The Fecundity of Mathematical Methods in Economic Theory

63 Pages·1961·4.004 MB·English

by  Heinz W. Brand (auth.)

THE FECUNDITY OF MATHEMATICAL METHODS
IN ECONOMIC THEORY
HEINZ W. BRAND
THE FECUNDITY
OF MATHEMATICAL METHODS
IN ECO-NOMIC THEORY
D. REIDEL PUBLISHING COMPANY / DORDRECHT"';HOLLAND
Ober die Fruchtbarkeit mathelnatischer Ver/ahren in der Wirtscha/tstheorie
First published by Fritz Knapp Verlag, Frankfurt am Main
Translated by Edwin Holmstrom, Ph.D.
Copyright 1961 by D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland
Softcover reprint of the hardcover I st Edition 1961
No part of this book may be reproduced in any form, by print, photoprint, microfilm,
or any other means without permission from the publisher
ISBN-13: 978-94-010-3675-7 e-ISBN-13: 978-94-0 10-3673-3
001: 10.1007/978-94-010-3673-3
CONTENTS
Preface by Prof H. Rittershausen
VII
I Introduction 1
The development of mathematical methods in application to
economic theory 1
Attempts to define operationally the concept of 'fecundity' 2
The relations between mathematics and logic 3
II The Logical Distinction between two types of Mathematical
Method - Respectively Mathematical Presentation and
Mathematical Operation 6
III Attempted Operational Assessment of the Intellectual Econon1Y
due to using Mathematical Methods 9
Mathematical presentation and economy of thought 9
(a) Basic considerations 9
(b) An example of application, due to H. von Stackelberg 10
(c) A further exam.ple, due to Hans Brems 11
(d) An example of application, due to Sidney Schoeffler 12
Mathematical operations and economy of thought 13
(a) An example of application, due to Hans Brems 14
(a) (1) Brems's 'demonstration' of a superiority attaching to the
mathematical method 14
(a) (2) Necessary amplification of Brems's working 15
(a) (3) Brems's example formulated by verbal logic 18
(b) The danger of artificial generalisation from mathematical
methods, illustrated in a criticism by G. Mackenroth 19
Provisional summary 21
IV Investigation of the Intelligibility of Mathematical Methods 23
Definition of the concept 'intelligibility' 24
v
THE FECUNDITY OF MA THEMA TICAL METHODS
An attempted conclusion as to intelligibility, based on an
example of R. Stucken 25
V Critical Appraisal of the Accuracy of Mathematical Methods
as applied to Economic Theory 27
Fundamental considerations 27
Quantitative estimation of the final errors resulting from
mathematical operations attributable to differences in the
input values 28
The inexactitude of mathematical operations 29
(a) An applied example: Platt's criticism of Leontieff's 'Inter-
Industry Studies' 29
(b) General remarks· on the quantisation of fundamental
economic quantities 35
Imperfect accuracy of mathematical presentation as exemplified
in the market. demand for household consumer goods 38
The significance of the psycho-physical basic principles under-
lying the exactness of mathematical methods 41
(a) Max Weber's critical observations on the economic
significance of psycho-physical laws 41
(b) An attempt to reformulate the market action of a bidder
by reference to the basic psycho-physical laws 43
W. Krelle's theory of domest~c demand considered from the
standpoint of procedural accuracy 45
VI Conclusions 49
Bibliography 50
}Votes 54
VI
PREFACE
The question of how far mathematical methods of reasoning and inves
tigation are applicable in economic theorising has long been a matter of
debate.
The first part of this question needing to be answered was whether,
outside the range of ordinary statistical methods, such application is in
fact possible. In my opinion the controversy on this point has been a
fruitful one, which has led, as might have been expected, to an affirmative
answer. What, however, has not yet been decided - for the simple reason
that hitherto it has not been investigated - is whether the application of
mathematical methods to our science is expedient. From the point of
view of economic methodology this seems to me the more important
part of the question, although the only considerations hitherto brought
to bear upon it have been of a rather general character, based on uncer
tain ideas which have led to uncertain conclusions.
