Theorie de l'integration

77 Pages·2003·0.657 MB·French

by  Jacod J.

The´orie de l’inte´gration
JeanJACOD
2002-2003
Table des matie`res
1 Introduction-Lanotiondemesure 3
1.1 Rappelssurlesensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 The´oriedelamesureetthe´oriedel’inte´gration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Laclassedesensemblesmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Lesmesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 LamesuredeLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 L’inte´grationparrapporta` unemesure 15
2.1 Lesfonctionsmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 L’inte´graledesfonctionsmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 L’inte´graledesfonctionsa` valeurscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 L’inte´graleparrapporta` lamesuredeLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Inte´gration:quelquescomple´ments 29
3.1 Ensemblesne´gligeablesetcomple´tiondetribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 The´ore`medeconvergencedomine´e:laversionde´finitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Lesmesuresavecdensite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Lesfonctionsinte´grablesausensdeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Produitsdemesures 38
4.1 Quelquesre´sultatsd’unicite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Produitd’espacesmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Produitdemesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Laformuledechangementdevariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Leproduitdeconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 LesespacesLp 54
5.1 Lesde´finitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 LesespacesLppour1≤p≤∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 L’espaceL2etlesespacesdeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Lethe´ore`medeRadon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Ladualite´ desespacesLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6 Latransforme´edeFourier 69
6.1 De´finitionetproprie´te´se´le´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Injectivite´ etformuled’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Quelquesre´sultatsdedensite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 Latransforme´edeFourierdansL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2
Chapitre 1
Introduction - La notion de mesure
1.1 Rappels sur les ensembles
Conside´ronsunensembleE,c’est-a`-direunecollectiond’objetsappele´sles“e´le´ments”,oules“points”,deE.L’ap-
partenanced’unpointxa` l’ensembleE estnote´ex∈E,etx∈/E signifiequelepointxn’appartientpasa` E.
UnepartiedeE estaussiunensemble,appele´ sous-ensembledeE :one´critF ⊂E (onditaussiqueF est“inclus”
dansE)lorsqueF estunsous-ensembledeE.
Rappelonslesope´rationse´le´mentairessurlespartiesd’unensemble:
Intersection:A∩Bestl’intersectiondesensemblesAetB,i.e.l’ensembledespointsappartenanta` lafoisa` Aeta` B.
Re´union:A∪Bestlare´uniondesensemblesAetB,i.e.l’ensembledespointsappartenanta`aumoinsl’undecesdeux
ensembles.
Comple´mentaire:SiA ⊂ E,soncomple´mentaire(dansE)estl’ensembledespointsdeE n’appartenantpasa` A;on
lenoteAc,ouparfoisE\A.
Diffe´rencesyme´trique:A∆B estl’ensembledespointsappartenanta` l’undesdeuxensemblesAouB,maispasaux
deux;onadoncA∆B =(A\(A∩B))∪(B\(A∩B)).
Ensemblevide:C’estl’ensemblenecontenantaucunpoint;onlenote∅.
Ensemblesdisjoints:LesensemblesAetBsontditsdisjointssiA∩B =∅.
Lare´unionetl’intersectionsontdesope´rationscommutativesetassociatives:onaA∪B =B∪AetA∩B =B∩A,
etaussiA∪(B∪C)=(A∪B)∪C etA∩(B∩C)=(A∩B)∩C,ensemblesqu’onnotenaturellementA∪B∪C et
A∩B∩C.Plusge´ne´ralementsionaunefamille(A ) d’ensembles,indexe´eparunensemblequelconqueI,onnote
i i∈I
∪ A (resp.∩ A )lare´union(resp.l’intersection)decettefamille,i.e.l’ensembledespointsappartenanta`aumoins
i∈I i i∈I i
l’undesA (resp.appartenanta` touslesA ):l’ordred’indexationdesA n’apasd’importance.
i i i
Lesensemblessuivantsserontutilise´ssanscesse:
IN =ensembledesentiersnaturels:0,1,2,...
IN∗=ensembledesentiersnaturelsnonnuls:1,2,...
ZZ =ensembledesentiersrelatifs:...,−2,−1,0,1,2,...
QQ=ensembledesrationnels
IR=ensembledesre´els=]−∞,∞[
IRd=espaceeuclidienre´eldedimensiond(doncIR1 =IR)
I¯R¯ = [−∞,∞]
IR = [0,∞[
+
I¯R¯ = [0,∞]
+
CC =ensembledesnombrescomplexes.
L’ensembledespointsa indexe´sparunensembleI estnote´ {a :i∈I}.Sionaunnombrefinidepointsa ,...,a ,on
i i 1 n
e´critaussi{a ,a ,...,a }.
