Table Of ContentTheorie des Potentials
und ihre Anwendungen auf
Electrostatik und Magnetismus
von
,
Emile Mathieo,
Proreuor der H11tbematlk za Naaq.
Autorisierte deutsche Ausgabe
'I'OD
H. Maser.
Springer-Yel'iag Berlin Heidelberg GmbH 1890
ISBN 978-3-662-31835-5 ISBN 978-3-662-32661-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-32661-9
Vorwort des Herausgebers.
An vortrefflichen Lehrbüchern über die Theorie des Potentials und die
Anwendungen derselben auf die verschiedensten Zweige der mathematischen
Physik, seien dieselben nun Originalwerke oder Übersetzungen aus fremden
S}Jrachen, ist in der deutschen mathematischen Literatur gerade kein Mangel.
und dass dem so ist, wird man bei der Wichtigkeit des Gegenstandes gewiss
nicht als einen Fehler betrachten dürfen. Auch die "TllfJvric du l'vfcnfid
ct scs applications (t l'Elccfrosfatiquc et au llfagmWsme" des durch seine
hervorragenden Arbeiten auf dem Gebiete der augewandten l\Iathematik
rühmliebst bekannten Verfassers reiht sich jenen vortrefflichen Lehrbüchern
würdig an, ja dies Werk besitzt so wesentliche Vorzüge vor den meisten
audern, dass es mir wert erschien, auch dieses den deutschen Studierenden
etwas näher zu rücken, zumal dasselbe in der kur7.en seit seinem Erscheinen
verflossenen Zeit wohl noch kaum in weiteren Kreisen bekannt geworden
sein dürfte.
Obwohl die Potentialtheorie ihren eigentlichen Ursprung in der mathe
matischen Physik genommen und sich allmählich im Anschluss an besondere
physikalische Probleme weiter entwickelt l1at, hat sie doch ihrerseits
wieder ausserordentlich befruchtend auf gewisse Teile der reinen Mathematik
eingewirkt und ist schliesslich selbst mehr und mehr eine rein mathe
matische Disciplin geworden. Dementsprechend bemüht sich der Verfasser,
die allgemeinen Sätze der Theorie mit möglichster analytischer Strenge und
möglichst frei von allen physikalischen Vorstellungen zu beweisen, und
wenn ihm dies auch in einigen .Fällen, wie z. B. beim Beweise der, physi
kalisch ja evidenten, Existenz gewisser Functionen unter bestimmten für
dieselben vorgeschriebenen Bedingungen, noch nicht, wie mir scheint, voll
ständig gelungen sein sollte, weil sich ein solch.er einwandsfreier Beweis
mit unsern heutigen analytischen Hülfsmitteln überhaupt noch nicht geben
lässt, so muss man doch anerkennen, dass er bestrebt gewesen ist, in jedem
Falle die Begründung so plausibel wie möglich zu machen. Das Streben
nach analytischer Strenge ist es auch, welches den Verfasser veranlasst
hat, zunächst die allgemeine Theorie ohne Rücksicht auf besondere An
wendungen zu geben, obwohl manche Sätze dadurch schärfer würden hervor
getreten sein.
IV Yorwort des Heran~gebers.
In einigen Paragraphen des ersten Teiles werden gewisse Funetionen,
die in andem Gebieten der mathematischen Physik eine dem Potentiale
analoge Rolle spielen, behandelt und mehrere allgemeine Sätze über dieselben
abgeleitet, die in anderen Lehrbüchern dieser Art nicht tu finden sind und
Anregung zu weitergehenden Untersuchungen bieten dürften.
1\lit besonderem Geschick und recht ausfuhrlieh ist die Rolle, welche
die dielectrischen Medien in der Electrostatik spielen, und die Lehre vom
Magnetismus behandelt worden. Die physikalischen Vorstellungen, welche
man zur Zeit Poisson's über die Wirkungsweise der isolierenden Körper
hatte, haben in neuerer Zeit eine wesentliche Änderung erfahren; auch die
von Po iss o n gegebene Theorie der magnetischen Induction ist nicht ohne
begründete Anfechtungen geblieben. Der Verfasser legt die neueren Theorieen
der Verteilung des inducierten Magnetismus im weichen Eisen und der ihr
analogen electrischen Polarisation der dielectrischen Medien in ebenso ein
facher wie überzeugender Weise dar und giebt schliesslich nach dem
Vorgange von Clausius die Anwendung derselben auf die Theorie der
Condensatoren.
