Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1768
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 1) 781.1 :519.24
2) 519-2 :007 :78.01
Dr. phil. Walter Reckziegel
Theorien zur Formalanalyse mehrstimmiger Musik
Roland Mix
Die Entropieabnahme bei Abhängigkeit zwischen
mehreren simultanen Informationsquellen und bei
Übergang zu Markoff-Ketten höherer Ordnung,
untersucht an musikalischen Beispielen
I. Physikalisches Institut der Rhein.-WestJ. Techn. Hochschule Aachen
Direktor: Prof. DrAng. Wilhelm Fucks
WESTDEUTSCHER VERLAG KÖLN UND OPLADEN 1967
ISBN 978-3-663-{)6420-6 ISBN 978-3-663-07333-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07333-8
Verlags-Nr.011768
© 1967 by Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen
Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag
Dr. phil. Walter Reckziegel
I. Plrysikalisches Institut der Rhein.-Westf. Techn. Hochschule Aachen
Direktor: Prof. Dr.-lng. Wilhelm Fucks
Theorien zur Formalanalyse mehrstimmiger Musik
Inhalt
Einleitung ........................................................ 9
1. Symbole und Zeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Der musikalische Raum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12
1.2 Die musikalische Zeit.. . ..... .... . .... . ... .. .... . ... . . .... . ... 13
1.3 Die musikalische Intensität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
2. Tonmaterial und Ambitus 16
3. Bewegung und Rhythmus 18
3.1 Die rhythmische Ordnung .................................... 18
3.2 Die metrische Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19
3.3 Bestimmung der Metrischen Einheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
4. Intensität und Dichte ............................................ 25
5. Zusammenklang und Struktur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
5.1 Berechnung der Strukturen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
5.2 Wertung der Strukturen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31
5.3 Die Komplexität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
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Einleitung
Der vorliegende Bericht stützt sich auf die Arbeiten von WILHELM PUCKS und
baut auf den Methoden und Ergebnissen des genannten Autors auf. Die Kenntnis
der im Verzeichnis angeführten Literatur darf vorausgesetzt werden. Die im Text
erwähnten statistischen Begriffe (Mittelwert, Streuung etc.) wurden von FUCKS
zur Untersuchung musikalischer Elemente benutzt. Er stellte eine Reihe von
Analysen an, indem er zunächst die relative Häufigkeit der Tonhöhen einstimmiger
Melodien (Violin- und Flötenstimmen, Gesangs-Oberstimmen aus klassischen
Werken von etwa 1500 bis heute) berechnete. Es wurde gezeigt, daß die Streuung
und die Entropie der Zahlenwerte unabhängig voneinander proportional zur
Entstehungszeit der Musik monoton ansteigen. Sodann wurden Intervalle
zwischen je zwei benachbarten Tönen gebildet und ebenfalls deren Häufigkeit
ausgezählt. Da hier die Streuung wegen der qualitativen Gleichheit oktavversetzter
Töne als Hilfsmittel unbrauchbar ist, wurde die Kyrtosis der Zahlenwerte be
rechnet. Trägt man die erhaltenen Werte wieder als Punktion der Zeit auf, so
erfolgt nur zum Teil ein monotoner Anstieg; eine Gruppe von Zwölftonkompo
sitionen dagegen sinkt auffallend tief, sogar noch unter die Werte der Barockzeit
und der franko-flämischen Periode, ab.
Die sog. Tonhöhenübergangsmatrix in den erwähnten Arbeiten gibt ein anschau
liches Bild davon, welche Töne jeweils aufeinander folgen. Vergrößert man den
Abstand zwischen den benachbarten Elementen schrittweise um 1, so kann für
jeden Abstand q eine weitere Matrix aufgestellt werden. Die Übergangsmatrizen
q-ter Ordnung lassen sich durch Korrelationsellipsen ersetzen, die zwischen den
Grenzfällen »Parallele Geraden« und »Kreis« alle möglichen Formen annehmen
können. Dasselbe Verfahren läßt sich auch auf Intervallpaare anwenden.