1 2 n
Onseraamene´tre`ssouventa`fairedesope´rationsfaisantintervenir+∞(qu’one´critsouvent,demanie`replussimple,
∞)ou−∞.Pourquecesope´rationsaientunsenspre´cis,onferatoujourslesconventionssuivantes:
+∞+∞=+∞, −∞−∞=−∞, a+∞=+∞, a−∞=−∞ sia∈IR, (1)
3
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0×∞=0, a∈]0,∞] ⇒ a×∞=+∞, a∈[−∞,0[ ⇒ a×∞=−∞. (2)
Les ensembles de´nombrables :onditqu’unensembleE estde´nombrables’ilestenbijectionavecIN,c’est-a`-
diresionpeute´nume´rersespointsenunesuite(x ) (cequiimpliquenotammentquex 6=x sin6=m):c’estle
n n∈IN n m
casdeIN lui-meˆme,oudeIN∗,deZZ,deQQ,ouencoredesentierspairs,oudetoutesuitestrictementcroissanted’entiers.
Cen’estpaslecasnideIR,nidesintervalles[a,b]lorsquea<b.
Voiciquelquesproprie´te´sdesensemblesde´nombrables:d’abord,toutepartied’unensemblede´nombrableestelle-
meˆme finie ou de´nombrable. La re´union d’une famille finie ou de´nombrable d’ensembles eux-meˆmes finis ou de´nom-
brablesestunensemblefinioude´nombrable.EnrevanchesiAestn’estpasfinioude´nombrable,ilenestdemeˆmede
A\BpourtoutB ⊂Aquiestfinioude´nombrable.
Quelquesre´sultatsutilessurlesse´ries:Rappelonsenfinquelquesde´finitionsetre´sultatssurlesse´ries,notam-
mentsurcellesa`termespositifs.Soit(u ) unesuitenume´rique,etS =u +...+u la“sommepartielle”a`l’ordre
n n≥1 n 1 n
n.
P P
(S1) La se´rie u est dite convergente si S converge vers une limite finie S, note´e aussi S = u (c’est la
n n n n n
“somme”delase´rie).
P
(S2) Silase´rie u converge,lasuite(u ) tendvers0.Lare´ciproqueestfausse:onpeutavoiru → 0sans
n n n n≥1 n
P
quelase´rie u converge.
n n
P P
(S3) Lase´rie u estditeabsolumentconvergentesilase´rie |u |converge.
n n n n
(S4) Sionau ≥ 0pourtoutn,lasuiteS estcroissante,doncelletendtoujoursversunelimiteS ∈ I¯R¯ .One´crit
n n +
P
encoreS = u ,bienquelase´rieconvergeausensde(S1)sietseulementsiS < ∞.Aveclesconventions(1)ceci
n n
s’appliquemeˆmesilesu sonta` valeursdansI¯R¯ .
n +
En ge´ne´ral l’ordre dans lequel on conside`re les termes d’une se´rie est important. Il existe en effet de nombreux
exemples de suites (u ) et de bijections v de IN∗ dans lui-meˆme pour lesquels P u converge et P u di-
n n≥1 n n n v(n)
verge, ou converge vers une somme diffe´rente. Cela e´tant, il existe deux cas importants ou` l’ordre des termes n’a pas
d’importance:
(S5) Lorsquelesu sontdesre´elsdesignequelconqueetlorsquelase´rieestabsolumentconvergente,onpeutmodifier
n
demanie`rearbitrairel’ordredestermessanschangerlaproprie´te´d’eˆtreabsolumentconvergente,nilasommedelase´rie.
(S6) Siu ∈I¯R¯ pourtoutn,lasommeP u (finieouinfinie:cf.(S4)ci-dessus)nechangepassionchangel’ordre
n + n n
de sommation. Rappelons rapidement la de´monstration de cette proprie´te´, qui est fondamentale pour les probabilite´s :
soitvunebijectiondeIN∗danslui-meˆme,S =u +...+u etS0 =u +...+u ;lessuites(S )et(S0)sont
n 1 n n v(1) v(n) n n
croissantes,etonnoteSetS0leurlimitesrespectives(dansI¯R¯ ).Pourtoutnilexisteunentierm(n)telquev(i)≤m(n)
+
de`squei ≤ n;commeu ≥ 0,onadoncclairementS0 ≤ S ≤ S,doncenpassanta` lalimiteonobtientS0 ≤ S.
i n m(n)
OnmontredemeˆmequeS ≤S0,doncS =S0.
1.2 The´orie de la mesure et the´orie de l’inte´gration
La notion de mesure va e´tendre la notion usuelle de longueur pour les ensembles de IR, ou de volume pour ceux
de IRd, et ceci de deux manie`res : premie`rement on veut pouvoir conside´rer des espaces de base plus ge´ne´raux, ou
plus “abstraits” (espaces de dimension infinie, espaces sur lesquels on de´finit les probabilite´s, etc...). Deuxie`mement
etsurtout,onveutengloberdanslemeˆmecadremathe´matiqued’unepartlesnotionsdelongueurs,surface,volume,et
d’autrepartlanotionde“masses”ou“chargesponctuelles”quel’onrencontreenme´caniqueouene´lectricite´,etc...
