Theorie und Berechnung der statisch unbestimmten Tragwerke: Elementares Lehrbuch

222 Pages·1921·13.289 MB·German

by  H. Buchholz (auth.)

Theorie und Berechnung
der statisch unbestimmten
Tragwerke
Elementares Lehrbuch
von
H. Buchholz
Berlin
Verlag von Julius Springer
1921
ISBN 978-3-642-98764-9 ISBN 978-3-642-99579-8 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-642-99579-8
Aile Rechte, insbesondere das der tibersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1921 by Julius Springer in Berlin.
Softcover reprint of the hardcover I st edition 1921
Geleitwort.
Auf Schritt und Tritt begegnen dem jungen Konstrukteur und
Statiker Tragwerke aus jener Gruppe von Karpersystemen, die man
als die statisch unbestimmten bezeichnet, und die sich dem entziickten
Auge des Gliicklichen, den seine Berufstatigkeit noch mit Idealen erfiillt,
oft in iiberaus elegant en Gebilden darbieten. Del' eigenartige Reiz diesel'
Konstruktionen lOst den Wunsch aus, so ~twas selbst verantwortlich
bauen zu kannen, seinen Namen unter die dazu geharigen statischen
Berechnungen setzen zu diirfen. Auch del' Aufstieg in eine hahere
Leistungsklasse lockt.
Mit Bedauern hat del' Verfasser abel' beobachtet, wie es den meisten
unmaglich wurde, diesen ihren Wunsch zur Erfiillung zu bringen. Die
zaheste Beharrlichkeit reichte selten aus, die dieses Gebiet mi t ent
haltenden dickleibigen odeI' mehrbandigen Werke, die noch dazu meist
umfangreiche Vorkenntnisse verlangen, in den wenigen geeigneten MuBe
stunden, die die anstrengende Berufsarbeit yom Tage iibrig laBt, durch
zuarbeiten. Diese Werke geben das im vorliegenden Buche ausschlieB
lich Behandelte nul' als Teilgebiet, mit dem iibrigen in scheinbar
unentwirrbarer Verstrickung, del' nul' durch Gesamtstudium des Werkes
nach Vorstudium gewisser haherer Disziplinen beizukommen ware.
So kommt es dann wohl zur Anschaffung diesel' Bande, abel' nicht zu
ihrer Durchdringung. MiBmutige Resignation oft wertvoller Krafte
und ihre Umwandlung aus Idealisten ihres Berufes in Nurgehaltverdiener
ist die Folge.
Del' Verfasser wiirde sich gliicklich schatzen, wenn ihm die Durch
fiihrung seiner Absicht gelungen ware, ein Buch zu schaffen, das nicht
nur gekauft, sondern auch yom Vielbeschaftigten in jedem einzelnen
FaIle restlos bewaltigt wiirde. Dber diesen letzten Punkt hat del' Ver
fasser allerdings eine strenge Auffassung: Es ware ihm nicht erwiinscht,
wenn sein Buch, ohne vorher verstanden zu sein, als Formelbuch odeI'
Schemasammlung Verwendung finden kannte. Es wiirde sich dazu
ohne vorhergegangene vollstandige Durcharbeitung auch wohl nicht
eignen, denn alles - auch die gewahlten Konstruktionen und Rechnungs
verfahren - ist riicksichtslos in erster Linie auf den Zweck zugeschnitten,
VOl' all em voIles Verstandnis zu sichern. Es kann ja auch beziiglich del'
Konstruktionserfahrungen, del' Linienfiihrung, del' jeweils einfachsten
Rechnungsmethoden und dergleichen mehr auf vorziigliche Taschenbiicher
verwiesen werden, die sich del' Leser nach erfolgreicher Absolvierung
des ihm hier gebotenen Kursus miihelos dienstbar machen wird. - Eine
schematisch ausgefiihrte Rechnung von del' Bedeutung, die einer sta-
IV Geleitwort.
tischen Untersuchung fiir Leben und Eigentum der Mitmenschen fast
stets innewohnt, sollte den gewissenhaften Konstrukteur beunruhigen,
wie eben eine BewuBtseinsliicke in der Kette des Handelns beunruhigen
muBte.
