The Mechanics and Control of Robotic Locomotion with Applications to Aquatic Vehicles

123 Pages·2003·0.9 MB·English

The Mechanics and Control of Robotic Locomotion
with Applications to Aquatic Vehicles
Thesis by
Scott D(cid:1) Kelly
In Partial Ful(cid:1)llment of the Requirements
for the Degree of
Doctor of Philosophy
A IN S TITUTE OF TE
NI CH
R N
O 1891 O
FIL GOL
AC Y
California Institute of Technology
Pasadena(cid:2) California
(cid:3)(cid:4)(cid:4)(cid:5)
(cid:6)Defended May (cid:7)(cid:8)(cid:2) (cid:3)(cid:4)(cid:4)(cid:5)(cid:9)
ii
(cid:1)c (cid:3)(cid:4)(cid:4)(cid:5)
Scott D(cid:10) Kelly
All Rights Reserved
iii
The Mechanics and Control of Robotic Locomotion
with Applications to Aquatic Vehicles
by
Scott D(cid:1) Kelly
In Partial Ful(cid:1)llment of the
Requirements for the Degree of
Doctor of Philosophy
Abstract
This work illuminates a theory of locomotion rooted in geometric mechanics and
nonlinear control(cid:10) We regard the internal con(cid:1)guration of a deformable body(cid:2) to(cid:11)
gether with its position and orientation in ambient space(cid:2) as a point in a trivial
principal (cid:1)ber bundle over the manifold of body deformations(cid:10) We obtain connec(cid:11)
tions on such bundles which describe the nonholonomic constraints(cid:2) conservation
laws(cid:2) and force balances to which certain propulsors are subject(cid:2) and construct and
analyze control(cid:11)a(cid:12)ne normal formsfor di(cid:13)erent classes of systems(cid:10) We examine the
applicability of results involving geometric phases to the practical computation of
trajectories for systems described by single connections(cid:10) We propose a model for
planar carangiform swimming based on reduced Euler(cid:11)Lagrange equations for the
interactionofarigidbodyandanincompressible (cid:14)uid(cid:2) accountingforthegeneration
of thrust due to vortex shedding through controlled coupling terms(cid:10) We investigate
thecorrectformofthiscoupling experimentally witharoboticpropulsor(cid:2)comparing
its observed behavior with that predicted numerically(cid:10)
iv
v
Contents
(cid:1) Prolegomenon (cid:1)
(cid:3)(cid:10)(cid:3) Historical perspective (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)
(cid:3)(cid:10)(cid:7) Overview of contributions (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:15)
(cid:2) Mathematical Preliminaries (cid:3)
(cid:7)(cid:10)(cid:3) Notions of di(cid:13)erentiation (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:16)
(cid:7)(cid:10)(cid:7) Ideas from di(cid:13)erential geometry (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:8)
(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:3) Lie algebras and Lie groups (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:8)
(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:7) Distributions and Frobenius(cid:17) theorem (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:18)
(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:15) Di(cid:13)erential forms and Stokes(cid:17) theorem (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)
(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:19) Actions of Lie groups (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:4)
(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:16) Material(cid:2) body(cid:2) and spatial velocity (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:20)
(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:8) Rigid motion in the plane (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:3)
(cid:7)(cid:10)(cid:15) The calculus of variations (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:7)
(cid:7)(cid:10)(cid:19) Principal bundles and related objects (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:15)
(cid:7)(cid:10)(cid:16) Geometric phases (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:5)
(cid:7)(cid:10)(cid:16)(cid:10)(cid:3) Holonomy groups and bundles (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:5)
(cid:7)(cid:10)(cid:16)(cid:10)(cid:7) Abelian bundles (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:5)
(cid:4) Lagrangian Mechanics (cid:2)(cid:1)
(cid:15)(cid:10)(cid:3) Fundamentals (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:7)(cid:3)
(cid:15)(cid:10)(cid:3)(cid:10)(cid:3) The Euler(cid:11)Lagrange equations (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:7)(cid:3)
(cid:15)(cid:10)(cid:3)(cid:10)(cid:7) Symmetries and momentum maps (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:7)(cid:15)
(cid:15)(cid:10)(cid:3)(cid:10)(cid:15) The Lagrange(cid:11)d(cid:17)Alembert principle (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:7)(cid:15)
(cid:15)(cid:10)(cid:7) Reduction on Cartesian products (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:7)(cid:19)
