Table Of ContentTime-Frequency Analysis
Time-Frequency
Analysis
Concepts and Methods
Edited by
Franz Hlawatsch
François Auger
First published in France in 2005 by Hermes Science/Lavoisier entitled “Temps-fréquence: concepts et
outils”
First published in Great Britain and the United States in 2008 by ISTE Ltd and John Wiley & Sons, Inc.
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© ISTE Ltd, 2008
© LAVOISIER, 2005
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Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Temps-fréquence. English
Time-frequency analysis : concepts and methods / edited by Franz Hlawatsch and François Auger.
p. cm.
Includes bibliographical references and index.
ISBN-13: 978-1-84821-033-2
1. Signal processing--Mathematics. 2. Time-series analysis. 3. Frequency spectra. I. Hlawatsch, F.
(Franz) II. Auger, François. III. Title.
TK5102.9.T435 2008
621.382'2--dc22
2006015556
British Library Cataloguing-in-Publication Data
A CIP record for this book is available from the British Library
ISBN: 978-1-84821-033-2
Printed and bound in Great Britain by Antony Rowe Ltd, Chippenham, Wiltshire.
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
FIRSTPART. FUNDAMENTAL CONCEPTS AND METHODS . . . . . . . . . 17
Chapter1. Time-FrequencyEnergyDistributions: AnIntroduction . . . 19
PatrickFLANDRIN
1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1. Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2. Devices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3. Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4. Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5. Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6. Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7. Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8. Geometries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.10.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chapter2. InstantaneousFrequencyofaSignal . . . . . . . . . . . . . . . 37
BernardPICINBONO
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Intuitiveapproaches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Mathematicaldefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1. Ambiguityoftheproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2. AnalyticsignalandHilberttransform. . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3. Applicationtothedefinitionofinstantaneousfrequency . . . . . 42
2.3.4. Instantaneousmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4. Criticalcomparisonofthedifferentdefinitions . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1. Interestoflinearfiltering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 Time-FrequencyAnalysis
2.4.2. Boundsofthequantitiesintroduced. . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.3. Instantaneousnature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.4. Interpretationbytheaverage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5. Canonicalpairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6. Phasesignals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.1. Blaschkefactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.2. Oscillatorysingularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7. Asymptoticphasesignals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.1. Parabolicchirp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.2. Cubicchirp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Chapter3. LinearTime-FrequencyAnalysisI:Fourier-Type
Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
RémiGRIBONVAL
3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2. Short-timeFourieranalysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1. Short-timeFouriertransform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2. Time-frequencyenergymaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3. Roleofthewindow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.4. Reconstruction/synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.5. Redundancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3. Gabortransform;Weyl-HeisenbergandWilsonframes . . . . . . . . . 71
3.3.1. Samplingoftheshort-timeFouriertransform . . . . . . . . . . . 71
3.3.2. Weyl-Heisenbergframes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.3. Zaktransformand“critical”Weyl-Heisenbergframes . . . . . . 74
3.3.4. Balian-Lowtheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.5. Wilsonbasesandframes,localcosinebases . . . . . . . . . . . . 75
3.4. Dictionariesoftime-frequencyatoms;adaptiverepresentations . . . . 77
3.4.1. Multi-scaledictionariesoftime-frequencyatoms . . . . . . . . . 77
3.4.2. Pursuitalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.3. Time-frequencyrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5. Applicationstoaudiosignals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.1. Analysisofsuperimposedstructures . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.2. Analysisofinstantaneousfrequencyvariations . . . . . . . . . . 80
3.5.3. Transpositionofanaudiosignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6. Discretealgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6.1. FastFouriertransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6.2. Filterbanks:fastconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6.3. Discreteshort-timeFouriertransform. . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6.4. DiscreteGabortransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Contents 7
3.8. Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.9. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Chapter4. LinearTime-FrequencyAnalysisII:Wavelet-Type
Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
ThierryBLUandJérômeLEBRUN
4.1. Introduction:scaleandfrequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2. Continuouswavelettransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.1. Analysisandsynthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.2. Multiscaleproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3. Discretewavelettransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.1. Multi-resolutionanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2. Mallatalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.3. Graphicalrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4. Filterbanksandwavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4.1. Generationofregularscalingfunctions . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.2. Linkswithapproximationtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4.3. Orthonormalityandbi-orthonormality/perfectreconstruction . . 112
