica
toéke x.10k011ce toéke x, ki leie v bazi .49 , sestavljajo osnovno ustreza U e E(x), da je Uca.
mioiico okclic 93h!) toéke x. Podmno‘iice B(x) r. 1?], x e X, oéitno V diskretnem prostoru sestavljajo bazo topologije kaz-
zadoEéajo pogojem: enotoékaste mnoiice. Osnovno druiino okolic 2a toéko 1: pa sestavlja
ena sama mnoiica, k1 vsebuje 1e toéko 3: same. ‘
-10-
_11...
Prostor X zado§€5a prvemu aksiomu §tevnosti, 5e je neprazen. Ker so Yi disjunktne moiice, gave to l'e, ée obstaja tax ‘1 ,
osnovna druiina okolic g(x) pri vsakem x §tev'na. da 39 U a g” V e 33;. Tedaj vsakemu x e UnV ustreza w 43:93, , da je
Prostor X zadoééa drugemu aksiomu étevnosti. Ee ima x e Wcunv. Ker pa je tudi w e 55 , je izrek dokazan. ‘
§tevno bazo . Primer: Diskretni prostor je topolo§ka vsota enotoékastih
mnoiic.
Definiy-ajmo §e dve operaciji nad mnoéicami:
Notranjost mnoiice A :X je najveéja odprta mnoiica, ki Naj bosta X in Y topolbéka prostora, f: X —. Y preslikava
med njima. Preslikava f je enoliéna, n1 pa nujno obrnljiva. Mnoiici
je vsebovana v A. Oznaéimo 30 z A°.
Zaprtje mnoiice Acx je najmanan zaprta moiica, ki A: X priredimo sliko f(A): Y, moiici Acy pa inverzno sliko f"(A) = X.
£_1(A) druii vse elemente, katerih slike leie v A. Slike enotoékastih
vsebuje A. Oznaéimo 30 z X.
mnoiic so enotoékaste, inverzne slike pa ne. Ce so tudi inverzne slike
Naj bo Y podmnoiica topolo§kega prostora X. V Y uvedimo
enotoékastih mnoiic enotoékaste, je f bijektivna preslikava. Preslikava je
topologijo take, da proglasimo za odprte v Y natanko tiste nmoiice, ki
so presgki Y z odprtimi mnoiicami prostora X. Tako topologijo imenujemo odprta, 5e: A cdprta v X 3.6“) odprta v Y
inducirano topologijo. Podmnoiici Y. opremljenf z induciramo topologijo. zaprta, ‘ée: A zaprta v X =) f(A) zaprta v Y
zvezna, 6e: A odprta v Y 2' F103) odprta v X
pravima podprostur prostora X.
Posebno enostznma je inducirana topologija, ée 3e Y faktorska. 5e: A odprta v Y ta) f"(A) odprta v X
odprta nmoiica v X. Tedaj so .Oltiptt‘te v ‘1 natanko tiste podnmoiice, ki Prav lahko dokaiemo:
50 odprte ‘v X... Preslikava f je zvezna, fie: A zaprta v Y s FKA) zaprta v X.
‘Definirajmo: Prosto'r X je topoloéka vsota podprostorov Zvezna in odprta surjektivna preslikava je faktorska.
"Y“ 6e so 'S‘Ii paroma disjunktne odprte mnoi‘ice, ki pokrivajo X. TopoloEki prostori z zveznimi preslikavami med njimi
Naj bo X topolo§ka vsota podprostorov Yi . Unija baz sestavljajo kategorijo. Izomorfizmom te kategorije pravimo homeomorfizmi.
induciranih topologij v Yi , je tedaj baza topologije v x. Z drugimi besedami:
1
Homeomorfizem je bijektivna faktorska preslikava.
Res! miinow sestavljajo odpz-te nmoéice, saj je odprto
Homeomorfizem je bijektivna zvezxga in odprta preslikava.
ng kar jeodprtoni. Panaj boUefi,Vew, presekUnga
~13 -.
-12...
Definirajmo: Podmnoiica A: x je pm'tezana, 5e 3e povezana
Naj bo Y disheten prostar z veé kot eno toéko in f:X 4 Y
kot prostor z inducirana topologijd,
Wezna preslikava. Ker je nmoiica 2 arm samo toéko y e Y zaprta in od—a
4
prta hkrati, je 1:11:11 inverzna slika 1-”(y) hkrati zaprta in odprta v x. Zaprtje povezane mnoiice je pove'zana mneiica.
Taka zvezna funkcijalje na primer konstanta, ki pres‘lika Dokaz: Vzemimo diskretni prostor ‘1' in zvezno preslikavo
ves X v eno same toéko yo 9 Y. Tedaj je F‘(y°) = x in y ,1. ya =) F‘(y) = 56. £55 a Y. Zoiitev f na A je konstantna. Vzemimo poljuben 5 e 3 in
Denimo, da. zavzame f veé wednosti. Naj bo y‘3 ena od njih imenujmg b = E(E) e Y. Inverzna slika f"(h) je odprta okolica toéke ‘3,
in A = F‘(y°). Mno’iica A je zaprta in odprta ter razliéna 0d X. Njen zato vsebuje vsaj eno toéko a e A in f(a) = b. mkcija f zavzame torej
komplement B je neprazen, odprt in zaprt. Prostor x razpade v unijo na K isto vrednost kot na A. Izrek je dokazan. ' i
dveh nepraznih disjunktnih odprtih mnoiic
Naj bo Ai poljubna druiina povezanih "moiic s skupno
X = A u E
toéko. Njihova unija je povezana moiica.