Prenons l’exemple de IR3, suppose´ repre´senter un corps mate´riel ayant une densite´ ρ(x) et une densite´ de charge
e´lectrique ε(x) en chaque point x. Pour une partie raisonnable (on verra ce que veut dire “raisonnable” plus loin :
pour le moment, on peut penser a` une sphe`re, ou a` un polye`dre) A de IR3 on peut de´finir son volume V(A), sa masse
M(A) = R ρ(x)dx(inte´graledeRiemanndansIR3),sachargee´lectriqueE(A) = R ε(x)dx.Cestroisquantite´sont
A A
aprioridesproprie´te´s“physiques”tre`sdiffe´rentes,maisellespartagentdemanie`ree´videntelaproprie´te´ mathe´matique
suivante(ou` µ(A)de´signeV(A),ouM(A),ouE(A)):
(A)Additivite´ :Onaµ(A∪B)=µ(A)+µ(B)de`squeAetBsontdisjoints. (cid:3)
4
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Ainsi,chaquepartieraisonnableAdeIR3 asa“mesure”(devolume,demasse,decharge)µ(A)etlaproprie´te´ (A)
ci-dessusestsatisfaite:quittea` remplacerIR3 paruneensembleE quelconque,onala` lecontenuintuitifessentieldela
notiondemesure.
Malheureusement,lanotionmathe´matiquedemesureestunpeupluscomplique´e,pourdeuxraisons:d’abord,ilfaut
de´finir ce qu’on entend par partie “raisonnable” de IR3 (ou plus ge´ne´ralement de l’espace de base E sur lequel on se
place); par exemple les polye`dres, et bien d’autres parties plus complique´es, ont des volumes, mais on peut construire
despartiesdontla“frontie`re”estsicomplexequelanotiondevolumen’existepaspourelles.Ensuite,laproprie´te´ (A)
sere´ve`leinsuffisantepouravoirdebonnesproprie´te´spourlesmesures.
Passonsmaintenanta` l’inte´gration.Supposonsquel’espacedebasesoitE =[0,1].
R1
Si f est une fonction re´elle “convenable” sur E, on sait qu’on peut de´finir son inte´grale f(x)dx au sens de
0
Riemann.Rappelonsendeuxmotscetteconstruction:pourchaquesubdivisionτ = {0 = t < t < ... < t = 1}de
0 1 k
[0,1]onpose
k
X
I (f,τ) = (t −t )sup(f(x):x∈[t ,t ]),
+ i i−1 i−1 i
i=1
k
X
I (f,τ) = (t −t )inf(f(x):x∈[t ,t ]).
− i i−1 i−1 i
i=1
OnabiensuˆrI (f,τ) ≤ I (f,τ),etlaquantite´ |τ| = sup(t −t : 1 ≤ i ≤ k)s’appellelepasdelasubdivisionτ.
− + i i−1
Onditquef estRiemann-inte´grablesi,pourtoutesuiteτ desubdivisionsdontlespas|τ |tendentvers0,ladiffe´rence
n n
I (f,τ )−I (f,τ )tendvers0.DanscecasI (f,τ )etI (f,τ )convergentversunelimitecommuneetinde´pendante
+ n − n + n − n
R1
delasuiteτ ,etcettelimiteestl’inte´graledeRiemann f(x)dxdef.
n 0
Cettenotiond’inte´gralesemblea`premie`revueasseznaturelle,maisellesouffredeplusieursinconve´nientsmajeurs:
d’abord,ilestassezcomplique´dede´crirelesfonctionsRiemann-inte´grables,etcetteclasseestplutoˆtpetitecommeonle
verraci-dessous;ensuite,elles’e´tendassezfacilementa` IRd,maispasauxespacesdedimensioninfinie;maissurtout,
elleestlie´edemanie`reintrinse`quea` unemesureparticulie`resur[0,1],a` savoirlamesuredelongueur,oudeLebesgue
commeelleseraappele´eparlasuite:eneffet,sif estlafonctionindicatricedusous-intervalleA = [a,b]de[0,1](i.e.
R1
f(x)=1quandx∈Aetf(x)=0quandx∈/A),alors f(x)dx=b−aestlalongueurλ(A)=b−adeA.
0
La the´orie de l’inte´gration (au sens de Lebesgue) a pour but de pallier ces inconve´nients : on pourra inte´grer une
classe de fonctions faciles a` de´crire, qu’on appellera les fonctions mesurables, sur un espace a-priori quelconque E, et
parrapporta` unemesurequelconqueµ.Cetteconstructionestenprincipetre`ssimple:sif estl’indicatriced’unepartie
R
AdeE (doncf(x) = 1six ∈ Aetf(x) = 0six ∈/A),l’inte´graledef “parrapporta` µ”est fdµ = µ(A).Puis,on
“prolonge”cetteinte´gralea` desfonctionsplusge´ne´ralesparline´arite´ etcontinuite´.
La construction de l’inte´grale sera faite au chapitre 2, tandis que le reste de ce chapitre est consacre´ a` la de´finition
mathe´matiquedesmesures.
