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FORSCH U NGSBE RICHTE
DES WI RTSCHAFTS- UN D VE RKE H RSMI NISTE RI UMS
NORDRH EI N-WESTFALE N
Herausgegeben von Staatssekretăr Prof. Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
Nr.622
Prof. Dr. Walter Franz
Institut fur theoretische Physik der Universităt Munster
Theorie der Elektronenbeweglichkeit in Halbleitern
AII Manuskript gedruckt
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
1958
ISBN 978-3-663-03757-6 ISBN 978-3-663-04946-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-04946-3
Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen
G 1 i e der u n g
1. Übersicht S. 5
2. Statistik der Leitungselektronen S. 6
3. Theorie der Gitterschwingungen der III-V-Verbindungen s. 7
4. Elektronenbremsung im Zinkblende-Gitter •.•...• S. 15
J. Untersuchungen über Raumladungen beim elektrischen
Durchschlag • . S. 24
6. Zusammenfassung. S. 36
7. Literaturverzeichnis S. 37
Sei te 3
Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsminlsteriums Nordrhein-Westfalen
1. Übersicht
Die Energiebandstruktur eines Halbleiters ist gleich derjenigen eines
Isolators: das Leitungsband, welches beim absoluten Nullpunkt der Tem
peratur keine Elektronen enthält, ist durch einen Energieabstand (Abb.
1), "Energielücke" genannt, vom Valenzband getrennt. Das Valenzband ist
~
Leitungsband
o
0 0 0 0 0 Donatoren
~
Valenzband
A b b i 1 dun g
Energiebandstruktur eines Halbleiters mit Donatoren
beim absoluten Nullpunkt vollständig mit Elektronen gefüllt. Die Halb
leiter sind dadurch von den Isolatoren unterschieden, daß ihre Energie
lücke verhältnismäßig schmal ist (z.B. bei Germanium, Ge, 0,7 eV, wäh
rend der Isolator Diamant eine Energielücke von etwa 7 eV besitzt). Fer
ner besitzen sie die Eigenschaft, daß gewisse Fremdatome leicht in das
Kristallgitter eingebaut werden können, welche Elektronen ins Leitungs
band abgeben können (darum werden sie als Donatoren bezeichnet). Die
schmale Energielücke und die eventuell vorhandenen Donatoren bedingen
die stark mit der Temperatur veränderlichen elektrischen Eigenschaften
des Halbleiters. Bereits bei verhältnismäßig niedrigen Temperaturen ist
eine beträchtliche Anzahl von Elektronen aus dem Valenzband und den Do
natoren thermisch ins Leitungsband emittiert worden, und diese Zahl
steigt rapide mit der Erhöhung der Temperatur an. Wird ein elektrisches
Feld an den Halbleiter angelegt, so wird ein elektrischer Strom in Feld
richtung erzeugt. Die Beweglichkeit ~ der Elektronen ist durch die fol
gende Gleichung definiert:
j e n ~ F
Sei te 5
Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen
n ist die Elektronendichte im Leitungsband, F das elektrische Feld, e
die elektrische Elementarladung, j die erzeugte Stromdichte.
Um die Elektronenbeweglichkeit theoretisch bestimmen zu können, muß man
auf die Verteilungsfunktion der Elektronen im Geschwindigkeitsraum und
ihre Änderung bei Anlegen eines elektrischen Feldes eingehen (die Ver
teilungsfunktion, mit f bezeichnet, ist wie folgt definiert: wenn ~
der Geschwindigkeitsvektor ist, so gibt f (~) d3~ die Anzahl der Elek
tronen pro cm3 an, deren Geschwindigkeitsvektoren in dem Volumenelement
d3w um den Endpunkt von ~ enden. Bei quantenmechanischer Behandlung
des Problems der Verteilungsfunktion der Elektronen ist an die Stelle
des Geschwindigkeitsraumes der Wellenzahlraum (s.u.) zu setzen). Befin
den sich die Elektronen i~ thermischen Gleichgewicht, so sind gleich
viele Leitungselektronen mit der Geschwindigkeit ~ wie mit der Geschwin
digkeit -~ vorhanden. Das hat offenbar zur Folge, daß der eiektrische
Gesamtstrom, der durch die sich bewegenden ElektrDnen getragen wird,
verschwindet. Wird ein elektrisches Feld angelegt, so verschiebt sich
die Verteilung, die mittlere Geschwindigkeit ist nicht mehr Null, und
es resultiert ein elektrischer Strom
2. Statistik der Leitungselektronen
Zur Berechnung der gestörten Verteilungsfunktion hat man von der soge
nannten Boltzmann-Gleichung auszugehen, einer Integro-Differentialglei
chung für die zeitabhängige Verteilungsfunktion f, welche folgenden Um
ständen Rechnung trägt:
1. durch das Feld werden die Elektronen beschleunigt, sie ändern ihre
La~en im Geschwindigkeitsraum; das hat offenbar eine Änderung der
Verteilungsfunktion an solchen Stellen zur Folge, an welchen die
Ausgangsverteilung inhomogen ist.