Das Buch entstand 1912/13 als Grundlage fiir yom Verfasser erteilten
Privatunterricht. JunijJuli 1914 wurde Veroffentlichung beschlossen
und Reinschrift hergestellt. Es blieb dann liegen bis 1919. Verfasser
erganzte es durch das Einzige, das auf dem vorliegenden Gebiete der
Zeitfortschritt erheischte: d~ch einschlagige Bemerkungen uber den
Flugzeugbau, zu denen ihn glucklicherweise eine mehrjahrige Ver
wendung als Werftingenieur bei einer Fliegerstation, als Lehrer fiir
Motorkunde und Flugzeugbau an einer Fliegerschule und schlieBlich als
Chefstatiker . einer groBen Flugzeugbauanstalt befahigten. Seinem
Wunsche, aus seinen speziellen Manuskripten uber den Flugzeugbau
Ausfiihrlicheres zu geben, .glaubte der Verfasser zur Wahrung des vor
bestimmten Charakters des hier vorliegenden Werkes nicht nachgeben
zu dUrfen, zumal das Angegebene bei verstandnisvollem Gesamtstudium
des Buches genugt, um selbstandig in die Flugzeugstatik einzudringen
und darin in besseren Stellungen verwendungsfahig zu werden.
Die Korrekturen und Beispieluberpriifungen standen unter dem
Zeichen unumganglicher anderweitiger intensiver Inanspruchnahme
des Verfassers; er bittet daher notigenfalls um Nachsicht: Berichtigungen
und auch Wunsche und Ratschlage fiir eine etwaige Neuauflage werden
stets gern entgegengenommen und gewissenhaft gepriift bzw. erwogen
werden. Der Verfasser ist geneigt, das Buch im FaIle einer giinstigen
Aufnahme noch leichter und damit noch mehr Statikfreunden der
technischen Praxis zugangig zu machen durch Veroffentlichung eines
unabhangigen Buches: "Theorie und Berechnung der statisch bestimmten
Tragwerke. "
Ich benutze zum Schlusse die Gelegenheit, dem Verlage meinen Dank
fur sein verstandnisvolles Entgegenkommen in allen Dingen auszu
sprechen, besonders dafiir, daB er es ubernahm, das Figurenmaterial auf
seine KOllten in vorzuglicher Ausfiihrung neu zeichnen zu lassen.
Leipzig, im Januar 1921.
Der Verfasser.
Inhaltsverzeichnis.
Seita
Vorbemerkungen ... 1
I. Die Theorie del' statisch unbestimmten Systeme 2
1. Die Bestimmung des' Begriffes .......... . 2
2. Die iiberzahligen GraBen und das statisch bestimmte Hauptsystem.
Del' Grad del' Un bestimmtheit ........ . . . . . . . . 7
3. Verfahren 7ur Erkennung statisch unbestimmter t>bener Tragwerke 11
II. Die BereCJhnung del' statisch unbestimmten Systeme ... 13
1. Die Aufstcllung del' Formanderungsgleichungen . . . . . . . . . 14
2. Die Berechnung del' Elemente del' Formanderungsgleichungen (Punkt
verschiebungen) . . . . . . . . . . . . . . 23
a) Die elastische Linie . . . . . . . 24
0 • • • • •
b) Die Darstellung von Fachwerkbiegungslinien. . 37
<X) mittels des Verfahrens del' fingierten Lasten 38
fJ) mittels Verschiebungsplanen . . . . . 58
c) Die Mohrschen Arbeitsgleichungen . . . . . . 67
3. Die Vereinfachung del' Berechnung mehrerer Punktverschiebungen
einer Formanderungsgleichung durch Anwendung des Satzes von
del' Gegenseitigkeit del' Verl!chiebungen ....... . 75
a) Del' Satz von del' Gegenseitigkeit del' Verschiebungen . 75
b) Nutzanwendum!: Die EinfluLllinien . . . . . . . . . 79
Vorbcmerkungen zu Kapitel III und TV:
Allgemeine Grdnung del' Untersuchung alIer statisch unbestimmten
Systeme ................. . 87
III. Die statisch unbestimmten VolIwandtrager 88
1. Dio statisch unbestimmt gestiitzten gerarlen Balken 88
a) Del' gerado Balken auf droi Stiitzen ..... 88
b) Dor gerade Balkon auf mehr als drei Stiitzen . 104
0) Del' einseitig eingespannte gerade Balken auf zwei Stiitzen 112
d) Das Verhalten del' statisch unbestimmt gestiitzten Balken bei
Stiitzensonkungen . . . 117
<X) Bleibende Senkungen . . 118
fJ) EIastisohe Senkungen . . 126
2. Die armierten geraden BaIken . . . . . 130
a) Del' mit Zugband und zwei Vertikalen armierte Vollwandtrager 130
b) Del' mit Zugband und oi ner Vertikalen ai'mierte Vollwandtrager 139
c) DcI' mit parabolischem Zugbande und vielen Vertikalen armierte
Vollwandtrager ............. . 140
d) Del' Vollwandfreitrii.ger, mit Zugband armiert.. ..... . 141
3. Die statisch unbestimmten Vollwandbogentrager ..... . 143
Die Ermittlung von Punktverschiebungen bei gebogenen Balken 143
a) Del' ZweigeIenkhogen . 149
b) Del' eingespanntc Bogen 162
4. Das Portal . . . . . . . 172
VI Inhaltsverzeichnis.
