Table Of ContentI. P. PROKOFJEV
Profesor, doktor tehničkih nauka
A. F. SMIRNOV
Profesor, doktor tehničkih nauka
TEORIJA
l(ON·STRUI(CIJA
DEO III
STABILNOST KONSTRUKCIJA
I _DINAi\UKA KONSTR.UKCIJA ·
_-Preveo s ruskog
Ing. MILUTIN MAKSIMOVIĆ
IZDAV AČKO PREDUZEĆE
» GRAĐEVINSKA KNJIGA«
BEOGRAD, 1961.
i
i
I
f
i
'
1.
i
f
Naslov originala:
n. \
H. flpOKOcpbeB
I
CTpocpeccop, ~01<top texm1qecK11X HayK
A. cti. C1rtupl-loB
CTpocpeccop, p,oKtop Texm1tiec1<11x 1-iayK
\
r
TEOPH5I COOPY)KEHMft
4 A C T b III I
l
Stručna redakcija
Ing. BOŠKO PETROVić
Za preduzeće c:dg0vara
Glavni urednik
LJUBICA JURELA
Urednik
DRAGOMIR LAZIN
Tehnički urednik
EMILIJA BOžINOVIĆ
Korektor
SLOBODAN STEFANOVIĆ
Naslovna strana
JOVANKA RISTIĆ-PRŠENDIĆ
štampa: Izdavačko preduzeće »MINERVA«, Subotica 2020 61
PREDGOVOR
Neprekidni razvoj građevinarstva u Sovjetskom. Savezu i povećavanje dina
mičkih opterećenja sve više zahtevaju-od inženjera sposobnost da izvrše ne samo
statički, već i dinamički proračun konstrukcija kao i proračun njihove stabilnosti.
Poslednjih trideset godina u Sovjetskom Savezu obavljeni su značajni teoretski
radovi u ovim oblastima. Pojavile su se studije i radovi S. A. Bernštajna,
N. I. Bezuhova, B. G. Galjorkina, A. N. Dinika, K. S. Zavrijeva, A. I. Lurje,
P. I. Karnauhova, I. M. Rabinoviča, N. S. Streljeckog, N. K. Snitko i mnogih
drugih autora, a takođe je izvršen veoma veliki broj eksperimentalnih istraživanja,
naročito u oblasti dinamike konstrukcija u raznim sovjetskim naučno-istraživačkim
institutima i centrima (radovi CNII, MPS, CNIIPS i dr.).
U ovom, trećem delu udžbenika Teorije Konstrukcija izložene su osnove
dinamike i stabilnosti elemenata inženjerskih konstrukcija. Sadržaj knjige je u
skladu sa okvirima programa, ustanovljenih za grupe konstruktivnog smera na
železničkim fakultetima.
Pri izlaganju teorije, autori su nastojali da se drže metoda, uobičajenih u
Teoriji' Konstrukcija: metoda sila, metoda_pomeranja, metoda početnih parametara
i tsl. Autori smatraju da su studenti ovladali tim metodama još pri proučavanju
prethodnih oblasti teorije· konstrukcija, tako da će primena ovih metoda olakšati
izučavanje pitanja dinamike i stabilnosti konstrukcija.
Jednim ovakvim udžbenikom, čiji je obim ograničen vremenom koje stoji
na_r aspoloženju za predavanja i za rad studenata, - prirodno - ne mogu se obuhva
titi svi problemi stabilnosti i dinamike konstrukcija. Stoga su autori svoj zadatak
shvatili tako da što bolje i potpunije osvetle ona osnovna pitanja iz oblasti dinamike
i stabilnosti na koje građevinci-konstrukteri u svojoj praksi kasnije nailaze.
Kao izvesnu osobenost ovog udžbenika treba pomenuti to, da su u njemu
podrobno obrađeni problem.i iznalaženja unutrašnjih sila i momenata pod dejstvom
vibrirajućeg opterećenja. Osim toga, u ovoj knjizi razrađeni su postupci za dinamički
proračun okvira, lukova i rešetki.
