Table Of Content© Typotex Kiadó
Thomas-f´ele
Kalkulus
I. kötet
www.interkonyv.hu © George B. Thomas, Jr.
Kalkulus,1.oldal
© Typotex Kiadó
www.interkonyv.hu © George B. Thomas, Jr.
Kalkulus,2.oldal
© Typotex Kiadó
T - ´
H O M A S F E L E
K
A L K U L U S
I. kötet
Az eredetimu˝vet készítette
GeorgeB. Thomas,Jr.
MassachusettsInstituteofTechnology
Átdolgozták
MauriceD. Weir
NavalPostgraduateSchool
JoelHass
UniversityofCalifornia, Davis
Frank R. Giordano
NavalPostgraduateSchool
A magyar kiadásfo˝szerkeszto˝je
Szász Domokos
BudapestiMu˝szakiés GazdaságtudományiEgyetem
Budapest, 2006
www.interkonyv.hu © George B. Thomas, Jr.
Kalkulus,3.oldal
© Typotex Kiadó
Azeredetimu˝ címeThomas’Calculus,11thEdition.
AuthorizedtranslationfromtheEnglishLanguageedition,entitledTHOMAS’
Calculus,11thEdition,ISBN0321185587,byThomas,GeorgeB.;Weir,
MauriceD.;andGiordano,FrankR.,publishedbyPearsonEducation,Inc,
publishingasAddison-Wesley,
Copyright c 2005PearsonEducation,Inc.Allrightsreserved.
(cid:13)
Hungariantranslation c CsabaFerenc;GernerJózsef;Typotex,2006
(cid:13)
AkönyvazOktatásiMinisztériumtámogatásával,aFelso˝oktatási
Tankönyv-ésSzakkönyv-támogatásiPályázatkeretébenjelent
meg.
Amegjelenésttámogattaa
Korszeru˝ MérnökértAlapítványésa
BudapestiMu˝szakiésGazdaságtudományiEgyetemRektoriHivatala
Szakmailagelleno˝rizteHorváthMiklós,MosonPéter,NagynéSzilvásiMárta,
SerényGyörgyésSzabadosTamás
ISBN9639548847
Témakörmatematikaianalízis
KedvesOlvasó!
Önregondoltunk,amikorakönyvelo˝készítésénmunkálkodtunk.
Kapcsolatunkatszorosabbrafu˝zhetjük,habelépaTypoklubba,ahonnan
értesülhetújkiadványainkról,akcióinkról,programjainkról,ésamelyeta
www.typotex.hucímenérhetel.Honlapunkonmegtalálhatjaazegyes
könyvekheztartozóhibajegyzéketis,mertsajnoshibákolykorelo˝fordulnak.
KiadjaaTypotexElektronikusKiadóKft.,az1795-benalapított
MagyarKönyvkiadókésKönyvterjeszto˝kEgyesületénektagja.
Felelo˝skiadóVotiskyZsuzsa
Felelo˝sszerkeszto˝ CsabaFerencésSzépGabriella
Mu˝szakiszerkeszto˝ HeszGábor
AborítótTóthNorbertkészítette
Terjedelem44(A/5)ív
KészültaDürerNyomdaKft-ben,Gyulán
Ügyvezeto˝ igazgatóMegyikAndrás
www.interkonyv.hu © George B. Thomas, Jr.
Kalkulus,4.oldal
© Typotex Kiadó
Tartalomjegyzék
Elo˝szó 7
1.
Bevezetés 9
1.1. Avalósszámokésavalósszámegyenes 9
1.2. Egyenesek,körökésparabolák 16
1.3. Függvényekésgrafikonok 26
1.4. Alapveto˝ függvénytípusokésmatematikaimodellek 34
1.5. Mu˝veletekfüggvényekkelésfüggvénytranszformációk 43
1.6. Trigonometrikusfüggvények 51
1.7. Grafikusmódszerek 60
Áttekinto˝ kérdések 69
Gyakorlófeladatok 70
Azanyagalaposabbelsajátításátsegíto˝ továbbifeladatok 72
2.
