THEORIES HOMOLOGIQUES DES ALGEBRES DE HOPF

114 Pages·2012·0.67 MB·English

ACADEMIE DE MONTPELLIER
UNIVERSITE MONTPELLIER II
SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC
THESE
pr(cid:19)esent(cid:19)ee a(cid:18) l’Universit(cid:19)e Montpellier II Sciences et Techniques du Languedoc
pour obtenir le diplo^me de DOCTORAT
Sp(cid:19)ecialit(cid:19)e :
MATHEMATIQUES
Ecole doctorale :
Informations, Structures et Syst(cid:18)emes
titre :
THEORIES HOMOLOGIQUES DES
ALGEBRES DE HOPF
par
Rachel TAILLEFER
Soutenue le 20 Septembre 2001 devant le jury compos(cid:19)e de :
M. Claude CIBILS Universit(cid:19)e Montpellier II Directeur
M. Daniel GUIN Universit(cid:19)e Montpellier II Pr(cid:19)esident
M. Guy LAFFAILLE Universit(cid:19)e Montpellier II Examinateur
M. Jean-Michel OUDOM Universit(cid:19)e Montpellier II Co-directeur
M. Claude ROGER Universit(cid:19)e Claude Bernard Lyon I Examinateur
M. Marc ROSSO ENS Ulm Rapporteur
RAPPORTEURS
M. Murray GERSTENHABER University of Pennsylvania
M. Marc ROSSO ENS Ulm
Mme. Andrea SOLOTAR Universidad de Buenos Aires

I have a kind soul that would give you thanks,
And knows not how to do it but with tears.
Shakespeare, King John, V7.
Je pro(cid:12)te de cette page pour tenter d’exprimer un fragment de ma reconnaissance
envers les personnes qui ont contribu(cid:19)e a(cid:18) l’existence et au bon d(cid:19)eroulement de ma th(cid:18)ese.
Je remercie chaleureusement Claude Cibils d’avoir accept(cid:19)e de diriger ma th(cid:18)ese; il
m’a pos(cid:19)e des probl(cid:18)emesint(cid:19)eressants et a su me faire pro(cid:12)ter de sa culture math(cid:19)ematique.
Il m’a soutenue dans les moments di(cid:14)ciles et m’a encourag(cid:19)ee a(cid:18) rechercher des horizons
nouveaux.
Jean-Michel Oudom a accept(cid:19)e d’encadrer ma th(cid:18)ese. Sa comp(cid:19)etence, sa vision des
math(cid:19)ematiques et sa disponibilit(cid:19)e m’ont (cid:19)et(cid:19)e pr(cid:19)ecieuses. J’ai grand plaisir a(cid:18) l’en remer-
cier, ainsi que pour sa gentillesse, ses encouragements et sa compr(cid:19)ehension.
Je suis tr(cid:18)es reconnaissante envers Murray Gerstenhaber, qui a rapport(cid:19)e ma th(cid:18)ese
dans des conditions di(cid:14)ciles.
Je remercie vivement Marc Rosso; ses conseils, sa vigilance et l’int(cid:19)er^et avec lequel il
a rapport(cid:19)e ma th(cid:18)ese ont am(cid:19)elior(cid:19)e la qualit(cid:19)e de mon travail; sans lui, ma th(cid:18)ese ne serait
pas ce qu’elle est aujourd’hui. Je le remercie (cid:19)egalement d’avoir particip(cid:19)e a(cid:18) mon jury.
Je dois beaucoup a(cid:18) Andrea Solotar, qui m’a accueillie lors d’un s(cid:19)ejour en Argentine,
avec qui j’ai eu le plaisir de discuter et de travailler et qui a accept(cid:19)e de rapporter ma
th(cid:18)ese dans des d(cid:19)elais assez brefs.
Daniel Guin et Guy La(cid:11)aille m’ont fait l’honneur d’^etre dans mon jury. Ils ont eu
une grande in(cid:13)uence sur moi, en me donnant gou^t a(cid:18) l’alg(cid:18)ebre, en m’encourageant a(cid:18)
faire de la recherche. Je leur suis aussi tr(cid:18)es reconnaissante pour leur soutien dans mes
p(cid:19)eriodes de d(cid:19)ecouragement et pour l’int(cid:19)er^et qu’ils m’ont toujours port(cid:19)e. J’ai (cid:19)egalement
(cid:19)et(cid:19)e tr(cid:18)es sensible a(cid:18) l’amiti(cid:19)e avec laquelle Daniel Guin a pr(cid:19)esid(cid:19)e mon jury.
