Table Of ContentTópicos de Matemática Elementar: polinômios Tópicos de
Copyright© 2012-2016 Antonio Caminha Muniz Neto.
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Matemática Elementar
Sociedade Brasileira de Matemática
Presidente: Hilário Alencar
Vice-Presidente: Paolo Piccione Volume 6
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João Xavier
Polinômios
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Marcela de Souza
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Antonio Caminha Muniz Neto
Editor Executivo
Hilário Alencar
Assessor Editorial
Tiago Costa Rocha
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Coleção Professor de Matemática
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( - 1 ) i (kÍ ) f ( X k+ n- i) ,
Comitê Editorial
Abdênago Alves de Barros
Abramo Hefez (Editor-Chefe)
Djairo Guedes de Figueiredo
José Alberto Cuminato
Roberto lmbuzeiro Oliveira
Sílvia Regina Costa Lopes
I)xk] 1 1
Capa = -(f(l)+ J(w) + ... + J(wP- ) ).
Pablo Diego Regino
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Distribuição e vendas
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ISBN 978-85-8337-101-4 2ªedição
2016
MUNIZ NETO, Antonio Caminha. Rio de Janeiro
Tópicos de Matemática Elementar:polinômios I Caminha Muniz Neto.
-2.ed. --Rio de Janeiro: SBM, 2016.
v.6 ; 312 p. (Coleção Professor de Matemática; 29)
ISBN 978-85-8337-101-4
.!SBM
1.Números Complexos. 2.Polinômios. 3. Raízes de Polinômios.
4.Fatoração de Polinômios. 1. Título.
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
•
1•�· SBM
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Logaritmos -E. L. Lima
Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios-
A. C. Morgado, J. B. Pitombeira, P. C. P. Carvalho e P. Fernandez
Medida e Forma em Geometria (Comprimento, Área, Volume e Semelhança) -
E.L. Lima
Meu Professor de Matemática e outras Histórias - E. L. Lima
Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios - E. L. Lima com a
colaboração de P. C. P. Carvalho
Trigonometria, Números Complexos -M. P. do Carmo, A. C. Morgado e E. Wagner,
Notas Históricas de J. B. Pitombeira
Coordenadas no Espaço - E. L. Lima
Progressões e Matemática Financeira-A. C. Morgado, E. Wagner e S. C. Zani
Construções Geométricas -E. Wagner com a colaboração de J. P. Q. Carneiro.
Introdução à Geometria Espacial -P. C. P. Carvalho
Geometria Euclidiana Plana -J. L. M. Barbosa
Isometrias -E. L. Lima
A Matemática do Ensino Médio Vol. 1 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
A Matemática do Ensino Médio Vol. 2- E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
A Matemática do Ensino Médio Vol. 3- E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
Matemática e Ensino - E. L. Lima
Temas e Problemas -E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado
Episódios da História Antiga da Matemática -A. Aaboe
Exame de Textos: Análise de livros de Matemática - E. L. Lima
A Matemática do Ensino Media Vol. 4 -Exercicios e Soluções- E. L. Lima, P. C. P.
Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado
Construções Geométricas: Exercícios e Soluções - S. Lima Netto
Um Convite à Matemática -D.C de Morais Filho
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 1 -Números Reais-A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 2- Geometria Euclidiana Plana-A.
Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 3-Introdução à Análise-A. Caminha A meus filhos Gabriel e Isabela,
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 4- Combinatória-A. Caminha na esperança de que um dia leiam este livro.