Die Anwendungen der Potentialtheorie auf Probleme der Electrostatik
und des Magnetismus sind in keinem andern Lehrbuche in gleicher Voll
ständigkeit gegeben wie in dem vorliegendtJn. Sollte man trotzdem noch
dies oder jenes Problem vermissen, wie z. B. das der Verteilung der
Electricität auf einem Ringe mit kreisförmigem Querschnitt, so möge man
die Gründe für die Weglassung desselben darin suchen, dass der Verfasser,
wie er in der Vorrede zum zweiten Teile seines Werkes sagt, "es vermeiden
wollte, in rechnerische Entwicklungen sich einzulassen, welche in ana
lytischer Beziehung Interesse haben könnten, deren Nutzen aber flir die
Physik nahezu gleich Null ist".
In einem kurzen Anhange habe ich das Problem der Electricitäts
verteilung auf zwei Kugeln noch auf eine andere Weise behandelt, als es
im Texte geschehen ist, nämlich nach der Methode von C. Neumann,
und zwar einesteils, um diese auch bei vielen anderen Problemen der
Blectrostatik und der Wärmelehre mit Vorteil benutzte Methode wenigstens
an einem Beispiele zu zeigen, andernteils um den Studierenden auf die
Thomson'schen oder bipolaren Coordinaten aufmerksam zu machen, da.
dieselben ebenfalls bei einer grösseren Reihe von .Aufgaben sehr zweck
mässig angewendet werden.
Berlin, im December 1889.
H. Maser.
Inhaltsverzeichnis.
Erster Teil.
Theorie des Potentials.
Seite
Erstes Kapitel. Allgemeine Eigenschaften des Potentials.
§ 1. Definition des Potentials . . . . . . . . . . . . . 3
§ 2. Definition der ~iveauflächen und der Kraftlinien . . . . .'i
§ 3. Stetigkeibbedingungen, denen das Potential einer ~lasse ge11iigt ö
§ 4. Der Satz von Laplace . . . . . . . . . . . . . . 8
§ 5. 6. Über die teilweise Integration angewandt auf ein dreifaches Integral . !3
§ 7. 8. Wert von .:l V für einen Punkt (.z·, y, z) innerhalb der Masse 10
§ !), Characteristische Eigenschaften des Potentials einer oder mehrerer conti-
nuierlicher )Jassen . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§ 10. 11. Die sogenannte Green'schc Formel; eine Anwendung derselben H
§ 12-14. Mittlerer Wert der zu einer geschlossenen Fläche normalen Kraft
componente. Gaus s' scher Satz . . . . . . . . . . . . . . 16
§ 15. Bedingungen, unter denen sich eine Function von x, y,:; auf das Potential
einer continuicrlichen lllasse reduciert 1! l
§ 16. Das Dirichlet'sche Prinzip . . . . . . . . . . 21
§ 17. Potential einer sphärischen Schicht . . . . . . . . . . . 22
§ 18-23. Mittlerer Wert des Potentials auf der OberflfLchc einer Kugel und
extreme Werte, welche dasselbe in einem Raume ausserhalb der Massen
annimmt . . . . . . . . 23
§ 24-26. Energie eines Massensystems . . . . . . . . . . . . . . 26
Zweites Kapitel. Potential von Massenschichten, welche auf Flächen
abgelagert sind.
Definition der Dichtigkeit einer solchen Schicht . . . . . . • . . . . 29
§ 1-8. Formel, welche die Dichtigkeit einer Schicht giebt . . . JO
§ !). Beweis der ]<'ormel für die Dichtigkeit der Schicht, welchen Po iss o n
gegeben hat. -Berichtigung eines Irrtums Poisson's ...... 39
VI Jnhaltsverzeicbnk
Seit<·
§ 10-16. Fundionen, welche durch die Potentiale von Schichten, die auf
Flächen abgelagert sind, dargestellt werden kiinnen 40
§ 17-19. (ber die Greeu'sche Function. . 46
§ 20-22. Potential einer sphärischen Schicht 50
Drittes Kapitel. Logarithmisches Potential.-Calorisohes Pote11tial.
Zweites Potential.
