Topologie II [Lecture notes]

111 Pages·2002·1.107 MB·German

by  Gert-Martin Greuel

Topologie II
Gert-Martin Greuel
(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)
(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)
(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)
(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:0)(cid:1)
(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)
Vorlesung am Fachbereich Mathematik
der Universit(cid:127)at Kaiserslautern
Sommersemester 1995
Zeichnungen: H. Holzberger
Ausarbeitung: N. G(cid:127)ob
Korrektur: C. Lossen

Inhaltsverzeichnis
3 Homologietheorie 105
3.1 Homologie von Komplexen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1.1 Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1.2 Exakte Homologiesequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.1.3 Euler-Poincar(cid:19)e-Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.4 Tensor und Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.1.5 Ext und Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2 Singul(cid:127)are Homologiegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.3 Relative Homologiegruppen und exakte Homologiesequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4 Homotopieinvarianz der Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.5 Ausschneidungssatz und Mayer-Vietoris Sequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.6 Homologie von Sph(cid:127)aren und andere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
n
3.6.1 Berechnung der Homologiegruppen von S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2
3.6.2 Berechnung der Homologiegruppen des Torus T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.7 Die Eilenberg-SteenrodAxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.8 Zellul(cid:127)are Homologie von CW-Komplexen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.9 Vergleich simplizialer, zellul(cid:127)arer und singul(cid:127)arer Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.10 Fundamentalgruppe und erste Homologiegruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.11 Beispiele von Homologiegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
n
3.11.1 Berechnung von Hq(S ;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
W
n
3.11.2 Berechnung von Hq( j2JS ;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
n
3.11.3 Berechnung von Hq(CP ;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
n
3.11.4 Berechnung von Hq(RP ;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.12 Jordan-BrouwerscherSeparationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.13 Lefschetzscher Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.14 Koe(cid:14)ziententheoreme und Ku(cid:127)nneth-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
i
4 Kohomologie und Dualit(cid:127)at bei Mannigfaltigkeiten 175
4.1 Kohomologie von Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.2 Singul(cid:127)are Kohomologiegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.3 Eilenberg-Steenrod-Axiome fu(cid:127)r Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.4 Zellul(cid:127)are und simpliziale Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.5 Cup- und Cap-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.5.1 Das Cup-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.5.2 Das Cap-Produkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.6 Orientierung von Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.7 Orientierungsbu(cid:127)ndel und Fundamentalklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.8 Poincar(cid:19)escherDualit(cid:127)atssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Literaturverzeichnis I
Index III
ii
Kapitel 3
Homologietheorie
Um die(singul(cid:127)are) Homologiebeliebiger, topologischerR(cid:127)aume einfu(cid:127)hren zu k(cid:127)onnen,ben(cid:127)otigenwiralgebrai-
sche Vorbereitungen, die auch in anderenBereichen der Mathematik (algebraischeGeometrie, kommutative
Algebra, Singularit(cid:127)atentheorie, :::) wichtig sind.
3.1 Homologie von Komplexen
3.1.1 Komplexe
De(cid:12)nition:
Sei A ein kommutativer Ring mit Einselement.
1. Eine abelsche Gruppe M hei(cid:25)t A-Modul, wenn eine Skalar-Multiplikation
A(cid:2)M !M; (a;m)7!am;
existiert, so da(cid:25) fu(cid:127)r alle a;a1;a2 2A und alle m;m1;m2 2M gilt:
a(m1+m2) = am1+am2
(a1+a2)m = a1m+a2m
(a1a2)m = a1(a2m):
2. Eine Abbildung f : M ! N zwischen A-Moduln hei(cid:25)t A-linear oder Homomorphismus, falls fu(cid:127)r
alle a2A und alle m;m1;m2 2M gilt:
f(am) = af(m);
f(m1+m2) = f(m1)+f(m2):
3. ModA bezeichne die Kategorie der A-Moduln. Die Objekte von ModA seien A-Moduln, die Mor-
phismen A-lineare Abbildungen.
Beispiel:
ModZist die Kategorie der abelschen Gruppen.
