Table Of ContentThØorie de Galois
Marc SAGE
Table des matiŁres
1 Introduction 2
1.1 Prolongements d(cid:146)isomorphismes aux corps de dØcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Morphisme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Polyn(cid:244)mes sØparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Corps parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Corps (cid:133)nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.2 CyclicitØ de Gal Fq(cid:30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Fp
1.6.3 Extensions intermØdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
(cid:0) (cid:1)
1.7 Cl(cid:244)ture algØbrique de Fq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 ThØorŁme de L(cid:252)roth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 ThØorie de Galois 12
2.1 (cid:201)tude prØliminaires des K-morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 ThØorŁme d(cid:146)existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Extensions sØparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Extensions galoisiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Lemme d(cid:146)Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Correspondance de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Cl(cid:244)ture galoisienne d(cid:146)une extension sØparable (cid:133)nie (cid:150)ThØorŁme de l(cid:146)ØlØment primitif . . . . . . . 19
2.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6.1 Racines de l(cid:146)unitØs (cid:150)Extensions cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6.2 Polyn(cid:244)mes symØtriques (cid:150)Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6.3 Extension cycliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 RØsolubilitØ par radicaux 27
3.1 Extensions composØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Calcul de Gal L1L2(cid:30)K en fonction de Gal L1(cid:30)K et Gal L2(cid:30)K . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Construction de la thØorie des groupes : produit (cid:133)brØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
4 Calcul du groupe de Galois d(cid:146)un polyn(cid:244)me P Z[X] via la rØduction modulo p 32
2
4.1 Lecture de Gal P dans la dØcomposition de P en facteurs irrØductibles . . . . . . . . . . . . . . 32
Q
4.2 RØduction modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.1 Construction d(cid:146)un corps de dØcomposition de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.2 Injection de Gal P dans Gal P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Fp Q
4.2.3 Recherche de facteurs irrØductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1
1 Introduction
1.1 Prolongements d(cid:146)isomorphismes aux corps de dØcomposition
DØ(cid:133)nition.
Soit K un corps, P K[X].
2
Un corps de dØcomposition de P est une extension L de K telle que
P est scindØ sur L
.
L engendrØ par les racines de P
(cid:26)
Proposition (rappel).
Un corps de dØcomposition existe toujours, et est unique (cid:224) isomorphisme prŁs.
Proposition (prolongement d(cid:146)isomorphismes aux corps de dØcomposition).
Soit (cid:27) :K K un isomorphisme de corps. Soit P K [X], et P K [X] le polyn(cid:244)me obtenu via (cid:27),
1 2 1 1 2 2
(cid:0)! 2 2
L le corps de dØcomposition de P sur K
et 1 1 1 . Alors il existe un isomorphisme (cid:27) :L L qui prolonge
L2 le corps de dØcomposition de P2 sur K2 1 (cid:0)! 2
(cid:27) :(cid:26)
K , L
1 1 e
!
(cid:27) (cid:27) ,
# #
K , L
2 2
!
le nombre (cid:23) de tels isomorphismes vØri(cid:133)e e
(cid:23) [L :K ],
1 1
(cid:20)
et si P est scindØ simple dans L , on a l(cid:146)ØgalitØ
1 1
(cid:23) =[L :K ].
1 1
DØmonstration.
On fait alors une rØcurrence sur d=[L :K ].
1 1
L =K
Si d=1, i.e. si K =L , ce qui revient (cid:224) dire que P a toutes ses racines dans K , alors 1 1 , et
(cid:15) 1 1 1 1 L2 =K2
(cid:26)
(cid:27) vaut nØcessairement (cid:27). On a alors bien (cid:23) =1=[L ;K ].
1 1
Soit d>1, et supposons la proposition vraie pour tous les extensions (de dØcomposition) de degrØ <d.
(cid:15)
Si P est scindØ sur K , alors L =K et d=1, absurde. P peut donc s(cid:146)Øcrire dans K [X] comme
e 1 1 1 1 1 1
P =Q (cid:10)
1 1 1
oøQ estunfacteurirrØductibledeP surK dedegrØ2 degQ <degP ;notonsQ sonimagedansK [X].
1 1 1 1 1 2 2
(cid:20)
Dans L [X], on a alors
1
P =(cid:5)r (X (cid:21) )
1 i=0 (cid:0) i , 1 s r,
(cid:26) Q1 =(cid:5)si=0(X(cid:0)(cid:21)i) (cid:20) (cid:20)
et dans L [X] on a
2
P =(cid:5)r (X (cid:22) )
2 i=0 (cid:0) i , 1 s r.