Seite
IV. Die statisch unbestimmten Fachwerktrager ....... . 175
1. Die statisch unbestimmt gestiitzten Fachwerktrager. . . ; . . . 175
a) Der Fachwerkbalken auf drei Stut,zen ......... 175
> •• "
b) Der Fachwerkbalken auf mehr als drei Stiitzen und solche mit
elastiechen oder blcibenden Stiitzensenkungen . . 186
c) Der Zweigelenkbogen . . . . . . . . . . . . . . 190
2. Die innerlich statisch unbestimmten Fachwerktrager 190
a) Der deutsche Bogen (Fachwerkbogen mit Zugband) 190
b) Der aIs Hangewerk armierte Facbwerkbalken ... 190
c) Die zweistielige Flugzeugzelle. . . . . . . . . . . 191
Anhang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
1. Dicgedruckte Stiitze von veranderlichem Tragheitsmoment und uber
die Stablange veranderlicher Beanspruchung . . . . . . . . . . 194
2. Die Schutzbriicke . . . . . . . . . . ..' . . . . . . . . . . 198
3. Tabelle der Formeln fur die Punktverschiebungen von einfachen,
typischen Vollwandtragern 202
4. Griechisehes Alphabet ........ . . . . . . . . . . . . 212
Vorbemerknngen.
Es wird die Kenntnis der Elementarmathematik, der elementaren
Festigkeitslehre und der Elemente der Mechanik, insbesondere der
Statik der statisch bestimmten Systeme vorausgesetzt. An Bezeich
nungen sind demgemaB ohne jedesmalige besondere Erlauterung aus
dem technischen Sprachgebrauche iibernommen· worden:
P Einzellast,
Q verteilte Last,
M Moment,
J Tragheitsmoment,
E Elastizitatsziffer
:2 Summe
und andere. Zur Erinnerung an weniger gebrauchliche griechische
Zeichen dient das am Schlusse des Buches befindliche griechische
Alphabet. .
Die Anwendung der Ergebnisse der nachfolgenden Darlegungen auf
die Berechnung von Tragwerken aus Eisenbeton erfordert nur, an
Stelle der wirklichen Querschnittsflachen und Tragheitsmo'mente ideelle
einzusetzen, deren Bestimmung nebst zugehoriger Elastizitatsziffer in
den jeweils giiltigen Bauvorschriften angegeben wird.
Wir wollen einen irgendwie zusammengesetzten Korper als "un
verschieblich" bezeichnen, wenn er durch jede beliebige Belastung, so
lange'sie nicht zerstorend wirkt, nur elastische Form- und Lage
vel:anderung~n erfahren kann. "In sich unverschieblich" nennen wir
ihn dann, wenn wir die Stiitzung nicht mit in den Begriff einbeziehen;
dariiber hinaus wollen wir ihn als "starr" bezeichnen, wenn seine
Formanderung im betrachteten FaIle vergleichsweise verschwindend
klein ist.
Buchholz, Tragwerke. 1
2 Die Theorie der statisch unbestillllllten Systeme.
I .. Die Theorie
der statisch unbestimmten Systeme.
1. Bestimmung des Begriffes.
Enthalt ein Tragwerk mehr wirksame Systemelemente, als zur Er
zielung der Unverschieblichkeit des Systems erforderlich sind, so ist
das Tragwerk statischunbestimmt, d.h.
die Gleichgewichtsbedingungen allein
geniigen nicht, um die der Belastung
das Gleichgewicht haltenden Tntgwerks
krafte zu bestimmen.
