Topologie, analyse et calcul différentiel

322 Pages·2015·2.83 MB·French

Topologie, analyse et calcul différentiel
Frédéric Paulin
Version préliminaire
Cours de troisième année de licence
École Normale Supérieure
Année 2008-2009
1
Table des matières
1 Vocabulaire 7
1.1 Le corps ordonné des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Topologie définie par une famille de pseudo-distances . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Topologie engendrée et base d’ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Topologie de l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 Intérieur, adhérence, frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9 Connexité et connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Constructions de topologies 43
2.1 Comparaison de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Topologie initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Topologie image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Topologie définie par une famille de pseudo-distances . . . . . . . . . . . . 45
Topologie définie par une famille de semi-normes . . . . . . . . . . . . . . 45
Topologie étroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Sous-espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Parties connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Topologie limite projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 Topologie finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Topologie somme disjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Topologie faible définie par une famille de sous-espaces . . . . . . . . . . . 61
Topologie de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Distance quotient d’une pseudo-distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Constructions topologiques par quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Topologie limite inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.7 Groupes et corps topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Les groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Anneaux et corps topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Corps valués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.8 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Espaces vectoriels normés sur un corps valué . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . . . . . . . . . . 83
Continuité des applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Topologie faible-étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9 Espace quotient d’une action de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2
2.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3 Limites et valeurs d’adhérence 100
3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2 Comparaison asymptotique : notation de Landau . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3 Valeurs d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Espaces complets, de Banach, de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Théorème du point fixe de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4 Compacité 121
4.1 Espace compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Compacité et valeurs d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3 Compacité et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4 Compacité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5 Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Applications propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
L’espace des bouts d’un espace localement compact . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6 Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5 Topologie fonctionnelle 138
5.1 Topologie de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Exemples d’espaces fonctionnels complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Relation avec la convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Topologie compacte-ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Complété d’un espace métrique. Corps valués complets. . . . . . . . . . . 154
5.4 Semi-continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Limites supérieures et inférieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Semi-continuité inférieure et supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5 Théorème d’Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.6 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.7 Théorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.8 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6 Analyse fonctionnelle 179
6.1 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Rappels et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Théorèmes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Résultats de compacités pour topologies affaiblies. . . . . . . . . . . . . . 191
Applications de la théorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Rappels sur les espaces préhilbertiens et définitions . . . . . . . . . . . . . 199
Projection sur un convexe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3
Autodualité des espaces de Hilbert réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Théorèmes de Lax-Milgram et de Stampachia . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.3 Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints bornés . . . . . . . . . . . . . 213
Spectre des opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Opérateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Spectre des opérateurs auto-adjoints compacts . . . . . . . . . . . . . . . 224
Résolution spectrale des opérateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . 225
6.4 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7 Calcul différentiel banachique 230
7.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Propriétés élémentaires des différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.2 Théorème des accroissements finis et applications . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.3 Différentielles partielles et d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Différentielles partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Différentielles d’ordre supérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Applications analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.4 Inversion locale et équations implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.5 Théorie de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Existence locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Solutions approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Unicité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Explosion des solutions maximales en temps fini . . . . . . . . . . . . . . 262
Cas des équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Régularité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Propriété de la résolvante dans le cas linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Dépendance régulière des conditions initiales et des paramètres . . . . . . 268
Des équations différentielles d’ordre p à celles du premier ordre . . . . . . 271
7.6 Équations différentielles autonomes et champs de vecteurs . . . . . . . . . . 272
7.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8 Exercices de révision 277
8.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
8.2 Indications de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Index 314
4
Bibliographie 321
1
1. Je remercie les élèves de la promotion 2007, en particulier Olivier Begassat, Igor Kortchemski et
Arthur Leclaire, et les élèves de la promotion 2008, en particulier Nicolas Dreyfus, David Gontier et
ArthurMilchior,pourleursnombreusescorrectionssurlespremièresversionsdecetexte,enespérantque
ceux des promotion suivantes aideront encore à le peaufiner!
5
6
Dans ces notes, nous supposons connues les notions d’espaces vectoriels normés réels
ou complexes (et leurs distance et topologie associées) contenues dans le programme du
cours de Mathématiques Spéciales MP*. Nous reviendrons plus longuement sur les espaces
vectoriels normés dans le paragraphe 2.8 et le chapitre 6. Les preuves qui ne sont pas
donnéesci-dessoussontlesmêmesquedanslecasparticulierdesespacesvectorielsnormés,
ou sont laissées en exercice. La consultation de livres de contre-exemples [GO, Ste, Kha]
est souvent profitable (surtout pour le premier).