(cid:26) Q2 =(cid:5)si=0(X(cid:0)(cid:22)i) (cid:20) (cid:20)
Le point (cid:224) remarquer est que tout prolongement (cid:27) de (cid:27) (cid:224) L envoie les racines de Q sur celles de Q . En e⁄et,
1 1 2
on a
e
(cid:5)s (X (cid:22) )=Q =(cid:27)(Q )=(cid:27)(Q )=(cid:27)((cid:5)s (X (cid:21) ))=(cid:5)s (cid:27)(X (cid:21) )=(cid:5)s (X (cid:27)((cid:21) )),
i=0 (cid:0) i 2 1 1 i=0 (cid:0) i i=0 (cid:0) i i=0 (cid:0) i
donc nØcessairement (cid:27)((cid:21) ) est un (cid:22) oø 0 i s.
0 i e (cid:20) (cid:20)e e e
Soit donc
K =K [(cid:21) ], K [(cid:21) ;:::;(cid:21) ]=L ,
e 10 1 0 ! 1 0 r 1
2
avec [K :K ] = deg(cid:21) ; or Q est un polyn(cid:244)me irrØductible sur K qui annule (cid:21) , donc Q est le polyn(cid:244)me
10 1 0 1 1 0 1
minimal de (cid:21) sur K . On en dØduit deg(cid:21) =degQ , d(cid:146)oø
0 1 0 1
[K :K ]=degQ >1.
10 1 1
Pour chaque racine distincte (cid:22) de Q , on dØ(cid:133)nit un morphisme
i 2
K =K [(cid:21) ] L
10 1 0 (cid:0)! 2
(cid:27) : x K (cid:27)(x)
i 1
8 2 7(cid:0)!
(cid:21) (cid:22)
< 0 7(cid:0)! i
par
:
K L
(cid:27)i : a10(cid:21)n (cid:0)! (cid:27)(a2 )(cid:22)n
(cid:26) n 0 7(cid:0)! n i
(remarquer au passage que (cid:27)i prolonge (cid:27)). SPoit alors P
K =(cid:27) (K )=(cid:27) (K [(cid:21) ])=K [(cid:27) ((cid:21) )]=K ((cid:22) ), L .
20 i 10 i 1 0 2 i 0 2 i ! 2
RØsumons la situation :
K , K =K [(cid:21) ] , L =K [(cid:21) ;:::;(cid:21) ]
1 ! 10 1 0 ! 1 1 0 r
(cid:27) (cid:27) .
i
# #
K , K =K [(cid:22) ] , L =K [(cid:22) ;:::;(cid:22) ]
2 ! 20 2 i ! 2 2 0 r
On va appliquer l(cid:146)hypothŁse de rØcurrence au morphisme (cid:27) :K K et au polyn(cid:244)me P . Il convient de
i 10 (cid:0)! 20 1
vØri(cid:133)er les hypothŁses.
P est scindØ sur L , et l(cid:146)engendrØ de ses racines sur K vaut
1 1 10
K [(cid:21) ;:::;(cid:21) ]=K [(cid:21) ][(cid:21) ;:::;(cid:21) ]=K [(cid:21) ;(cid:21) ;:::;(cid:21) ]=K [(cid:21) ;(cid:21) ;:::;(cid:21) ]=L ,
10 0 r 1 0 0 r 1 0 0 r 1 0 1 r 1
donc L est bien un corps de dØcomposition de P sur K . De mŒme, P est scindØ sur L et
1 1 10 2 2
K [(cid:22) ;:::;(cid:22) ]=K [(cid:22) ][(cid:22) ;:::;(cid:22) ]=K [(cid:22) ;:::;(cid:22) ]=L ,
20 0 r 2 i 0 r 2 0 r 2
donc L est bien un corps de dØcomposition de P sur K . D(cid:146)autre part, le degrØ de l(cid:146)extension L sur K vaut
2 2 20 1 10
[L :K ] [L :K ]
[L :K ]= 1 1 = 1 1 <[L :K ].
1 10 [K :K ] degQ 1 1
10 1 1
On peut donc rØcurrer : il existe un morphisme (cid:27) :L L qui prolonge (cid:27) , donc qui prolonge (cid:27) :
i 1 2 i
(cid:0)!