Fig. 1 zeigt ein solches Tragwerk
in Gestalt einer gegliederten ebenen
Scheibe: Ein gleiches System, das die
Fig. l. beiden Diagonalstabe nicht enthalt,
Fig. 2, ist verschieblich; die System
elemente wiirden sich in der angedeuteten Weise gegeneinander ver
schieben. Zur" Herstellung der Unverschieblichkeit des Systems ist
jedoch nur die Einfiigung einer Diagonalen erforderlich, Fig. 3.
Fig. 3 laBt eine allgemeine Eigen
schaft aller s£atisch bestimmten Sy
steme erkennen: Eine aus beliebigen
':1\
Ursachen erfolgende Langenanderung
~.-.-- ,/. "eines Systemelementes (etwa durch
/' ./ Formanderung oder durch Einfiigung
.-/ .'/ eines kiirzeren Stabes an die Stelle eines
vorhandenen) hat niemals Zwangs
spannungen zur Folge. An Fig. 1 kann
Fig. 2.
mansich leicht das gegenteilige Ver
halten der statisch unbestimmten Systeme anschaulich erlautern.
Jede Stablangenanderung im Wirkungsbereiche eines iiberzahligen Stabes
hat Zwallgsspannungen zur Folge: Das statisch bestimmte, elastische
p Stabwerk Fig. 3 wird unter der ein
p
gezeichneten Belastung infolge der ein
.!!.~~ __- -/m tretenden elastischen Stablangenande
rungen die Entfernung a7m um ein
bestimmtes MaB vergroBern: SolI nun
der Stab D vgl. Fig. 1, eingesetzt
2,
werden, so muB das zwangsweise ge
schehen - unter Verringerung der
Entfernung a7m und gleichzeitiger Ver
Fig. 3.
lallgerung des Stabes D2• Die GroBe der
Zwangsspannungen wird - natiirlich unter Einhaltung der Gleich
gewichtsbedingungen - offenbar von dem Verhaltnis der elastischen
Nachgiebigkeit der Tragwerkselemente zueinander bestimmt. Die Ein
fiigung einer "schwachen" Diagonale D2 wird erheblich andere System-
Bestimmung des Begriffes. 3
spannungen zur Folge haben, als die Einfugung einer "kraftigen". Es
fo1gt hieraus, daB die allein zur Stabkraftermittlung nicht genugenden
Gleichgewichtsbedingungen durch· Formanderungsgleich ungen
erganzt werden mussen, die das Verhaltnis der elastischen Nachgiebig
keit der Tragwerkselemente zueinander zum Ausdruck bringen. Die
elastische Nachgiebigkeit eines Tragwerkselementes wird zweckmaBig
gemessen durch die Verschiebungen der AnschluBpunkte des Elementes
zueinander bei Einwirkung der Einheit der AnschluBspannkrafte in
der durch die Art der Einordnung in das System gegebenen Richtung.
Sie ist aisCi von der Bemessung und dem Material abhangig: es ergibt
sich hieraus, daB die statisch unbestimmte Rechnung im allgemeinen
die vorherige Wahl der Querschnitte· oder ihres Verhaltnisses zuein
ander verlangt.
Da die Gleichgewichtsbedingungen auch fur die Unter
suchung statisch unbestimmter Tragwerke von grundlegender Bedeutung
sind, so wird es gut sein, dem Leser das Wesentliche daruber in Er
innetung zu bringen, um ein luckenfreies Verstandnis zu sichern: Ein
fester Korper befindet sich nur da:im im Gleichgewicht, wenn die
resultierende Kraft und das resultierende statische Moment
der auf den Korper wirkenden auBeren Krafte und Momente gleich
Null sind. Ein Tragsystem befindet sich nur dann im Gleichgewicht,
wenn seine Elemente sich im Gleichgewicht befinden, d. h. wenn diese
Elemente feste Korper sind, fur die die resultierende Kraft und das
resultierende Moment gleich Null sind. Jedes Tragsystem kann selbst
wieder als ein fester Korper behandelt werden, wenn es j eder Be
lastung - wenn auch naturlich von begrenzter Rohe, so doch be
liebiger Richtung - widersteht. Ein solches Tragwerk muB aus Ele
menten von genugender Festigkeit so aufgebaut worden sein, daB eine
Verschiebung der Elemen,te gegeneinander nicht moglich ist, denn nur
bei einer solchen Anordnung der Systemelemente ist deren Gleichgewicht
fur aIle Belastungsfalle gesichert, wenn nur der Nachweis erbracht
wird, daB sich die auBeren Krafte mId Momente des ganzen Systems
das Gleichgewicht halten .. Zur Sicherung des Gleichgewichtes des ganzen
Systems muB das Tragwerk als Systemelement hoherer Ordnung mit
der Erde zu einem neuen unverschieblichen Verbande vereinigt werden.