Je remercie tr(cid:18)es sinc(cid:18)erement Claude Roger qui a accept(cid:19)e de participer a(cid:18) mon jury.
Je remercie toutes les personnes qui par leur amiti(cid:19)e ont rendu mon stage a(cid:18) Bah(cid:19)(cid:16)a
Blanca si agr(cid:19)eable, Mar(cid:19)(cid:16)a Julia Redondo, Elsa Ferna(cid:19)ndez, Andrea Gatica et Olga Funes
en particulier.
Je ne saurais assez remercier El(cid:19)(cid:16)sabet Gunnlaugsdo(cid:19)ttir et Aline Aigon-Dupuy pour
leur amiti(cid:19)e. Elles ont (cid:19)egalement partag(cid:19)e avec moi les doutes et les incertitudes des
th(cid:19)esardes. Malgr(cid:19)e sa soutenance proche, El(cid:19)(cid:16)sabet m’a accueillie de nombreuses fois au
sein de sa famille { j’en pro(cid:12)te pour remercier Pierre Mounoud de m’avoir support(cid:19)ee
avec le sourire {, pour tenter (avec succ(cid:18)es) de me remonter le moral. Elle m’a aussi (cid:19)et(cid:19)e
de pr(cid:19)ecieux conseil pour la soutenance. Aline, bien que pr(cid:19)eoccup(cid:19)ee par sa propre th(cid:18)ese,
a toujours trouv(cid:19)e le temps de m’(cid:19)ecouter, de me distraire ou de m’emmener prendre une
glace... Merci encore, ce qu’elles m’ont o(cid:11)ert ne se r(cid:19)esume pas en un paragraphe.
Merci a(cid:18) tous les th(cid:19)esards du d(cid:19)epartement de Math(cid:19)ematiques, en particulier H(cid:19)el(cid:18)ene
Davaux, Claudia Strametz, S(cid:19)ebastien Soucaze, Philippe Monnier, Vincent Deconchy,
ThierryChampion,St(cid:19)ephaneSabourau, St(cid:19)ephaneGaussent, Andr(cid:19)eDiatta,PhilippeMal-
bos et Guillaume Puigt, pour leurs sourires, leurs rires, leur humour, leurs discussions,
math(cid:19)ematiquesouautres,pourleurpr(cid:19)esencem^eme.Mercia(cid:18)Franc(cid:24)oisDupuyeta(cid:18)JensG.
Jensen. Merci aux membres du laboratoire G.T.A. qui par leur bonne humeur cr(cid:19)eent une
ambiancede travailagr(cid:19)eable.Merci aux secr(cid:19)etairesdu d(cid:19)epartementpour leur amabilit(cid:19)eet
leur comp(cid:19)etence, en particulier Bernadette Lacan, Pierrette Arnaud et Marie-Christine
Dolidier.
Je ne puis exprimer mes sentiments pour ma soeur Fr(cid:19)ed(cid:19)erique et pour Cyril, pour
mon p(cid:18)ere Dominique et pour Martine, qui ont (cid:19)et(cid:19)e d’un soutien permanent au cours de
ces ann(cid:19)ees, ainsi que pour ma m(cid:18)ere Helen qui a toujours eu une con(cid:12)ance illimit(cid:19)ee en
mes capacit(cid:19)es. Merci.