4.4.4. Polyphasematricesandimplementation . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4.5. Designofwaveletfilterswithfiniteimpulseresponse. . . . . . . 114
4.5. Generalization:multi-wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.1. Multi-filterbanks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.2. Balancinganddesignofmulti-filters . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.6. Otherextensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6.1. Waveletpackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6.2. Redundanttransformations:pyramidsandframes . . . . . . . . . 122
4.6.3. Multi-dimensionalwavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.7. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.7.1. Signalcompressionanddenoising . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.7.2. Imagealignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.9. Acknowledgments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.10.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Chapter5. QuadraticTime-FrequencyAnalysisI:Cohen’sClass . . . . . 131
FrançoisAUGERandÉricCHASSANDE-MOTTIN
5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2. Signalrepresentationintimeorinfrequency . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.1. Notionofsignalrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.2. Temporalrepresentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.3. Frequencyrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.4. Notionofstationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.5. Inadequacyofmonodimensionalrepresentations . . . . . . . . . 136
8 Time-FrequencyAnalysis
5.3. Representationsintimeandfrequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3.1. “Ideal”time-frequencyrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3.2. Inadequacyofthespectrogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.3. DrawbacksandbenefitsoftheRihaczekdistribution . . . . . . . 142
5.4. Cohen’sclass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4.1. Quadraticrepresentationscovariantundertranslation . . . . . . . 142
5.4.2. DefinitionofCohen’sclass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4.3. Equivalentparametrizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4.4. Additionalproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.5. Existenceandlocalizationofinterferenceterms . . . . . . . . . . 148
5.5. Mainelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.5.1. Wigner-Villeanditssmoothedversions . . . . . . . . . . . . . . 155
5.5.2. Rihaczekanditssmoothedversions. . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.5.3. SpectrogramandStransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.5.4. Choi-Williamsandreducedinterferencedistributions. . . . . . . 158
5.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.7. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Chapter6. QuadraticTime-FrequencyAnalysisII:Discretizationof
Cohen’sClass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
StéphaneGRASSIN
6.1. QuadraticTFRsofdiscretesignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.1. TFRsofcontinuous-timedeterministicsignals . . . . . . . . . . 167
6.1.2. Samplingequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1.3. Theautocorrelationfunctionsofthediscretesignal . . . . . . . . 168
6.1.4. TFRofadiscretesignalasafunctionofitsgeneralizedACF . . 169
6.1.5. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.1.6. Corollary:ambiguityfunctionofadiscretesignal . . . . . . . . . 172
6.2. TemporalsupportofTFRs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.1. Thecharacteristictemporalsupports . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.2. Observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.3. DiscretizationoftheTFR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3.1. MeaningofthefrequencydiscretizationoftheTFR. . . . . . . . 176
6.3.2. MeaningofthetemporaldiscretizationoftheTFR . . . . . . . . 176
6.3.3. Aliaseddiscretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.3.4. “Non-aliased”discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4. Propertiesofdiscrete-timeTFRs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.4.1. Discrete-timeTFRs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.4.2. Effectofthediscretizationofthekernel . . . . . . . . . . . . . . 182
6.4.3. Temporalinversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.4.4. Complexconjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4.5. Real-valuedTFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4.6. Temporalmoment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Contents 9
6.4.7. Frequencymoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.5. Relevanceofthediscretizationtospectralanalysis . . . . . . . . . . . 185
6.5.1. Formulationoftheproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.5.2. Trivialcaseofasinusoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.5.3. Signalwithlinearfrequencymodulation . . . . . . . . . . . . . . 187
6.5.4. SpectralanalysiswithdiscretizedTFRs . . . . . . . . . . . . . . 188
6.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.7. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Chapter7. QuadraticTime-FrequencyAnalysisIII:TheAffineClassand
OtherCovariantClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
PauloGONÇALVÈS,Jean-PhilippeOVARLEZandRichardBARANIUK
7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2. Generalconstructionoftheaffineclass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2.1. Bilinearityofdistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2.2. Covarianceprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.3. Affineclassoftime-frequencyrepresentations. . . . . . . . . . . 198
7.3. Propertiesoftheaffineclass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.1. Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.2. Marginals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.3. Unitarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.4. Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4. AffineWignerdistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4.1. Diagonalformofkernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4.2. Covariancetothethree-parameteraffinegroup . . . . . . . . . . 209
7.4.3. Smoothedaffinepseudo-Wignerdistributions . . . . . . . . . . . 211
7.5. Advancedconsiderations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.1. Principleoftomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.2. Operatorsandgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.6. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.7. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