Határérték és folytonosság 75
2.1. Változásisebesség,ahatárértékszemléletesfogalma 75
2.2. Határértékekkiszámítása 86
2.3. Ahatárértékprecízdefiníciója 92
2.4. Jobbésbaloldalihatárérték.Határértékavégtelenben 102
2.5. Végtelenhatárértékekésfüggo˝legesaszimptoták 114
2.6. Folytonosság 122
2.7. Érinto˝ ésderivált 132
Áttekinto˝ kérdések 138
Gyakorlófeladatok 139
Azanyagalaposabbelsajátításátsegíto˝ továbbifeladatok 140
3.
Differenciálás 143
3.1. Aderiváltfüggvény 143
3.2. Deriválásiszabályok 153
3.3. Aderiváltmintváltozásisebesség 163
3.4. Atrigonometrikusfüggvényekderiváltja 174
3.5. Aláncszabály.Paraméteresegyenletek 180
3.6. Implicitfüggvényderiváltja 193
www.interkonyv.hu © George B. Thomas, Jr.
Kalkulus,5.oldal
© Typotex Kiadó
6 Tartalomjegyzék
3.7. Kapcsoltderiváltak 201
3.8. Linearizációésdifferenciálok 208
Áttekinto˝ kérdések 219
Gyakorlófeladatok 220
Azanyagalaposabbelsajátításátsegíto˝ továbbifeladatok 225
4.
A deriváltalkalmazásai 229
4.1. Függvényszélso˝értékei 229
4.2. ALagrange-féleközépértéktétel 239
4.3. Monotonfüggvényekésazelso˝ deriváltteszt 246
4.4. Konvexitásésafüggvénygörbefelrajzolása 250
4.5. Alkalmazottoptimalizációsproblémák 259
4.6. HatározatlanalakokésaL’Hospital-szabály 271
4.7. ANewton-módszer 278
4.8. Primitívfüggvények 285
Áttekinto˝ kérdések 294
Gyakorlófeladatok 295
Azanyagalaposabbelsajátításátsegíto˝ továbbifeladatok 298
Függelékek 301
F.1. Teljesindukció 301
F.2. Ahatárértékrevonatkozótételekbizonyítása 303
F.3. Avalósszámokelmélete 306
F.4. Komplexszámok 309
F.5. Algebrai,geometriaiéstrigonometriaiösszefüggések 318
Megoldások 323
Tárgymutató 349
www.interkonyv.hu © George B. Thomas, Jr.
Kalkulus,6.oldal
© Typotex Kiadó
Elo˝szó
Azolvasókezébentartotttankönyvamérnökökmatematikaoktatásábanvilág-
szerte fogalommávált.Az eredetimunkátGeorgeB. Thomas,azMITegykori
professzora írta a differenciál- és integrálszámítás oktatási segédleteként. Az
újabbésújabbkiadásoksorán,részbentársszerzo˝kbevonásával,atankönyvto-
vább érlelo˝dött, meglevo˝ hiányosságaitkijavították, példaanyagaés szerkezete
is tovább fejlo˝dött. Legutóbbi, 11. kiadása nagy népszeru˝ségnek örvend nem-
csakazEgyesültÁllamokban,hanemtankönyvkénthasználjákNyugat-Európa
számosrangosegyeteménésaBMEidegennyelvu˝ képzésébenis.
Amu˝ magyarnyelvu˝ megjelentetésetöbbszempontbólindokolttávált,nap-
jainkban pedig különösenaktuális. A tankönyva lineáris algebra és a valószí-
nu˝ségszámításkivételévelteljesmértékbenlefediazújonnanbevezetésrekerülo˝
mérnökiB.Sc. képzésekmatematikaanyagát.A B.Sc.programgyakorlatcent-
rikussága természetesen megkövetelia tankönyvekgyakorlatiasabbjellegét is.
Ajelentankönyv,azonkívülhogyegységeséskomplextananyagotadazolvasó
kezébe,példatáratispótol.Emellettahazaiéskülföldiegyetemekközöttiátjár-
hatóságotisnagybanelo˝segíti,haamagyarfelso˝oktatásugyanaztatankönyvet
használja,mintszámosnyugat-európaiéstengerentúliegyetem.Atankönyvaz
alapképzések matematika anyagánálhelyenkénttöbbet is tartalmaz. Igy a mu˝-
vet a hallgatók késo˝bbi tanulmányaik során és munkájukban referenciaként is
kiválóanhasználhatják.