K , K =K [(cid:21) ] , L =K [(cid:21) ;:::;(cid:21) ]
1 ! 10 1 e0 ! 1 1 0 r
(cid:27) (cid:27) (cid:27) ,
i i
# # #
K , K =K [(cid:22) ] , L =K [(cid:22) ;:::;(cid:22) ]
2 ! 10 2 i ! 2 2 0 r
e
et leur nombre (cid:23) est au plus Øgal [L :K ].
i 1 10
Pour l(cid:146)inØgalitØ : si (cid:27) : L L est un prolongement de (cid:27), alors (cid:27)((cid:21) ) est nØcessairement un (cid:22) , donc
1 (cid:0)! 2 0 i
(cid:27) est nØcessairement un (cid:27) . Par consØquent, en notant
jK10 i
e e
N =# (cid:22) ;:::;(cid:22) degQ ,
e f 1 sg(cid:20) 2
i.e. le nombre de racines distinctes de Q , on a N choix pour (cid:27) (qui correspondent bien (cid:224) des morphismes
2 i
(cid:27) ((cid:21) )=(cid:22)
distincts, car i 0 i sont distincts pour i = j). Par ailleurs, l(cid:146)hypothŁse de rØcurrence nous fournit
(cid:26) (cid:27)j((cid:21)0)=(cid:22)j 6
au plus [L :K ] choix pour (cid:27) (cid:224) i (cid:133)xØ. On a (cid:133)nalement au plus
1 10 i
[L :K ] degQ
N e[L :K ]=N 1 1 2 [L :K ]=[L :K ]
(cid:2) 1 10 degQ (cid:20) degQ 1 1 1 1
1 1
choix pour (cid:27).
En(cid:133)n, si P est scindØ simple dans L , on a ØgalitØ partout. En e⁄et, Q est alors scindØ simple, donc on
1 1 1
a N = degQ choix pour i; comme de plus P est scindØ simple sur K , on a par hypothŁse de rØcurrence
e 1 1 10
[L :K ] choix pour.(cid:27) .
1 10 i
e
3
1.2 Groupe de Galois
DØ(cid:133)nition.
Soit K Ldeuxcorps.Onappelle K-automorphismede Ltoutautomorphismede Lqui(cid:133)xe K.Onappelle
(cid:26)
groupe de Galois de L sur K l(cid:146)ensemble des K-automorphismes de L. On le note
Gal L(cid:30)K = (cid:27) AutL ; a K, (cid:27)(a)=a .
f 2 8 2 g
(cid:0) (cid:1)
PropriØtØ.
Si L est un corps de dØcomposition d(cid:146)un polynome P de K[X], alors
Gal L(cid:30)K [L:K],
(cid:20)
et si P est scindØ simple sur L, il y a Øgalit(cid:12)Ø. (cid:0) (cid:1)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
DØmonstration.
Puisqu(cid:146)un K-automorphisme de L est un prolongement (cid:224) L de l(cid:146)identitØ sur K, on applique la proposition
prØcØdente (cid:224) K =K =K et (cid:27) =Id.
1 2
1.3 Morphisme de Frobenius
DØ(cid:133)nition.
Soit K un corps de caractØristique p. On appelle morphisme de Frobenius le morphisme de corps :
K K
Fr: (cid:0)! .
x xp
(cid:26) 7(cid:0)!
On note son image
Kp = xp oø x dØcrit K .
f g
Fr est bien un morphisme additif, Øtant donnØ que pour i p=n,
^
p p p 1 p 1
= (cid:0) =pi(cid:0)1 (cid:0) 0 [p]
i i i 1 i 1 (cid:17)
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19)
et donc que
p 1
Fr(x+y)=(x+y)p =xp+ (cid:0) p xiyn i+yp =xp+yp.
(cid:0)
i
i=1(cid:18) (cid:19)
X
=0
| {z }
1.4 Polyn(cid:244)mes sØparables
DØ(cid:133)nition.
Un polyn(cid:244)me de K[X] est dit sØparable si toutes ses racines sont simples dans toute extension de K.
Si K L est une extension algØbrique, un ØlØment x de L est dit sØparable si son polyn(cid:244)me minimum est
(cid:26)
sØparable.
Proposition (critŁre de sØparabilitØ sans sortir du corps de base).
Un polyn(cid:244)me P K[X] est sØparable ssi il est premier avec sa dØrivØe :
2
P sØparable P P =1.
0
() ^
DØmonstration.
4
Si P n(cid:146)est pas sØparable, P a une racine double dans une extension L de K, donc P P =1 dans L[X], a
0
^ 6
fortiori dans K[X] puisque le pgcd est inchangØ par extension de corps.