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 5- Teoria dos Números-A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 6-Polinômios-A. Caminha
VI
Sumário
Prefácio XI
Prefácio à segunda edição XIX
1 Números Complexos 1
1.1 Definição e propriedades elementares 1
1.2 A forma polar de um número complexo 16
2 Polinômios 31
2.1 Definições e propriedades básicas 32
2.2 O algoritmo da divisão 40
3 Raízes de Polinômios 45
3.1 Raízes de polinômios ....... . 46
3.2 Raízes da unidade e contagem .. . 63
3.3 O teorema fundamental da álgebra 69
3.4 Raízes múltiplas . . . . 76
VII
SUMÁRIO SUMÁRIO IX
VIII
4 Relações entre Coeficientes e Raízes 85 A Glossário 283
4.1 Polinômios em várias indeterminadas 85
4.2 Polinômios simétricos . 90
4.3 O teorema de Newton 101
113
5 Polinômios sobre IR
5.1 Alguns teoremas do Cálculo 113
5.2 As desigualdades de Newton 123
5.3 A regra de Descartes ... 127
6 Interpolação de Polinômios 135
6.1 Bases para polinômios 136
6.2 Diferenças finitas ... 146
7 Fatoração de Polinômios 155
7.1 Fatoração única em Q[X] . 155
7.2 Fatoração única em Z[X] . 164
7.3 Polinômios sobre Zp .... 168
7.4 Irredutibilidade de polinômios 178
8 Números Algébricos e Aplicações 189
8.1 Números algébricos ... 190
8.2 Polinômios ciclotômicos. 201
8.3 Números transcendentes 209
9 Recorrências Lineares 215
9.1 Um caso particular importante. 216
9.2 Sequências, séries e continuidade em C 220
9.3 O caso geral .............. . 234
10 Soluções e Sugestões 243
275
Referências
SUMÁRIO
X
Prefácio
Esta coleção evoluiu a partir de sessões de treinamento para olim
píadas de Matemática, por mim ministradas para alunos e professores
do Ensino Médio, várias vezes ao longo dos anos de 1992 a 2003 e,
mais recentemente, como orientador do Programa de Iniciação Cien
tífica para os premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das
Escolas Públicas (OBMEP) e do Projeto Amílcar Cabral de coopera
ção educacional entre Brasil e Cabo Verde.
Idealmente, planejei o texto como uma mistura entre uma iniciação
suave e essencialmente autocontida ao fascinante mundo das competi
ções de Matemática, além de uma bibliografia auxiliar aos estudantes
e professores do secundário interessados em aprofundar seus conhe
cimentos matemáticos. Resumidamente, seu propósito primordial é
apresentar ao leitor uma abordagem de quase todos os conteúdos ge
ralmente constantes dos currículos do secundário, e que seja ao mesmo
tempo concisa, não excessivamente tersa, logicamente estruturada e
mais aprofundada que a usual.
Na estruturação dos livros, me ative à máxima do eminente mate
mático húngaro-americano George Pólya, que dizia não se poder fazer
XI
XII SUMÁRIO SUMÁRIO XIII
Matemática sem sujar as mãos. Assim sendo, em vários pontos dei
tes dos livros-texto do secundário, fazem sua aparição. Numa terceira
xei a cargo do leitor a tarefa de verificar aspectos não centrais aos
etapa, o texto apresenta outros métodos elementares usuais no estudo
desenvolvimentos principais, quer na forma de detalhes omitidos em da geometria, quais sejam, o método analítico de R. Descartes, a tri
demonstrações, quer na de extensões secundárias da teoria. Nestes ca
gonometria e o uso de vetores; por sua vez, tais métodos são utilizados
sos, frequentemente referi o leitor a problemas específicos, os quais se
tanto para reobter resultados anteriores de outra(s) maneira(s) quanto
encontram marcados com* e cuja análise e solução considero parte in
para deduzir novos resultados.
tegrante e essencial do texto. Colecionei ainda, em cada seção, outros
De posse do traquejo algébrico construído no volume inicial e do
tantos problemas, cuidadosamente escolhidos na direção de exercitar
aparato geométrico do volume dois, discorremos no volume três sobre
os resultados principais elencados ao longo da discussão, bem como
aspectos elementares de funções e certos excertos de cálculo diferencial
estendê-los. Uns poucos destes problemas são quase imediatos, ao
e integral e análise matemática, os quais se fazem necessários em cer
passo que a maioria, para os quais via de regra oferto sugestões preci
tos pontos dos três volumes restantes. Prescindindo, inicialmente, das
sas, é razoavelmente difícil; no entanto, insto veementemente o leitor a
noções básicas do Cálculo, elaboramos, dentre outros, as noções de
debruçar-se sobre o maior número possível deles por tempo suficiente
gráfico, monotonicidade e extremos de funções, bem como examina
para, ainda que não os resolva todos, passar a apreçiá-los como .corpo
mos o problema da determinação de funções definidas implicitamente
de conhecimento adquirido. por relações algébricas. Na continuação, o conceito de função contínua.
