THÈSE Logique dans le facteur hyperfini

286 Pages·2012·1.33 MB·French

THÈSE
présentéeà
l’UNIVERSITÉAIX-MARSEILLE
U.F.R Sciences
envuedel’obtentiondugradede
DOCTEURDEl’UNIVERSITÉAIX-MARSEILLE
Spécialité:Mathématiques
par
ThomasSeiller
Logique dans le facteur hyperfini
Géométrie de l’interaction et Complexité
ThèsedirigéeparJean-YvesGirardetLaurentRégnier
Soutenuele13Novembre2012
JURY
Pierre-Louis CURIEN Rapporteur
Martin HYLAND Rapporteur
Olivier LAURENT Examinateur
Philip SCOTT Examinateur
Jean-Yves GIRARD Directeurdethèse
Laurent RÉGNIER Directeurdethèse
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Remerciements
JetiensàremercierJean-YvesGirardetLaurentRegnierpouravoiracceptédedirigercette
thèse.J’auraiapprisdeJean-Yvesl’importancedeseposerlesbonnesquestions,d’avoirune
réflexion sur notre domaine et notre recherche, c’est-à-dire à faire de la recherche et non
simplementdesmathématiques.JeretiendraideLaurentl’énergiedébordanteetlapassion
avec laquelle il aborde toute question et partage ses réflexions et connaissances, ainsi que
sagrandedisponibilité.J’espèrequejeréussiraiàm’inspirerdeluipourtoujoursgarderne
serais-ce qu’un dixième de son enthousiasme. Je les remercie également tous deux pour la
grandelibertéqu’ilm’ontaccordédansmarecherche.
JesouhaiteégalementremercierPierre-LouisCurienetMartinHylandquiontacceptéd’être
rapporteursdecettethèse,malgrésalongueuretlepeudetempsqu’ilsavaientpourmener
cette tâche à bien. De nombreuses suggestions de Pierre-Louis ont largement contribué à
rendrecetextepluslisible.
JeremercieOlivierLaurentetPhilipScottquiontacceptédefairepartiedemonjury.Jeles
remercieégalementtousdeuxdesdiscussionsquenousavonspuavoirsurmontravail.
Je remercie également Laurent Regnier, Bernard Illig et mon père qui ont accepté de relire
unepremièreversiondecemanuscrittrufféedefautesd’orthographe.
Je tiens ensuite à remercier toute l’équipe «Logique de la Programmation», et plus géné-
ralement à l’ensemble du personnel de l’IML, pour la bonne humeur et l’enthousiasme qui
règneaudeuxièmeétagedel’IML,etpourleuraccueilchaleureuxlorsdemestroispremières
annéesdethèse:MyriamQuatrini,YvesLafont,(Em)Manu(el)Beffara,LionelVaux,etbien
sûr Laurent et Jean-Yves, auxquels il faut ajouter les doctorants qui ont été ou sont encore
là:MarcdeFalco,EtienneDuchesne,PierreRannou,Jean-BaptisteMidez,MicheleAlberti,
MarcBagnol.
Je remercie également l’équipe «Logique, Informatique et Mathématiques Discrètes» du
LAMA, le Laboratoire de Mathématiques de l’Université de Savoie, qui m’ont accueilli lors
de ma dernière année de thèse (et une année de postdoc qui s’amorce) : Tom Hirschowitz,
PierreHyvernat,ChristopheRaffali,GuillaumeTheyssier,KrzysztofWorytkiewicz,etlesdoc-
torants:FlorianHatat,MatthieuSimonet,Pierre-EtienneMeunier.
Je remercie aussi l’ensemble des personnes qui ont pris part au groupe de travail sur la
géométrie de l’interaction, devenu le projet ANR Logoi. Je remercie plus particulièrement
ClaudiaFaggian,DamianoMazza,ChristopheFouqueré,AlexisSaurin,quim’ontbeaucoup
aidéautraversdenombreusesdiscussions.
JeremercieégalementJean-BaptisteJoinetetClaudiaFaggianquim’ontencadrélorsdemes
stagesdeMaster1etMaster2respectivement,stagessanslesquelsjen’auraiprobablement
jamaiscommencécettethèse.