1.3 La classe des ensembles mesurables
Dansceparagraphe,l’espacedebaseestunensembleE quelconque.Commeonl’amentionne´ ci-dessusdanslecas
de la mesure “volume” sur E = IR3, on ne peut pas en ge´ne´ral, pour des raisons mathe´matiques, de´finir la mesure de
n’importe quelle partie de E. Notre objectif ici est donc de de´finir la classe des parties de E dont on pourra de´finir la
mesure.
1)Alge`bres:Commenc¸onsparlanotionlaplussimple(maismathe´matiquementinsuffisantepournotreobjectif):
De´finition1 Uneclasse E departiesdeEestappele´ealge`bre(oualge`bredeBoole)sielleve´rifielestrois
axiomessuivants:
(T1) E ∈E,
(T2) A∈E ⇒ Ac ∈E (“stabilite´ parpassageaucomple´mentaire”),
(T3) A,B ∈E ⇒ A∪B ∈E (“stabilite´ parre´union”).
5
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SiE estunealge`bre,lesproprie´te´ssuivantessontimme´diates:
∅∈E (par(T1)et(T2)). (3)
A ,...,A ∈E ⇒ A ∪...∪A ∈E (“stabilite´ parre´unionfinie”). (4)
1 n 1 n
A ,...,A ∈E ⇒ A ∩...∩A ∈E (“stabilite´ parintersectionfinie”). (5)
1 n 1 n
((4)s’obtientparre´currencea` partirde(T3),et(5)s’obtientpar(T2)et(4)puisqueA ∩...∩A =(Ac ∪...∪Ac)c).
1 n 1 n
Ilyabeaucoupd’alge`bressurE.Laplusgrosseestl’ensembleP(E)detouteslespartiesdeE.Lapluspetiteest
l’ensemble {∅,E} constitue´e des deux parties ∅ et E. Si A ⊂ E, la plus petite alge`bre contenant A est {∅,A,Ac,E}.
L’intersectiond’unefamillequelconqued’alge`bresestencoreunealge`bre.
2)Tribus:Onabesoinenfaitd’unenotion(plusrestrictive)declassedepartiesdeE :
De´finition2 Uneclasse E departiesdeE estappele´etribu(ouσ-alge`bredeBoole)sielleve´rifie(T1),
(T2)etl’axiomesuivant:
(T4) A ,A ,...∈E ⇒ ∪ A ∈E (“stabilite´ parre´unionde´nombrable”). (cid:3)
1 2 n∈IN∗ n
Un e´le´ment de la tribu E s’appelle un ensemble mesurable (la terminologie se rapporte au fait que les
“mesures” introduites au paragraphe suivant sont de´finies pour les e´le´ments d’une tribu, qui sont donc
“mesurables”); si on veut pre´ciser la tribu, on dit que l’ensemble est “E-mesurable”, ou “mesurable par
rapporta` E”.Lecouple(E,E)constitue´ d’unensembleE etd’unetribus’appelleunespacemesurable.
Ona(T4)⇒(T3)(prendreA = AetA = A = ... = B),donctoutetribuestunealge`bre;enrevancheilexiste
1 2 3
desalge`bresquinesontpasdestribus(cf.ci-dessous).
Remarque : L’ensemble des proprie´te´s (T1), (T2), (T3) (resp. (T1), (T2), (T4)) constitue ce qu’on appelle le syste`me
d’axiomesdesalge`bres(resp.destribus).Ilyad’autressyste`mese´quivalents:sionpose
(T’1) ∅∈E,
(T’3) A,B ∈E ⇒ A∩B ∈E,
(T’4) A ,A ,...∈E ⇒ ∩ A ∈E,
1 2 n∈IN∗ n
onalese´quivalences
(T1)+(T2)+(T3) ⇔ (T1)+(T2)+(T03) ⇔ (T01)+(T2)+(T3) ⇔ (T01)+(T2)+(T03),
(T1)+(T2)+(T4) ⇔ (T1)+(T2)+(T04) ⇔ (T01)+(T2)+(T4) ⇔ (T01)+(T2)+(T04)
pourlesalge`bresetlestribusrespectivement. (cid:3)
L’ensemble P(E) est une tribu (la plus grosse possible), tandis que {∅,E} est la plus petite. Si A ⊂ E, l’alge`bre
{∅,A,Ac,E} est une tribu. L’intersection d’une famille quelconque de tribus est encore une tribu, donc la de´finition
suivanteaunsens:
De´finition3 La tribu engendre´e par une classe de parties A de E est la plus petite tribu contenant A (=
l’intersectiondetouteslestribuscontenantA;ilyenatoujoursaumoinsune,a` savoirP(E)).Onlanote
σ(A). (cid:3)
Exemples:1)Latribuengendre´eparA={A}est{∅,A,Ac,E}.
