The Haskell School of Music-From Signals to Symphonies

340 Pages·2.263 MB·English

by  Hudak Paul.

The Haskell School of Music
— From Signals to Symphonies —
Paul Hudak
Yale University
Department of Computer Science
Version 2.4 (February 22, 2012)
i
The Haskell School of Music
— From Signals to Symphonies —
Paul Hudak
Yale University
Department of Computer Science
New Haven, CT, USA
Version 2.4 (February 22, 2012)
Copyright (cid:2)c Paul Hudak
January 2011
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Cover image: Euterpe, the Greek Muse of Music
(attribution unknown)
Contents
Preface xiii
1 Overview of Euterpea, Computer Music, and Haskell 1
1.1 The Note vs. Signal Dichotomy . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Basic Principles of Programming . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Computation by Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Expressions and Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Function Types and Type Signatures . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Abstraction, Abstraction, Abstraction . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1 Naming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.2 Functional Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.3 Data Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Haskell Equality vs. Euterpean Equality . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Code Reuse and Modularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.10 [Advanced] Programming with Numbers . . . . . . . . . . . . 24
2 Simple Music 28
2.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Notes, Music, and Polymorphism . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Convenient Auxiliary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 A Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Absolute Pitches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ii
CONTENTS iii
3 Polymorphic & Higher-Order Functions 43
3.1 Polymorphic Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Abstraction Over Recursive Definitions . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Map is Polymorphic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Using map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Append . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 [Advanced] The Efficiency and Fixity of Append . . . 50
3.4 Fold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1 Haskell’s Folds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.2 [Advanced] Why Two Folds? . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.3 Fold for Non-empty Lists . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 [Advanced] A Final Example: Reverse . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Currying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.1 Currying Simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.2 [Advanced] Simplification of reverse . . . . . . . . . . 60
3.7 Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 A Musical Interlude 64
4.1 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Transcribing an Existing Score . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1 Auxiliary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.2 Bass Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.3 Main Voice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.4 Putting It All Together . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Simple Algorithmic Composition . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Syntactic Magic 72
5.1 Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Anonymous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 List Comprehensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 Arithmetic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4 Function Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
CONTENTS iv
5.5 Higher-Order Thinking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6 Infix Function Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 More Music 82
6.1 Delay and Repeat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2 Inversion and Retrograde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3 Polyrhythms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4 Symbolic Meter Changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5 Computing Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.6 Super-retrograde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.7 Truncating Parallel Composition . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.8 Trills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.9 Grace Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.10 Percussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.11 A Map for Music . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.12 A Fold for Music . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.13 Crazy Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Qualified Types and Type Classes 98
7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2 Equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3 Defining Your Own Type Classes . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4 Inheritance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.5 Haskell’s Standard Type Classes . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.5.1 The Num Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5.2 The Show Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.6 Derived Instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.7 Reasoning With Type Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8 Interpretation and Performance 118
8.1 Abstract Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.2 Players . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
CONTENTS v
8.2.1 Example of Player Construction . . . . . . . . . . . . 126
8.2.2 Deriving New Players From Old Ones . . . . . . . . . 128
8.2.3 A Fancy Player . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.3 Putting it all Together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9 Self-Similar Music 133
9.1 Self-Similar Melody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.1.1 Sample Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.2 Self-Similar Harmony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.3 Other Self-Similar Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10 Proof by Induction 141
10.1 Induction and Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 Examples of List Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.3 Proving Function Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.3.1 [Advanced] Reverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.4 Useful Properties on Lists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.4.1 [Advanced] Function Strictness . . . . . . . . . . . . . 150
10.5 Induction on the Music Data Type . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.5.1 The Need for Musical Equivalence . . . . . . . . . . . 156
