Topologie: Studienbuch für Studenten der Mathematik und Physik ab 3. Semester

301 Pages·1982·14.618 MB·German

by  Lothar Jantscher

studien texte
Mathematik
Herausgegeben von Kurt Endl
studien-texte
Mathematik/Herausgeber: K. Endl
Braunss, G./Zubrod, H. .J.: Einführung in die Boalaschen Algebren
1974, VIII,169Seiten,kart,, DM 9,80,1SBN 3-400-00272-0
Endl, K./Luh, W.: Analysis 1-111
Kassette, DM 58,-, ISBN 3-400-00344-1
Endl, K.: Aufgaben zur Analysis I
1979, 169 Seiten, kart., DM 12,80, ISBN 3-400-00359-X
Jantscher, L.: Hilberträume
1977, 304 Seiten., kart., DM 14,80, ISBN 3-400.()0343-3
Jantscher, L.: Topologie
1982,300 Seiten, kart., DM 29,80, ISBN 3-400-00485-5
Kaiser, H./Lidl, R./Wiesenbauer, J.: Aufgabensammlung zur Algebra
1975, X, 170 Seiten, 14 Abb., kart., DM 19,80, ISBN 3-400-00297-6
Körner, 0.: Algebra
1974, XII, 239 Seiten, 50 Abb., kart., DM 24,-, ISBN 3-400-00269-0
Lidl, R./Wiesenbauer, J.: Ringtheorie und Anwendungen
1980,336 Seiten, 2 Abb., 15 Tab., geb., DM 56,-, ISBN 3-400-00371-9
Luh, W.: Mathematik für Naturwissenschaftler I
1978,341 Seiten, 131 Abb., kart., DM 24,-, ISBN 3-400-00385-9
Luh, W.: Mathematik für Naturwissenschaftler II
1982,.328 Seiten, kart., ca. DM 29,80,1SBN 3-400-00398-0
Müller, M. W.: Approximationstheorie
1978, 247 Seiten, 19 Abb., kart., DM 14,80, ISBN 3-400-00375-1
Peyerimhoff, A.: Gewöhnliche Differentialgleichungen I
1982, 2. verb. Aufl., 189 Seiten, 48 Abb., kart. ca. DM 24,
ISBN 3-400-00387-5
Peyerimhoff, A.: Gewöhnliche Differentialgleichungen II
1982, 2. verb. Aufl., 199 Seiten, 37 Abb., kart., ca. DM 24,
ISBN 3-400-00412-X
Plachky, 0./Baringhaus, L./Schmitz, N.: Stochastik I
1978, 250 Seiten, 11 Abb., kart., DM 22,-, ISBN 3-400-00390·5
Plachky, 0.: Stochastik II
1981, 180 Seiten, kart., DM 29,80, ISBN 3-400-00399-9
Reimer, M.: Grundlagen der Numerischen Mathematik I
1980, 210 Seiten, kart., DM 19,80, ISBN 3-400-00390-5
Reimer, M.: Grundlagen der Numerischen Mathematik II
1982,ca. 200Seiten, kart.,ca. DM 25,-, ISBN 3-400-00416-2
Scheid, H. u.a.: Mathematik für Lehramtskandidaten I-IV
Kassette, DM 68,-, ISBN 3-400-00345-X
Preisänderung vorbehalten
)
Lothar Jantscher
Topologie
Studienbuch für Studenten
der Mathematik und Physik
ab 3. Semester
Akademische Verlagsgesellschaft
Wiesbaden 1982
AUS
Prof. Dr. Lothar Jantscher
Institut f"ur Mathematik
der TU Clausthal
Erzstr. 1
3392 Clausthal-Zellerfeld
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Jantscher, Lothar:
Topologie: (Studienbuch flir Studenten d.
Mathematik u. Physik ab 3. Sem.] I Lothar Jantscher.
- Wiesbaden: Akademische Verlagsgesellschaft, 1982.
(Studien-Texte: Mathematik)
ISBN 3400-00485-5
© 1982 by Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden
Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder
Teile daraus auf fotomechanischem Wege (Fotokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen.
Printed in Germany I Imprime en Allemagne
Druck und Verarbeitung: Decker & Wilhelm, Heusenstamm
ISBN 3400-00485-5
ISSN 0170-673X
-'
VORWORT
Die Topologie, genauer die mengentheoretische Topologie, knüpft an.
die klassischen aus der Analysis bekannten Begriffe wie Stetigkeit und
Konvergenz an und stellt diese auf eine allgemeine Grundlage. Heut-.
zutage sind die Begriffsbildungen der Topologie mit ihren Zusammen
hängen aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken. Der Aufbau dieser
Theorie wird in diesem Buch, wie allgemein üblich, in axiomatischer
Weise durchgeführt, ohne den Blick auf konkrete Anwendungen aus dem
Auge zu verlieren. Die hier gegebene Einführung in die fundamentalen
Gedanken und Aussagen der Topologie ist für Studierende der Mathe
matik im Haupt- und Nebenfach ab drittem Semester geeignet, also für
Studenten, die die elementaren Begriffe der klassischen Analysis ken
nengelernt haben und mit der naiven Mengenlehre vertraut sind. Der