RØciproquement, si P P = 1, alors P a une racine double dans un de ses corps de dØcomposition, donc
0
^ 6
n(cid:146)est pas sØparable.
Proposition (critŁre de sØparabilitØ pour les polyn(cid:244)me irrØductibles).
Soit P K[X] irrØductible. Alors P est sØparable ssi P =0.
0
2 6
DØmonstration.
SiP estirrØductiblesurK[X]etn(cid:146)estpassØparable,alorsP etP ont(dansuneextensiondeK)unfacteur
0
en commun non constant, qui ne peut Œtre que P vu que P est irrØductible, d(cid:146)oø P P , ce qui implique P =0
0 0
j
en prenant les degrØs.
RØciproquement, P = 0 = P P = P P = P = 1 = P non scindØ simple dans une cl(cid:244)ture
0 0 0
) j ) ^ 6 )
algØbrique de K.
Proposition (factorisation de Xp a).
(cid:0)
Soit K de caractØristique p>0, et a K.
2
Si a Kp, alors Xp a se scinde en
(cid:15) 2 (cid:0)
Xp a= X ppa p.
(cid:0) (cid:0)
Si a = Kp, alors Xp a est irrØductible. (cid:0) (cid:1)
(cid:15) 2 (cid:0)
DØmonstration.
(cid:201)vident car on est en caractØristique p.
(cid:15)
Montrons la contraposØe. Si P = Xp a n(cid:146)est pas irrØductible, soit Q un facteur irreductible de P, de
(cid:15) (cid:0)
sorte que
Xp a=QR
(cid:0)
avec 1 degQ<p. Soit b une racine de Q dans une extension appropriØe de K. Alors
(cid:20)
0=QR(b)=P (b)=bp a,
(cid:0)
d(cid:146)oø
Xp a=Xp bp =(X b)p,
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
donc Q (X b)p, i.e. Q = (X b)r pour un 1 r < p. Puisque Q K[X], son terme constant br est dans
j (cid:0) (cid:0) (cid:20) 2
K; or p est premier, donc Bezout donne ur+vp=1, d(cid:146)oø
b=(br)u(bp)v K = a=bp Kp.
2 ) 2
Corollaire.
Dans K =Fp(T), le polyn(cid:244)me P =Xp T K[X] n(cid:146)est pas sØparable.
(cid:0) 2
DØmonstration.
Montrons dØj(cid:224) que P est irrØductible sur K = Fp(T). D(cid:146)aprŁs la proposition prØcØdente, il su¢ t pour cela
de montrer que T K n(cid:146)est pas une puissance de p dans K. Si c(cid:146)Øtait le cas, on aurait T = A p avec
2 B
A= a Ti =0 (cid:0) (cid:1)
i i 6 ,
B = b Ti
(cid:26) P i i
Ap = apTpi P
d(cid:146)oø i i et
Bp = bpTpi
(cid:26) Pi i
P apTpi =Ap =TBp =T bpTpi = bpTpi+1,
i i i
i i i
X X X
absurde car p 2.
(cid:21)
Il reste (cid:224) voir que P =0, donc, d(cid:146)aprŁs la derniŁre proposition, P ne peut Œtre sØparable.
0
5
1.5 Corps parfaits
DØ(cid:133)nition.
Un corps K est dit parfait si tout polyn(cid:244)me irrØductible de K[X] est sØparable.
Proposition (critŁre de perfection).
Si carK =0, alors K est parfait.
(cid:15)
Si carK =p>0, alors K est parfait ssi Kp =K, i.e. ssi Fr est surjectif.
(cid:15)
Demonstration.
Si carK =0, alors tout polyn(cid:244)me irrØductible y est de degrØ au moins Øgal (cid:224) 1, donc de dØrivØe non nulle,
(cid:15)
donc sØparable.
Si Kp K, soit a K Kp. Le polyn(cid:244)me Xp a est alors irrØductible (car a = Kp) et de dØrivØe nulle,
(cid:15) 2 n (cid:0) 2
donc n(cid:146)est pas sØparable et K ne peut Œtre parfait.