2. durch Zusammenstöße der Elektronen mit den Schallquanten des Gitters,
deren Impulse mit denen der Elektronen vergleichbar sind, können
Elektronen aus dem betrachteten Volumenelement in andere Gebiete des
Geschwindigkeitsraumes geworfen werden, während andere Elektronen
durch Stöße in dieses Volumenelement hineingelangen.
Eine Lösung der Boltzmann-Gleichung bereitet große Schwierigkeiten.
Mein früher entwickeltes Verfahren habe ich nunmehr so vervollständigt,
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daß es auch die Anisotropie der halbleitenden Kristalle berücksichtigt
L1J).
(s. Ohne elektrisches Feld hängt die Verteilungsfunktion f nur
von der Energie E der Elektronen ab, die ihrerseits eine Funktion E(~)
der Wellenzahl ~ der Elektronen ist. Das Feld! verschiebt die Elektro
t
nenverteilung in Richtung -e (-e (ist die Kraft, die durch das Feld
auf ein Elektron ausgeübt wird). Die Gitterstöße wirken dieser Verschie
bung entgegen, so daß im stationären Fall die Flächen konstanter Vertei
!
lungsfunktion in der Richtung - verschoben und überdies - sofern die
Bremsung nicht an allen Stellen der Energieflächen gleich stark wirkt -
etwas verbogen werden. Man kann dies durch die beiden näherungsweise
übereinstimmenden Ansätze ausdrücken:
( 2)
f ist hier die Verteilungsfunktion für thermisches Gleichgewicht,
o
~ eine Relaxationszeit für die Beseitigung einer Ungleichmäßigkeit in
der Winkelverteilung durch die Stöße. Geht man mit diesem Ansatz in die
Boltzmann-Gleichung ein, so gewinnt man eine Integralgleichung für die
Relaxationszei t ~ (.fZ.), in der unter den Integralen eine unbekannte
Funktion c( ~, ./2') auf tri tt; sie ist die zei tliche Wahrscheinlichkeit
dafür, daß ein Elektron von ~ durch Gitterstöße einen Übergang in das
Einheitsvolumen um den Endpunkt von~' ausführt. Die Integralgleichung
bestimmt ~ auf jeder einzelnen Energiefläche als eine von der Feldrich
tung ( abhängige Funktion von .t . Kennt man ~ (4'1,), so ist auch f( Jz )
nach (2) bekannt. Mit Hilfe von f läßt sich der Beitrag jedes Volumen
elementes d3~ des ~-Raumes zur elektrischen Stromdichte angeben, wenn
man die zu ~ gehörende Geschwindigkeit der Elektronen kennt; durch eine
Integration über den ~ -Raum gelangt man zur Gesamtstromdichte und da
mit zur Beweglichkeit der Elektronen.
3. Theorie der Gitterschwingungen der III-V-Verbindungen
Nach Erledigung des statistischen Teils der Aufgabe hat man den Elemen
tarprozeß der Streuung eines Elektrons durch ein Gitterquant zu unter
suchen und seine zeitliche Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Hierzu müs-
sen zunächst die Gitterschwingungen des betrachteten Kristalls bekannt
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sein. Während für den Element-Halbleiter die Gitterschwingungen schon
vor längerer Zeit [2J berechnet wurden, ist diese Aufgabe für die halb
leitenden III-V-Verbindungen (z.B. InSb, GaAs, GaP) unter Anleitung von
Dr. L. TEWORDT durch cand.phys. L. MERTEN in Angriff genommen worden.