2)Soit(E ) unepartitiondeE (i.e.lesensemblesE sontdeux-a`-deuxdisjoints,et∪ E = E),indexe´epar
i i∈I i i∈I i
unensembleI finioude´nombrable.Latribuengendre´eparlaclasse{E :i∈I}estl’ensembledespartiesdelaforme
i
6
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A=∪ E ,ou` J de´critl’ensembledespartiesdeI (aveclaconventionqueA=∅siJ =∅).SiI ={1,2}etE =A
ı∈J i 1
et E = Ac, on retrouve l’exemple 1. Si I est fini, cette tribu est aussi la plus petite alge`bre contenant les A . Si I est
2 i
de´nombrableetsilesE sonttousnonvides,cettetribucontientstrictementlapluspetitealge`brecontenantlesA ,qui
i i
peuteˆtrede´criteainsi:c’estl’ensembledespartiesdelaformeA=∪ E ,ou` J de´critl’ensembledespartiesdeI qui
i∈J i
sontfinies,oudecomple´mentairefini:danscecas,cettealge`bren’estpasunetribu.
3)Latribuengendre´eparlaclasseAdessingletonsdeE,i.e.A={{x}:x∈E},estl’ensembledespartiesAdeE
quisontfiniesoude´nombrables,ouquisontdecomple´mentaireAcfinioude´nombrable.Lapluspetitealge`brecontenant
laclasseAestl’ensembledespartiesAdeEquisontfiniesoudecomple´mentairefini.Cetexemplepeuteˆtrevucomme
uneextensiondel’exemplepre´ce´dent. (cid:3)
Bien entendu, on peut avoir σ(A) = σ(B) pour deux classes diffe´rentes A et B : dans l’exemple 1 ci-dessus, on a
σ({A})=σ({Ac}).
3) Quelques ope´rations sur les ensembles :Onvaintroduireci-dessouslanotionde“limite”pourunesuite
(A ) departiesdeE.
n ≥1
De´finition4 Onditqu’unesuite(A ) departiesdeE converge(outend)verslapartieA,etone´crit
n n≥1
A →A,sipourtoutx∈A(resp.x∈/A)onax∈A (resp.x∈/A )pourtoutnassezgrand.Entermes
n n n
dequatificateurs,celas’e´crit:
∀x∈A, ∃n , ∀n≥n , x∈A ,
0 0 n
∀x∈/A, ∃n , ∀n≥n , x∈/A , (cid:3)
0 0 n
Il est facile de ve´rifier que cette de´finition revient a` dire que la suite des fonctions indicatrices (1 ) converge
An n
simplementverslafonctionindicatrice1 (i.e.,1 (x)→1 (x)pourtoutx∈E.
A An A
Si la suite (A ) est croissante (resp. de´croissante), i.e. si A ⊂ A (resp. A ⊂ A ) pour tout n, alors elle
n n n n+1 n+1 n
convergeversA=∪ A (resp.A=∩ A );onditaussidanscecasque(A ) croit(resp.de´croit)versA,etone´crit
n n n n n n
A ↑AouA=lim ↑A (resp.A ↓AouA=lim ↓A ).
n n n n n n
Ilexistee´videmmentdessuites(A ) departiesquineconvergentpas.Maisdanstouslescasonpeutposer:
n n
De´finition5 Onappellelimitesupe´rieureetlimiteinfe´rieuredelasuite(A ) lesensemblessuivants:
n n
limsup A = lim ↓∪ A = ∩ ∪ A )
n n n m≥n m n m≥n m
(6)
liminf A = lim ↑∩ A = ∪ ∩ A .
n n n m≥n m n m≥n m
Onauneautrede´finitione´quivalentedecesensembles:
x∈limsupA ⇔ x appartienta` A pouruneinfinite´ d’indicesn, (7)
n n
n
x∈liminfA ⇔ x appartienta` A pourtoutnsaufauplusunnombrefini. (8)
n n
n
Direquelasuite(A ) convergerevienta` direquelimsup A = liminf A ,etcedernierensembleestalorsla
n n n n n n
limitedesA .Lelecteurve´rifieraaise´mentque
n
limsupA = (liminfAc)c, liminfA = (limsupAc)c. (9)
n n n n
n n n n
Enfin,e´tantdonne´s(T4),(T’4)et(6),ilestimme´diatdeve´rifierquesiE estunetribu,
A ∈E ⇒ limsupA ∈E, liminfA ∈E. (10)
n n n
n n
7
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Enparticulierona:
A ∈E et A →A ⇒ A∈E. (11)
n n
4) La tribu bore´lienne de IR : La notion de tribu bore´lienne est lie´e a` la structure “topologique” de l’ensemble
debase.Commelatopologien’estpeut-eˆtrepasfamilie`rea` tousleslecteursnousallonsessentiellementtraiterlecasde
IRd,encommenc¸antparlecasplussimple(aumoinssurleplandesnotations)deIR.
