Theoretische Mechanik

204 Pages·2009·2.29 MB·German

by  Julius Wess

Theoretische Mechanik
Julius Wess
Theoretische Mechanik
Unter wissenschaftlicher Mitarbeit von Jan Heisig
2. Auflage
123
ProfessorDr.JuliusWess(5.12.1934–8.8.2007)
Ludwig-Maximilians-UniversitätMünchen
WissenschaftlicherMitarbeiter
JanHeisig
II.InstitutfürTheoretischePhysik
UniversitätHamburg
LuruperChaussee149
22761Hamburg
[email protected]
ISBN 978-3-540-88574-0 e-ISBN 978-3-540-88575-7
DOI 10.1007/978-3-540-88575-7
Springer-LehrbuchISSN 0937-7433
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Für Christine
Vorwort
Wozu noch ein Buch zur theoretischen Mechanik, wo es doch schon so viele
und auch sehr gute Lehrbücher gibt? Weil Wissenschaft etwas Lebendiges
ist, weil die Fragestellungen und Methoden sich ändern und so auch neues
Licht auf schon bisher Bekanntes werfen. Alte Probleme können mit neuen
Methodenvielübersichtlichergestaltetwerdenund stehenplötzlichineinem
sehr engen Zusammenhang mit anderen, schon verstandenen oder gerade zu
erforschenden Gebieten.
DieserProzessgingimVorlesungsbetriebderUniversitäteninidealerWei-
se vor sich. Neuerdachtes und Neudurchdachtes durchdringen einander und
können so zu einer neuen Sichtweise führen, die den neuen Anforderungen
gerechtwird.DieskanndemVerständnisdienenundderForschungbehilflich
sein.
DiesesBuchlegtderMechanikweitgehendalgebraischeVorstellungenund
Methoden,wiesieinderQuantenmechanikbishinzurFeldtheorieentwickelt
wurden, zu Grunde. Die Mechanik dient somit auch der Einführung solcher
Methoden, die dann in anderenBereichen der theoretischenPhysik erforder-
lich werden. Neue Methoden müssen dann nicht mehr bei der Behandlung
nicht bekannter physikalischer Vorstellungen neu erarbeitet werden.
Schon die Struktur des Raumes, wie auch die Newton’schen Gesetze wer-
den so eingeführt, dass sie ein Verständnis für moderne, weitergehende Vor-
stellungenzulassen.SymmetrienundErhaltungssätzewerdenvonAnfangan
betontundes wirdgezeigt,wie ErhaltungssätzezuweitreichendenVorhersa-
gen für spezifische Systeme führen. Die Methode der Lösung von Differenzi-
algleichungen durch Green’sche Funktionen, wie sie heute in der Feldtheorie
üblich ist, wird schon anhand der harmonischen Schwingungen eingeführt.
Feldtheoretische Vorstellungen, wie die Behandlung der schwingenden Saite,
werden aus mechanischen Konzepten entwickelt und die relativistische Me-
chanik wird gleich im Zusammenhang mit elektromagnetischen Vorgängen
gesehen. Die kanonische Mechanik bereitet den Übergang zu quantisierten
Systemen vor.
viii Vorwort
Dieses Buch baut auf Kursvorlesungen an der Technischen Universität
Karlsruhe und Vorlesungen an der Universität München auf. Diese Kurs-
vorlesungen wurden in Karlsruhe mit A-Mechanik, B-Elektrodynamik und
C-Quantenmechanikbezeichnet – sie warendas ABC der theoretischenPhy-
sik. Besucht wurden diese Vorlesungen von allen Studenten der Physik –
Experimentalphysikern, Theoretikern und auch den Mathematikern, die die
Grundvorlesungen belegen mussten. Der Versuch, diesem Spektrum gerecht
zu werden, kann allerdings nie vollkommen gelingen. Dass er nicht vollkom-
men misslungen ist, sagte die Reaktion meiner Studenten.
Natürlich wird jeder Leser dieses Buches unterschiedliche Akzente set-
zenundverschiedeneProblemkreisemitstärkeremodergeringeremInteresse
verfolgen. So ist das Buch auch angelegt. In meinen Vorlesungen wurde der
hier vorgestellte Stoff variiert, Teile hervorgehoben oder auch weggelassen.
So blieb die Vorlesung auch für den Vortragenden ein spannendes Erlebnis.
Allen Hörern sei Dank! Sowohl denen, die durch gezeigtes Interesse oder
auch Desinteresse eine Stellungnahme bezogen haben, als auch den vielen,
die durch Fragen, Kritik und Anregungen beigetragen haben. Auch in den
Vorlesungen kann Wissenschaft lebendig werden.
Dank nun auch denen, ohne die dieses Buch niemals fertiggestellt hätte
werden können. Voran Frau Monika Kürzinger, die die handgeschriebenen
Texte in lesbare Manuskripte verwandelt hat, aber auch allen meinen Mit-
arbeitern, die nicht nur durch die Gestaltung der Formeln viel Zeit verloren
haben, sondern die auch durch ihr stets wachsames Interesse und durch ihre
DiskussionsfreudigkeitvielzumGelingenbeigetragenhaben,allenvoranSte-
fan Schraml und Claudia Jambour und Lutz Möller. Ohne Jan Heisig wäre
dieses Buch allerdings nie wirklich fertiggestellt worden. Ihm sei herzlicher
Dank.
Hamburg, Desy, Juli 2007 Julius Wess
Inhaltsverzeichnis
Teil I Punktmechanik
Newton’sche Gesetze und einfache mechanische Systeme...... 3
1 Koordinatensystem, Translation und Rotation.............. 3
2 Trägheitsgesetz, Inertialsystem, Galileitransformation ....... 8
3 Scheinkräfte, Corioliskraftund Zentrifugalkraft............. 11
4 Zweites Newton’sches Gesetz............................. 13
5 Eindimensionale Modelle ................................ 14