O primeiro volume discorre sobre vários aspectos relevantes do con
é apresentado, primeiramente de forma intuitiva e, em seguida, axio
junto dos números reais e de Álgebra Elementar, no intuito de munir
mática, sendo demonstrados os principais resultados pertinentes. Em
o leitor dos requisitos necessários ao estudo dos tópicos constantes dos
especial, utilizamos este conceito para estudar a convexidade de gráfi
volumes subsequentes. Após começar com uma discussão não axiomá cos - culminando com a demonstração da desigualdade de J. Jensen -
tica das propriedades mais elementares dos números reais, são aborda
e o problema da definição rigorosa da área sob o gráfico de uma fun
dos, em seguida, produtos notáveis, equações e sistemas de equações, ção contínua e positiva - que, por sua vez, possibilita a apresentação
sequências elementares, indução matemática e números binomiais; o
de uma construção adequada das funções logaritmo natural e expo
texto finda com a discussão de várias desigualdades algébricas impor nencial. O volume três termina com uma discussão das propriedades
tantes, notadamente aquela entre as médias aritmética e geométrica,
mais elementares de derivadas e do teorema fundamental do cálculo,
bem como as desigualdades de Cauchy, de Chebyshev e de Abel. os quais são mais uma vez aplicados ao estudo de desigualdades, em
Dedicamos o segundo volume a uma iniciação do leitor à geometria especial da desigualdade entre as médias de potências.
Euclidiana plana, inicialmente de forma não axiomática e enfatizando O volume quatro é devotado à análise combinatória. Começamos
construções geométricas elementares. Entretanto, à medida em que o revisando as técnicas mais elementares de contagem, enfatizando as
texto evolui, o método sintético de Euclides - e, consequentemente, construções de bijeções e argumentos recursivos como estratégias bá
demonstrações - ganha importância, principalmente com a discussão sicas. Na continuação, apresentamos um apanhado de métodos de
dos conceitos de congruência e semelhança de triângulos; a partir desse contagem um tanto mais sofisticados, como o princípio da inclusão
ponto, vários belos teoremas clássicos da geometria, usualmente ausen- exclusão e os métodos de contagem dupla, do número de classes de
XIV SUMÁRIO SUMÁRIO XV
equivalência e mediante o emprego de métricas em conjuntos finitos. exemplos discutidos e dos problemas propostos ao longo do texto, boa
A cena é então ocupada por funções geradoras, onde a teoria elementar parte dos quais oriundos de variadas competições ao redor do mundo.
de séries de potências nos permite discutir de outra maneira problemas Finalmente, números complexos e polinômios são os objetos de
antigos e introduzir problemas novos, antes inacessíveis. Terminada estudo do sexto e último volume da coleção. Para além da teoria
nossa excursão pelo mundo da contagem, enveredamos pelo estudo do correspondente usualmente estudada no secundário - como a noção
problema da existência de uma configuração especial no universo das de grau, o algoritmo da divisão e o conceito de raízes de polinômios
configurações possíveis, utilizando para tanto o princípio das gavetas -, vários são os tópicos não padrão abordados aqui. Dentre outros,
de G. L. Dirichlet - vulgo "princípio das casas dos pombos" -, um destacamos inicialmente a utilização de números complexos e polinô
célebre teorema de R. Dilworth e a procura e análise de invariantes mios como ferramentas de contagem e a apresentação quase completa
associados a problemas algorítmicos. A última estrutura combinatória de uma das mais simples demonstrações do teorema fundamental da
que discutimos é a de um grafo, quando apresentamos os conceitos bá álgebra. A seguir, estudamos o famoso teorema de 1. Newton sobre
sicos usuais da teoria com vistas à discussão de três teoremas clássicos polinômios simétricos e as igualmente famosas desigualdades de New
importantes: a caracterização da existência de caminhos Eulerianos, ton, as quais estendem a desigualdade entre as médias aritmética e
o teorema de A. Cayley sobre o número de árvores rotuladas e o teo geométrica. O próximo tema concerne os aspectos básicos da teoria
rema extremal de P. Turán sobre a existência de subgrafos completos de interpolação de polinômios, quando dispensamos especial atenção
em um grafo. aos polinômios interpoladores de J. L. Lagrange. Estes, por sua vez,