De(cid:12)nition:
Ein (absteigender) Komplex von A-Moduln ist eine Folge
dn+1 dn dn(cid:0)1
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)!Kn+1 (cid:0)! Kn (cid:0)!Kn(cid:0)1 (cid:0)! Kn(cid:0)2 (cid:0)!(cid:1)(cid:1)(cid:1)
von A-Moduln und Homomorphismen, so da(cid:25) fu(cid:127)r i2Zstets di(cid:0)1(cid:14)di =0 gilt.
Wir notieren einen Komplex als (Ki;di)i2Z, (K(cid:15);d) oder K(cid:15). Die Folge (di)i2Z, die wir auch kurz als d
notieren, nennen wir das Di(cid:11)erential des Komplexes.
105
106 KAPITEL 3. HOMOLOGIETHEORIE
Der Nullkomplex 0 sei der Komplex mit Ki =f0g fu(cid:127)r alle i2Z.
Analog zu absteigenden Komplexen de(cid:12)nieren wir einen aufsteigenden Komplex als Folge
(cid:15) dn(cid:0)2 n(cid:0)1 dn(cid:0)1 n dn n+1 dn+1
(K ;d):(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)! K (cid:0)! K (cid:0)!K (cid:0)! (cid:1)(cid:1)(cid:1)
i i(cid:0)1
mit d (cid:14)d =0 fu(cid:127)r alle i2Z.
De(cid:12)nition:
dr dr(cid:0)1 d1
Ist Kr (cid:0)! Kr(cid:0)1 (cid:0)! (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)! K0 eine endliche Folge von A-Moduln und Homomorphismen, so da(cid:25) fu(cid:127)r
i = 2;:::;r stets di(cid:0)1 (cid:14)di = 0 gilt, so erhalten wir aus dieser Sequenz durch Erg(cid:127)anzen trivialer A-Moduln
an den Enden einen Komplex von A-Moduln:
dr dr(cid:0)1 d1
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)!f0g(cid:0)!f0g(cid:0)!Kr (cid:0)!Kr(cid:0)1 (cid:0)! (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)!K0 (cid:0)!f0g(cid:0)!f0g(cid:0)!(cid:1)(cid:1)(cid:1) :
Solch einen Komplex nennen wir endlich oder beschr(cid:127)ankt.
Bemerkung:
Sei(K(cid:15);d)einKomplexvonA-Moduln. Wegendn(cid:14)dn+1 =0ist fu(cid:127)rn2ZstetsIm(dn+1)(cid:26)Ker(dn). Daher
ist Ker(dn)=Im(dn+1) fu(cid:127)r jedes n2Zein A-Modul.
De(cid:12)nition:
Sei (K(cid:15);d) ein Komplex von A-Moduln und n2Z.Wir nennen
Hn(K(cid:15)):=Ker(dn)=Im(dn+1)
n-te Homologie des Komplexes (K(cid:15);d) (n-te Homologiegruppeoder n-ter Homologiemodul).
Wir nennen einen Komplex (K(cid:15);d) genau dann exakt an der Stelle n, wenn Hn(K(cid:15)) = f0g ist. Einen
Komplex, der an jeder Stelle exakt ist, nennen wir exakt.
Analog nennen wir bei einem aufsteigenden Komplex den Quotienten
n (cid:15) n n(cid:0)1
H (K ;d)=Ker(d )=Im(d )
(cid:15)
die n-te Kohomologie des Komplexes (K ;d).