Je remercie aussi l’ensemble des doctorants (principalement parisiens) avec lesquels nous
avonspumeneràbienleprojet«VéritéetPreuve».Qu’ilssoientphilosophes,informaticiens,
linguistes, mathématiciens ou autres, les discussions que nous avons eues m’ont beaucoup
apporté : Alberto Naibo, Mattia Petrolo, Clément Aubert, Giulio Guerrieri, Andrei Dorman,
Jean-BaptisteMidez,SylvainCabanacq,ettousceuxquej’oubliedeciter.
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Jeremerciemafamillepourleursoutienetleurprésence:mesgrand-parents,mesparents,
mesfrèresetsoeursAnne,Nicolas,(Marie-)SophieetMarie;mesneveux(dansl’ordred’ap-
parition)Amélie,Aude,Lison,Florian,Antoine,Lucien,Pierre,ManonetÉlise;bienentendu
mesoncles,tantes,etcousinsdontlamultitudem’empêchedelesciterindividuellement.
Enfin, last but not least, je remercie Johanna pour son soutien de tous les jours. Elle m’a
prêtésaconfianceinébranlablelorsquelamiennemefaisaitdéfaut.Ellem’asuiviàtravers
laFrance.Pourcelaetpourtoutlereste,merci.
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Table des matières
I Introduction et Préliminaires 7
1 Introduction 9
2 LogiqueLinéaire 17
2.1 LogiqueClassique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 LogiqueLinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Quelquesremarquessurlesréseauxmultiplicatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 PreuvescommePermutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Algèbresd’Opérateurs 33
3.1 EspacesdeHilbertetOpérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Algèbresstellaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 AlgèbresdevonNeumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Géométriedel’Interaction 65
4.1 Lespremièresgéométriesdel’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Géométriedel’interactionhyperfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.A GdI5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
II Graphes d’Interaction 85
5 Adjonctionsgéométriques 87
5.1 Définitionssurlesgraphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 AdjonctionsGéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Graphestranchés,graphesépais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 ConclusionetNotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 FragmentMultiplicatif 117
6.1 Lesmultiplicatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2 SémantiqueDénotationelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7 FragmentMultiplicatif-Additif 131
7.1 Géométriedel’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2 Sémantiquedénotationelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3 VéritéetAdéquation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8 Exponentielles 153
8.1 Changementdetranchesetcontraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2 Graphages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3 Géométriedel’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.4 Adéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.5 Contraction,ConduitespolariséesetELL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
pol
6 TABLE DES MATIÈRES
III Géométrie de l’Interaction dans le Facteur Hyperfini 201
9 CircuitsetOpérateurs 203
9.1 CircuitsetDéterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.2 Graphesd’interactionetpremièresGdI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.3 Graphesd’interactionetGdIhyperfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.A GraphagesetGdI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10 VéritéSubjective 225
10.1 VéritéSubjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.2 MASAsetVéritéSubjectivedansletypeII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.3 VéritéSubjectiveenGdI5.1etGdI5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11 EntiersLogspace 249
11.1 Représentationdesentiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.2 Pairesnormatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.3 Caractérisationdeco-NL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12 ConclusionetPerspectives 273
12.1 Graphes,GraphagesetGdI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12.2 Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.3 TopologieAlgébriquedel’Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Bibliographie 279
7
Première partie
Introduction et Préliminaires

C 1
HAPITRE
I
NTRODUCTION
§1.1 Historiquement, la logique est la science du raisonnement. C’est au début du 20e siècle que
celle-ci s’est imposée pour la formalisation des mathématiques — on parle dans ce cas de
logique mathématique. Traditionnellement, la logique mathématique consiste en deux enti-
tés:d’uncôtélasyntaxequidécritlamanièredeconstruirelesformulesmathématiqueset
leurs preuves — la description du monde (mathématique), de l’autre la sémantique qui étu-
dielesmodèlesd’unethéorie—lemonde,oulesstructuresmathématiques.Lasyntaxeesten
quelquesorteaffairedevérité,ouplutôtdeprouvabilité:usuellementlesrèglesdeconstruc-
tion de la syntaxe empêchent l’écriture de preuves incorrectes, on étudie alors les formules
prouvablesàpartird’unensembledonnéd’axiomes(unethéorie).D’unautrecôté,lesmodèles
sontaffairederéfutation:ainsi,pourmontrerqu’uneformule An’estpasconséquenced’une
théorie, on construira un modèle de cette théorie dans lequel la formule A n’est pas satis-
faite.Cesdeuxfacesdelalogiquesontmisesendualitéparlethéorèmedecomplétude:une
formule A est dérivable dans une théorie si et seulement si elle est satisfaite dans tous les
modèles.