Da die III-V-Verbindungen in Zinkblendestruktur kristallisieren, wurden
ganz allgemein die Gitterschwingungen in Kristallen mit Zinkblendestruk
tur untersucht. Über die wichtigsten Ergebnisse soll im folgenden zu
sammenfassend berichtet werden.
Zur Einführung und zum besseren Verständnis sei zunächst ein kurzer
Überblick über die Bindungseigenschaften und den geometrischen Aufbau
des Zinkblendegitters gegeben.
Das Zinkblendegitter besteht aus zwei flächenzentrierten kubischen Teil
gittern, die um ein Viertel der Raumdiagonalen gegeneinander versetzt
sind, und unterscheidet sich vom Diamantgitter dadurch, daß die beiden
Teilgitter aus verschiedenen Atomen bestehen. Dianant- und Zinkblende
gitter haben mit noch einigen anderen Gittern die Eigenschaft gemeinsam,
• , •
I
,. I I
I • I I
•
, • I
I .... -------I-----~
I • ." I ,,"
1 -." -,/ -----• --.-1-_" ,
~ .... - -
•
~~========~..:::.;L-..k- - .. X 1
A b b i 1 dun g 2a A b b i 1 dun g 2b
Zinkblendegitter Elementarzelle mit ihren
beiden Gitterpunkten
daß die nächsten Nachbarn eines jeden Atoms in den Ecken eines gleich
seitigen Tetraeders sitzen, in dessen Mitte das betrachtete Atom selbst
sich befindet. Die Eckatome sind dabei im Falle des Diamantgitters die
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gleichen wie das Zentralatom, im Falle des Zinkblendegitters dagegen
von ihm verschieden.
Die Tetraederstruktur hängt unmittelbar mit dem Hauptbindungscharakter
dieser Kristalle zusammen. Betrachtet man ein paar Beispiele für das
Zinkblendegitter, etwa CuCl, ZnS, InSb, SiC, so sieht man, daß die Sum
me der Ordnungszahlen der Gruppen des periodischen Systems, denen die
beiden Bauelemente entnommen sind, in allen vier Fällen acht beträgt,
nämlich 1+1 bei CuCI, 2+6 bei ZnS, 3+5 bei InSb und 4+4 bei SiC. Da die
Ordnungszahl gleichzeitig die Zahl der Valenzelektronen angibt, so be
deutet dieses, daß jedem Bindungspaar acht Valenzelektronen zur Verfü
gung gestellt werden. Je zwei bewirken die Hauptbindung mit den näch
sten Nachbarn und zwar durch Elektronenaustausch. Man nennt sie bekannt
lich homöopolare Bindung. Da die homöopolaren Bindungskräfte hauptsäch
lich zwischen ersten Nachbarn wirksam sind, darf man annehmen, daß die
alleinige Berücksichtigung von Kräften zwischen ersten Nachbarn schon
eine brauchbare Näherung für die Berechnung der Gitterschwingungen dar
stellt.
Infolge der unterschiedlichen Kernladung und Größe der beiderlei Atom
rümpfe treten bei den Zinkblendestrukturen im Gegensatz zu den Diamant
strukturen zusätzlich Coulomb'sche Bindungskräfte auf. Da man aber ver
muten darf, daß diese gegenüber den homöopolaren Bindungskräften nur
schwach sind, wurden sie bei der Berechnung der Gitterschwingungen zu
nächst vernachlässigt.