Table des mati(cid:18)eres
Introduction vii
Introduction (English) xi
Abridged English version 1
0.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.1 Hopf bimodules over a Hopf algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.2 Hochschild and Cartier (co)homologies . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Gerstenhaber and Schack’s cohomology theories . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2.1 Cohomology of Hopf bimodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2.2 Link with extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2.3 Cohomology of a Hopf algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2.4 Morita invariance of H(cid:3) (M;N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
GS
0.3 Hopf bimodule cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3.1 De(cid:12)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3.2 Link with extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.4 Cup-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.4.1 Cup-product on the Hopf bimodule cohomology . . . . . . . . . . 9
0.4.2 Cup-product and Yoneda product . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.5 Cyclic homology of Hopf algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.5.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.5.2 Cyclic homology of a group algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.5.3 Decomposition of the cyclic homology of a Hopf algebra . . . . . . 13
0.6 Examples of computations of various homologies . . . . . . . . . . . . . . 14
0.6.1 Truncated quiver algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.6.2 Cyclic homology of graded algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.6.3 Connes and Moscovici homology of some truncated algebras . . . 16
0.6.4 Hochschild and cyclic homology of the Auslander algebras (cid:0) of
(cid:3)n
the Taft algebras (cid:3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
n
0.6.5 Chern characters of (cid:3) and (cid:0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
n (cid:3)n
v
vi TABLE DES MATIE(cid:18)RES
1 G(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)es 23
1.1 Alg(cid:18)ebres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Modules et comodules; bimodules de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.1 Produit tensoriel de bimodules de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.2 Bimodules de Hopf relativement projectifs, injectifs . . . . . . . . 29
1.2.3 L’alg(cid:18)ebre X; interpr(cid:19)etation des bimodules de Hopf comme modules 33
1.3 (Co)homologies de Hochschild et de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.1 (Co)homologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.2 Cohomologie de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Th(cid:19)eories cohomologiques de Gerstenhaber et Schack 39
2.1 Cohomologie de bimodules de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Lien avec les extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Cohomologie d’une alg(cid:18)ebre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Invariance Morita de H(cid:3) (M;N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
GS
3 Cohomologie des bimodules de Hopf 47
3.1 D(cid:19)e(cid:12)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Lien avec les extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Cup-produit 57
4.1 Cup-produit sur la cohomologie des bimodules de Hopf . . . . . . . . . . 58
4.2 Cup-produit et produit de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Homologie cyclique des alg(cid:18)ebres de Hopf 65
5.1 G(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Homologie cyclique d’une alg(cid:18)ebre de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.1 Cas des caract(cid:18)eres triviaux; d(cid:19)ecompositions . . . . . . . . . . . . 71
5.2.2 Cas de caract(cid:18)eres non-triviaux lorsque G est un groupe cyclique . 74
5.3 D(cid:19)ecomposition de l’homologie cyclique d’une
alg(cid:18)ebre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Exemples de calculs de diverses homologies 79
6.1 Alg(cid:18)ebres de carquois tronqu(cid:19)ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.1 Une r(cid:19)esolution gradu(cid:19)ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.2 Homologie de Hochschild a(cid:18) coe(cid:14)cients dans l’alg(cid:18)ebre . . . . . . . 80
6.1.3 Homologie de Hochschild a(cid:18) coe(cid:14)cients dans k . . . . . . . . . . 82
(cid:12) (cid:11)
6.1.4 Homologie cyclique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.5 Homologie cyclique de Connes et Moscovici . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Alg(cid:18)ebres d’Auslander (cid:0) des alg(cid:18)ebres de Taft (cid:3) . . . . . . . . . . . . . 86
(cid:3)n n
6.2.1 Le carquois de l’alg(cid:18)ebre d’Auslander . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 R(cid:19)esolutions projectives de (cid:0) (cid:0)modules simples . . . . . . . . . . 88
(cid:3)n
6.2.3 Homologie de Hochschild et homologie cyclique de (cid:0) . . . . . . . 91
(cid:3)n
TABLE DES MATIE(cid:18)RES vii
6.3 Caract(cid:18)eres de Chern de (cid:3) et (cid:0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
n (cid:3)n
viii
Introduction
Cette th(cid:18)ese est consacr(cid:19)ee a(cid:18) l’(cid:19)etude des th(cid:19)eories homologiques et cohomologiques
d’alg(cid:18)ebres associatives et d’alg(cid:18)ebres de Hopf. Dans le premier chapitre (Chapitre 1),
nous rappelons quelques d(cid:19)e(cid:12)nitions et propri(cid:19)et(cid:19)es des alg(cid:18)ebres de Hopf et des bimodules
de Hopf, ainsi que des r(cid:19)esolutions bar et cobar en relation avec les bimodules de Hopf.
Ce travail est constitu(cid:19)e de trois parties.
