Table Of ContentSANDRO MANSERVISI RUBEN SCARDOVELLI
TERMOIDRAULICA
DEI FLUSSI BIFASE
Prefazione
Isistemimultifasesonopresentiinmoltifenomeninaturalieinnumerosiaspet-
ti della nostra vita quotidiana. La loro presenza si manifesta su scale spazia-
li molto diverse: da quella planetaria, dove l’interfaccia tra mari e atmosfera
costituisce i due terzi della superficie terrestre, a quella tipica delle attivit`a
domesticheefinoallescalemicrometrichecaratteristichedegliaerosolnaturali,
qualinuvole,nebbieepulviscoloatmosferico.Iflussimultifasesiincontranoan-
che in vari campi dell’ingegneria come nelle applicazioni industriali legate alla
trasformazione di energia termica in cinetica, ad esempio nei motori a combu-
stione interna e a reazione, o in elettrica, come nelle centrali termoelettriche,
elettronucleari e anche geotermiche. Nell’industria di processo i sistemi multi-
fase sono presenti nelle unita` di estrazione e distillazione, nei reattori chimici,
emulsificatori e separatori di fase, nei sistemi per il controllo ambientale e in
apparati quali gli scambiatori di calore che prevedono il cambiamento di fase
di almeno uno dei due fluidi per ebollizione o condensazione.
Tutti questi processi sono governati dalle stesse equazioni di conservazio-
ne che nei fluidi si riassumono nel sistema di equazioni di Navier-Stokes. Per
ottimizzare il funzionamento degli impianti industriali e migliorare la loro affi-
dabilit`a e sicurezza sarebbe quindi auspicabile lo sviluppo di tecniche e codici
numericiingradodirisolverequestosistemadiequazioniperdeterminarel’evo-
luzione temporale nello spazio tridimensionale dei campi di pressione, velocit`a
e temperatura. E’ invece ben noto che anche per un sistema fluido monofase in
regime turbolento le scale spaziali dei moti vorticosi e quelle delle dimensioni
caratteristiche del sistema sono talmente diverse che non si possono ottenere
informazioni utili dal punto di vista ingegneristico se non procedendo a delle
opportune medie spaziali e temporali delle equazioni di conservazione e all’in-
troduzione di modelli di turbolenza per la chiusura del sistema di equazioni.
Neiflussimultifaselasituazionefisica`eancorapiu`complessaperlanonomoge-
neita`delmezzoeperlapresenzaspessodiunnotevolenumerodiinterfacceche
sono soggette a fenomeni di rottura o coalescenza e attraverso le quali avviene
il trasferimento di massa, quantit`a di moto ed energia fra le fasi.
ii S. Manservisi e R. Scardovelli - Termoidraulica dei flussi bifase
La contemporanea presenza di fenomeni fisici che interessano scale spaziali
e temporali che si estendono su vari ordini di grandezza ha visto negli ulti-
mi anni lo sviluppo di un approccio multiscala e multifisica anche a livello
di progettazione ingegneristica per i sistemi piu` avanzati e complessi. In un
circuito termoidraulico che contiene dei flussi monofase o multifase possiamo
distinguere tre scale caratteristiche: la scala dell’intero circuito, quella del sin-
golo componente e una scala di dettaglio, spesso detta mesoscala, che in un
sistema multifase pu`o essere quella sufficiente per la risoluzione del moto di
singoli elementi fluidi come bolle o gocce. Per flussi molto turbolenti esistono
delle scale spaziali e temporali ancora piu` piccole che dal punto di vista inge-
gneristico non possono essere simulate direttamente, ma i cui effetti sulle scale
piu` grandi devono essere necessariamente considerati mediante lo sviluppo e
implementazione di modelli di turbolenza.
A partire dalle equazioni di conservazione e attraverso delle opportune ope-
razionidimedia,sonostatisviluppatideisistemidiequazionilacuirisoluzione
permette di determinare le grandezze fisiche di interesse alle diverse scale del
sistema. Piu` recentemente si sta anche investigando la possibilita` di fare inte-
ragire dinamicamente i vari modelli, in modo tale che si possa seguire il fun-
zionamento di un circuito termoidraulico nel suo complesso e al tempo stesso
compiere un’analisi dettagliata tridimensionale di quanto avviene all’interno di
un singolo componente.