311: x razpade v unijo dveh nepraznih tujih si zaprtih moiic.
Dokaz: Unijo vseh A, imenujmo A, skupno toéko vseh I5:
Pa tudi obratno je res: bri ko obstaja tak razcep, dis-=
oznaéimo 2 a :‘m vzemimo zvezno preslikavo f, ki preslika A v diskretni
kretni ‘prostor ‘1 pa ima vsaj dve toéki, fie lahko sestavimo zvezno
prostor Y. Zoiitev 5 na vsako A: je konstanta, enaké f(a). Torej je 1‘
nekonstantno preslikavo fix a Y. Na primer tako, da izberemo a G Y,
na vsej A enaka f(a). Dokaz je konéan.
b e ‘1, a ;4 b in postavimo E(A) = a, f(B) = b.
Videli smo torej, da so ehivalentne tele tri izjave: Naj bo A poljubna mnoiica v X. Unijo vseh povezanih
Edina zvezna preslikava X v diskretni prostor je Imo‘Zic, ki vsebujejo A, imenujémo komponento A v X. Z drugimi bese—
g,
konstanta. dami: Komponenta mnoiice A je maksimalna povezana moiica, ki vsebuje A.
Prostor X nima netrivialne podmnoiice, k1 je odprta
Komponenta moiice je zaprta moiica.
in zaprta hkrati.
Res! Zaprtje komponente je spet povezana moiica, k1
Prostor X ni unija disjunktnih nepz‘aznih odprtih
vsebuje A, zato mora leiati v komponenti.
(zaprtih) mnoiic.
Komponentam enotoékastih mnoiic recimo kar
Rekli bomo, da je prostor povezan, fie ga odlikuje
lastnost, ki se da povedati na te tri naéine.
-14-
"15..
kcmponente prostora. Bri ko Sta x, in K2 komponenti, je mogoée Ié Naj be I = {0,11 interval na ?ealni 055i in f: I —> X
dvoje: ali sta disjunktni ali pa enaki. Ce nameé nista disjunktni, zvezna preslikava, Mnoiici f(I) r: X prava‘mo pom f(o) je zaéetna,
:le njuna unija spet povezana moiica, k9: sta obe maksimalni pove— f(l) konEna toéka poti. Ker 3e interval povezama moiica m. realm
zani mnoiici, gre to la pri K, a XE. Zato: osi, je taka tudi njegova slika. to:
Topoleki prostor 3e disjunktna unija povezanih komponent. Pot je povezana mnoiican
Definirajmo: Prostor je totalno nepovezan, Ee je kompo— Toéki xo e x in x1 9 X sta povezani s potjo, 6e obsta—
ja zvezna £11 ax, da 5e f(O) = xo, f(1,) = xi.
nenta vsake enotoékaste mnoiice kar ta moiica sama.
Enotoékasce moiice povsem nepovezanega prostora so Topolo§ki prostor je povezan 5 potmi, 6e 1ahko vsak
torej zaprte. Ni pa treba, da so tudi odprte. Povsem nepovezan prostor par toék pove‘iemo s potjo.
n1 nujno diskreten.
s pctmi povezan prostor je povezan.
Definirajmo: Prostor je lokalno povezan, Ee ima vsaka Dokaz: Izberimo poljubno toéko xs, 8 X. Vsako drugo
toéka povezano odprto okolico. toéko x zveiemo z x, s potjo. Prostor je tedaj unija povezanih
Komponenta lokalno povezanega firostora je odprta. nmoiic — poti, ki imajo skupno toéko x0. Tedaj pa je povezan. izrek
Naj be I komponenta v X, x e K poljubna toéka, 0 njena dokazan.
povezana okolica. Tedaj is 0 uK povezana, ker 3'2 X maksimalna povezana
nmoiica, je 0 c K. Med vsako toéko x e K in K lahko winemo okolico 0.
Mnoiica I je odprta. Odtod:
Lokalno povezan prostor je topolo§ka vsota svojih
komponent.
Povsem nepovezan in lokalno povezan prostor je
diskreten.
-17.,
_15_
T": Vsaka. enotaékasta mnoiica je z'apr'ca.