De(cid:12)nition:
0 0 0
Seien(K(cid:15);d)und(K(cid:15);d)zweiKomplexevonA-Moduln.EinMorphismusf : K(cid:15) (cid:0)! K(cid:15) isteineFamilie
0 0
fi : Ki (cid:0)! Ki, i 2 Z von Homomorphismen, so da(cid:25) fu(cid:127)r i 2 Zstets di (cid:14)fi = fi(cid:0)1 (cid:14)di gilt, d.h. folgendes
Diagramm kommutiert:
di+2 di+1 di di(cid:0)1
(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)! Ki+?1 (cid:0)! K?i (cid:0)! ?Ki(cid:0)1 (cid:0)! (cid:1)(cid:1)(cid:1)
? ? ?
fi+1y (cid:9) fiy (cid:9) yfi(cid:0)1
d0i+2 0 d0i+1 0 d0i 0 d0i(cid:0)1
(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)! Ki+1 (cid:0)! Ki (cid:0)! Ki(cid:0)1 (cid:0)! (cid:1)(cid:1)(cid:1)
0 0
Da fi(Ker(di))(cid:18)Ker(di) ist und fi(Im(di+1))(cid:18)Im(di+1) gilt, induziert fi einen Homomorphismus
0
fi(cid:3) :Hi(K(cid:15))!Hi(K(cid:15)):
Bemerkung:
Die Komplexe von A-Moduln mit den Morphismen bilden eine Kategorie CA-Mod, die die Kategorie ModA
der A-Moduln mittels
M 7!((cid:1)(cid:1)(cid:1)f0g(cid:0)!K0 =M (cid:0)!f0g(cid:1)(cid:1)(cid:1))
als volle Unterkategorie enth(cid:127)alt.
De(cid:12)nition:
0
Zwei Morphismen f;g : K(cid:15) ! K(cid:15) von Komplexen hei(cid:25)en genau dann homotop (Notation: f ' g), wenn
0
fu(cid:127)r jedes i2Zein Homomorphismus hi :Ki !Ki+1 existiert, so da(cid:25) stets
0
fi(cid:0)gi =di+1(cid:14)hi+hi(cid:0)1(cid:14)di
gilt. Wir schreiben h:f 'g. Als (nicht kommutatives) Diagramm:
3.1. HOMOLOGIE VON KOMPLEXEN 107
di+2 di+1 di di(cid:0)1
(cid:1)(cid:1)(cid:1) Ki+1 Ki Ki(cid:0)1 (cid:1)(cid:1)(cid:1)
hi+1 hi hi(cid:0)1 hi(cid:0)2
fi+1 gi+1 fi gi fi(cid:0)1 gi(cid:0)1
0 0 0
(cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 Ki+1 0 Ki 0 Ki(cid:0)1 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)
di+2 di+1 di di(cid:0)1
0 0 0
Zwei KomplexeK(cid:15) und K(cid:15) hei(cid:25)enhomotopie(cid:127)aquivalent,fallsesMorphismenf :K(cid:15) !K(cid:15) und g :K(cid:15) !
K(cid:15) gibt, so da(cid:25) f (cid:14)g ' 1K(cid:15)0 und g(cid:14)f ' 1K(cid:15) gilt. Die Abbildungen f;g bezeichnen wir als Homotopie-
Inverse.
Proposition 3.1. Homotopie von Komplexen ist eine A(cid:127)quivalenzrelation.
0 0
Beweis. Seien f;g;g :K(cid:15) !K(cid:15) Morphismen von Komplexen. Dann gilt o(cid:11)enbar
1. 0:f 'f.
2. Wenn h:f 'g, so ist (cid:0)h:g'f.
0 0 0 0
3. Wenn h:f 'g und h :g'g , so ist h+h :f 'g .
Proposition 3.2. Homotopie von Komplexen ist mit der Komposition von Abbildungen vertr(cid:127)aglich, d.h.
0 0 0 0 00 0 0
sind f;g : K(cid:15) ! K(cid:15), f g : K(cid:15) ! K(cid:15) Morphismen von Komplexen mit f ' g und f ' g . Dann ist
0 0
f (cid:14)f 'g(cid:14)g.