Alla scala di sistema si considera un approccio a parametri concentrati do-
ve i singoli componenti di grosse dimensioni, come i generatori di vapore o i
condensatori, possono essere approssimati da un unico volume. Gli elementi di
collegamento fra i componenti sono invece trattati come sistemi monodimen-
sionali e le equazioni di conservazione sono integrate sulla sezione trasversale
del condotto dando luogo ad un sistema di equazioni mediate per la velocit`a
assiale, temperatura e pressione. I fenomeni di scambio termico e attrito fra
le fasi e la parete del condotto devono essere opportunamente modellizzati. A
questa scala si esamina il comportamento dell’impianto nel suo complesso, che
comprendeilfunzionamentoaregime,itransitoridiavviamentoespegnimento
e varie situazioni incidentali.
Alla scala di componente si recupera la tridimensionalit`a dello spazio e so-
no possibili varie tecniche. Per componenti assai complessi e caratterizzati da
molticanali`epossibileunapproccioditipomezzoporoso.Ilcomponenteviene
suddiviso in vari volumi di controllo all’interno dei quali la struttura composta
da fluido e solido`e omogeneizzata e sostituita da un mezzo poroso di propriet`a
medie. Per componenti meno complessi si entra nel dominio della fluidodina-
mica computazionale (CFD) per la quale sono disponibili varie tecniche. Per
sistemi multifase dispersi, quali quelli costituito da una fase liquida continua
e un numero non troppo elevato di particelle solide o gassose, si considera un
iii
sistema di equazioni di conservazione per la fase continua, mentre la traietto-
ria di ogni singola particella `e calcolata in modo indipendente. Si tiene conto
dell’interazione con la fase continua e con le altre particelle con degli opportu-
ni termini forzanti nell’equazione del moto della particella. All’aumentare del
numero di particelle, per esempio flussi con milioni di bolle, si passa ad un ap-
procciosolocontinuo,comenelmodelloaduefluidi,doveciascunafasesoddisfa
un sistema di equazioni di conservazione direttamente collegato alle equazioni
di Navier-Stokes. In questo caso in ogni cella del dominio computazionale si
ha la contemporanea presenza di entrambe le fasi e i trasferimenti di massa,
quantit`a di moto ed energia devono essere modellizzati.
Con la scala di dettaglio si entra nel campo della simulazione numerica
diretta (DNS) che ha visto lo sviluppo di varie tecniche per la rappresentazio-
ne fisico-geometrica delle superficie di separazione fra le fasi immiscibili. Con
queste tecniche e computers molto potenti si riesce a seguire l’evoluzione tem-
porale di parecchie centinaia di interfacce distinte, quindi di singoli elementi
fluidi come bolle o gocce.
Ilpresentevolumeraccoglieilmaterialedidatticoche`estatoscrittonelcor-
so di vari anni per un insegnamento di 6 crediti sulla termoidraulica dei flussi
bifase che si rivolge principalmente agli studenti del secondo anno della laurea
magistrale in ingegneria energetica. Questo corso si pone come naturale com-
pletamento di una serie di insegnamenti di base riguardanti la termodinamica,
lameccanicadeifluidimonofaseelaconduzionedelcalore.Ilvolumesiarticola
in dodici capitoli e quattro appendici. Nel primo capitolo sono discusse alcune
proprieta` termodinamiche dei sistemi monofase e in particolare i limiti della
loro stabilit`a intrinseca, considerando anche l’equazione di stato dei gas ideali
e quella di van der Waals. Nel secondo capitolo sono presentate le equazioni
di conservazione della massa, quantita` di moto ed energia di un sistema a piu`
componentiofasieleapprossimazioninecessarieperladerivazionedelsistema
diNavier-Stokes.Nelterzoequartocapitolovengonodiscusselecondizioniper
l’equilibrio di una interfaccia di separazione fra fluidi immiscibili in condizioni
sia statiche che dinamiche. In particolare sono analizzate la forma che assume
l’interfaccia all’equilibrio in presenza della forza di gravit`a e la sua evoluzione
in presenza di instabilit`a superficiali. Nel quinto capitolo vengono derivate le
equazioni del modello a due fluidi e la loro approssimazione al caso monodi-
mensionale. Nel sesto capitolo si presenta la classificazione dei flussi bifase e si
studia il loro comportamento nei condotti, richiamando anche i risultati della
stessa analisi relativa ai sistemi monofase.