1 Vocabulaire
Les références recommandées sont [Bou1, Dix, Dug].
1.1 Le corps ordonné des nombres réels
On ne ferait pas grand chose en analyse sans le corps ordonné R des nombres réels.
Disons quelques mots sur cet objet en préambule.
Soit E un ensemble. Rappelons qu’un ordre (ou ordre partiel) sur E est une relation
(cid:22)
qui est réflexive ( x E, x x), antisymétrique ( x,y E, si x y et y x, alors
∀ ∈ (cid:22) ∀ ∈ (cid:22) (cid:22)
x = y) et transitive ( x,y,z E, si x y et y z, alors x z). On note x y si x y
∀ ∈ (cid:22) (cid:22) (cid:22) ≺ (cid:22)
et x = y, x y si y x, et x y si x y et x = y. Un ensemble ordonné est un ensemble
6 (cid:23) (cid:22) ≻ (cid:23) 6
muni d’un ordre.
Si(E, )et(F, )sontdeuxensemblesordonnés,uneapplicationdeE dansF préserve
(cid:22) (cid:22)
l’ordre si f(x) f(y) pour tous x y. Si une bijection préserve l’ordre, alors son inverse
(cid:22) (cid:22)
aussi.
Exemples. L’inclusion est un ordre (partiel) sur l’ensemble P(E) des parties de E, et
sera souventsous-entendu.Si est un ordresur E, alorsla relation définiepar x y si
′ ′
(cid:22) (cid:22) (cid:22)
et seulement si y x est encore un ordre, appelé l’ordre inverse de . Si (E, ) et (F, )
(cid:22) (cid:22) (cid:22) (cid:22)
sont deux ensembles ordonnés, alors la relation sur l’ensemble produit E F, définie
(cid:22) ×
par
(x,y) (x,y ) (x x ou (x = x et y y ))
′ ′ ′ ′ ′
(cid:22) ⇐⇒ ≺ (cid:22)
est une relation d’ordre sur E F, appelé l’ordre lexicographique. Si f : E F est une
× →
application, alors les applications image d’une partie A f(A) et image réciproque d’une
7→
partie B f 1(B) préservent l’ordre, respectivement de P(E) dans P(F) et de P(F)
−
7→
dans P(E).
SoientE unensembleordonnéetAunepartiedeE.UnélémentxdeE estunmajorant
de A si
y A y x .
∀ ∈ (cid:22)
Un élément x de E est un minorant de A si
y A y x .
∀ ∈ (cid:23)
La borne supérieure (resp. inférieure) de A est (lorsqu’il existe) le plus petit majorant
(resp. le plus grand minorant) de A (il est alors unique), noté supA (resp. infA). Par
exemple, s E est la borne supérieure de A si et seulement si
∈
x A, x s et s E, ( x A, x s) s s .
′ ′ ′
∀ ∈ (cid:22) ∀ ∈ ∀ ∈ (cid:22) ⇒ (cid:22)
7
Si (x ) est une famille d’éléments de E, on note sup x = sup x : i I (resp.
i i∈I i∈I i { i ∈ }
inf x = inf x : i I ), lorsqu’ils existent.
i I i i
∈ { ∈ }
Pour tous x,y dans un ensemble ordonné (E, ), on note
(cid:22)
[x,y] = z E : x z y ,
{ ∈ (cid:22) (cid:22) }
]x,y] = z E : x z y ,
{ ∈ ≺ (cid:22) }
[x,y[ = z E : x z y ,
{ ∈ (cid:22) ≺ }
]x,y[ = z E : x z y ,
{ ∈ ≺ ≺ }
[x,+ [ = z E : x z ,
∞ { ∈ (cid:22) }
]x,+ [ = z E : x z ,
∞ { ∈ ≺ }
] ,x] = z E : x z ,
−∞ { ∈ (cid:23) }
] ,x[ = z E : x z ,
−∞ { ∈ ≻ }
que l’on appelle les intervalles de E. Les premiers, cinquièmes et septièmes sont les inter-
valles fermés. Les quatrièmes, sixièmes et huitièmes sont les intervalles ouverts.
Unordre totalsurE estunordre telquepourtousx,y dansE,onaitx y ouy x.