0 0 0
Beweis. Sei h:f 'g. Dann ist f (cid:14)h:f (cid:14)f 'f (cid:14)g, denn
00 0 0 0 0 0 0 0
di+1(cid:14)fi+1(cid:14)hi+fi (cid:14)hi(cid:0)1(cid:14)di =fi (cid:14)(di+1(cid:14)hi+hi(cid:0)1(cid:14)di)=fi (cid:14)(fi(cid:0)gi)=fi (cid:14)fi(cid:0)fi (cid:14)gi:
0 0 0 0 0 0
Analogfolgtaush :f 'g ,da(cid:25)h (cid:14)g:f (cid:14)g'g (cid:14)gist.AufgrundderTransitivit(cid:127)atderHomotopieerhalten
wir hieraus die Behauptung.
Lemma 3.3.
1. Homotope Abbildungen induzieren dieselbe Abbildung der Homologiegruppen.
2. Homotopie(cid:127)aquivalente Komplexe haben isomorphe Homologiegruppen.
Beweis.
0 0
1. Seienf;g :K(cid:15) !K(cid:15) zwei homotopeAbbildungen vonKomplexenmit fn(cid:0)gn =dn+1(cid:14)hn+hn(cid:0)1(cid:14)dn
fu(cid:127)r alle n. Sei [x]2Hn(K(cid:15)). Dann ist
fn(cid:3)([x])(cid:0)gn(cid:3)([x]) = [fn(x)(cid:0)gn(x)]
0
= [dn+1(hn(x))(cid:0)hn(cid:0)1(dn(x))]
x2Ker(dn) 0
= [dn+1(hn(x))]
[Im(d0n+1)]=0
= 0:
2. Sind f;g Homotopie-Inverse, so gilt f (cid:14)g ' 1K(cid:15)0 und g(cid:14)f ' 1K(cid:15). Nach der ersten Teilbehauptung
erhalten wir hieraus fu(cid:127)r n 2 Z stets fn(cid:3) (cid:14)gn(cid:3) = 1Hn(K(cid:15)0) und gn(cid:3) (cid:14)fn(cid:3) = 1Hn(K(cid:15)). Also ist fn(cid:3) :
0 (cid:24)=
Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(K(cid:15)) ein Isomorphismus.
108 KAPITEL 3. HOMOLOGIETHEORIE
Bemerkung:
Die Zuordnungen
Hn :K(cid:15) 7! Hn(K(cid:15));
(cid:0) (cid:1)
0 0
Hn :(f :K(cid:15) !K(cid:15)) 7! Hn(f):=fn(cid:3) :Hn(K(cid:15))!Hn(K(cid:15))
de(cid:12)nieren einen Funktor, den n-ten Homologiefunktor, von der Kategorie CA-Mod der Komplexe von
A-Moduln in die Kategorie ModA der A-Moduln.
Beweis. O(cid:11)ensichtlich.
3.1.2 Exakte Homologiesequenzen
De(cid:12)nition:
Eine (kurze) exakte Sequenz von Komplexenist eine Folge
0 f g 00
0(cid:0)!K(cid:15) (cid:0)!K(cid:15) (cid:0)!K(cid:15) (cid:0)!0
von Komplexen von A-Moduln und Komplex-Morphismen, so da(cid:25) fu(cid:127)r jedes i2Zdie Sequenz
0 fi gi 00
f0g(cid:0)!Ki (cid:0)!Ki (cid:0)!Ki (cid:0)!f0g
von A-Moduln exakt ist.
Lemma 3.4 (Schlangenlemma). Sei A ein kommutativer Ring mit Einselement und
0 f g 00
M (cid:0)! M (cid:0)! M (cid:0)! f0g
? ? ?
d0y (cid:9) dy (cid:9) d00y
0 h k 00
f0g (cid:0)! N (cid:0)! N (cid:0)! N
ein kommutatives Diagramm von A-Moduln und Homomorphismen mit exakten Zeilen. Dann ist die Abbil-
dung
00 0
(cid:14) :Ker(d ) ! Coker(d);
00 (cid:0)1 (cid:0)1 00
z 7! [h (cid:14)d(cid:14)g (z )]
wohlde(cid:12)niert, und die Kern-Kokern-Sequenz
0 f(cid:22) g(cid:22) 00 (cid:14) 0 h(cid:22) k(cid:22) 00
Ker(d)(cid:0)!Ker(d)(cid:0)!Ker(d )(cid:0)!Coker(d)(cid:0)!Coker(d)(cid:0)!Coker(d );
wobei f(cid:22), g(cid:22) h(cid:22) und k(cid:22) die von f, g, h bzw. k induzierten Homomorphismen seien, ist eine exakte Sequenz. Ist
f zus(cid:127)atzlich injektiv (bzw. k surjektiv), so ist f(cid:22)ebenfalls injektiv (bzw. k(cid:22) surjektiv).