That is why I welcome this attempt of Dr. Heinz W. Brand to bring the
solution nearer by his present work. The conclusion he reaches here is
that mathematical methods cannot unreservedly be employed in our
science. The arguments which he carefully weighs, in the course of a
criticism which is never destructive, are centred on his own criterion of
asking whether it is not merely possible, but at the same time profitable,
to apply mathematics in economic science. Judged by the application of
that Archimedean test, certain aspects of what is called 'mathematical
orientation' are seen as open to question also. He is critical of those
esoteric abstractions which attract the mathematical school of political
economy CR. D. Gideonse), except in those particular regions of economic
theorising for which these are 'adequate'.
The author is one who knows economic life from the practical side but
who wants economic science to remain scientific. That is to say, he
maintains it should be a study of real characteristics, which sometimes
can be certainly established but which more often must remain uncertain
and often indeed unmeasurable or transcendent, though not mere 'fiction'
VII
TTHHEE FFEECCUUNNDDIITTYY OOFF MMAATTHHEEMMAATTIICCAALL MMEETTHHOODDSS
oorr ''ffaanncciiffuullnneessss'' aabboouutt iinntteelllleeccttuuaall ccoonncceeppttss mmaassqquueerraaddiinngg aass sscciieennccee..
IInn tthhiiss ccoonntteexxtt BBrraanndd iiss ddeeaalliinngg wwiitthh aa ffuunnddaammeennttaall qquueessttiioonn iinn ccoonntteemm
ppoorraarryy eeccoonnoommiiccss -- aa qquueessttiioonn wwee aarree aallll iinncclliinneedd ttoo sshhyy aawwaayy ffrroomm.. II
wwaanntt ttoo aaffffiirrmm mmyy ffuulllleesstt aaggrreeeemmeenntt wwiitthh hhiiss ccoonncceeppttiioonn ooff sscciieennccee,,
bbeelliieevviinngg aass II ddoo tthhaatt tthhiiss hhaass aallwwaayyss bbeeeenn sseellff--eevviiddeenntt bbuutt nneeeeddss ttoo bbee
rree--eexxpprreesssseedd ffrroomm ttiimmee ttoo ttiimmee..
MMaayybbee BBrraanndd''ss aaccccoommpplliisshhmmeenntt wwiillll pprroovviiddee aann iinncceennttiivvee ttoo ffuurrtthheerr
iinnvveessttiiggaattiioonnss..
HH.. RRIITTTTEERRSSHHAA UUSSEENN
VVIIIIII
II
IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN
TTHHEE DDEEVVEELLOOPPMMEENNTT OOFF MMAATTHHEEMMAATTIICCAALL MMEETTHHOODDSS IINN
AAPPPPLLIICCAATTIIOONN TTOO EECCOONNOOMMIICC TTHHEEOORRYY
AAddvvooccaatteess ooff mmaatthheemmaattiiccss aass aa mmooddee ooff iinnvveessttiiggaattiioonn aanndd pprreesseennttaattiioonn
ooff eeccoonnoommiicc tthheeoorryy -- tthhoossee wwhhoo ffaavvoouurr wwhhaatt iiss bbrriieeffllyy ccaalllleedd ''mmaatthheemmaatt
iiccaall oorriieennttaattiioonn'' -- aarree aabbllee ttoo ppooiinntt ttoo mmaannyy nnoottaabbllee nnaammeess iinn tthhee rroollee
ooff eeccoonnoommiissttss wwhhoo hhaavvee uusseedd,, oorr wwhhoo nnooww uussee,, tthhiiss mmeetthhoodd iinn wwhhaatt vvoonn
TThhlliinneenn ((7799)) hhaass ccaalllleedd tthheeiirr sseeaarrcchh aafftteerr ttrruutthh..!!
YYeett nnoo ccoommpplleettee aaggrreeeemmeenntt eexxiissttss,, eevveenn nnooww,, aass ttoo wwhheetthheerr mmaatthheemmaattiiccaall
mmeetthhooddss aarree iinnttrriinnssiiccaallllyy ccaappaabbllee ooff bbeeiinngg aapppplliieedd ttoo eeccoonnoommiicc tthheeoorryy
aatt aallll,, aanndd iiff ssoo ttoo wwhhaatt eexxtteenntt..22
AAnnootthheerr aanndd qquuiittee sseeppaarraattee qquueessttiioonn,, wwhhiicchh iiss tthhee oonnee wwhhiicchh wwee sshhaallll
eexxaammiinnee hheerree,, iiss tthhaatt ooff tthhee ffeeccuunnddiittyy oorr pprrooffiittaabbiilliittyy ooff ssoo aappppllyyiinngg tthheemm..