(cid:22) (cid:22) (cid:22)
On note min x,y = x et max x,y = y si x y, et min x,y = y et max x,y = x
{ } { } (cid:22) { } { }
si y x. Un ensemble muni d’un ordre total est un ensemble totalement ordonné. Par
(cid:22)
exemple, l’ordre lexicographique sur le produit de deux ensembles totalement ordonnés est
un ordre total.
Un corps (totalement) ordonné est un corps (commutatif) K muni d’un ordre total
(cid:22)
tel que, pour tous x,y,z dans K, si x y, alors x+z y +z (propriété de compatibi-
(cid:22) (cid:22)
lité de l’ordre avec la structure de groupe additif, aussi appelée invariance de l’ordre par
translations) et si x y et 0 z, alors xz yz (propriété de compatibilité de l’ordre avec
(cid:22) (cid:22) (cid:22)
la multiplication, aussi appelée invariance de l’ordre par multiplication par un élément
positif). Un isomorphisme de corps ordonnés est un isomorphisme de corps préservant
l’ordre.
Nous supposons connus dans ce texte le corps ordonné (R, ) et sa valeur absolue
≤
. Il existe de nombreuses constructions de R (voir par exemple [Bou1, TG IV.3]), qui
|·|
nécessitent plus ou moins de travail. Nous préférons introduire R immédiatement, car cela
permettra de donner des exemples et des constructions en topologie et en analyse très
rapidement. Rappelons-en (car cela n’est pas au programme des classes préparatoires) une
construction élémentaire à partir du corps ordonné (Q, ).
≤
Une coupure de Q est une partie A de Q, différente de et de Q, telle que pour tous x
∅
dans A et y dans Q, si y x, alors y A.
≤ ∈
Q R
⊂
A
On note R l’ensemble des coupures de Q, et on note la relation d’inclusion entre
≤
coupures, qui est un ordre total sur R, comme on le vérifie facilement (pour deux coupures
A et B, on a min A,B = A B et max A,B = A B). Sauf mention contraire, un
{ } ∩ { } ∪
intervalle dans ce texte sera un intervalle de R.
On identifie Q avec son image dans R par l’application r x Q : x r , qui est
7→ { ∈ ≤ }
une injection préservant l’ordre. Si A et B sont deux coupures de Q, on pose
A+B = x+y : x A, y B
{ ∈ ∈ }
8
et on montre facilement que (R,+) est un groupe abélien, d’élement neutre la coupure
0 = x Q : x 0 , et d’opposée de la coupure A la coupure
{ ∈ ≤ }
A = y Q : x A, y x .
− { ∈ ∀ ∈ ≤ − }
Si A et B sont deux coupures de Q, on pose
z Q : x A,x > 0, y B,y > 0, z xy si A,B > 0 ,
{ ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ ≤ }
(( A)B) si A < 0,B > 0 ,
 − −
AB = (A( B)) si A > 0,B < 0 ,

 − −
 ( A)( B) si A,B < 0 ,

− −
0 si A = 0 ou B = 0 .




On vérifiefacilement que (R, ) est un corps (commutatif) totalement ordonné pour les
≤
deux lois ci-dessus, l’élément neutre pour la multiplication étant la coupure 1 = x Q :
{ ∈
x 1 , et l’inverse de la coupure A > 0 étant la coupure
≤ }
1/A = y Q : x A, x > 0 y 1/x .
{ ∈ ∀ ∈ ⇒ ≤ }
On vérifie facilement que la valeur absolue (où x = max x, x pour tout x dans
|·| | | { − }
R) du corps ordonné R vérifie, pour tous A,B,C dans R :
A = 0 si et seulement si A = 0,
• | |
AB = A B ,
• | | | | | |
A+B A + B ,
• | | ≤ | | | |
cette dernière propriété étant appelée l’inégalité triangulaire.
Il est de plus archimédien, i.e. pour tous A,B > 0 dans R, il existe n dans N tel que
B nA, comme on le vérifie facilement : comme A > 0 et B = Q, il existe des éléments
≤ 6
p,q,r,s de N 0 tels que 0 < p/q A et B r/s, et n = rq convient (car ps 1).
−{ } ≤ ≤ ≥
Une autre propriété cruciale est la suivante.
Théorème 1.1 Toute partie majorée (resp. minorée) et non vide de R admet une borne
supérieure (resp. inférieure).