Dans la premi(cid:18)ere partie (Chapitres 2 a(cid:18) 4), nous uni(cid:12)ons diverses th(cid:19)eories cohomolo-
giques pour des alg(cid:18)ebres de Hopf de dimension (cid:12)nie, au moyen d’un foncteur Ext: Nous
(cid:19)etudions ensuite ces cohomologies a(cid:18)l’aide de cette uni(cid:12)cation, notamment en d(cid:19)e(cid:12)nissant
un cup-produit, que nous identi(cid:12)ons au produit de Yoneda.
Deux des cohomologies que nous avons consid(cid:19)er(cid:19)ees sont dues a(cid:18) M. Gerstenhaber et
S.D. Schack. La premi(cid:18)ere, d(cid:19)e(cid:12)nie dans [GS90], est une th(cid:19)eorie a(cid:18) coe(cid:14)cients, que nous
notons H(cid:3) (M;N); pour des bimodules de Hopf M et N sur une alg(cid:18)ebre de Hopf A:
GS
Elle a (cid:19)et(cid:19)e utilis(cid:19)ee par P. Etingof et S. Gelaki (cf. [EG]) pour (cid:19)etudier des alg(cid:18)ebres de
Hopf de dimension (cid:12)nie, semisimples et cosemisimples, sur un corps de caract(cid:19)eristique
positive.
M. Gerstenhaber et S.D. Schack ont introduit une deuxi(cid:18)eme th(cid:19)eorie dans [GS92],
qu’ils notent H(cid:3)(A;A); dans le but d’(cid:19)etudier les d(cid:19)eformations de l’alg(cid:18)ebre de Hopf
b
A (comme la cohomologie de Hochschild est un outil pour l’(cid:19)etude des d(cid:19)eformations
d’alg(cid:18)ebres). Ceci est dans la lign(cid:19)ee de leurs autres travaux sur les d(cid:19)eformations de struc-
tures en g(cid:19)en(cid:19)eral, et d’alg(cid:18)ebres en particulier. De nombreuses structures alg(cid:19)ebriques ou
g(cid:19)eom(cid:19)etriquespeuvent^etred(cid:19)eform(cid:19)ees,eta(cid:18)chaquetypedestructureetded(cid:19)eformation,on
peutassocieruneth(cid:19)eoriecohomologique,defac(cid:24)ona(cid:18)(cid:19)etudieretcontro^lercesd(cid:19)eformations.
Dans le cas des alg(cid:18)ebres associatives, la cohomologie qui appara^(cid:16)t est la cohomologie de
Hochschild, pour les alg(cid:18)ebres de Lie, il s’agit de la cohomologie de Chevalley-Eilenberg,
pour les alg(cid:18)ebres commutatives, de la cohomologie de Harrison. D’autres structures ont
(cid:19)et(cid:19)e(cid:19)etudi(cid:19)ees, voir par exemple [GS88], [Ko]. M. Gerstenhaber et A. Giaquinto (cf. [GG])
ont (cid:19)etudi(cid:19)e des d(cid:19)eformations compatibles. Ils ont prouv(cid:19)e en particulier que la conjec-
ture de Donald-Flanigan est fausse pour le groupe des quaternions Q; c’est-a(cid:18)-dire que
l’alg(cid:18)ebre kQ; ou(cid:18) k est un corps dont la caract(cid:19)eristique divise l’ordre de Q; n’admet pas
de d(cid:19)eformation s(cid:19)eparable. L’(cid:19)etude de d(cid:19)eformations particuli(cid:18)eres d’alg(cid:18)ebres de Hopf (il
s’agit de d(cid:19)eformations pour lesquelles la multiplication ou la comultiplication est in-
chang(cid:19)ee) a aussi permis a(cid:18) A. Giaquinto, dans sa th(cid:18)ese ([Gi]), d’interpr(cid:19)eter la big(cid:18)ebre des
ix
matrices quantique M (2) et le plan quantique k2 comme des d(cid:19)eformations de la big(cid:18)ebre
q q
des matrices et du plan classiques. L’approche de M. Gerstenhaber et S.D. Schack de
l’(cid:19)etude des d(cid:19)eformations est a(cid:18) mettre en relation avec la th(cid:19)eorie de l’(cid:19)el(cid:19)ement de carr(cid:19)e nul
de P. Lecomte (voir par exemple [Rg]), qui uni(cid:12)e l’(cid:19)etude des d(cid:19)eformations de structures,
gra^ce a(cid:18) des alg(cid:18)ebres de Lie di(cid:11)(cid:19)erentielles gradu(cid:19)ees et leur cohomologie. Cette th(cid:19)eorie a
(cid:19)et(cid:19)e utilis(cid:19)ee par D. Balavoine (voir [Ba]), qui a mis en place une th(cid:19)eorie uni(cid:12)catrice, au
moyen d’alg(cid:18)ebres sur des op(cid:19)erades, qui permet de consid(cid:19)erer en particulier les cas des
alg(cid:18)ebres commutatives et des alg(cid:18)ebres de Leibniz.