Dal settimo capitolo si esaminano sistemi fluidi che sono soggetti a flussi
termici che determinano il cambiamento di fase. In particolare si analizza la
nucleazione omogenea in liquidi surriscaldati e vapori sottoraffreddati e l’equi-
librioelastabilit`adeinucleiembrionalidivaporeoliquido.Nell’ottavocapitolo
iv S. Manservisi e R. Scardovelli - Termoidraulica dei flussi bifase
si esamina la nucleazione eterogenea in presenza di superfici solide scaldate e
si presenta in modo descrittivo il ciclo dell’ebollizione nucleata, dalla forma-
zione al rilascio di una singola bolla di vapore. Il nono capitolo analizza i vari
regimi che caratterizzano il cambiamento di fase in una piscina di liquido che
`e soggetta ad un flusso termico o ad un surriscaldamento della parete costanti.
Vengono anche presentate alcune correlazioni che sono state proposte per la
caratterizzazione dello scambio termico nei diversi regimi. Nel decimo capitolo
si considera l’evoluzione dei regimi di flusso e di scambio termico per un fluido
inebollizioneconvettivacheentrainuncondottocomeliquidosottoraffreddato
ed esce come vapore surriscaldato. Vengono anche analizzate le condizioni di
flusso di calore critico che possono portare al collasso del sistema dal punto di
vista termomeccanico. Nell’undicesimo capitolo vengono discussi i vari regimi
della condensazione esterna e quelli della condensazione convettiva all’interno
di condotti.
Nel dodicesimo capitolo si illustra il legame tra i vari modelli fisico-
matematici presentati nei capitoli precedenti e la loro implementazione nei
codici di calcolo per i flussi bifase. In particolare vengono descritti due codici
basati sul modello a due fluidi. Il primo `e un codice di sistema monodimen-
sionale, il secondo`e un codice tridimensionale (CFD) particolarmente indicato
per l’analisi di singoli componenti o di brevi tratti di circuito che prevedono
giunzioni e curve. Infine vengono brevemente descritte alcune tecniche per la
rappresentazioneeilmotodell’interfaccia,chesonoutilizzatenellasimulazione
numericadiretta (DNS) dei flussi bifase. Le quattroappendici finali raccolgono
materiale di supporto ai capitoli.
Indice
1 Propriet`a e stabilit`a di un sistema monofase 1
1.1 Potenziali termodinamici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Relazioni fra i potenziali e le variabili termodinamiche . . . . . 4
1.3 Stati stabili e metastabili di un sistema monofase . . . . . . . . 8
1.4 Equazione di stato dei gas ideali e di van der Waals . . . . . . 12
2 Equazioni di conservazione per flussi multifase 17
2.1 Equazione generale di conservazione per un sistema multifase . 17
2.2 Equazioni di conservazione della massa, della quantita` di moto
e dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Disuguaglianza dell’entropia ed equazioni costitutive . . . . . . 23
2.4 Sistema di equazioni di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Idrostatica dei sistemi bifase con interfacce 29
3.1 Condizioni per l’equilibrio di un’interfaccia nel caso statico . . 29
3.1.1 Interfaccia fra due fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Interfacce fra piu` componenti . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 Forza all’interfaccia con tensione superficiale variabile . 39
3.2 Forma dell’interfaccia all’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 Parete verticale bagnabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 Tubo capillare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 Goccia appoggiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Dinamica dei sistemi bifase con interfacce 47
4.1 Condizioni di equilibrio dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 Condizioni imposte dall’equazione di continuit`a . . . . . 47
4.1.2 Condizioni imposte dall’equazione del moto . . . . . . . 49
4.2 Formulazione ad un fluido delle equazioni di conservazione . . . 50
4.2.1 Propriet`a della funzione delta di Dirac . . . . . . . . . . 50
vi S. Manservisi e R. Scardovelli - Termoidraulica dei flussi bifase
4.2.2 Propriet`a fisiche ed equazioni dinamiche nella formula-
zione ad un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.3 Numeri adimensionali per un flusso multifase . . . . . . 54
4.3 Stabilit`a e instabilit`a delle interfacce nei sistemi bifase . . . . . 55
4.3.1 Flusso di Couette con interfaccia . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2 Onde di gravita` in acque basse . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.3 Instabilit`a di Rayleigh-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.4 Instabilit`a di Kelvin-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.5 Instabilit`a dei getti assialsimmetrici . . . . . . . . . . . 69
5 Modello a due fluidi per i sistemi bifase 73
5.1 L’equazione di Liouville e di Boltzmann per i flussi bifase . . . 74