Preuve. Soit P une partie majorée non vide de R. Alors S = A est une coupure de
A P
Q, car si B est un majorant de P, alors = S B = Q. De plus,∈si B est un majorant de
∅ 6 ⊂ 6 S
P, alors A B pour tout A dans P, donc S B, ce qui montre le résultat.
⊂ ≤
On peut raisonner de même pour un ensemble minoré non vide P, ou remarquer que
l’ensemble P des éléments opposés des éléments de P est un ensemble majoré non vide,
−
et que si S est la borne supérieure de P, alors S est la borne inférieure de B. (cid:3)
− −
Il existe de très nombreuses caractérisations de R, dont celle disant que R est, à iso-
morphisme de corps ordonnés près, l’unique corps totalement ordonné archimédien dans
lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure (voir par exemple [Bou2,
Chap. V, §2]).
1.2 Espaces topologiques
Soit E un ensemble. Une topologie sur E est un ensemble O de parties de E tel que
(1) toute intersection finie d’éléments de O appartient à O,
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(2) toute union d’éléments de O appartient à O.
Par convention, une intersection vide de parties d’un ensemble E est égal à E, et une
union vide de parties de E est égale à la partie vide. Donc et E appartiennent à O, si O
∅
est une topologie sur E. La première condition (stabilité par intersections finies) peut être
remplacée indifféremment par : E appartient à O et A B appartient à O pour tous A,B
∩
dans O.
Un espace topologique est un ensemble X muni d’une topologie O sur X. Par abus, on
note souvent X le couple (X,O). Les éléments de O sont appelés les ouverts de X (ou de
la topologie O quand on veut préciser).
Les complémentaires des ouverts d’une topologie s’appellent les fermés de cette to-
pologie. Toute union finie de fermés est fermée, toute intersection de fermés est fermée,
donc et X sont fermés. Étant donné un ensemble de parties d’un ensemble E, stable par
∅
intersections et par unions finies, l’ensemble des complémentaires de ces parties est une
topologie sur E. On peut remplacer la stabilité par unions finies par le fait de contenir
∅
et d’être stable par l’union de deux éléments.
Exemples1:SiE estunensemble,alorsO = ,E estunetopologiesurE,ditetopologie
{∅ }
grossière. L’espace (E,O) est alors dit grossier. Les seuls fermés d’un espace grossier E
sont et E.
∅
L’ensemble P(E) de toutes les parties de E est une topologie sur E, appelée topologie
discrète. L’espace topologique (E,P(E)) est alors dit discret. Toute partie d’un espace
discret est ouverte et fermée. Un espace topologique est discret si et seulement si tous ses
singletons sont ouverts.
Exemples 2 : Si E et F sont des ensembles, si O est une topologie sur E et si f :
F E est une application, alors l’ensemble f 1(O) des f 1(A) lorsque A parcourt O
− −
→
est une topologie, appelée topologie image réciproque, sur F (voir aussi le paragraphe 2.5).
L’ensemble des fermés de f 1(O) est exactement l’ensemble des images réciproques des
−
fermés de O.
Exemples 3 : L’intersection O = O d’une famille (O ) de topologies sur E est
j J j j j J
une topologie sur E (si cette famille e∈st vide, par convention, c∈ette intersection est égale
T
à l’ensemble de toutes les parties de E). En effet, si (U ) est une famille d’éléments
i i I
de O, alors pour tous i I et j J, la partie U appartie∈nt à O ; par conséquent, les
i j
∈ ∈
parties U si I est fini et U appartiennent à O , pour tout j dans J, donc elles
i I i i I i j
appartienn∈ent à O. ∈
T S
Nous utiliserons cet exemple dans le chapitre 2 pour construire des topologies les plus
petites possibles (pour l’inclusion), comme intersection de topologies vérifiant certaines
propriétés.
Exercice E.1 Soit E un ensemble. Montrer que l’ensemble des parties vides ou complé-
mentaires de parties finies de E, est une topologie sur E.
Une bijection f : X Y entre deux espaces topologiques est un homéomorphisme
→
si l’image réciproque par f de la topologie de Y est la topologie de X. Deux espaces
topologiques X et Y sont homéomorphes s’il existe un homéomorphisme de X dans Y.
De manière équivalente, f : X Y est un homéomorphisme si et seulement si l’image
→
réciproque par f de tout ouvert de Y est un ouvert de X et si l’image directe par f
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