AtankönyvstílusábaniskülönbözikszámosMagyarországonkorábbanelter-
jedtjegyzetto˝l.Önállótanulásraisalkalmas,számoskidolgozottfeladatottartal-
mazó, szépen illusztrált és olvasmányosmunka.A könnyebbkezelheto˝ség vé-
gettaz1300oldalaseredetikönyvfordításátháromkötetbenjelentetjükmeg,ez
aformafelelmegleginkábboktatásunksajátosságainak.
A Thomas-félekalkulusta BME matematikaialaptankönyvénekválasztotta
évekigtartó diszkusszió,kipróbálásés mérlegelésután.Megjelentetésénekkü-
lön elo˝nye, hogy kiváló felkészülési leheto˝séget biztosít azok számára is, akik
aBME-nindulóM.Scképzésekrejelentkeznek,viszontmásfelso˝oktatásiintéz-
ménybenszereztekB.Scfokozatot.
Köszönetünket fejezzük ki a magyar kiadás támogatóinak: a Magyar Mér-
nökképzésKorszeru˝sítésértAlapítványnak,az OM Felso˝oktatásiTankönyv-és
SzakkönyvtámogatásiPályázatánakésaBMEvezetésének,Dr.MolnárKároly
rektornak, Dr. Kövesi János oktatási rektor helyettesnek és Dr. Jobbágy Ákos
oktatásiigazgatónak.Felbecsülhetetlensegítségükteszileheto˝vé,hogyakötete-
keta mérnökhallgatókszámáraelértheto˝ áronjelenjenmeg.Ugyancsakköszö-
netilletiaBMEMatematikaIntézetoktatóit,akikkomolysegítségetnyújtottak
a matematikaialaptankönyvkiválasztásában,valaminta magyarnyelvu˝ kiadás
elo˝készítésében.
2006.február16.
SzászDomokosegyetemitanár
www.interkonyv.hu © George B. Thomas, Jr.
Kalkulus,7.oldal
© Typotex Kiadó
www.interkonyv.hu © George B. Thomas, Jr.
Kalkulus,8.oldal
© Typotex Kiadó
1
.
Bevezetés
fejezet
ÁTTEKINTÉS A fejezetben áttekintjük azokat az alapveto˝ fogalmakat, ame-
lyekanalízistanulmányainkmegkezdéséhezelengedhetetlenek.Atárgyalásfel-
öleliavalósszámokrendszerét,akoordinátageometriaalapjait,azegyenesekre,
parabolákra és körökre, valamint a függvényekre és grafikonjukra vonatkozó
legfontosabb ismereteket, továbbá a legszükségesebb trigonometriai definíció-
katésösszefüggéseket.Szótejtünkaszámítógépesgrafikaimódszerekro˝lis.
1.1. A valós számok és a valós számegyenes
Ebbenazalfejezetbenavalósszámokról,azegyenlo˝tlenségekro˝l,azintervallu-
mokrólésazabszolútértékro˝lleszszó.
Valósszámok
Azanalízisnagyrésztavalósszámrendszertulajdonságainalapul.Avalósszá-
mokatizedestörtekkelkifejezheto˝ számok;ímenéhánypélda:
3
0 75000
(cid:0)4 = (cid:0) ; :::
1
0 33333
3 = ; :::
p2 1 4142
= ; :::
A három pont (...) mindhárom esetben arra utal, hogy a tizedestört-kifejtés
valójában végtelen hosszú. Minden elképzelheto˝ tizedestört-kifejtés egyértel-
mu˝enmeghatározegyvalósszámot,fordítvaazonbaneznemáll:vannakolyan
számok, amelyek kétféleképpen is felírhatók végtelen tizedes tört alakban. A
0 999 és az 1 000 végtelen tizedes törtek példáulugyanazta valós szá-
; ::: ; :::
mot,az1-etreprezentálják,éshasonlóahelyzetmindenolyanvalósszámese-
tében, amelynektizedestört alakjábanegy csupa 9-esbo˝lálló végtelensorozat
szerepel.
Avalósszámokategyegyenesenábrázolhatjuk;eztazegyenestvalósszám-
egyenesneknevezzük.