(cid:5) The Geometry of Locomotion (cid:2)(cid:6)
(cid:19)(cid:10)(cid:3) Locomotion and principal bundles (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:7)(cid:18)
(cid:19)(cid:10)(cid:3)(cid:10)(cid:3) Connections on con(cid:1)guration bundles (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:7)(cid:18)
(cid:19)(cid:10)(cid:3)(cid:10)(cid:7) Kinematic and nonholonomic connections (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:7)(cid:5)
(cid:19)(cid:10)(cid:3)(cid:10)(cid:15) The kinematic car (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:7)(cid:5)
(cid:19)(cid:10)(cid:3)(cid:10)(cid:19) Mechanical connections (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:15)(cid:20)
(cid:19)(cid:10)(cid:7) Interpolation for Rayleigh systems (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:15)(cid:3)
(cid:19)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:3) The interpolated equations (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:15)(cid:3)
(cid:19)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:7) The heavy inchworm (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:15)(cid:19)
vi
(cid:19)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:15) Extension to more general forces (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:15)(cid:16)
(cid:3) Controllability and Related Issues (cid:4)(cid:6)
(cid:16)(cid:10)(cid:3) De(cid:1)nitions and tests (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:15)(cid:18)
(cid:16)(cid:10)(cid:7) Controllability for kinematic systems (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:15)(cid:5)
(cid:16)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:3) Principal connections and Chow(cid:17)s theorem (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:15)(cid:5)
(cid:16)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:7) Local and global controllability of a wheelchair (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:20)
(cid:16)(cid:10)(cid:15) Accessibility for Rayleigh systems (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:7)
(cid:16)(cid:10)(cid:15)(cid:10)(cid:3) Accessibility modulo momentum (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:7)
(cid:16)(cid:10)(cid:15)(cid:10)(cid:7) A vehicle with two internal rotors (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:15)
(cid:16)(cid:10)(cid:15)(cid:10)(cid:15) The heavy inchworm revisited (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:19)
(cid:7) Gaits for Kinematic Systems (cid:5)(cid:3)
(cid:8)(cid:10)(cid:3) De(cid:1)nitions (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:16)
(cid:8)(cid:10)(cid:7) Systems on Abelian bundles (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:16)
(cid:8)(cid:10)(cid:15) Inchworm gaits (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:8)
(cid:8)(cid:10)(cid:19) Local expansion of holonomy (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:5)
(cid:8)(cid:10)(cid:16) Two(cid:11)input systems (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:16)(cid:20)
(cid:6) Principal Connections and Swimming (cid:3)(cid:4)
(cid:18)(cid:10)(cid:3) Ideal (cid:14)ow and the hydromechanical connection (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:16)(cid:15)
(cid:18)(cid:10)(cid:3)(cid:10)(cid:3) Potential (cid:14)ow (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:16)(cid:15)
(cid:18)(cid:10)(cid:3)(cid:10)(cid:7) Fluid momentum and Kelvin impluse (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:16)(cid:18)
(cid:18)(cid:10)(cid:3)(cid:10)(cid:15) The hydromechanical connection (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:16)(cid:5)
(cid:18)(cid:10)(cid:7) Creeping (cid:14)ow and the Stokes connection (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:8)(cid:20)
(cid:18)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:3) Stokes (cid:14)ow (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:8)(cid:20)
(cid:18)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:7) The Stokes connection (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:8)(cid:3)
(cid:18)(cid:10)(cid:15) Squirming circles (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:8)(cid:7)
(cid:8) Rigid Bodies in Fluids (cid:7)(cid:9)
(cid:5)(cid:10)(cid:3) Modelling assumptions (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:8)(cid:4)
(cid:5)(cid:10)(cid:7) The reduced Lagrangian (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:18)(cid:20)
(cid:5)(cid:10)(cid:15) The reduced equations (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:18)(cid:3)
(cid:5)(cid:10)(cid:19) Special cases (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:18)(cid:18)