U delu koji obrađuje dinamiku konstrukcija autori su odlučno odustali od
obr~de problema, povezanih sa sistemom tereta koji se kotrljaju i sa udarima koje
takvo kotrljanje izaziva. Ti problemi nisu još dovoljno proučeni i ne mogu biti
pruženi· studentima u pogodnom i pristupačnom obliku. Tako isto, nisu razmatrani
ni problemi dinamike u odnosu na trusne udare, jer su to posebni problemi s kojima
se inženjer-konstrukter može upoznati pomoću radova prof. K. S. Zavrijeva.
U delu koji obrađuje stabilnost konstrukcija autori su se ograničili na analizu
stabilnosti sistema, sklopljenih od štapova, i to u stadijumu elastičnosti, premda
se u mnogobrojnim slučajevima gubitak stabilnosti dešava baš u stadijumu plastič-
"'··:.
nosti. Problemi gramcnog opterećenja, koje narušava stabilnost u plastičnom sta
dijumu zasad su još nedovoljno teoriski obrađeni, pa to veoma otežava _nj'ihovo
sistematsko izlaganje u ovakvoj jednoj knjizi.
U ovoj knjizi je dat veliki broj primera i zadataka koji olakšavaju učenje i pam-
ćenje teorije posmatranih pitanja.
Izdajući ovaj svoj udžbenik, autori očekuju kritiku stručne javnosti, koja će
omogućiti da naredna izdanja budu bolja.
Na kraju, autori smatraju svojom prijatnom dužnošću da se zahvale recen
zentima, prof. S. A. Bernštajnu i K. S. Zavrijevu, -koji su im dali dragocene savete,
a tako isto i prof. V. A. Kiseljevu, docentu P. I. Polievku i aspirantima K. E. Kitajevu,
V. I. Sabljinu i G. V. Fjodorkovu na ukazanoj pomoći pri izradi teksta i pri rešava-
nJU primera i zadataka. Autori
STABILNOST KONSTRUKCIJA
I~
UVOD
'!
'
Pri projektovanju inženjerskih konstrukcija često nije dovoljan obični proračun.
-i na čvrstoću da bismo dobili potpunu pretstavu o sigurnosti konstrukcije.
Sama konstatacija da u konstrukciji neće biti prevaziđeni dopušteni naponi
"· : još nam ne daje pravo da zaključimo da će konstrukcija postojati. i raditi bez opasnosti
'od sloma - jer osim problema čvrstoće postoji još i problem '[ZV. stabilnosti kon
strukcija.
Izvijanje pritisnutog štapa (sl. 1) koje proučavamo u nauci o otpornosti mate
rijala pruža nam najprostiji primer gubitka stabilnosti pravoliniskog oblika ravnoteže
- gubitka stabilnosti pri cencričnom pricisku.
--.... ,
'
'
'
'
. ~ '
'
6) c)
SI I. Sl. 2
Zatvoreni kružni prsten (s~. 2a) koji se nalazi pod dejstvom ravnomerno po
deljenog radijalno usmerenog (hidrostatičkog) opterećenja, pri izvesnoj »kritičnoj»
veličini tog opterećenja q„r izgubiće stabilnost centričnog pritiska, a prvobitni
kružni oblik će se preobratiti u elipsu.
Okvir, prikazan na sl. 2b, pod kritičkim teretima P kr gubi svoju stabilnost,
a štapovi mu se izvijaju i krive prema shemi daroj na slici.
Parabolični luk (sL 2c, isprekidana linija), izložen dejstvu ravnomerno pode
ljenog opterećenja q u svim svojim presecima ima samo napone na pritisak.* Ovaj,
inače stabilni oblik deformacije, pri porastu opterećenja q i kad ovo dostigne kri- · ~
tičnu vrednost qk„ - postaje nestabilan: deformaciji pritiska pridružuje se defor
macija izvijanja, pa luk dobija oblik, prikazan (karikirano) na sl. 2b punom linijom.
* Momente, prouzrokovane elastičnim skraćenjem (zbijanjem) luka - zanemarujemo.
5
7
Ist.raživanj~ i eksperimenti su pok~zali ~a ~·kod drugih vrsta deformacija dolazi
?o
gubitka stab~lr:osti. Tako, napr. pn sav1J~1:1JU konzole, načinjene od vrlo tanke,
Jednostrano_ ukl1estene trake (v. _sl. 3a), ~nhk~m postupnog povećavanja sila P,
nastupa u Jednom trenutku gubitak stabilnosti, jer se deformaciji savijanja pri
ključuje deformacija bočnog izvijanja.
