Theoretische Informatik: Petri-Netze

377 Pages·2003·13.98 MB·German

by  Prof. Dr. Lutz Priese

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Lutz Priese Harro Wimmel
Theoretische Informatik
Petri-Netze
Mit 111 Abbildungen
'Springer
Prof. Dr. Lutz Priese
Universität Koblenz-Landau
Fachbereich Informatik
Rheinau 1
56075 Koblenz
[email protected]
Dr. Harro Wimme!
Universität Oldenburg
Fachbereich Informatik
Postfach 2503
26111 Oldenburg
harro. wimme! @informa tik. uni -olden burg.de
ISBN 978-3-540-44289-9 ISBN 978-3-662-10427-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-10427-9
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Geleitwort
Nur sehr selten führt eine Dissertation gleich zur Begründung einer ganzen
wissenschaftlichen Schule. Für Carl Adam Petris 1962 erschienene Doktor
arbeit Kornrmmikation mit A utornaten gilt dies jedoch in besonderem Maße.
Das Gebiet der "Petri-Netze", das in dieser Arbeit wurzelt, hat sich in den
40 .Jahren seines Besteheus in Theorie und Praxis bestens bewährt. Heute ist
es ein anerkanntes Teilfeld der Informatik, auf dem viele Tausend Forscher
und Anwender/innen tätig sind.
Unter den zahlreichen Lehrbüchern über Petri-Netze finden sich viele einfüh
rende und anwendungsorientierte Werke. Es fehlt bisher ein Buch, das grund
legende theoretische Eigenschaften von Petri-Netzen zusammenfasst und mit
den dazu gehörigen Beweisen in gut strukturierter und einheitlicher Form
lesbar darbietet.
Das hier vorliegende Buch leistet dies in höchst überzeugender Art und Weise.
Geschrieben wurde es von einem hervorragenden Autorenteam: Lutz Prie
se und Harro Wimme!. Beide Autoren sind durch jahrelanges Wirken in
Informatik-Grundlagen- und Petri-Netz-Forschung vorzüglich dazu qualifi
ziert.
Bislang oft nur in Einzelveröffentlichungen beschriebene Entscheidbarkeits
resultate, Spracheigenschaften, Semantikuntersuchungen und Charakterisie
rungen algebraischer Natur wurden in mühevoller Arbeit gesichtet und mit
schönen Beweisen venwhen. Entstanden ist ein in sich geschlossenes und span
nend zu lesendes Lehrbuch. Zum ersten Mal findet sich in einem solchen Buch
beispielsweise ein vollständiger und fein gestalteter Beweis eines der berühm
testen Sätze der Petri-Netz-Theorie (zuerst gezeigt von Ernst W. Mayr und
Rao Kosaraju), der Entscheidbarkeit der Erreichbarkeit.
Das Buch "Theorie der Petri-Netze" kann ich mir sehr gut als Grundlage
etwa von ein bis zwei Lehrmodulen im dritten Studienjahr vorstellen. Es
führt aber auch unmittelbar an die aktuelle Forschung heran. Ich freue mich
darüber, die Veröffentlichung dieses Werkes geleiten und erleben zu können
und wünsche dem Buch viele wohlwollende, aufmerksame Leser /irmen und
eine weite Verbreitung.
Eike Best Oldenburg, im August 2002
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Sequentielle Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Parallele Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Nebenläufige Rechnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Mathematische Grundlagen............................... 27
2.1 Mengen und Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Graphen und Bäume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Erweiterte natürliche Zahl~:n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Sprachen und Sprachoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Maschinen und Komplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Teil I. Interleaving Verhalten von Petri-Netzen
3. Grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 Petri-Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Der Feuerbegriff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Transitionssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Hürde und Zustandswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.3 Alternative Petri-Netz-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.4 Erreichbare Markierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.5 Erreichbarkeits- und Überdeckungsgraphen . . . . . . . . . . 64
3.2.6 Reverse Petri-Net11e.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Invarianten, Lebendigkeit, Sicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1 Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.2 Beschränkte Petri-Netze und Sicherheit . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.3 Lebendigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.4 Einige notwf~ndige Kriterien zur Erreichharkeit von
Markierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
VIII Inhaltsverzeichnis
4. Die Entscheidbarkeit der Erreichbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1 Zum Erreichbarkeitsproblem EP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Lineare Gleichungssysteme über Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Gesteuerte Überdeckungsgraphen und Keime. . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Die Charakteristische Gleichung .......................... 105