Text ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die ich wiederholt gehalten
habe; er kann bis auf einige weniger wichtige Paragraphen in einer
vierstündig~n Vorlesung abgehandelt werden.
Der dargestellte Stoff umfaßt das Wissen über dieses wichtige Gebiet,
das von einem Examenskandidaten beim Abschluß seines Studiums ge
fordert werden sollte. Ein Blick in das Inhaltsverzeichnis zeigt den
Aufbau: Ausgehend von den bekannten Begriffen der offenen und abge
schlossenen Menge,der Umgebung, der Stetigkeit und Konvergenz
werden die metrischen Räume (Kap. I) behandelt. Es folgt die axio
matische Einführung der topalogischen Räume (Kap. II) mit ihren
wichtigsten Eigenschaften. Die Erzeugting von Topelegien mit Hilfe
von Abbildungen (Kap. III), der Zusammenhangsbegriff (Kap. IV) und
die Filter (Kap. V) sind weitere Themen des Buches. Nach einer aus
führliehen Diskussion von Trennungseigenschaften (Kap. VI), der
Behandlung von Kompaktheitsbegriffen (Kap. VII) findet der Text
seinen Abschluß in der Darstellung und Lösung des Metrisierbarkeits
problems (Kap. VIII). Die eingefügten Aufgaben, deren Lösungen am
VI
Ende des Buches zu finden sind, dienen der Einübung topalogischer
Denkweisen. Im Text wird zuweilen auf Resultate von Aufgaben
zurückgegriffen.
Das Buch ist in Kapitel und diese in Paragraphen unterteilt. Defini
tionen, Sätze, Beispiele und Aufgaben sind in folgender Weise nume
riert: An erster Stelle steht die Nummer des Paragraphen, dann folgt
eine römische Zahl bei Definitionen, eine arabische Zahl bei Sätzen,
ein kleiner bzw. großer lateinischer Buchstabe bei Beispielen bzw.
Aufgaben. In der Regel werden Definitionen, Sätze, Beispiele und
Aufgaben nur in der Form z. B. 3. II, 3. 3, 3. b. bzw. 3. A zitiert.
Herrn Prof. Dr. K. Endl und dem Verlag möchte ich für die Aufnahme
dieses Buches in die Reihe der Studientexte danken.
Sehr verbunden bin ich Herrn Dr. J. Schmalmack für eine kritische
Durchsicht des Manuskriptes.
Fräulein Ch. Kussmann hat mit viel Mühe und Geduld das reproreife
Manuskript mit allen Eintragungen erstellt; ihr sei in besonderem
Maße gedankt.
Goslar, im Januar 1982 Lothar Jantscher
INHALTSVERZEICHNIS
I Metrische Räume
§ Definition des metrischen Raumes 1
§ 2 Offene und abgeschlossene Mengen 8
§ 3 Umgehungen 16
§ 4 Stetigkeit 23
§ 5 Konvergenz 26
II Allgemeine topologieehe Räume
§ 6 Topologieehe Räume 37
§ 7 Umgehungen 42
§ 8 Weitere Grundbegriffe 47
§ 9 Stetige Abbildungen 56
§ 10 Grobe und feine Topologien 64
§ 11 Erzeugendensystem einer Topologie 67
§ 12 Basen 70
III Erzeugung topologieeher Räume
§ 13 Spurtopologie 76
§ 14 Produkttopologie 85
§ 15 Initialtopologie 93
§ 16 Quotiententopologie 95
§ 17 Identifizierungstopologie 101
§ 18 Quotientenräume und Unterräume 103
§ 1 9 Finaltopologie 107
IV Zusammenhängende Räume
§ 20 Zusammenhang 111
§ 21 Zusammenhangskomponenten 118
VIII
§ 22 Wegzusammenhang 123
§ 23 Lokaler Zusammenhang 125
V Folgen und Filter
§ 24 Folgen 130
§ 25 Filter 134
§ 26 mtrafilter, Spurfilter 139
§ 27 Konvergenz von Filtern 143
§ 28 Abbildungen und Filter 147
VI Trennungsaxiome
§ 29 T0-, T1-und T2-Räume 154
§ 30 T 3- und reguläre Räume 160
§ 31 T 3a- und vollständig reguläre Räume 164
§ 32 T 4- und normale Räume 167
§ 33 Das Lemma von Drysohn 170
§ 34 Vererbbarkeit von Trennungseigenschaften 177
§ 35 Fortsetzung stetiger Funktionen 183
VII Kompaktheit
§ 36 Quasikompakte und kompakte Räume 187
§ 37 Abbildungen quasikompakter und kompakter Räume 194
§ 38 Andere Kompaktheitsbegriffe 199
§ 39 Lokal quas~ompakte und lokal kompakte Räume 206
§ 40 Ein-Punkt-Kompaktifizierung 213
§ 41 Abzählbarkeit im Unendlichen 220
§ 42 Die Stone-6ech-Kompaktfizierung 224
VIII Metrisierbarkeit
§ 43 Parakompaktheit 228
§ 44 Metrisierbarkeit 235
IX
Anhang 243
Lösungen der Aufgaben 248
Literaturhinweise 287
Sachregister 288