Tafr Vsakemu pant x,U, kjer je U odprta nmoiica in x e U,
2. TOPOLO§KI SLOVAK
ustreza odprta moiica V, da je
(nadaljevanje)
x e V E V c U
T;: Vsakemu paru A,U, kjer je A zaprta, U pa odprta
K definiciji topolo§kega prostora privzamemo §e ta ali
mneiica in je A c U, ustreza odprta moiica V, da je
oni loéitveni aksiom. Preden jih naifitejemo, se domenimo: X naj bo
A c V = V c U
topolo§ki prostor, x ye X, y e X toéki v njem, Acx, B cX, zaprti
Dokaz izpeljimo 1e v eni smeri, drugo smer prepustimo
mnoiici.
bralcu. TV1 lahko prebexjemo: komplement enotoEkaste mnoiice je odprt,
To: Vsakemu paru x,y ustreza okolica U, da je
odtod pa ie sledi T". Pokaiimo 'I'a => Ta" Komplement nmoiice U oznaéimo
bodisi x e U, y d U, bodisi y e U, x r; U.
2 UC. To je zaprta nmo-Eica in pa pogoju x E Uc. Po 'I‘3 obstojata tedaj
'1“: Vsakemu paru x,y ustrezata okolici Luv, da je
odprti disjunktni mnoiici V in w}, da je x e V, UC c w. Ker sta V in w
er,yéU inyev, xgv.
brez skupnih toék, je V : WC, tedaj pa tudi V -: WC c v. Res velja Tg.
T2. Vsakemu paru my ustreza par disjunktnih okolic,U,V,
Prav tako pokaiemo T53 Tg.
T3: Vsakemn pai‘u A,x, kjez‘ je x ’2‘ A, ustreza par Prostorom, ki zado§éajo aksiomom 0:! T2 daije; damo
disjunktfiih odprtih mimiic U,V, da je A C U, x 9 Va posebna imena:
T4 : Vsaken‘m pm A,x, kjer je x ,«5 A, ustreza zvezma 2: HausdorI-‘f‘ov prostor
I’unkcija f: X —> [0,1], da je E(x) = O, f(A) = 1., T3: regularen prostor
T5: Vsakemu paru disjunktnih zaprtih nmoiic A,B T4: povsem regularen prostor
ustreza’ca disjunktni odprti mnoiici U,V, da je A c U, B c v. T5: normalen prostor
Aksiomu ’I‘ pravimo aksiom Kolmogorova, aksiamu T2 pa Ta terminologija je uglaé’ena z naéimi patrebamia véasih
0
Hausdorffov aksiom. pa zahtevajo od regularnih, povsem regularnih 1!: normalnih prostorov
§e soéasno pokornost aksiomu T2 .
Aksieme T1, ’23 in T5 lahkc povemo Ee drugaée:
«18-
~19—
Primer: Prostor s kaotiéno topolpgijo ne zadoééa To? Dodajmo §e: vt=¢prit<0inv ¥Xpri t >1, pa je
t
diskretni prostor zado‘s’éa T20 I Vt definirana za vsak realen t, za vsak par realnih §tevi1 3,1: velja
Oéimo velja T2 => '1‘I a 1:0. Prav tako T4 :7 T: 1;;
s.:< t =; v3 : Vc , (1)
’1" in '1‘3 .1) T2 . Implikacija T, in '1‘5 2,, ’1‘4 pa je posledica Urysongyfi
Definirajmo:
lame. Zaradi T, je namreé enotoékasta nmoiica zaprta, Urysonova
lema pa pravi: f(x) = inf {t, x e Vt)
Naj bosta A in B disjunktni zaprti mnoiici normalnega Naj b0 5 < t, tedaj velja (1) in
prostora. Tedaj obstaja zvezna preslikava
ert-Vs =9 S§P(X)§t (2)
f: X ... [0,1]
Ker velja za vgak x e X _=Vt .Es pri t>1 in s< 0, je
da je F(A) = o, E(B) = 1.
0§£(x)§1 (3)
Dokaz: A C BC, zaradi normalnosti pa lahko med zaprto
KerjeAcvo—VS pris<oinBcvt-\_f‘,prit>1.
moiico A in odprto nmoiico BC winemo odprto mnoiico V° , da je
3'2 P0 (2)
A : V0: V5: BC, Imenujmo §e BC = v1, pa veljaé
xeA: P(x)§0 xeBzr.) f(x)
N H
I
Acvocvocv‘
Hkrati s (3) gre to 1e, 5e je
Med V0 in V. Winemo nova odprto nmoiico v.12. xeA=9 £(x)=o xeBé f(x)=1
ali f(A) = 0, ME) = 1. Dokazati moramo 1e ée, da je f(x) zvezna. Tudi
to preberemo 12 (2). Naj bo yo = f(xo), pri poljubnem pozitivnem s je
in igro nadaljujemo. Med VD in v__ winemo v_L , med 315 in V‘ pa V;
4 ‘3
2 4 tedaj
Takq korak za korakom pripiéemo odprte mno‘z'ice dvoji§kim
xev -V a y°w€§f(x)§ yo+s
ulomkom r «2 [0,1], (1.3 velja y°+e yo-s
Acvr P<q=>pchq
To pa pomeni, da je f(x) zvezna v toéki xv Dokaz
Poljubnemu realnenm t a [0,1] priredimo mnoiico je konEan.