4.5 Perfekte Keim-Transition-Folgen ......................... 108
4.6 Dekomposition in perfekte Keim-Transition-Folgen .......... 112
5. Berechenbarkeit, Erreichbarkeit, Erzeugbarkeit ........... 119
5.1 Varianten des Erreichbarkeitsproblems .................... 119
5.1.1 Komplexität von Petri-~etz;en ..................... 119
5.1.2 Varianten des Erreichbarkeitsproblems (EP) .......... 120
5.1.3 Varianten des Lebendigkeitsproblems (LP) ........... 123
5.1.4 Der Zusammenhang EP- LP ...................... 126
5.2 Schwache PN-Berechenbarkeit ............................ 131
5.2.1 Addition und Multiplikation ....................... 134
5.2.2 Die Ackermann-Funktion .......................... 137
5.2.3 Komplexität von Überdeckungsgraphen ............. 142
5.2.4 Schwache Graphen ............................... 143
5.3 Das Petri-Netz-Gleichheitsproblem ........................ 144
5.4 Starke PN-Berechenbarkeit .............................. 155
5.4.1 Inhibitorische PN und PN mit Prioritäten ........... 165
5.4.2 Beschränkte Simulation von Registermaschinen ....... 168
6. Petri-Netz-Sprachen ...................................... 189
6.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . ........................... 189
6.1.1 Gleichheit von Petri-Netz-Sprachen ................. 191
6.1.2 Normalformen für Petri-Netz;e ...................... 196
6.2 Abschlußeigenschaften .................................. 203
6.2.1 Shuffie, Vereinigung, Kaukatenation ................ 206
6.2.2 Durchschnitt und Synchronisation .................. 209
6.2.3 Homomorphismen ................................ 215
6.2.4 Inverse Homomorphismen ......................... 217
6.3 Algebraische Sprachcharakterisierung ..................... 221
6.3.1 Restriktion ...................................... 221
6.3.2 Sprachen elementarer Netze ....................... 225
6.3.3 Freie Petri-Netz-Sprachen ......................... 231
6.4 Gegenbeispiele zu Petri-Netz-Sprachen .................... 239
Inhaltsverzeichnis IX
Teil II. True-Concurrency Verhalten von Petri-Netzen
7. Pomset- und Stepsprachen ................................ 245
7.1 Pomsets und Steps ..................................... 245
7 .1.1 Stepsprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.1.2 Pomsetsprachen .................................. 254
7.1.3 Prozesse und Pomsetsprachen von Petri-Netzen ...... 258
7.2 Abschlußeigenschaften .................................. 270
7.2.1 Normalform ..................................... 271
7.2.2 Verallgemeinerbare Operationen .................... 274
7.2.3 Vereinigung und Konkatenation .................... 275
7.2.4 Synchronisation und abgeleitete Operationen ........ 276
7.2.5 Homomorphismen ................................ 289
8. Algebraische Charakterisierungen ......................... 293
8.1 Kompositionale Semantiken und Algebren ................. 293
8.1.1 Grundlagen kompositionaler Semantiken ............ 293
8.1.2 Ein Basiskalkül für Petri-Netze ..................... 297
8.1.3 Petri-Netze mit Interface .......................... 304
8.1.4 Spezielle Kalküle für Petri-Netze ................... 307
8.1.5 Ein universeller Kontext ........................... 311
8.2 Konkrete Semantiken ................................... 313
8.2.1 Zweikompositionale Pomsetsemantiken ............. 313
8.2.2 Abgeleitete kompositionale Semantiken .............. 325
8.3 Algebraische Charakterisierungen ......................... 333
8.3.1 Terminale Sprachen ............................... 333
8.3.2 Nicht-terminale Sprachen .......................... 338
A. Lineare Gleichungssysteme über Z ........................ 343
B. Bibliographische Hinweise ................................ 359
Literaturverzeichnis .......................................... 363
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
1. Einleitung
Dieses Buch soll selbsterklärend sein. Damit meinen wir, dass möglichst alle
vorkommenden Begriffe, auch sehr elementare, wie etwa der eines endlichen
Automaten, einer Turingmaschine oder einer Registermaschine, formal ex
akt definiert werden. Natürlich kann das nicht auch für alle mathematischen
Begriffe gelten. So werden wir Standardbegriffe, wie etwa den Logarithmus,
etc., nicht weiter erläutern. In der Einleitung werden allerdings auch Kon
zepte der Theoretischen Informatik erst einmal ohne formale Definitionen,
die später folgen, benutzt. Hier wollen wir den Versuch unternehmen, Petri
Netz-Theorie in die Theoretische Informatik einzuordnen. Dies ist ein eher
"philosophisches" Kapitel, das einen kleinen Überblick über klassische Theo
rien von sequentiellen, parallelen und nebenläufigen Rechnungen gibt. Es soll
aufzeigen, wie sich Petri-Netz-Theorie einbettet, was sie so attraktiv gemacht
hat. Das eigentliche Buch beginnt ab Kapitel 3 und ist lesbar, ohne sich um
diese Einordnung in Kapitel 1 kümmern zu müssen, wenn man die Standard
konzepte der Mathematik aus Kapitel 2 nur bei Bedarf nachschlägt.