Logarithmisches Potential. § 1. Einleitende Bemerkungen. Definition
des logarithmischen Potentials 54
§ 2. Wert von l V im lnnern der ~lasse 55
§ 3. Angabe der characterbti~chen Eigenschaften des logarithmischt•u Potentials 57
§ 4. !i. Fuuctionen, welche sich durch das logarithmio<chc Poteutial von
Schichten, die auf ge~chlos,.encn Liniell liegPn, darstellen la.,scu
§ 6. Die der G r e eu ' sehen Fuuction analoge :Functiou
Calol"iscbei'l Potential. § 7. 8. Allgemeine Betrachtungen .
§ !l-11. i":ber die L<isuug- der (ileichung .l1• = -;<2c .
§ 12. Lijsung der Gleichung .lu =-a2u. . . . .
.. , . o
§ 13-15. Lustmg der ltle1chun"" a-~.2 ru--.; + (-oJ-"yu··• =- 'n• t li7
Zweites l'otential. ~ li.J. Gleichung, welcher da"elhl• geuiig-t: diP~l'ibP tritt
in der Theorie der ElastidHit auf . . . . 70
§ 17. Auf Jen Ausdruck l.lu bezügliche Formeln 70
§ 18. l!l. Dcfiuition und Eigenschaften des zweiten l'okntiab 71
'!:\i :!0. Cber eiuc Lii,;ung der <lleichuug ulu = o . 73
~ 21. 22. Allgemeine Lösung der Gleichung :J.lu = 0 74
§ 23. CbPr die auf zwei Coonlinaten redneierte ( ilcichung ulu = 0 7ti
Viertes Kapitel. Vergleichung der Theorie des Potentials mit der
jenigen der Wärme.
llie l<'unction V kann al; lileichgewichhtcmperatur einrs K<irpN- betrachtet
wen!Pn . . . . . . . . . . . 7N
~ 1-2. Beweis der Formel ~ V=-·k:p. - Beweis <I es Co ul o m h' sehen :-;atzcs 7~)
§ 3. -!. ldentit:tt des Potentials uud der GleiclwewiciJtstemperatm RO
§ ''· Isotherme FHichcn oder Niveauf!flchen. Niveauschicht . ~:!
~ 6. Confokale Ellipsoide bilden eine Schaar von ::\iveautlüchen
~ 7. ~- Tsotherme Keg-rllliichen oder ~iv••au-Kegelfliichcn
§ ~- 10. System von isothermm oder Niveau-Linien, welches zwei gegebenen
Kurven oder einer einzigen entspricht . . . Sti
§ 11-13. Knotenlinien einer Membran .... !lll
§ 14. Systeme von isothermen oder Niveau-Fliicheu, welche zwei gegebenen
Flächen oder einer einzigen FHiche entsprechen .
§ 15-21. Digression iiber die Differentiation nach Bügen. Transfonnation
von u V . . . . . . . . .
§ 2:!. 23. Ausdruck ,·on J. J.~ wenn man darin den Parameter eines Systems
von ::\iveauflächen einführt . . . . . . . . . . . . . 103
Inhaltsverzeichnis. Vtr
SeitP
Potential in krystalllsierten Körpern. § 24. 25. Definitionen 106
§ 26-28. Eigenschaften der Function, welche der Gleichung ~· V= 0 ge-
nügt . . . . . . . . . • . . . . • . . . . . . . 108
§ 29. Wert von ~· V im Innern der Masse . • . . . . . . . . . 111
§ 30. Mittlerer Wert des Ausdrucks P~!:o't: auf einer geschlossenen Flf1che 113
Fünftes Kapitel. Ober die Anziehung verschiedener Körper, welche
von Flächen zweiter Ordnung begrenzt sind.