AArree tthheerree,, iinn ppooiinntt ooff ffaacctt,, aannyy eeccoonnoommiicc tteenneettss wwhhiicchh wwiitthhoouutt tthhee aapppplliiccaa
ttiioonn ooff mmaatthheemmaattiiccaall mmeetthhooddss ccoouulldd nneevveerr hhaavvee bbeeeenn eessttaabblliisshheedd oorr ccoouulldd
nnoott hhaavvee bbeeeenn eexxpprreesssseedd?? EEvveenn tthhee pprrooppoonneennttss ooff ssuucchh mmeetthhooddss aarree nnoott
aallll ooff tthhaatt ooppiinniioonn..33 AAnndd iiff tthhee aannsswweerr iiss nneeggaattiivvee,, iiss iitt ttrruuee tthhaatt mmaatthheemmaatt
iiccaall mmeetthhooddss ssiimmpplliiffyy tthhee ssttaatteemmeenntt ooff eeccoonnoommiicc pprriinncciipplleess oorr tthhaatt tthheeyy
ooppeenn tthhee wwaayy ttoo nneeww uunnddeerrssttaannddiinngg?? PPeerrhhaappss iinnddeeeedd nnoo ggeenneerraalliisseedd
aannsswweerr ccaann bbee ggiivveenn ttoo tthheessee qquueessttiioonnss.. IItt mmaayy wweellll bbee tthhaatt eeccoonnoommiicc
tthheeoorryy ccoovveerrss ffaarr ttoooo wwiiddee aa ffiieelldd,, aanndd eemmbbrraacceess ttoooo mmaannyy sseeccttiioonnss -- ssuucchh
aass ffoorr iinnssttaannccee tthhee iinncciiddeennccee ooff ttaaxxaattiioonn -- hhaavviinngg iinnhheerreenntt ppeeccuulliiaarriittiieess
ooff tthheeiirr oowwnn,, ttoo bbee aammeennaabbllee ttoo tthhee llaatteesstt aatttteemmppttss aatt mmaanniippuullaattiinngg
tteecchhnniiccaall rruulleess bbyy aannaallooggyy wwiitthh mmaaccrroo--eeccoonnoommiicc tthheeoorryy oorr tthhee aatttteemmpptt
44
ttoo wwoorrkk oouutt tthhee ttooppoollooggyy ooff tthhee eeccoonnoommiicc ccyyccllee..
TThhee qquueessttiioonn ooff wwhheetthheerr iitt iiss ppoossssiibbllee ttoo aappppllyy mmaatthheemmaattiiccaall mmeetthhooddss iinn
eeccoonnoommiicc tthheeoorryy iiss nnoott oonnee wwhhiicchh wwiillll bbee rraaiisseedd aaggaaiinn hheerree.. TThhaatt qquueessttiioonn
sseeeemmss sseettttlleedd bbyy tthhee ccoonnssiiddeerraattiioonn tthhaatt eevveerryy bbrraanncchh ooff sscciieennccee iiss ddooggmmaattiicc
iinn cchhaarraacctteerr ((sseeee RRootthhaacckkeerr,, 6655,, pp.. 229933)) aanndd tthhaatt eeccoonnoommiicc tthheeoorryy mmoorree
oorr lleessss rreesseemmbblleess aa nnaattuurraall sscciieennccee -- aalltthhoouugghh tthhee rreesseemmbbllaannccee ccoonnttiinnuueess
oofftteenn ttoo bbee ddeenniieedd -- sseeee GGaallbbrraaiitthh ((2211,, pp.. xxii)) aanndd RRooppkkee ((6644,, pp.. 333333 iiff..))--
11
TTHHEE FFEECCUUNNDDIITTYY OOFF MMAATTHHEEMMAATTIICCAALL MMEETTHHOODDSS
iinn ssoo ffaarr aass tthhee ddooggmmaa uunnddeerrllyyiinngg iitt hhaavvee ttoo bbee aassccrriibbeedd aa qquuaannttiittaattiivvee
cchhaarraacctteerr ((RRootthhaacckkeerr,, 6655,, pp.. 229911))..