1.1 Sequentielle Rechnungen
Der klassische Untersuchungsgegenstand der Theoretischen Informatik sind
sequentielle Rechnungen. Diese sind dadurch charakterisiert, dass alle Re
chenschritte hintereinander ausgeführt werden. Turingmaschinen, Markov
Algorithmen, Grammatiken, oder A.-Kalküle sind Modelle sequentieller Rech
nungen. Der Algorithmus- und Kalkülbegriff selbst ist in seiner klassischen
Form sequentiell. Ein Algorithmus ist abstrakt gesehen eine endliche Vor
schrift, bestehend aus Anweisungen, die in Abhängigkeit vom jeweiligen Zwi
schenergebnis einer Rechnung eindeutig den nächsten Rechenschritt festlegen.
Im Gegensatz dazu stellt ein Kalkül eine endliche Auswahl von Anweisungen
zur Verfügung, von denen je nach Zwischenergebnis mehrere verwendet wer
den dürfen. Dennoch darf auch von mehreren anwendbaren Schritten jeweils
nur einer angewendet werden. Algorithmen führen damit zu deterministi
schen sequentiellen Rechnungen, Kalküle zu nichtdeterministischen sequenti
ellen Rechnungen.
L. Priese et al., Theoretische Informatik
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
2 1. Einleitung
Eine formale Präzisierung des Algorithmusbegriffs sind z.B. Turingmaschi
nen. Das Speichermedium einer Turingmaschine ist eine endliche Anzahl von
sogenannten Bändern. Ein Band ist eine lineare Anordnung von potentiell
unendlich vielen sogenannten Zellen (oder Feldern). Jede Zelle ist mit einem
Symbol aus einer gegebenen endlichen Menge E von Zeichen, dem Bandal
phabet E, besetzt. Um den Begriff des potentiell Unendlichen elegant in den
Griff zu bekommen, kann man ein Band als ein unendliches Wort über E auf
fassen, dessen Buchstaben fast alle aus dem Symbol für "leer", #, bestehen.
"Fast alle" wird hier stets im Sinn von "alle bis auf endlich viele Ausnahmen"
benutzt. Ein Band besitzt also zwar immer einen unendlichen Vorrat an Zel
len, zu jedem Zeitpunkt einer Rechnung werden aber nur endlich viele davon
benutzt (allerdings ohne Beschränkung in deren Anzahl), fast alle sind leer,
d.h. tragen das Sondersymbol #. Zu jedem Band besitzt eine Turingmaschine
einen sogenannten Schreib-Lese-Kopf, der die Verbindung des Programmteils
der Maschine zu ihrem Speichermedium darstellt. Der Schreib-Lese-Kopf ist
jeweils auf eine Zelle des Bandes ausgerichtet. Er kann das Symbol in dieser
Zelle lesen, ein Symbol in die Zelle schreiben und sich auf die Nachbarzel
le recht oder links begeben. Das Progr·arnrn einer Turingmaschine ist eine
endliche Folge 1: B1; 2: B2; ... ; k: Bk von durchnummerierten Elementar
befehlen B1. Als einen Satz von erlaubten Elementarbefehlen kann man etwa
wählen:
- Lies x auf Band i (x enthält als Wert das Symbol, das sich gerade auf der
Zelle des Schreib-Lese-Kopfes von Band i befindet),
- Schreibe a auf Band i (das Symbol auf der Zelle des Schreib-Lese-Kopfes
von Band i wird durch a ersetzt, dabei muss a E E gelten),
- Gehe nach rechts auf Band i (der Schreib-Lese-Kopf von Band i wird auf
die rechte Nachbarzelle gesetzt),
- Gehe nach links auf Band i (analog),
- Falls x = a gehe zur Zeile j (falls das zuletzt gelesene Symbol ein a ist, a E
E muss gelten, so führe die Programmausführung mit dem ElernentarbPfehl
Nummer j fort),
- HALT (bei Erreichen dieses Befehls terminiert die Programmausfiihrung).
Ohne Einschränkung soll genau der letzte Befehl k : Bk die Form k :HALT
besitzen und sonst kein HALT-Befehl vorkommen. Ferner soll nur zu vorhan
denen Befehlen j, 1 ::::; j ::::; k, gesprungen werden dürfen. Benutzt eine Turing
maschine m Bänder, so spricht man auch von einer rn-Band-Turingmaschine.
Turingmaschinen mit solch einem Befehlssatz heißen auch deterministisch.
Lassen wir noch Elementarbefehle der Art