SECOND PART. ADVANCED CONCEPTS AND METHODS . . . . . . . . . . 227
Chapter8. Higher-OrderTime-FrequencyRepresentations . . . . . . . . 229
Pierre-OlivierAMBLARD
8.1. Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.2. Constructionoftime-multifrequencyrepresentations . . . . . . . . . . 230
8.2.1. Generalformanddesirableproperties . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.2.2. Generalclassesinthesymmetricevencase . . . . . . . . . . . . 231
8.2.3. Examplesandinterpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2.4. Desiredpropertiesandconstraintsonthekernel . . . . . . . . . . 237
8.2.5. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10 Time-FrequencyAnalysis
8.3. Multilineartime-frequencyrepresentations. . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3.1. Polynomialphaseandperfectconcentration . . . . . . . . . . . . 240
8.3.2. Multilineartime-frequencyrepresentations:generalclass . . . . 242
8.4. Towardsaffinemultilinearrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.6. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Chapter9. Reassignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
ÉricCHASSANDE-MOTTIN,FrançoisAUGER,andPatrickFLANDRIN
9.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.2. Thereassignmentprinciple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.2.1. Classicaltradeoffintime-frequencyandtime-scaleanalysis . . . 250
9.2.2. Spectrograms and scalograms re-examined and corrected by
mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.2.3. Generalizationtootherrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.2.4. Linktosimilarapproaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.3. Reassignmentatwork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.3.1. Fastalgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.3.2. Analysisofafewsimpleexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.4. Characterizationofthereassignmentvectorfields . . . . . . . . . . . . 265
9.4.1. Statisticsofthereassignmentvectorsofthespectrogram . . . . . 265
9.4.2. Geometricalphaseandgradientfield . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.5. Twovariations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.5.1. Supervisedreassignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.5.2. Differentialreassignment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.6. Anapplication:partitioningthetime-frequencyplane . . . . . . . . . 271
9.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.8. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Chapter10. Time-FrequencyMethodsforNon-stationaryStatistical
SignalProcessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
FranzHLAWATSCHandGeraldMATZ
10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.2. Time-varyingsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.3. Non-stationaryprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10.4. TFanalysisofnon-stationaryprocesses–typeIspectra. . . . . . . . 285
10.4.1. GeneralizedWigner-Villespectrum . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.4.2. TFcorrelationsandstatisticalcross-terms . . . . . . . . . . . . 286
10.4.3. TFsmoothingandtypeIspectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.4.4. PropertiesoftypeIspectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.5. TFanalysisofnon-stationaryprocesses–typeIIspectra . . . . . . . 289
10.5.1. Generalizedevolutionaryspectrum . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.5.2. TFsmoothingandtypeIIspectra . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Contents 11
10.6. Propertiesofthespectraofunderspreadprocesses . . . . . . . . . . . 291
10.6.1. Approximateequivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.6.2. Approximateproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.7. Estimationoftime-varyingspectra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.7.1. Aclassofestimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.7.2. Bias-varianceanalysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.7.3. Designinganestimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.7.4. Numericalresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.8. Estimationofnon-stationaryprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.8.1. TFformulationoftheoptimumfilter . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.8.2. TFdesignofaquasi-optimumfilter . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.8.3. Numericalresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10.9. Detectionofnon-stationaryprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.9.1. TFformulationoftheoptimumdetector . . . . . . . . . . . . . 309
10.9.2. TFdesignofaquasi-optimumdetector . . . . . . . . . . . . . . 310
10.9.3. Numericalresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.10.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
10.11.Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.12.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Chapter11. Non-stationaryParametricModeling . . . . . . . . . . . . . . 321
CorinneMAILHESandFrancisCASTANIÉ
11.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11.2. Evolutionaryspectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11.2.1. Definitionofthe“evolutionaryspectrum” . . . . . . . . . . . . 322
11.2.2. Propertiesoftheevolutionaryspectrum . . . . . . . . . . . . . . 324
11.3. Postulateoflocalstationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.3.1. Slidingmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.3.2. Adaptiveandrecursivemethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.3.3. Applicationtotime-frequencyanalysis . . . . . . . . . . . . . . 328
11.4. Suppressionofastationaritycondition . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
11.4.1. Unstablemodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
11.4.2. Modelswithtime-varyingparameters . . . . . . . . . . . . . . . 332
11.4.3. Modelswithnon-stationaryinput . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.4.4. Applicationtotime-frequencyanalysis . . . . . . . . . . . . . . 346
11.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
11.6. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Chapter12. Time-FrequencyRepresentationsinBiomedicalSignal
Processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
LotfiSENHADJIandMohammadBagherSHAMSOLLAHI
12.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
12.2. Physiologicalsignalslinkedtocerebralactivity . . . . . . . . . . . . 356