§1.2 Lathéoriedeladémonstration,l’étudedessystèmesdedérivation,setrouvedoncappartenir
àl’axesyntaxique.Denombreuxsystèmesdedérivationsontétédéveloppéspourleslogiques
classiqueetintuitionniste.Àpremièrevue,larèglelaplusimportanted’unsystèmededéri-
vationestlemodusponens,généraliséeenrègledecoupure,quipermet,àpartird’unepreuve
de A et d’une preuve de A⇒B, de déduire une preuve de la formule B. Cette règle semble
essentielle:c’estlarèglequipermetl’utilisationdelemmes.Cependant,l’undesrésultatsfon-
damentauxenthéoriedeladémonstration,leHauptsatz(«théorèmefondamental»)prouvé
parGentzen[Gen64],affirmequelarègledecoupureestredondante:s’ilexisteunedériva-
tiond’uneformuleB,alorsilexisteunedérivationdeBn’utilisantpaslarègledecoupure.Si
cerésultatestimportantenlui-même,ildevientréellementfondamentalaprèsladécouverte
delacorrespondancedeCurry-Howard.
LacorrespondancedeCurry-Howard
§1.3 Aumomentoùcertainsétudiaientlesaxiomatiquesdesmathématiques,Churchproposaune
axiomatiquepourlathéoriedesfonctions:leλ-calcul[Chu41].Ils’avèrequeleλ-calculper-
metdereprésentertouteslesfonctionscalculables,etprésentedoncuneapprochealternative
auxmachinesdeTuring[Tur37]pourlathéoriedelacalculabilité.Danscettethéorie,lecal-
culestreprésentéparlarègledeβ-réduction:sitreprésenteunefonctionetuunargument,
alorsl’application(t)useréduit—ouseβ-réduit—enuntermerreprésentantlerésultatdu
calculdelafonctionreprésentéepartlorsqu’onluidonnel’argumentreprésentéparleterme
u.LacorrespondancedeCurry-Howard[Cur34,How80]relielaprocédured’éliminationdes
coupures en déduction naturelle — l’un des systèmes de déduction — pour la logique intui-
tionniste et la β-réduction en λ-calcul. En d’autres termes, elle établit une correspondance
entre l’exécution d’un programme et l’élimination des détours dans les preuves. Ainsi, il est
10 1. INTRODUCTION
possibled’étudierlesprogrammesparlebiaisdessystèmesdedéduction,etparticulièrement
deleurdynamique—leurprocédured’éliminationdescoupures.
§1.4 En logiques classique et intuitionniste, l’implication A⇒B peut être comprise comme une
fonctionqui,àtoutélémentdetype A,associeunélémentdetypeB.Cetteintuitionestren-
forcée par la correspondance de Curry-Howard puisqu’un terme représentant une fonction
des entiers N dans les entiers correspondra à une preuve de la formule Nat⇒Nat (Nat re-
présenteletypedesentiersnaturels).Enétudiantlesmodèlesduλ-calcul[Gir88a],Girarda
découvertquel’implicationclassique⇒sedécomposaitnaturellementendeuxopérationsin-
dépendantes.Lapremièredecesopérations,l’exponentiation—oulapérennisation,consiste
àrendredisponibleunnombrearbitrairedecopiesde A,tandisquelaseconde,l’implication
linéaire—notée(cid:40),estl’opérationquià AassocieB,consommant Aaupassage,commeune
machine effectuant une transformation. Girard introduit donc dans les années 80 [Gir87a]
unraffinementdelalogiqueclassiquetenantcomptedecetteobservation:lalogiquelinéaire
(LL). La logique linéaire est sensible aux ressources et est donc particulièrement adaptée à
l’étude des programmes. Ainsi, une preuve de Nat(cid:40)Nat est une fonction des entiers dans
les entiers qui utilise exactement une fois son argument, c’est-à-dire une fonction linéaire.