Avalósszámokrendszerétésavalósszámegyenestisaz szimbólumjelöli.
R
www.interkonyv.hu © George B. Thomas, Jr.
Kalkulus,9.oldal
© Typotex Kiadó
10 1.fejezet Bevezetés
A valós számok tulajdonságai három csoportba oszthatók: az algebrai és a
rendezési jellemzo˝kre, valamint a teljességre. A valós számok algebrai tulaj-
donságaialapjánkétvalósszámösszedható,egyikamásikbólkivonható,egyik
a másikkal megszorozható, illetve elosztható (amivel osztunk, nem lehet 0),
ezekre a mu˝veletekrea szokásosszabályok érvényesek,eredményükpedig új-
fentegyvalósszám.Hangsúlyozzukmégegyszer:0-valnemlehetosztani!
AvalósszámokrendezésitulajdonságaitazF.4.függelékbentárgyaljuk.Az
ottbemutatottalapveto˝ jellemzo˝kkövetkezményeiazalábbihasznosszabályok
(a szimbólumazimplikációjele, p qkiolvasása:„ha p,akkorq”).
) )
Azegyenlo˝tlenségekrevonatkozószabályok
Tetszo˝legesa b cvalósszámokesetén
; ;
1. a b a c b c
< ) + < +
2. a b a c b c
< ) (cid:0) < (cid:0)
3. a bésc 0 ac bc
< > ) <
4. a bésc 0 ac bc
< < ) >
Speciálisan(c 1esetén):a b b a
=(cid:0) < )(cid:0) <(cid:0)
1
5. a 0 0
> ) a >
6. Haaésbegyarántpozitívvagyegyarántnegatív,akkora b
1 1 < )
b < a
Jegyezzükmeg,milyenszabályokvonatkoznakarra,hogymitörténik,ami-
kor egy egyenlo˝tlenségmindkét oldalátmegszorozzukugyanazzala számmal:
hapozitívszámmalszorzunk,azegyenlo˝tlenségirányaváltozatlanmarad,havi-
szontazegyenlo˝tlenségetnegatívszámmalszorozzukmeg,akkorazirányameg-
fordul.Hamindkétoldalellentettjétvagyreciprokátvesszük,akkorazegyenlo˝t-
lenségirányamegváltozik,például:2 5,de 2 5és 1 1.
< (cid:0) >(cid:0) 2 > 5
Avalósszámokteljességi(vagyfelso˝határ-)tulajdonságamélyésnehezeb-
bendefiniálhatójellemzo˝,viszontahatárértékelméletében(l.a2.fejezetet)köz-
pontiszerepetjátszik.Ezatulajdonságlényegébenaztmondjaki,hogyavalós
számegyenesennincsenek„lyukak”,elegendo˝valósszámvantehátahhoz,hogy
a számegyenest „folytonosan”, szakadás nélkül kitöltsék. Az analízis számos
tétele a valós számoknak ezen a tulajdonságán alapul. A részletek tárgyalását
legjobb,haegykéso˝bbi,haladóbbszintu˝ kurzusrahagyjuk.AzF.4.függelékben
azonbanrövidenbemutatjuk,hogymiro˝lisvanszó,éshogymikéntépítheto˝ fel
avalósszámtest.
Avalósszámoknakháromrészhalmazátemeljükki:
1. Atermészetesszámok:1 2 3 4
; ; ; :::
2. Azegészszámok:0 1 2 3
;(cid:6) ;(cid:6) ;(cid:6) :::
3. Aracionálisszámok,vagyisazokaszámok,amelyekkifejezheto˝km n
=
alakban,aholmésnegészszámokésn 0.Példákracionálisszámokra:
6=
1 4 4 4 200 57
(cid:0) 57
3; (cid:0)9 = 9 = 9; 13 ; = 1 :
(cid:0)
Aracionálisszámokpontosanazokavalósszámok,amelyeknektizedestört
alakjavagy
(a) véges(azazegybizonyosszámjegyto˝lkezdvecsupa0-bóláll),pél-
dául:
3
0 75000 0 75 vagy
4 = ; :::= ; ;
www.interkonyv.hu © George B. Thomas, Jr.
Kalkulus,10.oldal