§ 1. Gebmuch der Niveauflr1chen zur Bestimmung der Anziehung eines
Kürpers . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . 114
0
~ 2. 3. Beispiel der confokalen Ellipsoide . . . . 0 • • • • • • 11:;
§ -1. Anziehung einer ellipsoidischen Schicht auf einen Punkt ihrer äusseren
Oberfläche . . . . . 0 . . . . . . 0 . • • 0 . • 117
§ 5-7. Componenten der Anziehung eines homogenen Ellipsoids auf einen
Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
0 • • •
§ 80 Potential eines vollen homogenen Ellipsoids . . . 0 0 • 0 0 . 121
§ fl. 10. Potential einer homogenen zwischen zwei homothetischen Ellipsoiden
enthaltenen Schicht . . . • • . . . . . . • • . . . 1:!4
§ II. Potential eines aus homogenen unendlich dünnen und homothetischen
Schichten gebildeten Ellipsoids . . . . . . . . 121i
0 0 • • • •
§ 12-14. J>otential eines aus homogenen unendlich dünnen und confokalcn
~~hichten gebil<lcten Ellipsoids . . . . . . . . . . . . . . 128
§ 15. 16, Potential einer mit einer unendlich dünnen Schicht von constanter
llil'htigkeit bedeckten Ellipse . • . . . . 1:~0
0 • • 0 • • •
§ 17-20. Verifikation der erhaltenen Formel nach Riemann . • . . . 13:3
§ 21. Potential einer elliptischen aus unentllil'h tllinnen homogenen und homo-
thetischen Streifen bestehenden Schicht . . . . . . . . . 1:3!l
§ 2:!-240 Cuer die Umkehrung der Integrationen in einem doppelten be-
stimmten Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 141
S 25-27. Potential eines geraden elliptischen Gylindcrs von endlicher Lfmge H4
§ 28. 2!l. Cber die Bestimmung der Kraftlinien . . • . . 14!l
§ ::u. :n. Kraftlinien eines Umdrehungsellipsoides . . . . . 151
§ :32. 33. Kraftlinien eines unbegrenzten elliptischen Cylinders 155
Zweiter Teil.
Electrostatik. und Magnetismus.
El'stcs Kapitel. Allgemeine Prinzipien der Electrostatik.
Einleitende Bemerkungen . . !GI
0 • • •
§ 1. Potential der Electrirität • . • . lli3
§ 2-50 Elcctrische Schicht eines leitenden K0 t11•o per• s •. •. •. 0. IG4
§ lio Vergleiclnmg zweicr electrischen Zustfmde eines Systems \'Oll !.eitern,
die ~ich geg-enseitig influenzier!'n . . o . o o . lG!i
Vlii Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 7-12. Über die Stabilität des Gleichgewichts der Electricität auf
Leitern • . • . • . • . . . . . . . . . • . . . 168
§ 13. 14. Bestimmung der Werte des Potentials im Innern der Leiter 173
§ 15. Energie des Systems der J.eiter, wenn keine Dielectrika vorhanden sind 175
§ 16. Allgemeine Sätze über die hohlen Leiter. . . . . . . . . . . 17li
§ 17. Electricität, welche durch einen electrischen Punkt auf der Oberfläche
eines Leiters induciert wird . . . . . 177
§ 18-23. llomogene und amphigene f:lchichten 178
Zweites Kapitel. Specielle Probleme aus der Electrostatik.
§ 1-5. Potential einer kugelfürmigcn Srhicht . . . . • • . . IR:;
§ 6. Bestimmung der Dichtigkeit einer sph1irischen Schicht, deren Potential
in jedem Punkte der Oberfläche gegeben i"t . . . • . . . . . 188
§ 7. 8. Eine Kugel, welche durch eine in einem Nichtleiter feste Electricitäts-
menge induciert wird . . . . . . . . . . . . . . . 18~
§ 9. 10. Kugel, welche durch einen äusseren electrischeu Puukt induriert wird Hll
§ 11. Hohlkugel, welche durch einen in ihrem Innern befindlichen dielcc-
trischen Kürper induciert wird I !!3
§ 12. Kraft tler Spitzen . • . . l!l:i
§ 13. 14. Leiter mit einer Kante 197
§ 15-18. Conischer Leiter • . . 19!)
§ 1! J-21. ßereclmung der Exponenten, welc hc in dl'm Au sdmck dl's Potl'nlials
des konischen Leiters auftretl'n . . . . . . . . , . . . 204
V~rteilnng tler Eleetricitä.t auf zwei Kug~ln, di~ ~ich g~genseitlg
inßuenzieren. § 22-29. AllgPmeiner Fall . . . . . . . 208
§ 30-:33. Fall, wo sich die Kugeln berühren . . . . . . . . . 2!7
§ 34. 35. Verteilung der Electricität auf zwei durch einen leitenden Faden
verbundenen Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
§ 36-38. Dichtigkeit der Electricität auf beiden Kugeln . . . . . . 22-l
§ 39-42. Anziehung oder Abstossung zwischen zwei electrisierten Kugeln . 22!1
Üb~r tlie Transformation durch reciJ•roke Ratlienvector~n zur I.iisung
gewisser Probleme der math~matischen Physik. § 43-47 . . 23l
§ 48-53. Bestimmung der Verteilung der Electricit1it auf einem LPiter von
der Form einer ebenen Scheibe oder einer sphärischen Schale . . . 23!l
§ 54. 55. Kraftlinien einer Scheibe, welche mit der Erde in leitender Ver
bindung steht und durch eine feste auf ihrer Achse liegende clcctlische
Masse influenziert wird . . . . . . . . . . . . . . . . . 24!1
Drittes Kapitel. Über die Rolle der Dielectrika in der Electrostatik.