TThhee eexxiissttiinngg lliitteerraattuurree oonn tthhiiss ggrroouupp ooff qquueessttiioonnss lleeaavveess lliittttllee ssccooppee ffoorr
nneeww aarrgguummeennttss aanndd tthhee pprreesseenntt ssiittuuaattiioonn ccaann bbee ssuummmmeedd uupp iinn LLaazzaarrss
ffeelldd''ss ssttaatteemmeenntt ((4411,, pp.. 44)) tthhaatt tthhoossee wwhhoo ooppppoossee mmaatthheemmaattiiccaall oorriieennttaa
ttiioonn iinn eeccoonnoommiiccss ''hhaavvee aatt nnoo ppooiinntt bbeeeenn aabbllee ttoo sseett uupp aa vvaalliidd aarrgguummeenntt;;
tthheerree iiss nnoo iiddeeaa oorr pprrooppoossiittiioonn iinn tthhiiss ffiieelldd wwhhiicchh ccaannnnoott bbee ppuutt iinnttoo
mmaatthheemmaattiiccaall llaanngguuaaggee,, aalltthhoouugghh tthhee uuttiilliittyy ooff ddooiinngg ssoo ccaann vveerryy wweellll
bbee ddoouubbtteedd..''
TThhaatt ssttaatteemmeenntt mmaayy wweellll bbee ccoorrrreecctt,, eessppeecciiaallllyy aass hheerree qquuaalliiffiieedd aanndd iiff
wweeiigghheedd aalloonngg wwiitthh tthhee iimmppoorrttaanntt ccrriittiiccaall aarrgguummeenntt ppuutt ffoorrwwaarrdd bbyy
aannootthheerr AAmmeerriiccaann wwoorrkkeerr ((WWeeiinnwwuurrmm 8833,, pp.. 222255 iiff..)) ttoo tthhee eeffffeecctt tthhaatt
mmaatthheemmaattiiccaall mmeetthhooddss aarree nnoott aaddmmiissssiibbllee iiff,, aass hhiitthheerrttoo hhaass bbeeeenn tthhee
ccaassee,, tthheeyy ttaakkee nnoo aaccccoouunntt ooff tthhee nnoonn--qquuaannttiittaattiivvee ffaaccttoorrss iinn hhuummaann
rreellaattiioonnss.. IIff,, ffuurrtthheerrmmoorree,, iitt iiss rreemmeemmbbeerreedd tthhaatt mmaannyy pprrooppoonneennttss ooff
mmaatthheemmaattiiccaall oorriieennttaattiioonn hhaavvee nnooww bbeeccoommee ccoonnvviinncceedd tthhaatt tthhee aannaallyyttiiccaall
mmeetthhooddss,, wwhhiicchh hhaavvee hhiitthheerrttoo bbeeeenn tthhee ccoommmmoonneesstt ffoorrmm ooff mmaatthheemmaattiiccss
aapppplliieedd ttoo eeccoonnoommiicc tthheeoorryy,, aarree ffaarr ffrroomm aaddeeqquuaattee ffoorr tthhaatt ppuurrppoossee aanndd
tthhaatt nneeww mmaatthheemmaattiiccaall mmeetthhooddss llaarrggeellyy ccoommbbiinnaattoorriiaall iinn cchhaarraacctteerr aarree
nneeeeddeedd iinn oorrddeerr ttoo ccoorrrreessppoonndd wwiitthh tthhee eemmppiirriiccaall ppaatttteerrnn ooff tthhee ddaattaa
((sseeee MMoorrggeennsstteerrnn,, 5544,, pp.. 66 ffff..)),, tthheenn tthhee pprreesseenntt ssttaattuuss ooff tthhee ddiissccuussssiioonn
rreeggaarrddiinngg tthhee aaddmmiissssiibbiilliittyy ooff mmaatthheemmaattiiccaall mmeetthhooddss iinn eeccoonnoommiicc
tthheeoorryy wwoouulldd aappppeeaarr ssuuffffiicciieennttllyy wweellll ssuummnnllaarriisseedd..