Etantdonne´elastructurerelativementsimpledecetensemble,ilexisteplusieursde´finitionse´quivalentesdelatribu
bore´liennedeIR,etnousdonnonslapluse´le´mentaire:
De´finition6 Latribubore´lienne,outribudeBorel,deIRestlatribuengendre´eparlaclassedesintervalles
ouverts.OnlanoteR,ouB(IR).Une´le´mentdecettetribuestappele´unepartiebore´lienne,ouunbore´lien.
(cid:3)
Voiciquelquesproprie´te´ssimplesdecettetribu:
Proposition7 a)Toutintervalleouvert,ferme´,ousemi-ouvert,appartienta` R.Ilenestdemeˆmedetoute
re´unionfinieoude´nombrabled’intervalles(ouverts,ferme´s,ousemi-ouverts).
b)LatribuRestaussilatribuengendre´eparl’unequelconquedesquatreclassessuivantesd’ensembles:
(i) J ={]−∞,x]:x∈IR},
(ii) J0 ={]−∞,x]:x∈QQ},
(iii) K={]−∞,x[:x∈IR},
(iv) K0 ={]−∞,x[:x∈QQ}.
Preuve. a) On a ]a,b[∈ R par de´finition de R. Comme [a,b] = ∩ ]a− 1,b+ 1[ on a [a,b] ∈ R par (6). De meˆme
n n n
[a,b[= ∩ ]a− 1,b[et]a,b] = ∩ ]a,b+ 1[,onvoitquecesdeuxintervallessemi-ouvertssontbore´liens.Ladernie`re
n n n n
assertionde(a)de´coulede(4)et(T4).
b)Nousnemontronsiciquelese´galite´sσ(J) = σ(J0) = R,lesdeuxautressemontrantdemanie`reanalogue.On
aJ0 ⊂ J,etJ ⊂ Rd’rapre`s(a).Ilrestea` montrerqueR ⊂ σ(J0),etpourcelailsuffitdeve´rifierquetoutintervalle
ouvert]a,b[aveca<bestdansσ(J0).Ilexistedeuxsuitesderationnels(a ) et(b ) tellesquea<a <b <b
n n≥1 n n≥1 n n
etquea ↓aetb ↑b.Ona]a ,b ]=]−∞,b ]∩(]−∞,a ])c,donc]a ,b ]∈σ(J0).Onaaussi]a,b[=∪ ]a ,b ],
n n n n n n n n n n n
donc]a,b[∈σ(J0):lere´sultatestdoncde´montre´. (cid:3)
Remarques:1) Laproposition7montrequelatribuRestenfaitengendre´eparuneclassede´nombrabled’ensembles.
Ilesta`noterquecen’estpaslecasdetouteslestribus.Conside´ronsparexemplelatribuE deIRengendre´eparlaclasse
Adessingletons(cf.Exemple3ci-dessus).Commeunsingletonestunintervalleferme´,ilappartienta` R,etparsuite
E ⊂R.CependantlaclasseAn’estpasde´nombrable,etonpeutd’ailleursde´montrerqueE n’estengendre´e(entantque
tribu)paraucuneclassede´nombrable,etcecibienqueE soitcontenuedansR.
2) Il n’est pas possible de donner une description plus concre`te ou “constructive” de R que ci-dessus. Toutes les
re´unionsfiniesoude´nombrablesd’intervallessontdesbore´liens,maiscertainsbore´liensnesontpasdecetteforme.En
fait,touteslespartiesdeIRqu’onrencontredanslapratiquesontdesbore´liens,etilfautunpeusefatiguerpourconstruire
unepartiedeIRquin’estpasbore´lienne:maisilenexiste!
Examinons maintenant le cas de I¯R¯, qui est tout-a`-fait analogue a` celui de IR, a` ceci pre`s qu’on doit distinguer les
intervalles]−∞,x](semi-ouvert)et[−∞,x](ferme´),et]−∞,x[(ouvert)et[−∞,x[(semi-ouvert),etdemeˆmeen+∞.
Aveccesmodificationstriviales,lade´finition6restevalable,ainsiquelaproposition7aveclameˆmede´monstration,a`
conditionderemplacer]−∞,x]par[−∞,x].OnnoteraR¯)latribubore´liennedeI¯R¯.
Lafindeceparagraphepeuteˆtreomise.Elleae´te´ re´dige´eenvued’applicationsa` dessituationsplusge´ne´ralesque
cellesdececours,maisquiserencontrentparfois.Eneffet,lade´finition6delatribudeBorelRn’estpaslade´finition
“canonique”.Celle-cireposesurlanotiond’ouvert:onditqu’unepartieAdeIRestunouvert(ouunepartieouverte)
si,pourtoutx∈A,ilexisteunε>0telqu’onaitl’inclusion]x−ε,x+ε[⊂A.Lecomple´mentaired’unouvertestce
qu’onappelleunferme´,ouunepartieferme´e.