Passamos em seguida, no quinto volume, à discussão dos conceitos são utilizados para resolver sistemas lineares de Vandermonde sem o
e resultados mais elementares de teoria dos números, ressaltando-se recurso à álgebra linear, os quais, a seu turno, possibilitam o estudo
inicialmente a teoria básica do máximo divisor comum e o teorema de uma classe particular de sequências recorrentes lineares. O livro
fundamental da aritmética. Discutimos também o método da descida termina com o estudo das propriedades de fatoração de polinômios
de P. de Fermat como ferramenta para provar a inexistência de solu com coeficientes inteiros, racionais ou pertencentes ao conjunto das
ções inteiras para certas equações diofantinas, e resolvemos também classes de congruência relativas a algum módulo primo, seguido do
a famosa equação de J. Pell. Em seguida, preparamos o terreno para estudo do conceito de número algébrico. Há, aqui, dois pontos cul
a discussão do famoso teorema de Euler sobre congruências, constru minantes: por um lado, uma prova mais simples do fechamento do
indo a igualmente famosa função de Euler com o auxílio da teoria mais conjunto dos números algébricos em relação às operações aritméticas
geral de funções aritméticas multiplicativas. A partir daí, o livro apre básicas; por outro, o emprego de polinômios ciclotômicos para provar
senta formalmente o co1;ceito de congruência de números em relação a um caso particular do teorema de Dirichlet sobre primos em progres
um certo módulo, discutindo extensivamente os resultados usualmente sões aritméticas.
constantes dos cursos introdutórios sobre o assunto, incluindo raízes Várias pessoas contribuíram ao longo dos anos, direta ou indire
primitivas, resíduos quadráticos e o teorema de Fermat de caracteriza tamente, para que um punhado de anotações em cadernos pudesse
ção dos inteiros que podem ser escritos como soma de dois quadrados. transformar-se nesta coleção de livros. Os ex-professores do Departa
O grande diferencial aqui, do nosso ponto de vista, é o calibre dos mento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, Marcondes
XVI SUMÁRIO SUMÁRIO XVII
Cavalcante França, João Marques Pereira, Guilherme Lincoln Aguiar ram várias sugestões. Os pareceristas indicados pela SBM opinaram
Ellery e Raimundo Thompson Gonçalves, ao criarem a Olimpíada Cea decisivamente para que os livros certamente resultassem melhores que
rense de Matemática na década de 1980, motivaram centenas de jovens a versão inicial por mim submetida. O presidente da SBM, professor
cearenses, dentre os quais eu me encontrava, a estudarem mais Ma Hilário Alencar da Silva, o antigo editor-chefe da SBM, professor Ro
temática. Meu ex-professor do Colégio Militar de Fortaleza, Antônio berto Imbuzeiro de Oliveira, bem como o novo editor-chefe, professor
Valdenísio Bezerra, ao convidar-me, inicialmente para assistir a suas Abramo Hefez, foram sempre extremamente solícitos e atenciosos co
aulas de treinamento para a Olimpíada Cearense de Matemática e pos migo ao longo de todo o processo de edição. Por fim, quaisquer erros
teriormente para dar aulas consigo, iniciou-me no maravilhoso mundo ou incongruências que ainda se façam presentes, ou omissões na lista
das competições de Matemática e influenciou definitivamente minha acima, são de minha inteira responsabilidade.
escolha profissional. Os comentários de muitos de vários de ex-alunos Por fim e principalmente, gostaria de agradecer a meus pais, Anto
contribuíram muito para o formato final de boa parte do material nio Caminha M uniz Filho e Rosemary Carvalho Caminha M uniz, e à
aqui colecionado; nesse sentido, agradeço especialmente a João Luiz minha esposa Mônica Valesca Mota Caminha Muniz. Meus pais me fi
de Alencar Araripe Falcão, Roney Rodger Sales de Castro, Marcelo zeram compreender a importância do conhecimento desde a mais tenra
Mendes de Oliveira, Marcondes Cavalcante França. Jr., Marcelo Cruz idade, sem nunca terem medido esforços para que eu e meus irmãos
de Souza, Eduardo Cabral Balreira, Breno de Alencar Araripe Falcão, desfrutássemos o melhor ensino disponível; minha esposa brindou-me
Fabrício Siqueira Benevides, Rui Facundo Vigelis, Daniel Pinheiro So com a harmonia e o incentivo necessários à manutenção de meu ânimo
breira, Antônia Taline de Souza Mendonça, Carlos Augusto David Ri e humor, em longos meses de trabalho solitário nas madrugadas. Esta
beiro, Samuel Barbosa Feitosa, Davi Máximo Alexandrino Nogueira coleção de livros também é dedicada a eles.