AATTTTEEMMPPTTSS TTOO DDEEFFIINNEE OOPPEERRAATTIIOONNAALLLLYY TTHHEE
CCOONNCCEEPPTT OOFF ''FFEECCUUNNDDIITTYY''
WWhheerreeaass vveerryy mmaannyy aapppprreecciiaattiioonnss hhaavvee bbeeeenn ppuubblliisshheedd aarrgguuiinngg eeiitthheerr
ffoorr oorr aaggaaiinnsstt tthhee aaddmmiissssiibbiilliittyy ooff mmaatthheemmaattiiccaall mmeetthhooddss,, tthhee qquueessttiioonn
ooff tthheeiirr ffeeccuunnddiittyy oorr wwoorrtthhwwhhiilleenneessss sseeeemmss llaarrggeellyy ttoo hhaavvee bbeeeenn ddiiss
rreeggaarrddeedd.. TThhiiss mmaayy bbee dduuee mmaaiinnllyy ttoo tthhee aabbsseennccee ooff aannyy uunniivveerrssaallllyy
aacccceepptteedd yyaarrddssttiicckk ffoorr ssuuiittaabbllyy mmeeaassuurriinngg tthhee ddiimmeennssiioonn hheerree ccaalllleedd
''ffeeccuunnddiittyy'' ((sseeee KKrraafftt,, 3377,, pp.. 7700 ffff..)),, oorr iinnddeeeedd tthhee aabbsseennccee ooff aannyy mmoorree oorr
lleessss aaccccuurraattee mmooddee ooff mmeeaassuurreemmeenntt.. DDeessppiittee tthhiiss ddiiffffiiccuullttyy,, wwee sshhaallll
mmaakkee tthhee aatttteemmpptt hheerree ttoo aasssseessss tthhee ''ffeeccuunnddiittyy'' ooff mmaatthheemmaattiiccaall mmeetthhooddss
aass aapppplliieedd ttoo eeccoonnoommiicc tthheeoorryy oonn tthhee bbaassiiss ooff aa ddeeffiinniittiioonn ooff oouurr oowwnn
wwhhiicchh wwiillll pprreesseennttllyy bbee eessttaabblliisshheedd.. LLeett iitt,, hhoowweevveerr,, bbee ssttrreesssseedd oonnccee
22
IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN
aaggaaiinn tthhaatt ssuucchh aasssseessssmmeennttss ccaann bbee mmaaddee oonnllyy bbyy rreeffeerreennccee ttoo wwhhaatteevveerr
ppaarrttiiccuullaarr ccoonncceepptt ooff ''ffeeccuunnddiittyy'' iiss iinn ffaacctt aaddoopptteedd..
OOnnee ffuurrtthheerr pprreelliimmiinnaarryy ppooiinntt ccaallllss ffoorr mmeennttiioonn:: wwee ddoo nnoott ccoonnssiiddeerr tthhee
iinntteerreessttss ooff sscciieennccee ttoo bbee wweellll sseerrvveedd bbyy tthheeoorriissiinngg mmeerreellyy ffoorr tthhee ssaakkee ooff
tthheeoorriissiinngg.. IIff,, tthheenn,, ssoommee ooff tthhee ffoolllloowwiinngg aarrgguummeennttss mmaayy sseeeemm ddiirreecctteedd
ttoo tthhee eerreeccttiioonn ooff mmooddeellss wwhhiicchh aarree ppuurreellyy tthheeoorreettiiccaall aanndd wwhhiicchh bbyy--ppaassss
tthhee pprraaccttiiccaall qquueessttiioonnss rraaiisseedd,, iitt mmaayy bbee ppeerrttiinneenntt ttoo rreemmaarrkk oonn tthhee
ootthheerr hhaanndd tthhaatt eeccoonnoommiicc tthheeoorriissiinngg ccaannnnoott uullttiimmaatteellyy ddeeppeenndd oonn aapppplliieedd
mmaatthheemmaattiiccss aalloonnee ssaavvee aatt tthhee rriisskk ooff lloossiinngg,, bbyy ddeeffaauulltt,, iittss ccoorrrreessppoonnddeennccee
wwiitthh rreeaalliittyy.. 55
TTHHEE RREELLAATTIIOONNSS BBEETTWWEEEENN MMAATTHHEEMMAATTIICCSS AANNDD LLOOGGIICC
''MMaatthheemmaattiiccss iiss aa llaanngguuaaggee..'' IItt iiss iinn ffaacctt aa nnoonn--vveerrbbaall llaanngguuaaggee,, wwrriitttteenn
66
nnoott wwiitthh lleetttteerrss ooff tthhee aallpphhaabbeett bbuutt wwiitthh aannootthheerr ssoorrtt ooff ssiiggnnss,, nnaammeellyy
mmaatthheemmaattiiccaall ssyymmbboollss.. TToo uussee mmaatthheemmaattiiccaall mmeetthhoodd iinn aa ddiissttiinncctt bbrraanncchh
ooff sscciieennccee iiss ttoo aaddoopptt aa nnoonn--vveerrbbaall mmeeaannss ooff eexxpprreessssiioonn ((sseeee KKeerrsshhnneerr
aanndd WWiillccooxx,, 3366,, pp.. 88));; oonnee wwhhiicchh,, aass HHaannss BBrreemmss hhaass aappttllyy oobbsseerrvveedd ((55,,
pp.. 334444)) aass rreeggaarrddss eeccoonnoommiicc sscciieennccee -- bbuutt wwhhiicchh iiss eeqquuaallllyy ttrruuee ffoorr ootthheerr
sscciieenncceess -- ooffffeerrss tthhee aaddvvaannttaaggee ooff bbeeiinngg iinntteerrnnaattiioonnaallllyy uunnddeerrssttoooodd..