10.6 [Advanced] Induction on Other Data Types . . . . . . . . . . 156
10.6.1 A More Efficient Exponentiation Function . . . . . . . 158
11 An Algebra of Music 163
11.1 Musical Equivalance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.2 Some Simple Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.3 The Axiom Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.4 Soundness and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12 Musical L-Systems 170
12.1 Generative Grammars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.2 A Simple Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.3 Grammars in Haskell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
CONTENTS vi
12.4 An L-System Grammar for Music . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
13 Random Numbers ... and Markov Chains 179
13.1 Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
13.2 Probability Distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
13.2.1 Random Melodies and Random Walks . . . . . . . . . 186
13.3 Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
13.3.1 Training Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
14 From Performance to Midi 192
14.1 An Introduction to Midi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
14.1.1 General Midi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
14.1.2 Channels and Patch Maps . . . . . . . . . . . . . . . . 194
14.1.3 Standard Midi Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
14.2 Converting a Performance into Midi . . . . . . . . . . . . . . 198
14.3 Putting It All Together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
15 Basic Input/Output 202
15.1 IO in Haskell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
15.2 do Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
15.3 Actions are Just Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
15.4 Reading and Writing Midi Files . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
16 Musical User Interface 208
16.1 Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
16.1.1 Numeric Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
16.1.2 Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
16.1.3 Musical Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
16.1.4 Useful Signal Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
16.1.5 Stateful Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
16.2 Events and Reactivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
16.2.1 Manipulating Event Streams . . . . . . . . . . . . . . 214
CONTENTS vii
16.2.2 Turning Signals into Events . . . . . . . . . . . . . . . 215
16.2.3 Signal Samplers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
16.2.4 Switches and Reactivity . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
16.3 The UI Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
16.3.1 Input Widgets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
16.3.2 UI Transformers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
16.3.3 MIDI Input and Output . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
16.3.4 Midi Device IDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
16.3.5 Timer Widgets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
16.4 Putting It All Together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
16.5 Musical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
16.5.1 Chord Builder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
16.5.2 Bifurcate Me, Baby! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
16.5.3 MIDI Echo Effect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17 Sound and Signals 231
17.1 The Nature of Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
17.1.1 Frequency and Period . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
17.1.2 Amplitude and Loudness . . . . . . . . . . . . . . . . 235
17.1.3 Frequency Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
17.2 Digital Audio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
17.2.1 From Continuous to Discrete . . . . . . . . . . . . . . 243
17.2.2 Fixed-Waveform Table-Lookup Synthesis . . . . . . . 245
17.2.3 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
17.2.4 Quantization Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
17.2.5 Dynamic Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
18 Euterpea’s Signal Functions 253
18.1 Signals and Signal Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
18.1.1 The Type of a Signal Function . . . . . . . . . . . . . 255
18.1.2 Four Useful Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
18.1.3 Some Simple Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
CONTENTS viii
18.2 Generating Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
18.3 Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
18.3.1 Turning a Signal Function into an Instruement . . . . 264
18.3.2 Envelopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
19 Spectrum Analysis 270
19.1 Fourier’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
19.2 The Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
19.2.1 Interpreting the Frequency Spectrum . . . . . . . . . . 277
19.2.2 Amplitude and Power of Spectrum . . . . . . . . . . . 279
19.2.3 A Haskell Implementation of the DFT . . . . . . . . . 280
19.3 The Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
19.4 Further Pragmatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
20 Additive Synthesis 288
20.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
20.2 A Bell Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
A The PreludeList Module 290
A.1 The PreludeList Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.2 Simple List Selector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.3 Index-Based Selector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
A.4 Predicate-Based Selector Functions . . . . . . . . . . . . . . . 294
A.5 Fold-like Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
A.6 List Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
A.7 String-Based Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
A.8 Boolean List Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
A.9 List Membership Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A.10 Arithmetic on Lists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A.11 List Combining Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
B Haskell’s Standard Type Classes 301
B.1 The Ordered Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
CONTENTS ix
B.2 The Enumeration Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
B.3 The Bounded Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
B.4 The Show Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
B.5 The Read Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
B.6 The Index Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
B.7 The Numeric Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
C Built-in Types Are Not Special 313
D Pattern-Matching Details 316