Erhaltungssätze und Stoßprozesse ............................ 21
6 Energie, Impuls und Drehimpuls ......................... 21
7 Zerfall von Teilchen..................................... 28
8 Elastischer Stoß von zwei Teilchen ........................ 35
Zweikörperproblem ........................................... 41
9 Relativkoordinaten ..................................... 41
10 Bewegung im Zentralfeld ................................ 42
11 Keplerproblem ......................................... 45
12 Streuprobleme und Wirkungsquerschnitt .................. 49
13 Homogene Potenziale ................................... 56
Schwingungen ................................................ 59
14 Schwingungsgleichung................................... 59
15 Erzwungene Schwingungen .............................. 61
16 Energiebilanz der gedämpften erzwungenen Schwingung ..... 64
17 Ungedämpfte Schwingung und der Resonanzfall ............ 67
18 Fouriertransformationund verallgemeinerte Funktionen ..... 69
19 Die Green’sche Funktion des harmonischen Oszillators ...... 75
20 Integration in der komplexen Ebene
zur Berechnung Green’scher Funktionen ................... 79
21 Störungstheorie ........................................ 83
x Inhaltsverzeichnis
Vielteilchenprobleme und der Übergang zum Kontinuum ..... 87
22 Lineare Kette .......................................... 87
23 Schwingende Saite ...................................... 93
24 Fourierreihe und Fourierintegral .......................... 98
25 Lorentz-Voigt-Transformationen.......................... 102
Teil II Variationsprinzip und relativistische Mechanik
26 Prinzip der kleinsten Wirkung ........................... 109
27 Erhaltungssätze und Noethertheorem ..................... 112
28 Lorentztransformationen ................................ 118
29 Relativistische Mechanik ................................ 123
30 Relativistische Kinematik und Teilchenzerfall .............. 128
Teil III Kanonische Mechanik
31 Hamilton’sche Bewegungsgleichungen ..................... 139
32 Relativistische Teilchen im Hamilton’schen Formalismus..... 143
33 Lagrangefunktionen und abhängige Variable ............... 147
34 Poissonklammern....................................... 151
35 Kanonische Transformationen............................ 154
36 Infinitesimale kanonische Transformationen ................ 161
37 Hamilton-Jacobi’sche Theorie ............................ 163
38 Invariante der kanonischen Transformationen............... 166
Teil IV Der starre Körper
39 Definition und Kinematik des starren Körpers.............. 175
40 Trägheitstensor ........................................ 178
41 Bewegungsgleichungendes starren Körpers ................ 181
42 Eulerwinkel............................................ 183
43 Der symmetrische Kreisel................................ 186
44 Eulergleichungen ....................................... 191
Ergänzende Literatur ......................................... 197
Namensverzeichnis............................................ 199
Sachverzeichnis ............................................... 201
Teil I
Punktmechanik
Newton’sche Gesetze und einfache
mechanische Systeme
1 Koordinatensystem, Translation und Rotation
Aus der Erfahrung glauben wir zu wissen, dass wir in einem dreidimensio-
nalen linearen Raum leben, und dass es sinnvoll ist, in diesem Raum von
der Lage eines Körpers und dem Abstand zweier Körper zu sprechen. Die-
ser Raum hat demnach die Struktur von R3 und besitzt eine Metrik. Diese
ErfahrungwollenwirderBeschreibungeines physikalischenSystemszugrun-
de legen und erst dann davon abweichen, wenn neue Erfahrungen uns dazu
zwingen sollten.
Die Lage eines Körpers im Raum wird durch Punkte, bzw. Vektoren in
R3 beschrieben; wir bezeichnen sie mit x, sie können durch Angabe dreier
Komponenten festgelegt werden:
x∈R3 x=(x1,x2,x3)∼(x,y,z). (1.1)
DiereellenZahlenx1,x2,x3heißenKoordinatendesPunktesx.Linear-reeller
Raumheißt,dassmitxundy auchαx+βyimRaumliegen,wennα,β reelle
Zahlen sind.
DerAbstandzweierPunkte berechnetsichausdenKoordinatenwiefolgt:
(cid:2)
(cid:4)x−y(cid:4)=+ (x1−y1)2+(x2−y2)2+(x3−y3)2. (1.2)
Mit der Struktur dieses Raumes wollen wir uns zunächst etwas mehr ver-
traut machen.Wichtig ist dabei die Frage,die wir immer wieder stellen wer-
den:WelcheTransformationenlasseneinevorgegebeneStrukturunverändert?
Die Kenntnis dieser Transformationen trägt zu einem besseren Verständnis
dieser Struktur bei.
Wirwerdenjedochsehen,dassdieExistenzsolcherTransformationenweit-
reichende Folgen für ein physikalisches System hat. Große Teile der mo-
dernen Physik beschäftigen sich eingehend mit dem Wechselspiel zwischen
diesen Transformationen und den physikalischen Eigenschaften eines Sys-
tems. Es scheint daher sinnvoll, gleich mit dieser Fragestellung für unse-