5.2 Modello a due fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.1 Equazione di continuit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.2 Equazione della quantit`a di moto . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.3 Equazione per il trasporto di area interfacciale . . . . . 82
5.3 Approssimazioni del modello a due fluidi . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.1 Modello a due fluidi e una pressione . . . . . . . . . . . 86
5.3.2 Modello monodimensionale per flussi bifase . . . . . . . 87
5.3.3 Modello monodimensionale stazionario . . . . . . . . . . 90
6 Flussi bifase in condotti 93
6.1 Classificazione dei flussi bifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.1 Flussi bifase in condotti verticali . . . . . . . . . . . . . 96
6.1.2 Mappa dei regimi di flusso in condotti verticali . . . . . 97
6.1.3 Flussi bifase in condotti orizzontali . . . . . . . . . . . . 100
6.1.4 Mappa dei regimi di flusso in condotti orizzontali . . . . 102
6.2 Calcolo delle perdite di carico nei flussi monofase . . . . . . . . 103
6.2.1 BilancimacroscopicistazionariedequazionediBernoulli
in un flusso monofase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.2 Perdite di carico per attrito in un flusso monofase . . . 105
6.3 Calcolo delle perdite di carico nei flussi bifase . . . . . . . . . . 112
6.3.1 Modello di flusso bifase omogeneo . . . . . . . . . . . . 114
6.3.2 Modello di flusso bifase con fasi separate . . . . . . . . . 117
6.3.3 Perdite di carico concentrate nei flussi bifase . . . . . . 125
7 Nucleazione omogenea 127
7.1 Condizioni di equilibrio fra le fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 Equazione di Clausius-Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3 Stati metastabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.4 Nucleazione omogenea in liquidi surriscaldati . . . . . . . . . . 134
7.4.1 Equilibrio di una singola bolla . . . . . . . . . . . . . . 134
INDICE vii
7.4.2 Stabilit`a di una singola bolla . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.4.3 Derivazione analitica della variazione della funzione
disponibilit`a per una bolla . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.4.4 Barriera di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.5 Nucleazione omogenea in vapori sottoraffreddati . . . . . . . . 142
7.5.1 Equilibrio e stabilit`a di una singola goccia . . . . . . . . 142
7.5.2 Derivazione analitica della variazione della funzione
disponibilit`a per una goccia . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.6 Confronto tra le curve teoriche e quelle sperimentali . . . . . . 145
8 Nucleazione eterogenea e ciclo dell’ebollizione nucleata 147
8.1 Nucleazione eterogenea e densita` dei siti di nucleazione . . . . . 147
8.1.1 Espressionianaliticheperilvolumediunabolladivapore
in una cavit`a conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2 Il modello di Hsu per l’ebollizione nucleata . . . . . . . . . . . 158
8.3 Crescita di una bolla in una piscina di liquido surriscaldato . . 162
8.3.1 Regime di crescita inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.3.2 Regime di crescita controllato dal flusso termico . . . . 164
8.4 Crescita di una bolla vicino ad una superficie scaldante. . . . . 166
8.5 Diametro della bolla al rilascio e frequenza del ciclo. . . . . . . 170
9 Ebollizione in piscina 173
9.1 Regimi dell’ebollizione in piscina . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.2 Meccanismi e modelli per l’ebollizione nucleata . . . . . . . . . 176
9.2.1 Modello di Rohsenow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.2.2 Modello di Forster e Zuber . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.2.3 Osservazioni generali sull’ebollizione nucleata . . . . . . 179
9.3 Flusso di calore critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.4 Ebollizione a film . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.4.1 Analisi integrale di Nusselt dell’evaporazione a film . . . 183
9.4.2 Teoria dello strato limite dell’evaporazione a film . . . . 185
9.5 Altri fattori che influenzano l’ebollizione . . . . . . . . . . . . . 192
10 Ebollizione convettiva in condotti 195
10.1 Regimi dell’ebollizione convettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.2 Inizio dell’ebollizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.3 Ebollizione sottoraffreddata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.4 Ebollizione satura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.4.1 Ebollizione nucleata ed evaporazione convettiva . . . . . 207
10.4.2 Il coefficiente di scambio termico nell’ebollizione satura 210
10.4.3 La correlazione di Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.4.4 La correlazione di Gungor-Winterton . . . . . . . . . . . 213