Uklještena traka, koja se dotle samo savijala u vertikalnoj ravni, sad <lobija
i bočno izvijanje (van v·ertikalne ravni), skopčana sa uvijanjem nosača, uk1ještenog
na drugom svom kraju.
Ist"o ovo može se dogo
diti i kod dvostruko T
nosača (sl. 3b) an e samo ,-
kod tanke trake. Prema
tame, osim gubitka sta
bilnosti pri centričnom
pritisku, postoji moguć
a) b)
nost i gubz"tka scabdnosci
pri savijanju u ravni.
Sl. 3
Na sličan način·
možemo imati slučajeve
gubitka stabilnosti pn uvijanju, pn ekscentričnom pritisku, pri istovremenom .~'
I
dejstvu pritiska i savijanja i tsl. Do pojave gubitka stabilnosti ove ili one vrste
deformacije dolazi po pravilu trenutno, a odmah potom javljaju se nove vrlo velike
deformacije i dolazi do nove raspodele unutrašnjih naporni koji često prouzrokuju
nagli slom konstrukcije.
Katastrofalna rušenja velikih inženjerskih konstrukcija dešavala su se većinom
ne zato što su pojedini elernenti bili slabi, već Z'lto što konstrukcija u celini nije
bila obezbeđena u smislu stabilnosti. Iz ovog proističe zaključak da pri proj ektovanj u
konstrukcija moramo voditi računa da i njenim pojedinim delovima, kao i samoj
konstrukciji u celini, moramo projektom obezbediti ne samo dovoljnu jačinu već
i stabilnost. Proračuni na stabilnost sastoje se u iznalaženju veličina kritičnih sila
ili njihovih parametara; oni se sprovode potpuno nezavisno od proračuna na čvrsto
ću, te pretstavljaju samostalne, dopunske proračune.
GLAVA l
KRJ:TIČNE SILE I NAČIN IZRAČUNAVANJA ISTIH
§ 1. GUBITAK STABILNOSTI, KRITIČNA SILA I KRITIČNI PARA..'VlETAR
Izvijanje pravog, centrično opterećenog štapa pretstavlja najprostiji slučaj
gubitka stabilnosti.
Uzmimo da imamo idealan, bez težine, prav i dug štap, načinjen od homoge
n~g materijala, čiji je donji kraj uklješten a gornji slobodan. Ako na gornji, slobodni
kraj deluje pritiskujuća centrična aksijalna sila P čija veličina postupno raste, onda
će štap u početku, do neke određene veli'Čine sile Pk„ očuvati svoj pravolinisld
oblik. Ako smo još pre početka opita sa aksijalnom silom izveli navedeni štap iz
njegovog pravoliniskog položaja, a zatim ga naglo pustili - on je vibrirao a zatim
su se vibracije postupno gasile i on je ponovo zauzimao prvobitni pravoliniski
položaj. Ovim je dokazana da je štap stabilan u svom pravoliniskorn položaju.
6
1-
-- i
!
~----
Sve dok sila P nije dostigla svoju kritičnu veličinu, aksijalno opterećeni štap
ostaje prav. Ali kad sila naraste do P1,,., onda će i najmanji slučajni bočni udar
izazvati krivljenje ose, koje čak može biti i vrlo veliko.
Granična veličina prici.skujuće centrične· aksijalne sile, pri kojoj štap još ostaje
prav nazivamo krfričnom silom.
Na sl. 4 prikazani su oblici ose tankog dugog štapa koji se javljaju onda, kad
je dejstvujuća sila veća od Pkr za 10, 39 i 120%1. Iz ovih crteža vidimo da kad
pritiskujuća sila premaši
kritičnu veličinu Pk,,., onda
uporedo sa naponima pri
tiska dolazi i do znatnih --1.~.:iu -\_
napona na savijanje.
Ako je štap načinjen U Pxr fJ Pkr t-,3-<>9P -;.--r_ ._
od krtog materijala, onda
4
će i pri neznatnom izvi- Sl. .
janju već doći do sloma. iVieđutim, ako je štap od nekog elastičnog materijala (napr.
od onda do sloma ne dolazi tako brzo; ako pri izvijanju nije
čelika), prevaziđena
granica plastičnosti, onda će se izvijeni štap ispraviti čim prestane dejstvo sile.