Der Ausgangspunkt zur Berechnung der Gitterschwingungen ist die Newton
sehe Bewegungsgleichung; für das k-te Atom in der l-ten Gitterzelle gilt:
Gitterpotential,..;:(~)
(mk: Masse des Atoms, <) : Verrückungsvektor
aus der Gleichgewichtslage)
Entwickelt man die rechte Seite um die Gleichgewichtslage, so darf man
die Entwicklung bei nicht zu großen Auslenkungen nach dem linearen Glied
abbrechen (harmonische Näherung). Das konstante Glied ist die in der
Gleichgewichtslage wirksame Kraft, verschwindet also; (3) vereinfacht
sich daher zu:
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I') "(1')
~(') ~",(,
m k 11. k = - ,{-; 'f k k' . M, k'
~ (~~:)
Die Koeffizienten sind Tensoren, die als Elemente die zwei
ten partiellen Ableitungen des Gitterpotentials nach den Komponenten
der Verrückungsvektoren enthalten, kurz Kopplungsparameter genannt. Für
eine explizite Berechnung der Gitterschwingungen muß man ihre numeri
schen Werte kennen. Da eine direkte quantenmechanische Berechnung sehr
schwierig und - von reinen Ionenkristallen abgesehen - noch nicht ge
lungen ist, kann man sie nur durch meßbare makroskopische Größen fest
legen. Nach BORN lassen. sich hierzu die elastischen Konstanten verwen
den. Berücksichtigt man nur Kräfte zwischen ersten Nachbarn, so ver
bleiben aufgrund der Kristallsymmetrie nur zwei unabhängige Kopplungs
parameter, welche sich aus den elastischen Konstanten berechnen lassen.
Bezeichnet man sie mit bund c, so ergeben sich bei Verwendung der ela
stischen Konstanten c11 und c12 die einfachen Beziehungen:
=
b a . C,1
In den allgemeinen Gleichungen wurden Kräfte zwischen ersten bis dritt
nächsten Nachbarn einschließlich berücksichtigt, da Abschätzungen erga
ben, daß auch von zweiten und eventuell noch von dritten Nachbarn die
Gitterschwingungen merklich beeinflußt werden; dabei treten mehr Kopp
lungsparameter auf, als aus den elastischen Konstanten bestimmbar sind.
Bei der numerischen Auswertung werden nur erste Nachbarn berücksichtigt.
Betrachtet man den Kristall als unendlich ausgedehnt, so stellt GI.(4)
ein System von unendlich vielen linearen Differentialgleichungen dar.
Dieses läßt sich durch eine ebene Welle lösen. Dadurch reduziert sich
das Gleichungssystem auf so viele verschiedene lineare homogene Vektor
gleichungen, wie Atome in der Elementarzelle sind. Im Zinkblendegitter
sind es zwei, nämlich je eines der beiden Bauelemente, z.B. ein Zink
Atom und ein Schwefel-Atom, daher ergeben sic~ zwei Vektorgleichungen
mit den Amplitudenkomponenten als Unbekannte. Damit das System überhaupt
eine nicht-triviale Lösung besitzt, muß die Determinante des Koeffizien
tenschemas verschwinden. Da alle Koeffizienten die Wellenzahl 'OJ und
diejenigen der Hauptdiagonalen außerdem das Quadrat der Kreisfrequenz W
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linear enthalten, ergibt diese Bedingung eine Beziehung zwischen der
Frequenz und der Wellenzahl, das sogenannte Dispersionsspektrum. Da im
Falle des Zinkblendegitters, wie erwähnt, sechs Gleichungen existieren,
ist die Determinante sechsreihig und die durch ihr Nullsetzen erhaltene
Säkulargleichung eine Gleichung sechsten Grades in w2, die i~ allge
meinen sechs Lösungen besitzt, die als Schwingungszweige bezeichnet
werden. Als Gleichung sechsten Grades ist sie aber im allgemeinen alge
braisch nicht auflösbar, sondern nur für einige ausgezeichnete Richtun
gen wie die (111)- und (010)-, d.h. für eine Welle entlang der Raumdi
agonalen und der Würfelkante. Die sich ergebenden Ausdrücke seien nur
für den Fall, daß allein Kräfte zwischen ersten Nachbarn berücksichtigt
werden, explizit angeführt:
(111)-Richtung:
einfach:
zweifach:
2
W tr
(010)-Richtung: (6)
einfach:
zweifach:
(m1 und ID2 bedeuten die Massen der beiden Atome)
Die zweifachen Lösungen geben die Frequenzen der transversalen Schwin
gungen, die einfachen die der longitudinalen Schwingungen an. Die Lö
sungen mit dem positiven Wurzelvorzeichen stellen die sogenannten opti
schen Schwingungen dar, welche die auf Gitterschwingungen zurückführbaren
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