La réutilisation des ressources étant gérée par les connecteurs exponentiels, on peut alors
modifier les règles régissant ceux-ci afin d’obtenir des logiques allégées, parmi lesquelles la
logique linéaire bornée (BLL) de Girard, Scedrov et Scott [GSS92], les logique linéaire élé-
mentaire (ELL) et light (LLL) introduites par Girard [Gir95b], ou encore la logique linéaire
«douce»(SoftLinearLogic,SLL)deLafont[Laf04].Cessystèmessontintéressantsencela
qu’ilspermettentdereprésenterdesfonctionsdontlacomplexitéestbornée.
§1.5 Avec la logique linéaire, Girard a introduit deux systèmes de déduction permettant de re-
présenter les preuves : un calcul des séquents et une sorte de déduction naturelle multi-
conclusion:lesstructuresdepreuve.Lesstructuresdepreuvesontuneparticularitéintéres-
sante par rapport aux syntaxes traditionnelles : la grammaire permettant de les construire
n’estpasassezrestrictiveetilestdoncpossibled’écriredesstructuresnecorrespondantpas
à des preuves en calcul des séquents. Certaines structures de preuves correspondent donc à
despreuveserronées.Ilfautalorscaractériserlesstructuresséquentialisables—quicorres-
pondentàunedérivationencalculdesséquents—decellesquinelesontpas.Denombreuses
caractérisations ont été obtenues depuis l’introduction de la logique linéaire sous le nom de
critères de correction. Cette particularité est le point de départ du projet de la géométrie de
l’interaction:lareconstructiondelalogiqueàpartirdespreuvesetleurdynamique—l’élimi-
nation des coupures. En effet, l’extension de la syntaxe permet d’ajouter une saveur séman-
tiqueàcelle-cidanslesensoùlesobjetssyntaxiquesajoutés—quinesontpasdespreuves
—jouentenquelquesortelerôledecontre-modèles.
Lagéométriedel’interaction
§1.6 Lagéométriedel’interaction(GdI)estaudépartunereprésentationdespreuvesdelalogique
linéairefondéesuruneétudeenprofondeurdesréseaux.Unepreuven’estplusunmorphisme
deAdansB—unefonctiondeAdansB,maisunopérateuragissantsurl’espaceA⊕B.Ainsi,
la composition, qui représente généralement le modus ponens, n’est plus de mise et l’opéra-
tion permettant d’obtenir un élément de B à partir d’un élément de A consiste à résoudre
uneéquation:l’équationderétroaction.Lagéométriedel’interactionpourraitdoncêtrecom-
prise comme une sémantique opérationnelle en cela qu’elle représente les preuves par des
opérateursagissantsurlesformules—ouleurlieux—etnonpardesimplesfonctions.
§1.7 Cependant,leprogrammedelagéométriedel’interactionestplusambitieux:onnecherche
pasuniquementàreprésenterlespreuves,maisàreconstruirelalogiqueàpartirdecelles-ci.
Ainsi,lesobjetsdelagéométriedel’interactionsontdesépreuves—ouparapreuves,c’est-à-
direunegénéralisationdespreuves.Cettegénéralisationpermetd’envisagerunereconstruc-
tiondelalogiquereposantsurl’interactionentreépreuves,offrantainsiunevisionplushomo-
gènequelatraditionnelleoppositionpreuvesetcontre-modèles.Cen’estdoncniuneséman-
tique—cartropsyntaxique,niunesyntaxe—cartropsémantique.Ils’agitd’unentredeux,