Außerdem wurde untersucht, wie viele Intervalle gleicher Art aufeinander folgen
(sog. Gruppenlängenmatrix), und welche simultanen Intervalle zwischen zwei
Violinstimmen entstehen. Das Ergebnis war in den angeführten Beispielen eine
bevorzugte Verwendung kleiner Intervalle - zum Teil gehäuft - bei BACH und
BEETHOVEN, und eine fast zufällig anmutende Vielfalt bei SCHÖNBERG und
WEBERN.
Von W. PUCKS und J. LAUTER wurden schließlich Korrelogramme gebildet,
indem die Autokorrelation der Tonhöhen und Intervalle für verschiedene Ab
+
stände k berechnet wurde. Die Werte liegen zwischen 1 und -1 und werden
als Funktion von k aufgetragen; positive Werte bedeuten eine »Bindung« der
Elemente, negative einen Gegensatz, die Annäherung an die Nullachse Indifferenz
bzw. Zufallszahlen.
Die Anwendung der erprobten Methoden auf andere musikalische Parameter stieß
indes auf Schwierigkeiten, teils weil das Zahlenmaterial zu umfangreich wurde,
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teils weil die Musiktheorie keine geeigneten Handhaben für quantitative Unter
suchungen bot. Es war daher notwendig, eine Klärung der elementaren musik
theoretischen Voraussetzungen herbeizuführen. Einige der Ergebnisse werden
hier vorgelegt, so die Neuordnung der Klangstrukturen und die Definition der
Metrischen Einheit. Die Anwendung der exakt-wissenschaftlichen Analyse auf
eine größere Anzahl musikalischer Beispiele soll in kurzem erfolgen.
Der Verfasser ist Herrn Professor Dr.-Ing. W. FucKs, dem Direktor des 1. Phy
sikalischen Instituts der Technischen Hochschule Aachen, zu großem Dank für
seine großzügige Unterstützung der Arbeit verpflichtet. Desgleichen gebührt allen
Kollegen, die mit Rat und Tat zur Fertigstellung beitrugen, aufrichtiger Dank,
insbesondere den Herren Dr. J. LAUTER, N. MALMENDIER, R. MIX, H. WEISS
und D. WICKMANN.
Aachen, im Februar 1966
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1. Symbole und Zeichen
In der Entwicklung der Sprache oder der Musik eines Volkes gibt es einen ent
scheidenden Zeitpunkt: wenn das Bedürfnis nach Fixierung so stark wird, daß
eine Schrift entsteht. Erst von da an kann eine sinnvolle Forschung einsetzen,
wenn man unter Forschung die Anwendung objektiver und wissenschaftlich
nachprüfbarer Methoden versteht. Der Streit, ob das Wesen der Sprache oder der
Musik im akustisch wahrnehmbaren Ablauf oder in der optisch wahrnehmbaren
Aufzeichnung zum Ausdruck komme, ist müßig, wenn man bedenkt, daß beide
Erscheinungsweisen nur Teilaspekte eines im menschlichen Gehirn erregten
Denkprozesses sind. Ob die Notenschrift eine minderwertige Reduzierung der
erklingenden Musik oder die musikalische Aufführung eine behelfsmäßige Reali
sierung des codifizierten Opus sei, ist keine ernsthafte Alternative; vielmehr ist
bei des ein Wechselvorgang, ein Circulus, der nur durch einen geistigen Akt immer
wieder neu entsteht.
Fest steht, daß sich die Wissenschaft seit jeher des Hilfsmittels der Abstraktion
bedient, welche darin besteht, daß gleiche oder ähnliche Erscheinungen durch
gleiche Symbole und Zeichen definiert und festgehalten werden. Erst durch
Abstraktion wird es möglich, wesentliche Zusammenhänge zu erkennen und all
gemeingültig zu formulieren. Es ist kein Zufall, daß gerade heute, und zwar in
dem Augenblick, wo ein getreues Festhalten und Wiedergeben akustischer
Phänomene durch Tonträger möglich geworden ist, das Interesse am Analysieren
geschriebener Schrift- und Notenzeichen stark angewachsen ist.