MMaatthheemmaattiiccss,, ccoonnssiiddeerreedd aass aa llaanngguuaaggee,, oobbeeyyss llooggiiccaall rruulleess aass eexxhhiibbiitteedd
iinn tthhee ccoommppoouunnddiinngg ooff ssyymmbboollss;; bbuutt oofftteenn iitt iiss aabbllee ttoo ttrraannsscceenndd tthhee
ppoossssiibbiilliittiieess ooffffeerreedd bbyy vveerrbbaall llooggiicc.. TThhiiss ooccccuurrss ffoorr iinnssttaannccee iinn tthhee aaxxiioomm
ooff iinnffiinniittyy uunnddeerrllyyiinngg tthhee tthheeoorryy ooff qquuaannttaa.. IInn ssiimmppllee ccaasseess,, ssaayyss HHoollddeerr
((2266,, pp.. 44)),, ffoorrmmaall llooggiicc bbaasseedd uuppoonn tthhee ccoonncceepptt ooff rreellaattiioonnsshhiipp hhaass bbeeeenn
ddeevveellooppeedd bbyy mmaatthheemmaattiicciiaannss --iinnttoo aa ccaallccuulluuss ooff ssyymmbboollss,, aa ssoorrtt ooff
aallggeebbrraa.. HHeerree sseeee aallssoo LLiieettzzmmaannnn ((4433,, pp.. 115555 ffff..)),, KKrraafftt ((3377,, pp.. 9988 ffff..)),,
JJuuhhooss ((3311)),, MMeesscchhkkoowwsskkii ((5500,, pp.. 6644 ffff..)).. AA pprroocceedduurree mmaayy bbee ddeessccrriibbeedd
aass llooggiiccaall wwhheenn,, ssaayyss tthhee ffiirrsstt ooff tthheessee wwrriitteerrss,, ddeeffiinniittiioonnss oonn tthhee oonnee hhaanndd,,
pprrooppoossiittiioonnss oonn tthhee ootthheerr,, aarree ccoonnjjooiinneedd iinn aa cclloosseedd ssyysstteemm oonn tthhee
mmaatthheemmaattiiccaall mmooddeell..
NNoottee,, hhoowweevveerr,, tthhaatt llooggiiccaall pprrooppoossiittiioonnss aass ssuucchh hhaavvee nnootthhiinngg ttoo ddoo wwiitthh
eexxppeerriieennccee ((KKrraafftt,, 3377,, pp.. 110011 aanndd KKaaddee,, 3333,, pp.. 2266)).. MMaatthheemmaattiiccss lliikkeewwiissee
iiss ttoo bbee uunnddeerrssttoooodd aass aa ppuurreellyy iinntteelllleeccttuuaall ssyysstteemm ffoorr aann iinntteerrppllaayy ooff
rruulleess wwhhiicchh aarree ccoommpplleettee aanndd uunncchhaalllleennggeeaabbllee iinn tthheemmsseellvveess.. AAss vvoonn
FFrreeyyttaagg--LLoorriinngghhooffff ((1199,, pp.. 660044)) hhaass eemmpphhaassiisseedd,, tthhee mmaatthheemmaattiicciiaann
ooppeerraatteess wwiitthh eelleemmeennttss tthhee nnaattuurree ooff wwhhiicchh iiss iinntteelllleeccttuuaall aanndd ffiiccttiittiioouuss,,
33