(cid:9) Planar Carangiform Locomotion (cid:6)(cid:9)
(cid:4)(cid:10)(cid:3) The unforced equations (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:18)(cid:4)
(cid:4)(cid:10)(cid:7) The substitution vortex model (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:18)(cid:4)
(cid:4)(cid:10)(cid:15) Planar carangiform accessibility (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:7)
(cid:4)(cid:10)(cid:19) The experiment (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:15)
(cid:4)(cid:10)(cid:16) Modelling and simulation (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:4)
(cid:4)(cid:10)(cid:16)(cid:10)(cid:3) The steady (cid:14)ow model (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:4)
(cid:4)(cid:10)(cid:16)(cid:10)(cid:7) Simulation and validation (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:4)(cid:15)
(cid:4)(cid:10)(cid:8) The substitution vortex revisited (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:4)(cid:8)
(cid:4)(cid:10)(cid:18) Flow visualization (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:4)(cid:4)
(cid:4)(cid:10)(cid:5) Carangiform gaits (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:4)(cid:4)
vii
(cid:1)(cid:10) Future Work (cid:1)(cid:10)(cid:4)
viii
List of Figures
(cid:7)(cid:10)(cid:3) Constructions on a principal bundle(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:19)
(cid:19)(cid:10)(cid:3) The kinematic car on the plane(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:7)(cid:5)
(cid:19)(cid:10)(cid:7) An inchworm robot on a viscous (cid:1)lm(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:15)(cid:19)
(cid:16)(cid:10)(cid:3) A wheelchair on the plane(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:20)
(cid:8)(cid:10)(cid:3) Two types of gaits for the inchworm(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:8)
(cid:8)(cid:10)(cid:7) The caterpillar gait(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:19)(cid:18)
(cid:18)(cid:10)(cid:3) Derivation of the potential function(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:16)(cid:16)
(cid:18)(cid:10)(cid:7) A squirming circle(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:8)(cid:15)
(cid:18)(cid:10)(cid:15) Geometric phase for a particular gait(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:8)(cid:18)
(cid:4)(cid:10)(cid:3) Silhouette and cross section of a louvar(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:20)
(cid:4)(cid:10)(cid:7) The apparatus from above(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:19)
(cid:4)(cid:10)(cid:15) The apparatus from the side(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:19)
(cid:4)(cid:10)(cid:19) The apparatus from forward and above(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:16)
(cid:4)(cid:10)(cid:16) The apparatus from the side(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:16)
(cid:4)(cid:10)(cid:8) The Polhemus transmitter(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:8)
(cid:4)(cid:10)(cid:18) Displacement with the peduncle and (cid:1)n in phase(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:18)
(cid:4)(cid:10)(cid:5) Displacement with the peduncle and (cid:1)n out of phase(cid:10)(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:5)(cid:5)
(cid:4)(cid:10)(cid:4) The simulated experiment(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:4)(cid:7)
(cid:4)(cid:10)(cid:3)(cid:20) Steady (cid:14)ow model for in(cid:11)phase gaits(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:4)(cid:19)
(cid:4)(cid:10)(cid:3)(cid:3) Steady (cid:14)ow model for out(cid:11)of(cid:11)phase gaits(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:4)(cid:16)
(cid:4)(cid:10)(cid:3)(cid:7) Flow around a (cid:14)at plate with circulation(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:4)(cid:5)
(cid:4)(cid:10)(cid:3)(cid:15) The characteristic carangiform wake(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:4)(cid:4)
(cid:4)(cid:10)(cid:3)(cid:19) A counter(cid:11)rotating vortex pair(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:20)(cid:20)
(cid:4)(cid:10)(cid:3)(cid:16) A planar carangiform robot(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:20)(cid:3)
(cid:4)(cid:10)(cid:3)(cid:8) An out(cid:11)of(cid:11)phase drive gait(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:20)(cid:3)
(cid:4)(cid:10)(cid:3)(cid:18) An out(cid:11)of(cid:11)phase drive(cid:11)and(cid:11)rotate gait(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3)(cid:20)(cid:7)
ix
List of Tables
(cid:8)(cid:10)(cid:3) Gait table for two(cid:11)input systems(cid:2) T (cid:21) (cid:7)(cid:1)(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:16)(cid:3)
x