Der Vorteil der geschriebenen Vorlage ist ihre Einmaligkeit und Unveränderlich
keit, im Hinblick auf die Originalfassung auch ihre Originalität. Als Nachteil wird
oft angeführt, daß der Autor eine von der Notenvorlage abweichende Realisierung
im Sinn hatte, oder daß der Mensch des 20. Jahrhunderts das Notenbild etwa des
16. Jahrhunderts nicht wie eine Partitur des 20. Jahrhunderts interpretieren dürfe.
Der Vorwurf ist berechtigt für die Aufführungspraxis, nicht aber für die Formal
analyse. Der objektive Analytiker will nicht interpretieren, sondern Tatsachen fest
stellen. Die gesuchten Tatsachen sind in diesem Fall die aufgezeichneten Symbole
und nicht mehr.
Für die Naturwissenschaften ist es eine Selbstverständlichkeit, daß nur in gleich
förmigen Maßeinheiten gemessen werden kann und daß eine Größe nicht gleich
zeitig verschiedene Werte annehmen kann. Die exakte Bestimmung von Maß
einheiten, sei es per comparationem oder per definitionem, ist die Voraussetzung
für jede objektive Aussage, auch wenn das subjektive Empfinden mitunter zu
anderen Ergebnissen kommt. Eine Stunde ist objektiv immer eine gleichlange
Zeitdauer, sie mag dem einzelnen Menschen länger oder kürzer erscheinen.
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Ebenso notwendig ist die gleichförmige Bedeutung der Zeichen für die Analyse.
Symbole können absolut oder relativ sein, d. h. sie können entweder globale
oder lokale Bedeutung haben. Mit relativen Symbolen erzielt man keine gültige
Aussage, wenn nicht vorher ein absoluter Bezugspunkt bestimmt und beibehalten
wird.
Die Buchstaben der Schrift sind absolute Symbole, wenn man sie isoliert betrach
tet; als Bestandteile von Worten nehmen sie zusätzlich relativen Charakter an, von
dem ihre jeweilige Bedeutung herrührt. Worte sind ebenfalls absolute Symbole;
als Bestandteile der Sprache jedoch werden sie zusätzlich zu Trägern relativer
Sinngehalte. Will man also vergleichbare Ergebnisse erreichen, muß der akzes
sorische Sinngehalt von dem formalen Symbol getrennt werden: entweder man
Hechnet« mit den isolierten Symbolen ohne Rücksicht auf deren Bedeutung - oder
man »rechnet« mit bloßen Sinngehalten ohne Rücksicht auf deren formale Reali
sierung. Beides bedeutet eine zulässige Abstraktion.
1.1 Der musikalische Raum
Wie verhält sich nun das musikalische Baumaterial ? Ein absolutes Klangsymbol
müßte nach Tonhöhe (Grundfrequenz), Klangfarbe (Frequenzspektrum), Dauer
(Realzeit) und Lautstärke (Phon) bestimmbar sein. Solche Parameter können aber
nur bei rein maschineller Klangerzeugung verwendet bzw. unmittelbar abgelesen
werden, z. B. bei elektronischer Musik. Die traditionelle Notenschrift ist mehr oder
weniger eine Griffaufzeichnung in der Sicht des jeweiligen Instruments. Die all
gemein verbreitete heutige Notenschrift basiert hauptsächlich auf der Grifft echnik
des Klaviers, d. h. sie symbolisiert Tasten durch Punkte und den ungefähren
Zeitpunkt des Niederdrückens bzw. Aufhebens der Finger durch relative Noten
werte.
Das ist nicht immer so gewesen. Die Neumenschrift z. B. war ein relatives Ton
höhensystem. Das einzelne Neuma ist unleserlich, wenn es nicht im Zusammen
hang betrachtet wird. Ist die Relation unterbrochen oder unklar, so ist die gesamte
folgende Aufzeichnung unklar oder unleserlich.
Der »Punkt« als Zeichen für einen Ton ist an sich nur ein einziges absolutes
Symbol. Erst die räumliche Anordnung von Punkten in ein Notensystem liefert
alle erforderlichen Symbole, unter der Voraussetzung, daß ein absoluter Bezug
gegeben wird. Ein solcher Bezugspunkt wäre z. B. ein Kammerton mit einer
gleichbleib enden Grundfrequenz. Nun gibt es zwar seit rd. 100 Jahren eine Ver
einbarung über den Kammerton a' mit der Schwingungszahl 435 Hz, aber die
Praxis zeigt, daß es eine einheitliche Tonhöhe auch heute nicht gibt und natürlich
viel weniger vor dieser Vereinbarung gegeben hat. Daher wird man zweck
mäßigerweise die Frequenz als Bezugsgröße vermeiden und das Notensystem als
in sich geschlossen, die Notennamen als absolut betrachten.