e Yuri Gomes Lima. Vários de meus colegas professores teceram co
mentários pertinentes, os quais foram incorporados ao texto de uma
ou outra maneira; agradeço, em especial, a Fláudio José Gonçalves,
FORTALEZA, JANEIRO de 2012
Francisco José da Silva Jr., Onofre Campos da Silva Farias, Emanuel
Augusto de Souza Carneiro, Marcelo Mendes de Oliveira, Samuel Bar
Antonio Caminha M. Neto
bosa Feitosa e Francisco Bruno de Lima Holanda. Os professores João
Lucas Barbosa e Hélio Barros deram-me a conclusão de parte destas
notas como alvo a perseguir ao me convidarem a participar do Pro
jeto Amílcar Cabral de treinamento dos professores de Matemática da
República do Cabo Verde. Meus colegas do Departamento de Mate
mática da Universidade Federal do Ceará, Abdênago Alves de Barros,
José Othon Dantas Lopes, José Robério Rogério e Fernanda Esther
Camillo Camargo, bem como meu orientando de iniciação científica
Itamar Sales de Oliveira Filho, leram partes do texto final e oferece-
XVIII SUMÁRIO
Prefácio à segunda edição
A segunda edição contempla uma extensa revisão do texto e dos
problemas propostos, tendo sido corrigidas várias imprecisões de lín
gua portuguesa e de Matemática. A discussão sobre recorrências line
ares foi ampliada, no que resultou o capítulo 9, inteiramente dedicado
a elas. Nele, a solução de recorrências lineares de coeficientes constan
tes gerais é apresentada, sendo demonstrada com o auxílio de funções
geradoras complexas. Apesar dessa ser uma abordagem natural para
este problema, salta aos olhos não haver tratamento adequado desse
tema disponível em língua portuguesa. Há, ainda, uma nova seção
no capítulo 8, versando sobre números transcendentes. Nela, a prova
original de J. Liouville para a existência de números transcendentes é
demonstrada. Adicionei também alguns exemplos e problemas novos,
no intuito de melhor exercitar certos pontos da teoria, os quais não se
encontravam adequadamente contemplados pelos problemas propostos
à primeira edição. As sugestões e soluções aos problemas propostos
também foram revistas e reorganizadas, tendo sido colecionadas em
um capítulo separado, o capítulo 10. Adicionalmente, são apresenta
das sugestões ou soluções a praticamente todos os problemas do livro.
XIX
XX SUMÁRIO
Gostaria de aproveitar o ensejo para agradecer à comunidade ma
temática brasileira em geral, e a todos os leitores que me enviaram
sugestões ou correções em particular, o excelente acolhimento desfru
tado pela primeira edição desta obra.
CAPÍTULO 1
FORTALEZA, JULHO de 2016
Antonio Caminha M. Neto
Números Complexos
É um fato óbvio que o conjunto dos números reais resulta pequeno
demais para uma descrição completa das raízes de funções polinomiais
+
reais; por exemplo, a função x r-+ x2 1, x E IR, não as possui. Histori
camente, afirmações simples como essa motivaram o desenvolvimento
dos números complexos, coroado pela demonstração, por Gauss, do
famoso teorema fundamental da álgebra.
Neste capítulo, concentramo-nos na construção do conjunto dos
números complexos e na discussão de suas propriedades mais elemen
tares, postergando ao capítulo 3 a apresentação de uma demonstração
quase completa do teorema de Gauss acima referido.
1.1 Definição e propriedades elementares
Conforme visto no capítulo 1 de [10], em geral pensamos no con
junto IR dos números reais como uma reta numerada: temos uma
1