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Les intervalles ouverts (resp. ferme´s) sont des ouverts (resp. des ferme´s); l’ensemble vide et IR lui-meˆme sont des
ouverts, et donc aussi des ferme´s, mais il n’existe pas d’autre partie de IR qui soit a` la fois ouverte et ferme´e; les
intervallessemi-ouverts[a,b[et]a,b]nesontniouvertsniferme´slorsquea,b∈IReta<b(toutefois]−∞,b]et[a,∞[
sontferme´s).Unere´unionquelconqued’ouvertsestunouvert.Uneintersectionfinied’ouvertsestunouvert,maisune
intersectioninfinie(de´nombrableounon)d’ouvertspeutnepaseˆtreunouvert:parexemplel’intersectiondesintervalles
ouverts]− 1, 1[estleferme´ {0}.
n n
LastructuredesouvertsdeIRestdoncplutoˆtcomplique´e,etl’inte´reˆtd’introduireunetellenotionn’estpeut-eˆtrepas
e´videnta-priori.Enfaitelleoffrelapossibilite´dede´finirdemanie`resimplelaconvergencedessuites:unesuitedere´els
(x ) converge vers une limite x si et seulement si pour tout ouvert A contenant x, les x sont dans A pour tout n
n n≥1 n
assezgrand(entermes“axiomatiques”:sietseulementsipourtoutouvertAcontenantx,ilexisteunentierN telque
n>N ⇒x ∈A);parailleurs,elles’e´tenda` desespacesplusabstraitsqueIR.Onaalorslere´sultatsuivant:
n
Proposition8 a) Tout ouvert non vide A de IR est re´union de´nombrable d’intervalles ouverts, et aussi
re´unionde´nombrabled’intervallesferme´s.
b)Latribubore´lienneRestlatribuengendre´eparlaclassedesouverts,etaussilatribuengendre´eparla
classedesferme´s.
Preuve. a)SoitAunouvertnonvide.SoitA(resp.B)lafamilledesintervalles]a,b[(resp.[a,b])quisontcontenusdans
Aetquisontd’extre´mite´saetbdansl’ensembledesrationnelsQQ.L’ensembledecesintervallesestde´nombrable.Sipar
ailleursx∈Ailexisteε>0avec]x−ε,x+ε[⊂A,doncilexistedeuxrationnelsa,bavecx−ε<a<x<b<x+ε,
donc]a,b[⊂[a,b]⊂A:doncxestdansl’undese´le´mentsaumoinsdechacunedesclassesAetB.Ils’ensuitqueAest
lare´uniondesintervallesappartenanta` A(resp.a` B).
b) D’une part tout ouvert est re´union de´nombrable d’intervalles ouverts, donc est dans R par (T4) : donc la tribu
engendre´eparlesouvertsestcontenuedansR.Al’inverse,lesintervallesouvertssontdesouverts,doncRestcontenue
dans la tribu engendre´e par les ouverts : cela de´montre la premie`re partie de (b). Comme un ensemble est ferme´ si et
seulementsic’estlecomple´mentaired’unouvert,(T2)montrequelatribuengendre´eparlaclassedesouvertsetcelle
engendre´eparlaclassedesferme´ssontidentiques. (cid:3)
C’estenfaitlaproprie´te´(b)ci-dessusquifournitlade´finitionhabituelledelatribubore´lienne.Onditqu’unensemble
E est un espace topologique s’il est muni d’une classe A d’ensembles (les ouverts) stable par intersection finie et par
re´unionquelconque,contenant∅etE.Lesferme´ssontparde´finitionlescomple´mentairesdesouverts,etonpose:
De´finition9 SiE estunespacetopologique,latribubore´liennedeE,note´eB(E),estlatribuengendre´e
parlaclassedespartiesouvertesdeE(commelesferme´sdeEsontlescomple´mentairesdesouverts,B(E)
estaussilatribuengendre´eparlaclassedesferme´sdeE).Une´le´mentdelatribubore´lienneestaussiappele´
unepartiebore´lienne,ouunbore´lien,deE (cid:3)
5)Latribubore´liennedeIRd :OnvamaintenantexaminerlecasdeIRd.RappelonsquesilesA sontdesparties
i
deIR,leur“produit”Qd A estlapartiedeIRdconstitue´edespoints(ou“vecteurs”)xdontles“coordonne´es”x sont
i=1 i i
contenuesdanslesA .Donnonsd’abordlade´finition“na¨ıve”desbore´liensdeIRd,analoguea` lade´finition6:
i
De´finition10 Latribubore´lienneRd,ouB(IRd),deIRdestlatribuengendre´eparlaclassedes“rectangles
ouverts”Qd ]a ,b [.Attentiona` lanotation(usuelle)Rd:latribubore´liennedeIRdn’estpas,commeon
i=1 i i
levarreplustard,lede`mepuissancecarte´siennedelatribuRdeIR.