Si Kp = K, soit P K[X] irrØductible. Si P n(cid:146)Øtait pas sØparable, sa dØrivØe serait nulle. En posant
2
P = a Xk, on aurait
k 0 k
(cid:21) n
P 0=P = a kXk 1,
0 k (cid:0)
k=1
X
d(cid:146)oø a k =0 pour tout k et a =0 pour k p=1.On en dØduirait
k k
^
p
P = apjXjp = ppapjpXjp = ppapjXj
0 1
j 0 j 0 j 0
X(cid:21) X(cid:21) X(cid:21)
@ A
oø l(cid:146)un des a est non nul (sinon P =0), absurde car P irrØductible.
pj
1.6 Corps (cid:133)nis
1.6.1 Rappels
Z K
Soit K un corps (cid:133)ni. Le morphisme (cid:0)! ne saurait Œtre injectif, donc son noyau est du type
n n 1
K
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:1)
aZ avec a=0. Alors a est nØcessairement premier, puisque pour toute dØcomposition a=bc on a
6
0=a 1 =bc 1 =(b 1 )(c 1 )
K K K K
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
d(cid:146)oø b 1K =0 (ou c 1K) par intØgritØ de K, i.e. b aZ, ou encore a b.
(cid:1) (cid:1) 2 j
On note alors a=p (comme premier). p est appelØe caractØristique de K, et est notØe
carK =p.
D(cid:146)autre part, K contient les p itØrØs de 1K, i.e. le corps Fp = 0;1;:::;p 1 vu dans K (on appelle cette
f (cid:0) g
copie de Fp le sous-corps premier de K) Ainsi,
carK =p>0 = Fp , K.
) !
On peut alors considØrer K comme un Fp-espace vectoriel de dimension (cid:133)nie n, d(cid:146)oø K =pn.
j j
Proposition (rappel).
Soit p premier. Pour tout n 1, il existe ((cid:224) isomorphisme prŁs) un unique corps (cid:133)ni de cardinal q = pn :
(cid:21)
c(cid:146)est le corps de dØcomposition sur Fp de Xq X, et on le note Fq: On a de plus Fp , Fq.
(cid:0) !
Proposition (rappel).
F(cid:3)q est cyclique.
6
1.6.2 CyclicitØ de Gal Fq(cid:30)
Fp
(cid:0) (cid:1)
Proposition.
Gal Fq(cid:30) est cyclique et engendrØ par Fr :
Fp
(cid:0) (cid:1)
Gal Fq(cid:30) = Fr .
Fp h i
(cid:0) (cid:1)
DØmonstration.
Soit a engendrant F(cid:3)q, de sorte que Fq = Fp[a]. Les ØlØment (cid:27) de G = Gal Fq(cid:30)Fp sont entiŁrement
dØterminØs par les (cid:27)(a), donc
(cid:0) (cid:1)
G # (cid:27)(a) oø (cid:27) dØcrit G .
j j(cid:20) f g
En considŁrant le polyn(cid:244)me minimal P de a sur Fp, avec degP =[Fq :Fp]=n, on remarque que les (cid:27)(a) sont
des racines de P car P Fp et (cid:27) (cid:133)xe Fp :
2
P ((cid:27)(a))= (cid:21) ((cid:27)(a))k = (cid:27)((cid:21) )(cid:27) ak = (cid:27) (cid:21) ak =(cid:27) (cid:21) ak =(cid:27)(P (a))=(cid:27)(0)=0.
k k k k
!
k k k k
X X (cid:0) (cid:1) X (cid:0) (cid:1) X
Il y a donc au plus n possibilitØs pour (cid:27)(a), d(cid:146)oø G n.
j j(cid:20)
PourmontrerqueFrengendreG,ilsu¢ tdemontrerquesonordre! dansGest n.Pourcela,onremarque
que x Fq, x = Id(x) = Fr!(x) = xp!, donc le polyn(cid:244)me Xp! X s(cid:146)annule sur(cid:21)Fq tout entier, donc est de
8 2 (cid:0)
degrØ p! q =pn, d(cid:146)oø ! n, CQFD.
(cid:21) (cid:21)
1.6.3 Extensions intermØdiaires
Lemme 0.
Soient a et b des entiers 1 et p un entier 2. Alors
(cid:21) (cid:21)
(pa 1) pb 1 =pa b 1
(cid:0) ^ (cid:0) ^ (cid:0) .
(Xa 1) Xb 1 =Xa b 1
^
(cid:26) (cid:0) ^ (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:0)
(cid:0) (cid:1)
DØmonstration.
Clair si a=b. On suppose alors a>b. On e⁄ectue la division euclidienne de a par b : a=bq+r. On Øcrit
alors
pa 1=pbqpr 1=pbqpr pr+pr 1=pr pbq 1 +(pr 1)=prA pb 1 +(pr 1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(oøAestentier),cequimontrequelerestedeladivisio(cid:0)neuclid(cid:1)iennedepa 1par(cid:0)pb 1e(cid:1)stpr 1.Lestermes
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
successifs de l(cid:146)algorithme d(cid:146)Euclide "passent" donc (cid:224) la puissance p, et en rØitØrant le procØdØ, on trouve que le
dernier reste non nul est bien pa b 1.