Beweis. U(cid:127)bung, siehe auch Beweis von Satz 3.6.
Lemma 3.5 (Fu(cid:127)nferlemma). Sei A ein kommutativer Ring mit Einselement und
g1 g2 g3 g4
M?1 (cid:0)! M?2 (cid:0)! M?3 (cid:0)! M?4 (cid:0)! M?5
d1y (cid:9) d2y (cid:9) d3y (cid:9) d4y (cid:9) d5y
h1 h2 h3 h4
N1 (cid:0)! N2 (cid:0)! N3 (cid:0)! N4 (cid:0)! N5
ein kommutatives Diagramm von A-Moduln und Homomorphismen mit exakten Zeilen. Dann gilt:
1. Ist d1 surjektiv, sowie d2 und d4 injektiv, so ist d3 injektiv.
2. Ist d5 injektiv, sowie d2 und d4 surjektiv, so ist d3 surjektiv.
3.1. HOMOLOGIE VON KOMPLEXEN 109
Beweis. U(cid:127)bung.
Satz 3.6 (lange, exakte Homologiesequenz). Sei
0 f g 00
0(cid:0)!K(cid:15) (cid:0)!K(cid:15) (cid:0)!K(cid:15) (cid:0)!0
eine exakte Sequenz von Komplexen. Dann ist f(cid:127)ur alle n die Abbildung (Randhomomorphismus)
00 0
(cid:14)n :Hn(K(cid:15)) ! Hn(cid:0)1(K(cid:15))
00 (cid:0)1 (cid:0)1 00
[z ] 7! [fn(cid:0)1(cid:14)dn(cid:14)gn (z )]
wohlde(cid:12)niert und die folgende Sequenz ist exakt:
(cid:14)n+1 0 fn(cid:3) gn(cid:3) 00 (cid:14)n 0 fn(cid:0)1(cid:3)
(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)! Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(cid:0)1(K(cid:15)) (cid:0)! (cid:1)(cid:1)(cid:1)
Beweis. Sei n2Z.Wir betrachten das folgende Diagramm:
0 fn gn 00
f0g (cid:0)! ?Kn (cid:0)! ?Kn (cid:0)! ?Kn (cid:0)! f0g
yd0n ydn yd0n0
0 fn(cid:0)1 gn(cid:0)1 00
f0g (cid:0)! Kn(cid:0)1 (cid:0)! Kn(cid:0)1 (cid:0)! Kn(cid:0)1 (cid:0)! f0g
00 00 00 00 00
1. Zur De(cid:12)nition von (cid:14)n sei z 2 Ker(dn) (cid:18) Kn, d.h. [z ] 2 Hn(K(cid:15)). Aufgrund der Exaktheit ist gn
(cid:0)1 00
surjektiv. Wir w(cid:127)ahlen ein z 2 gn (z ) und betrachten dn(z). Da obiges Diagramm kommutiert, ist
00 00 00 0 (cid:0)1
gn(cid:0)1(dn(z))=dn(gn(z))=dn(z )=0.Alsogibteseinz 2fn(cid:0)1(z),welchesaufgrundderInjektivit(cid:127)at
von fn(cid:0)1 sogareindeutig bestimmt ist.