Es geschieht dieses nach den gleichen Gesetzen, nach denen der Aufbau
des Tragwerkes selbst und seiner Elemente zu erfolgen hat, wenn auch
praktisch eine Sonderbezeichnung - Stutzung - fur die Verbindung
eines Tragsystems mit der Erde ublich ist.
Wir werden bei Gelegenheit auf die Gesetze des Tragwerkaufbaues
ausfuhrlich zuruckkommen.
Zum Zwecke der Berechnung pflegen wir die weitaus meisten Trag
werke in einzeln zu behandelnde ebene Scheiben aufzulOsen. Auch fUr
diese Scheiben haben naturlich die obenstehenden allgemeinen Aus
fuhrungen Gultigkeit, wenn nur die in der Scheibenebene wirksamen
Krafte und Momente betrachtet werden. Nicht in dieser Ebene wirkende
Krafte und Momente sind dUTCh Anordnung von anderen Tragscheiben
in Komponenten fur die einzelnen Tragscheibenebenen zu zerlegen.
1*
4 Die Theorie der statisch unbestimmten Systeme.
Der Nachweis, daB die Gleichgewichtsbedingungen erfullt sind, kann
zeichnerisch und rechnerisch gefuhrt werden. Der zeichnerische Nach
weis ist bekanntlich dann erbracht, wenn das aus den geometrisch
durch gerade Strecken ausgedruckten Kraften gezeichnete Krafteck
und das zugehorige Seileck geschlossen sind, d. h. eine Resultierende
gleich Null ergeben. Der rechnerische Nachweis erfordert die Zer
legung der verschieden gerichteten Krafte in zwei bestimmt zu wahlende,
an sich beliebige nicht parallele Richtungen sowie die Beziehung der
Momente auf einen bestimmt zu wahlenden, beliebigen Punkt. AIge
braisch ausgedruckt und auf eine ebene Scheibe bezogen treten die
Gleichgewichtsbedingungen in Form von drei GleichlJ.Ilgen auf, die,
wenn man als Kraftrichtungen die lotrechte und die wagerechte wahlt,
lauten:
Eine ebene feste Scheibe befindet sich Bur dann im Gleichge""i.chte,
wenn:
I. die algebraische Summe der lotrechten Krafte,
II. die algebraische Summe der wagerechten Krafte und
III. die algebraische Summe der Momente, bezogen auf einen be
liebigen Punkt der Tragerebene,
gleich Null ist.
Lassen sich bei gegebener Belastung samtliche auBeren und inneren
Krafte eines ebenen Tragwerkes n ur mit Rilfe dieser drei Gleichungen
errechnen - seien diese nun algebraisch ausgedruckt (Rittersches
Verfahren) oder geometrisch (Krafteplan und Seileck) -, so handelt
es sich also urn ein "statisch bestimmtes" System. Konnen bei einer
sich im Gleichgewichte befindenden Scheibe die auBeren Krafte
nicht allein durch Anwendung der genanuten drei Gleichungen ermittelt
werden, so liegt ein auBerlich statisch unbestimmtes System
vor. Analog unterscheidet man ferner innerlich statisch un
bestimmte Systeme sowie innerlich und auBerlich statisch
nnbestimmte Systeme. Diese Unterscheidung hat naturlich nur
praktische Bedeutung: ein Wesens
~-----l------~ unterschied zwischen auBeren und
inneren Kraften in ihrer Wirkung
auf das Tragwerk liegt nicht vor.
Ii Ein Beispiel eines statisch
bestimmten Tragers bietet der
in Fig. 4 dargestellte typische Fach
Fig. 4.
werktrager auf zwei Stutzen. Z u
nachst ist ohne weiteres ersichtlich, daB dieser Trager auBerlich
statisch bestimmt ist; die drei Gleichgewichtsbedingungen werden zur
Bestimmung der auBeren Krafte ausreichcn:
Auflagerdruck A aus
+
III. - P . a A . l = 0 ,
dann B aus
1. +P-A-B=O