^
(cid:0)
La dØmonstration est identique pour les polyn(cid:244)mes, vu que l(cid:146)on dispose d(cid:146)une division euclidienne polyno-
miale.
Lemme.
Les trois ØnoncØs suivants sont Øquivalents :
Xpm X Xpn X
(cid:0) j (cid:0)
pm 1 pn 1
(cid:0) j (cid:0)
m n:
j
DØmonstration.
7
Par Øquivalences, et en utilisant le lemme 0, on a
Xpm X Xpn X
(cid:0) j (cid:0)
Xpm 1 1 Xpn 1 1
(cid:0) (cid:0)
() (cid:0) j (cid:0)
Xpm 1 1 Xpn 1 1 =Xpm 1 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
() (cid:0) ^ (cid:0) (cid:0)
(cid:16)Xpn^m(cid:0)1 1(cid:17)=X(cid:16)pm(cid:0)1 1 (cid:17)
() (cid:0) (cid:0)
n m=m
() ^
m n,
() j
la mŒme mØthode marchant pour pm 1 pn 1.
(cid:0) j (cid:0)
Proposition (extensions intermØdiaires).
Les sous-corps de Fpn sont exactement les Fpk oø k n.
j
Fpk peut Œtre Øgalement vu comme le corps des racines de Xpk X sur Fp. On a alors les injections
(cid:0)
Fp , Fpk , Fpn.
! !
DØmonstration.
Soit E une extension intermØdiaire : Fp , E , Fq. E est (cid:133)ni, donc est un Fq avec q0 = (p0)k et k 1;
(cid:15) ! ! 0 (cid:21)
E Øtant par ailleurs un sous-groupe additif de Fq son cardinal doit diviser le cardinal de Fq, i.e. (p0)k pn,
j
d(cid:146)oø p0 =p et q0 =pk. D(cid:146)autre part, Fq peut Œtre vu comme un Fq -espace vectoriel de dimension (cid:133)nie r, d(cid:146)oø
Fq = Fq r,i.e. pn =pkr,ou encore k n. 0
j j j 0j j
RØciproquement, soit k n et considØrons
(cid:15) j
E = racines de Xpk X dans Fq .
(cid:0)
n o
E(cid:3) est clairement un sous-groupe de F(cid:3)q, et est de plus stable par + : en e⁄et, si x et y sont dans E, on a
(x+y)pk =Frk(x+y)=Frk 1(xp+yp)=Frk 2 xp2 +yp2 =:::=xpk +ypk =0.
(cid:0) (cid:0)
(cid:16) (cid:17)
E est donc un corps pour les lois induites, i.e. un sous-corps de Fq. Comme de plus k n, on a (par le lemme)
j
Xpk X Xpn X = (X a)
(cid:0) j (cid:0) (cid:0)
aY2Fq
scindØ simple, donc Xpk X a exactement pk racines, d(cid:146)oø E =pk. On a ainsi construit un sous-corps de Fq
(cid:0) j j
de cardinal pk, qui est donc isomorphe (cid:224) Fk, CFQD.
Corollaire (correspondance de Galois).
Onaunecorrespondancebijectiveentrelessous-groupesde G=Gal Fq(cid:30) etlesextensionsintermØdiaires
Fp
Fp (cid:26)Fpk (cid:26)Fq, qui (cid:224) un sous-groupe H associe le sous-corps FHq des Øl(cid:0)Øments(cid:1)de Fq stables par H.
DØmonstration.
Lepointcentralestderemarquerquesik n,alorsFpk =FhqFrki.Ene⁄et,lesracinesdupolyn(cid:244)meXpk X
j (cid:0)
de Fq[X] sont exactement les ØlØments de Fq stables par Frk, i.e. par Frk , donc FhqFrki est l(cid:146)ensemble Fpk de
ces telles racines. D E
(cid:15) Soit H un sous-groupe de G, et E =FHq . Puisque G est engendrØ par Fr, H est de la forme Frk oø k jn
Frk D E
(pour H = Id , prendre k = n). Donc E = Fhq i = Fpk, qui est bien une extension intermØdiaire d(cid:146)aprŁs la
f g
proposition prØcØdente.