Das hat einige Konsequenzen für die Codierung: wir benutzen an Stelle der Ton
namen eine Folge von positiven ganzen Zahlen, wobei der Ausgangspunkt
immer gleichbleibt (z. B. das Subcontra-C als Skalenwert »eins«). Das Verfahren
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impliziert stillschweigend einige Abstraktionen, die keineswegs selbstverständlich
sind, hauptsächlich folgende:
1. Es wird angenommen, daß jeder musikalische Ton eine bestimmte feststellbare
Lage im Raum (»Tonhöhe«) hat, der ein Symbol, eben der betreffende Ton
name bzw. sein Zahlenäquivalent, eindeutig zugeordnet werden kann.
2. Es wird angenommen, daß· jeder Halbton gleichwertig und von den benach
barten Halbtönen gleichweit entfernt ist.
3. Es wird angenommen, daß die lose Aneinanderreihung von Einzelnoten für
die Darstellung einer musikalischen Linie, auch über Pausen hinweg, ausreicht.
Der dritte Punkt, zweifellos die schwerwiegendste Abstraktion, ist für uns vor
läufig ohne Belang. Wir müssen zwangsläufig vom musikalischen Zusammenhang
absehen, denn als Bestandteil einer Melodie oder eines Zusammenklanges hat jeder
Ton wechselnde, nicht notwendig eindeutige Bedeutung, die von der jeweiligen
Musiktheorie, d. h. der musikästhetischen Vorstellungswelt des Ausführenden
abhängt. Der ästhetische Bereich kann aus der Formalstruktur nicht abgeleitet
und nicht übersetzt werden, er ist daher bei Formalanalysen auszuklammern [11].
Die angeführten Abstraktionen sind in der Notenschrift selbst begründet und seit
der Einführung der Gleichtemperierung auch praktisch belegt und bewährt. Es
besteht kein Grund, warum unsere Untersuchung sich ihrer nicht bedienen sollte.
Wir sind uns freilich klar darüber, daß die Tonhöhe nur einen Teilaspekt des
Klanges erfaßt; einen Teilaspekt zwar, der bis zum Ende des 19. Jahrhunderts als
völlig ausreichend angesehen wurde, der aber heute durch die Mittel maschineller
Klangerzeugung fast nebensächlich geworden ist. Wir beschränken uns daher auf
jene Musik, die mit dem herkömmlichen Instrumentarium ausführbar ist, da Ver
gleiche mit elektronischer Musik wegen der Unvergleichbarkeit der Parameter
wenig sinnvoll erscheinen.
Der traditionelle Klangfarbenbereich läßt sich schlecht präzisieren und ist im
wesentlichen durch die Wahl des Instruments vorgegeben. Die Musiktheorie pflegt
sich mit der Einteilung in Instrumente mit bestimmter bzw. unbestimmter Ton
höhe zu begnügen und überläßt die Beschreibung der Klangfarbe der Ästhetik.
Aber auch die Komponisten selbst betrachteten die Instrumentierung meist als
Nebensache. Diese Einstellung änderte sich erst in der Romantik, und die Kunst
des »farbigen« Instrumentierens erhielt durch die Impressionisten, durch SCHÖN
BERG und WEBERN neue Impulse.
1.2 Die musikalische Zeit
Ähnliche Probleme wie die Einteilung des musikalischen Raumes wirft die Frage
nach der musikalischen Zeit auf. Die ersten historisch überlieferten Zeitangaben
sind relativ: neben den Tonhöhenschlüssel tritt die »Proportion«, der Mensur
schlüssel. Bedingung hierfür sind unterscheidbare Notenwerte, der »Punkt« in
abgewandelter Gestalt: eckig und rund, schwarz und weiß (gefüllt und ausgehöhlt),
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