§ 1-5. Gegenseitige Einwirkung der eieririsierten Körper durch Vermittlung
des sie trennenden Dielectrikums . . . . . . . . . . . . . 253
§ ß-8. Über die Deformation des dieleeirischen Mittels . . . . . . . 2:i8
§ !"l-11. Gber die Änderung der Induction heim i':hergange von einem Di(')cc-
trikum zu einem andern . . . . . . . . . . . . . 2C2
§ 12. Vergleichung der elastischen Kräfte. welche zn heiden :-;.,itrn f'iner
f'lertlischen Schicht erzPugt. werdPn :!ti4
Inhaltsverzeichnis. IX
Seile
§ 13. 14. Von der Verteilung der Electricität auf zwei Leitern, die gegen·
seitig auf einander einwirken und in zwei verschiedenen dielectrischen
llitteln sich befinden • . . . . . . . . . . . . . . . 2GG
§ 15. IG. Condensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
§ 17. Bestimmung gewisser auf den Condensator bezüglicher Constanten 271
§ 18. Ein von zwei dielectrischen Körpern gebildeter Condensator 272
§ 19. 20. Ladung des Condensators . 27-l
§ 21. Entladung des Condensators . . . . . . . . . . . 277
Viertes Kapitel. Allgemeine Theorie des Magnetismus.
Vorhemerkungen . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 279
§ 1. 2. Anziehung oder Abstossung des Elements eines Magneten oder eines
magnetisierten Körpers . . . . . , . . . . . . . . . . . 280
§ 3. Anziehung eines Magneten oder eines magnetisierten Körper.i auf einen
äusseren Punkt . • . . . . • . • . . 283
§ 4. 5. Potential eines Magneten auf einen andem 28l
§ G. Körper, dessen Magnetisierung gleichförmig ist 287
§ 7. Kugel . . . . . . . . . . 2SS
§ 8. !l. Ellipsoid . • . . • . . . 28\l
§ 10. Unendlicher elliptischer Cylinder 291
§ II. 12. Potential einer Doppelschicht 2!12
§ 13. H. Wert eines dreifachen Integrals :?!la
§ li'J-20. .Magnetische lnduction. Die Po i sso n' sehe Theorie entspricht
nicht den Thaisachen . . . . . . . . . . . . . 2!!7
§ 21. Jnduction eines diamagnetischen Ki'•rpers . . . . . . . 304
§ 22-27. Cber die magnetische lnduction eines krystallisierten Körpers . 30G
§ 28. Besondere .Magnete. - Einfacher solenoidischcr ~lagnet 314
§ 2!!. Einfacher lamellarer Magnet . . . . . . . . . . . . . :115
§ 30. 31. Ausdrücke der Componenten des magnetischen Moments in jedem
Punkte eines Magneten . . . . . . . . . . . 317
Von den dielectrit~chen Körpern. § 32-34. Über die eiertrisehe Polari-
sation . . . . . . . 320
§ 35. Jnduction der Dielectrika 324
§ 3fi. C'ondensator . . . . . 325
FUnftcs Kapitel. Speoielle Probleme aus der Theorie des Magnetismus.
§ I. 2. Kugel und Ellipsoid in einem gleichförmigen Felde . . . . 32!1
§ 3. 4. Cuer die Bestimmung der Constanten r . . . . ;330
§ j, Jnduction einer vollen Kugel durch gegebene magnetische Krf1fte 333
§ G.. Magnetische Induction einer Hohlkugel . . . . . . . 33-l
§ 7. 8. Induction einer Jlohlkugel durch die Wirkung der Erde . . . 3;3[,
§ !l-13. .Magnetismus der Erdkugel. Versuche von Gaus s . . . . 338
§ 14-1G. Cller den Magnetismus, welcher in einem Gylindcr, dessen Hadius
im \' erhflltnis zu seiner l,ängc sehr klein ist, durch eine ronstante zu
~Pinrr Achs<' paralll'lt• Kraft indul'iert wird . . . . . . 344
~Ia t bi•·u. l'oteulialtheorie. B