H = Frk
(cid:15) La correspondance Øtablie est injective : si 8 H =DFrk0E sont deux sous-groupes de G tels que FHq =
0
<
FHq 0, alors les polyn(cid:244)mes Xpk (cid:0)X et Xpk0 (cid:0)X o:nt mŒmeDenseEmble de racines, i.e. Fpk = Fpk0, d(cid:146)oø k = k0 et
H =H .
0
Elle est en outre surjective : si E est une extension intermØdiaire, E est un Fpk d(cid:146)aprŁs la proposition
(cid:15)
prØcØdente, donc un FhqFrki oø Frk est un sous-groupe de G.
D E
8
1.7 Cl(cid:244)ture algØbrique de Fq
DØ(cid:133)nition.
Soit (K ) une suite croissante de corps, au sens oø n m, il existe un morphisme (cid:19) :K , K .
On appenllen2lNimite inductive de la suite (K ) le corps K8=(cid:20) K formØ de la rØunionn!"mcroissnan!te" dmes
n n N n
K , dont les lois entre deux ØlØments sont dØ(cid:133)nis par : 2
n
(cid:3) S
a K
si b 2Kmn n , alors a(cid:3)b=(cid:19)n!m(a)(cid:3)b.
(cid:26) 2 (cid:21)
Proposition.
Soit p premier, q =pk oø k 1. La limite inductive des Fpn! est une cl(cid:244)ture algØbrique de Fq.
(cid:21)
DØmonstration.
Posons (cid:10)= n NFpn!.
(cid:15) Pour x2(cid:10)S, m2ettons x2Fpn!, x est annulØ par le polyn(cid:244)me Xpn! (cid:0)X de Fq, donc est algØbrique sur Fq.
Soit par ailleurs P un polyn(cid:244)me de (cid:10)[X]. Les coe¢ cients de P sont en nombre (cid:133)ni, donc sont tous dans
(cid:15)
un mŒme Fpn!.
On considŁre alors D un corps de dØcomposition de P sur Fpn!, mettons D =Fpn![(cid:24)1;::;(cid:24)r] oø (cid:24)1;::;(cid:24)r sont
lesracinesdeP dansD.AlorslesØlØmentsdeDsontlespolyn(cid:244)mesenles(cid:24) ;::;(cid:24) dontledegrØtotalestmajorØ
1 r
par (degP)r (le degrØ de chaque puissance d(cid:146)un (cid:24) pouvant Œtre majorØ par degP), (cid:224) coe¢ cients dans un corps
i
(cid:133)ni, donc sont en nombre (cid:133)ni. Par consØquent, D est un F(p0)k0, admettant Fpn! comme sous-corps, donc D est
un Fpm oø n! m. On a alors les extensions
j
Fpn! Fpm Fpm!,
(cid:26) (cid:26)
donc D est contenu dans Fpm! (cid:10). Par consØquent, P se scinde sur (cid:10).
(cid:26)
1.8 ThØorŁme de L(cid:252)roth
Soit K un corps. On s(cid:146)intØresse (cid:224) Gal K(X)(cid:30)K ainsi qu(cid:146)aux extensions intermØdiaires
(cid:0) K (cid:1)E K(X).
(cid:26) (cid:26)
Lemme.
Soit u K(X) K, mettons u= P oø P Q=1. Alors :
2 n Q ^
u est transcendant sur K;
(cid:15)
L(cid:146)extension K(u) K(X) est algØbrique (cid:133)nie, de degrØ (cid:14)(u):=max(degP;degQ);
(cid:15) (cid:26)
Le polyn(cid:244)me minimal de X sur K(u) est le normalisØ de P (T) uQ(T) K(u)[T].
(cid:15) (cid:0) 2
DØmonstration.
Soit R(T) = P (T) uQ(T) K(X)[T]. On a R(X) = 0, donc X est algØbrique sur K(u) de degrØ
(cid:0) 2
degR (cid:14)(u), donc K(X) est une extension algØbrique (cid:133)nie de K(u). NØcessairement, u ne peut Œtre
(cid:20) (cid:20)
algØbrique sur K, car alors X le serait (pas possible).
OnpeutconsidØrerR(T)=P (T) uQ(T)commeunpolyn(cid:244)meenudedegrØ1,irrØductiblecarP Q=1,
(cid:0) ^
donc irrØductible dans K[u][T], a fortiori dans K(u)[T]
Donc R est le polyn(cid:244)me minimal de X.
ThØorŁme.
a b
Les K-automorphismes de K(X) sont donnØs par les ’ : X aX+boø GL (K). On a de
7(cid:0)! cX+d c d 2 2
(cid:18) (cid:19)
plus
Gal K(X)(cid:30)K PGL2(K).