00 00 0 (cid:0)1 (cid:0)1 00
Wir haben also zu jedem z 2Ker(dn) ein z 2fn(cid:0)1(dn(gn (z ))) gefunden. Wir zeigen nun, da(cid:25) wir
00 0
hiermit eine Abbildung Ker(dn)!Ker(dn(cid:0)1) de(cid:12)niert haben. Hierzu berechnen wir
0 0 0 (cid:0)1 (cid:0)1
dn(cid:0)1(z )=dn(cid:0)1(fn(cid:0)1(dn(z)))=fn(cid:0)2(dn(cid:0)1(dn(c)))=0;
denn obiges Diagramm kommutiert, dn(cid:0)1(cid:14)dn =0 und fn(cid:0)1, fn(cid:0)2 sind injektiv.
Als n(cid:127)achstes werden wir beweisen, da(cid:25) unsere Abbildung einen wohlde(cid:12)nierten Homomorphismus (cid:14)n :
00 0 (cid:0)1 00
Hn(K(cid:15)) ! Hn(cid:0)1(K(cid:15)) induziert, der zudem unabh(cid:127)angig von der Wahl des z 2 gn (z ) ist. Da(cid:25) es
sich | im Falle der Wohlde(cid:12)niertheit | bei (cid:14)n um einen Homomorphismus von A-Moduln handelt,
folgt direkt, denn fn(cid:0)1, dn und gn sind Homomorphismen. Zum Beweis der Wohlde(cid:12)niertheit sei
00 00 00 00 00 00 00 (cid:0)1 00
[z ] =[0] 2 Hn(K(cid:15)) gegeben, d.h. z =dn+1(x ) fu(cid:127)r ein x 2Kn+1. Ist x 2gn+1(x ) gegeben (gn+1
00 00 00 00
ist surjektiv), so ist gn(dn+1(x)) =dn+1(gn+1(x)) =dn+1(x )=z . Wir nennen z~:=dn+1(x). Ferner
(cid:0)1 00 00 00
sei z 2gn (z ). Dann ist gn(z(cid:0)z~)=gn(z)(cid:0)gn(z~)=z (cid:0)z =0. Also ist z(cid:0)z~2Ker(gn)=Im(fn),
0 (cid:0)1 0
d.h. es gibt ein x 2fn (z(cid:0)z~). Somit ist z =fn(x)+z~und wir erhalten
0 0 0 0 0
dn(z)=dn(fn(x))+dn(z~)=dn(fn(x))+dn(dn+1(x)) =dn(fn(x))=fn(cid:0)1(dn(x)):
0 (cid:0)1 0 0 0 0 00 0
Dies bedeutet jedoch z := fn(cid:0)1(dn(z)) = dn(x). Also ist z 2 Im(dn), d.h. (cid:14)n([z ]) = [z ] = [0] 2
0
Hn(cid:0)1(K(cid:15)). Dies beweist die Wohlde(cid:12)niertheit von (cid:14)n, sowie die Unabh(cid:127)angigkeit von der Wahl des
(cid:0)1 00
Elements aus gn (z ).
2. Nun werden wir die Exaktheit obiger Sequenz beweisen. Wir betrachten fu(cid:127)r n 2 Zdas kommutative
Diagramm
0 fn+1 gn+1 00
f0g (cid:0)! ?Kn+1 (cid:0)! ?Kn+1 (cid:0)! ?Kn+1 (cid:0)! f0g
yd0n+1 (cid:9) ydn+1 (cid:9) yd0n0+1
0 fn gn 00
f0g (cid:0)! Kn (cid:0)! Kn (cid:0)! Kn (cid:0)! f0g:
Die Zeilen in diesem Diagramm sind exakt, weshalb wir das Schlangenlemma (Lemma 3.4) anwenden
k(cid:127)onnen. Wir erhalten, da(cid:25) die Sequenz
0 0 00 00
Kn=Im(dn+1)!Kn=Im(dn+1)!Kn=Im(dn+1)!f0g
110 KAPITEL 3. HOMOLOGIETHEORIE
exakt ist. Daher k(cid:127)onnen wir das Schlangenlemma auch auf das Diagramm
0 0 00 00
Kn=Im?(dn+1) (cid:0)! Kn=Im?(dn+1) (cid:0)! Kn=Im?(dn+1) (cid:0)! f0g
d0ny dny d0n0y
0 fn(cid:0)1
f0g (cid:0)! Kn(cid:0)1 (cid:0)! Kn(cid:0)1 (cid:0)! Kn(cid:0)1
anwenden, welches o(cid:11)ensichtlich kommutiert. Folglich ist auch die Sequenz
0 fn(cid:3) gn(cid:3) 00 (cid:14)n 0 0
Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(K(cid:15))(cid:0)!Kn(cid:0)1=Im(dn)(cid:0)!Kn(cid:0)1=Im(dn) (*)
0
exakt. Da Im((cid:14)n) (cid:18) Ker(dn(cid:0)1) ist, wie wir im ersten Beweisteil nachgewiesen haben, mu(cid:25) auch die
Sequenz
0 fn(cid:3) gn(cid:3) 00 (cid:14)n 0 fn(cid:0)1(cid:3)
Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(cid:0)1(K(cid:15)) (cid:0)! Hn(cid:0)1(K(cid:15)) (**)
exakt sein, die durch Einschr(cid:127)anken aus (*) hervorgeht. Da wir die Exaktheit von (**) somit fu(cid:127)r jedes
n2Znachgewiesen haben, ergibt sich die Behauptung.