Unede´monstrationanaloguea` celledelaproposition7-bdonne:
LatribuRdestlatribuengendre´eparlaclassedesrectangles (cid:27)
(12)
delaformeQd ]−∞,x ],aveclesx rationnels.
i=1 i i
Sionveutmaintenantutiliserlade´finition9,ilconvientd’aborddede´finirlesouvertsdeIRd.UnepartieAestdite
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ouvertesipourtoutx ∈ Ailexisteε > 0telquetouslespointsy situe´sa` unedistanceinfe´rieurea` εdexsontdansA
(ladistanceesticiladistanceeuclidienneusuelle).La` encore,unesuite(x ) convergeversunelimitexdansIRd si
n n≥1
etseulementsipourtoutouvertAcontenantx,onax ∈Apourtoutnassezgrand.
n
Proposition11 LatribuRd estlatribuengendre´eparlesouvertsdeIRd,etaussicelleengendre´eparles
boulesouvertesdeIRd(onappellebouleouvertedecentrexetderayona>0l’ensembledesy ∈IRdqui
sonta` unedistancestrictementinfe´rieurea` adex).
Preuve. SoitAetBlestribusengendre´esparlesouverts,etparlesboulesouvertes,respectivement.Toutebouleouverte
e´tantunouvert,onaB ⊂A.
Exactement comme dans la proposition 8, un ouvert A est la re´union (de´nombrable) de toutes les boules ouvertes
contenuesdansA,dontlerayonaestrationneletdontlecentrexadescoordonne´esquisontrationnelles:celaimplique
queA⊂B,doncB =A.
Parailleursonvoitqu’unrectangleouvertestunouvert(ve´rificationimme´diate),desortequeRd ⊂ B.Enfin,ilest
faciledeve´rifierqu’unebouleouverteBestlare´union(de´nombrable)detouslesrectanglesouvertsQd ]a ,b [quisont
i=1 i i
contenusdansBettelsquelesa etb sontdesrationnels:celaimpliquequeB ⊂Rd,doncfinalementB =Rd. (cid:3)
i i
1.4 Les mesures
Nousallonsmaintenantdonnerunsensmathe´matiquepre´cisa`lanotiondemesure.Danstoutceparagraphe,l’espace
debaseE estfixe´etmunid’unetribuE e´galementfixe´e(onditparfoisquelecouple(E,E)estunespacemesurable,ce
quiexprimebienqu’onalesingre´dientsne´cessairea` laconstructiondesmesures).
De´finition12 Unemesuresur(E,E)estuneapplicationµdeE dansI¯R¯ =[0,∞],ve´rifiant“l’axiomede
+
σ-additivite´”suivant:
P
(SA) σ-additivite´ : µ(∪ A ) = µ(A ) pour toute suite (A ) d’e´le´ments de E qui
n∈IN∗ n n∈IN∗ n n n≥1
sontdeux-a`-deuxdisjoints(i.e.A ∩A =∅sin6=m),
n m
ainsiquel’axiomesuivant:
(O) µ(∅)=0.
Lamesureµestditefinie,oudemassetotalefinie,siµ(E)<∞. (cid:3)
Une mesure est donc une application sur la tribu E; mais par abus de langage la quantite´ µ(A) pour un A ∈ E
s’appellela“mesuredel’ensembleA”(ouparfois:la“valeurdeµsurA”)
Dansl’axiomedeσ-additivite´(SA),lare´union∪ A nede´pendpasdel’ordreparlequelonnume´rotelesA ;graˆce
n n n
P
a` laproprie´te´ (S6),lasomme µ(A )nede´pendpasnonplusdel’ordredesommation!
n n
Onverraplusloinquelesproprie´te´s(SA)et(O)impliquentlaproprie´te´d’additivite´(A),cequin’estpascomple`tement
e´videnta-priori.UneapplicationdeE dansI¯R¯ quive´rifieseulement(A)s’appelleunemesureadditive,bienquecene
+
soit pas ne´cessairement une mesure! Intuitivement parlant, la notion de mesure additive est plus naturelle que celle
de mesure, que ce soit pour les mesures “de volume”, “de masse”, etc... e´voque´es plus haut, ou dans le cadre de la
the´oriedesprobabilite´s.Maiselleaunde´fautre´dhibitoire:laclassedesmesuresadditivesaunestructuremathe´matique
extreˆmement pauvre, ne permettant en particulier pas de de´finir une notion satisfaisante d’inte´grale par rapport a` ces
mesuresadditives.Onestdoncconduita` utiliserlesmesuresausensdelade´finition12;etc’estlaformedel’axiome
deσ-additivite´ (SA)quinousobligea` conside´rercommeclassed’ensembles“mesurables”unetribuaulieudelanotion
plussimpled’alge`bre.
Le fait que µ(A) ≥ 0 pour tout A est une restriction propre a` ce cours : il conviendrait d’appeler la notion de´finie
ci-dessusunemesurepositive,maispourdesraisonsdesimplicite´ nousneleferonspasenge´ne´ral.
Lefaitqueµ(A)puisseeˆtreinfinipourcertainsAestindispensablepourlesapplications.ParexemplesiE = IRet
siµrepre´sentelamesuredelongueur,µ(IR)(quiestla“longueurtotale”deIR)vaut+∞.
Exemples:
10