’
(cid:16) (cid:17)
9
DØmonstration.
Soit ’ un K-automorphisme de K(X). Puisque X gØnŁre K(X), la donnØe de u=’(X) dØtermine entiŁ-
rement ’. De plus, ’ est surjective, donc K(u)=Im’=K(X); en particulier u = K, et le lemme s(cid:146)applique :
2
(cid:14)(u)=[K(X):K(u)]=[K(X):K(X)]=1.
On en dØduit la forme de u :
aX+b
u=
cX+d
a b
oø a ou c = 0 et ad bc = 0, i.e. ad bc = 0, ou encore GL (K). On considŁre ensuite le
6 (cid:0) 6 (cid:0) 6 c d 2 2
(cid:18) (cid:19)
morphisme surjectif
GL2(K) Gal K(X)(cid:30)K
(cid:0)!
(cid:8): a b ,
8 X (cid:0) aX+b(cid:1)
< c d 7(cid:0)! 7(cid:0)! cX+d
(cid:18) (cid:19)
1 0
dont le noyau est K , d(cid:146)oø :
0 1
(cid:18) (cid:19)
Gal K(X)(cid:30)K GL2(K)(cid:30)Ker(cid:8) =PGL2(K).
’
(cid:16) (cid:17)
ThØorŁme de L(cid:252)roth (sous-corps de K(X)).
Les sous-corps de K(X) sont monogŁnes, en cela que
K E K(X) = u K(X) tel que E =K(u).
(cid:26) (cid:26) ) 9 2
DØmonstration.
Si E =K, u=1 convient.
Si K E, soit v E K, d(cid:146)oø des extensions K(v) E K(X). Le lemme nous dit alors que K(X)
2 n (cid:26) (cid:26)
est une extension algØbrique de K(v) de degrØ (cid:14)(v). A fortiori, X est algØbrique sur E, et l(cid:146)on dispose de son
polyn(cid:244)me minimal sur E[T]
(cid:22)=Tn+a Tn 1+:::+a
1 (cid:0) n
oøchaquea E.PuisqueX n(cid:146)estpasalgØbriquesurK,undesa n(cid:146)habitepaschezK,mettonsa = P E K
i 2 i i0 Q 2 n
oø P Q=1, avec d=(cid:14)(a ). Nous allons montrer que E =K(a ), ce qui concluera.
^ i0 i0
Le lemme nous donne des extension (cid:133)nies K(a ) E K(X) avec
i0 (cid:26) (cid:26)
[K(X):K(a )] (cid:14)(a ) d
[E :K(a )]= i0 = i0 = .
i0 [K(X):E] n n
Montrons que d=n, ce qui donnera [E :K(a )]=1 et E =K(a ) monogŁne comme voulu.
i0 i0
Le polyn(cid:244)me P (T) a Q(T) annule X et est (cid:224) coe¢ cients dans K(a ) E, donc est un multiple de (cid:22),
(cid:0) i0 i0 (cid:26)
mettons
P (T) a Q(T)=(cid:22)(T)(cid:23)(T)
(cid:0) i0
dans K(X)[T], ce que l(cid:146)on rØØcrit sous la forme
P (T)Q(X) P (X)Q(T)=(cid:22)(T)(cid:23)(T)Q(X).
(cid:0)
Par ailleurs, les a E K(X) s(cid:146)Øcrivent a = Pi(X), donc en multipliant (cid:22) par le ppcm des dØnominateurs
i 2 (cid:26) i Qi(X)
(cid:21)= Q , on retombe dans K[X] (plut(cid:244)t que dans K(X)), mettons
i=1;:::n i
W (cid:21)(X)(cid:22)(T)=A (X)Tn+A (X)Tn 1+:::+A (X),
0 1 (cid:0) n
et on a mŒme les A premiers entre eux (on dit que le terme de droite est primitif en X).
i
P A
Puisque Ai0(X)=(cid:21)(X)ai0 =(cid:21)(X)QP((XX)) avec P ^Q=1, on a Qj(cid:21)i0 . On en dØduit une rØØcriture
(cid:26) j
Q(X)
P (T)Q(X) P (X)Q(T) = (cid:21)(X)(cid:22)(T)(cid:23)(T)
(cid:0) (cid:21)(X)
Q(X)
= (cid:23)(T) A (X)Tn+A (X)Tn 1+:::+A (X) .
(cid:21)(X) 0 1 (cid:0) n
(cid:2) (cid:3)
10