En(cid:12)n, C. Ospel a d(cid:19)e(cid:12)ni dans sa th(cid:18)ese ([Os]) une autre th(cid:19)eorie cohomologique, not(cid:19)ee
ici H(cid:3) (M;A); faisant intervenir un bimodule de Hopf N, a(cid:12)n de traduire la construc-
A4
tion des groupes quantiques inhomog(cid:18)enes de P. Podle(cid:19)s et S.L. Woronowicz en termes
d’alg(cid:18)ebres de Hopf et de bimodules de Hopf.
Ces trois th(cid:19)eories sont d(cid:19)e(cid:12)nies a(cid:18) partir de bicomplexes, qui font intervenir des
r(cid:19)esolutions bar et cobar di(cid:11)(cid:19)erentes.
Pour les uni(cid:12)er, nous avons consid(cid:19)er(cid:19)e le foncteur Ext dans la cat(cid:19)egorie des modules
sur une alg(cid:18)ebre associative X introduite par C. Cibils et M. Rosso dans [CR98] lorsque
l’alg(cid:18)ebre de Hopf A est de dimension (cid:12)nie. Cette alg(cid:18)ebre associative est une \alg(cid:18)ebre
enveloppante" de l’alg(cid:18)ebre de Hopf A; elle permet de consid(cid:19)erer les bimodules de Hopf
comme des modules :
Th(cid:19)eor(cid:18)eme ([CR98]; voir Th(cid:19)eor(cid:18)eme 1.30) Soit A une alg(cid:18)ebre de Hopf de dimension
(cid:12)nie. On consid(cid:18)ere l’alg(cid:18)ebre associative X d(cid:19)e(cid:12)nie de la fac(cid:24)on suivante : elle est (cid:19)egale (cid:18)a
(A(cid:3)op (cid:10) A(cid:3))(cid:10)(cid:21)(A (cid:10) Aop); le produit sur les deux premiers et les deux derniers facteurs se
faisant composante (cid:18)a composante, et le produit sur les autres facteurs (cid:19)etant d(cid:19)ecrit dans la
formule (1.31) p33. Alors il existe une (cid:19)equivalence de cat(cid:19)egories, pr(cid:19)eservant le k(cid:0)espace
vectoriel sous-jacent, entre la cat(cid:19)egorie des bimodules de Hopf sur A et la cat(cid:19)egorie des
modules (cid:18)a gauche sur X:
En utilisant des r(cid:19)esolutions particuli(cid:18)eres de bimodules de Hopf et les propri(cid:19)et(cid:19)es des
foncteurs Ext; nous montrons :
Th(cid:19)eor(cid:18)eme (voir Th(cid:19)eor(cid:18)emes 2.13, 2.3 et 3.6)
(1) Soit A une alg(cid:18)ebre de Hopf quelconque. La cohomologie H(cid:3) g(cid:19)en(cid:19)eralise H(cid:3) :
GS b
H(cid:3) (A;A) (cid:24)= H(cid:3)(A;A):
GS b
(2) Soit A une alg(cid:18)ebre de Hopf de dimension (cid:12)nie. Les cohomologies (cid:18)a coe(cid:14)cients sont
isomorphes :
H(cid:3) (M;N) (cid:24)= Ext(cid:3) (M;N)
GS X
H(cid:3) (M;A) (cid:24)= Ext(cid:3) (M;A):
A4 X
Notre interpr(cid:19)etation en termes d’extensions de bimodules de Hopf nous permet, par
exemple, de donner d’autres d(cid:19)e(cid:12)nitions de cette th(cid:19)eorie uni(cid:12)(cid:19)ee (voir Remarque 2.7),
x