De(cid:12)nition:
0 0 0
Sei (K(cid:15);d) ein Komplex und fu(cid:127)r i 2 Zsei Ki (cid:26) Ki ein Untermodul mit di(Ki) (cid:18) Ki(cid:0)1. Dann nennen wir
K(cid:15)0 =(Ki0;dijKi0)i2Zeinen Unterkomplex von K(cid:15), und
00 0 0 00 00
K :=K(cid:15)=K(cid:15) =(Ki=Ki;d ) mit d ([x])=[d(x)]
0
bezeichnen wir als den Faktor- oder Quotientenkomplex von K(cid:15) modulo K(cid:15).
Bemerkung:
0 0
Da 0!K(cid:15) !K(cid:15) !K(cid:15)=K(cid:15) !0 exakt ist, existiert die lange, exakte Homologiesequenz
0 @ 0 0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)!Hn+1(K(cid:15)=K(cid:15))(cid:0)!Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(K(cid:15))(cid:0)!Hn(K(cid:15)=K(cid:15))(cid:0)!(cid:1)(cid:1)(cid:1) :
De(cid:12)nition:
0 f g 00
Seif0g(cid:0)!M (cid:0)!M (cid:0)!M (cid:0)!f0geineexakteSequenzvonA-Moduln.Mansagt,dieSequenzspaltet,
wenn es einen Isomorphismus
0 00 (cid:24)=
':M (cid:8)M (cid:0)!M
1 0 00 0
von der direkten Summe der Moduln M und M auf M gibt mit '(x;0) = f(x) fu(cid:127)r alle x 2 M und
0 00
(g(cid:14)')(x;y)=y fu(cid:127)r alle (x;y)2M (cid:8)M .
0 f g 00
Lemma 3.7. Sei f0g (cid:0)! M (cid:0)! M (cid:0)! M (cid:0)! f0g eine exakte Sequenz von A-Moduln. Dann sind
folgende Aussagen (cid:127)aquivalent:
1. Die Sequenz spaltet.
00
2. Es existiert ein Rechtsinverses zu g, d.h. es gibt einen Homomorphismus k :M !M, so da(cid:25) g(cid:14)k =
idM00 ist.
0
3. Es existiert ein Linksinverses zu f, d.h. es gibt einen Homomorphismus h :M !M , so da(cid:25) h(cid:14)f =
idM0 ist.
Beweis. U(cid:127)bung.
1DiedirekteSummezweierA-ModulnistnichtsanderesalsderenkartesischesProdukt,versehenmitkomponentenweise
de(cid:12)nierten Operationen. Sind f :M !N, g :M0 !N0 zwei A-lineare Abbildungen, so de(cid:12)niert man deren direkte Summe
f(cid:8)g:M(cid:8)M0!N(cid:8)N0 verm(cid:127)oge(m;m0)7!(f(m);g(m0)).