U tom slučaju, kad je pritiskujuća sila veća od P1m prvobitno stabilni pravoliniski
oblik postaje nestabilan, a krivoliniski oblik (sl. Sa) postaje stabilan.
Za jedar:i te isti štap može postojati nekoliko veličina kritične sile, što će zavisiti
od uslova oslanjanja štapa. Tako, napr.,. za štap, zglobasto oslonjen na oba svoja
kraja, kritične sile - kao što znamo iz nauke o otpornosti materijala - date su
sledećim obrascima:
n2EI
P tir = --·-- ;
1 /2
4 n2 EJ
P2kr = --
z2
9 n2 EJ
Pakr = ;
/2
(n n)2 EJ
Pnkr = ·
z2 a) 6) c)
Drugoj i trećoj vrednosti kritične sile Sl. 5
odgovara izvijanje ose štapa sa dva, odnosno
tri polutalasa (sl. Sb i Se); takva izvijanja mogućna su samo teoriski; ti oblici su
nestabilni, pa ako do njih u jednom trenutku i dođe, - ona se odmah pretvaraju
u stabilan iskrivljen oblik, dat na sl. Sa.
Stanje štapa, pri kom dolazi do gubitka stabilnosti, nazivamo krfričnim stanjem.
Ako je sila makar i za sasvim malo manja od kritične, - štap je u stabilnoj ravno
teži; ako je sila ma i za najmanju meru veća od kritične - štap dolazi u labilnu
ravnotežu.
1 Pomeranja su izr::ičunarn pomoću tačne diferencijalne jednač ine izvijene ose:
j\I[ y"
-- = +
EJ - (1 + y'2)'/,
7
·".'
'.·· .•
. :- ~·~
Stabilna i labilna ravnoteža pogodno su prikazane na primeru loptice, smeštene
u unutrašnjosti lopte, na horizontalnoj ravni i na vrhu spoljne strane lopte (sl. 6).
Ako lopticu, koja leži u lopti (sl. 6a) izvedemo iz ravnotežnog položaja, a zatim
je pustimo - ona će se ponovo vratiti u svoj prvobitni položaj. Položaj loptice
u većoj loptastoj površini je dakle stabilan; čim lopticu ma i za malo izvedemo iz
ravnotežnog položaja, njena energija raste; iz toga sledi da stabilnom položaju
loptice na dnu konkavne površine odgovara minimum potencijalne· energije.
Ako pak lopticu postavimo na vrh konveksne loptaste površine (sl. 6b), te
ako je makar i za najmanje izvedemo iz ravnotežnog položaja - ona se neće moći
sama vratiti u prvobitni položaj; to znači da ovde imamo slučaj labilne ravnoteže.
Svako izvođenje loptice iz ravnoteže propraćeno je smanjenjem potencijalne energi
je; dakie u labilnoj ravnoteži potencijalna energija loptice· je u maksimumu. .~
Slučaj loptice, koja leži na horizontalnoj ravni (sl. 6c) pretstavlja indiferentnu
ravnotežu, jer se pomeranjem loptice, tj. iz ravnotežnog položaja ener-
izvođenjem
gija loptice ne menja. · · ·
Prema tome, za stabilnu ili labilnu ravnotežu loptice karakteristično je to:
da se pri najmanjem izvođenju iz ravnotežnog položaja potencijalna en·ergija pove
ćava, odnosno smanjuje.
Sl. 6 Sl. 7
Sličan je slučaj i sa stabilnošću štapova: štap je stabilan onda, kad je njegova
polencijalna energzj"a u minimumu, a nestabilan je on.da, kad mu je potenczj"alna ener
gija u mahsimumu. Ova postavka pre:stavlja osnovu pri rešavanju problema stabilnosti
energetskim postupkom. ·
Sve što je napred rečeno o stabilnosti ili nestabilnosti centrično opterećenog
pravog štapa, odnosi se u istoj meri i na ma koju konstrukciju čiji su elementi na
pregnuti na pritisak.
Dosad smo govorili o stabilnosti štapa izloženog dejstvu jedne sile, ocenjujući
. .A:.
stabilnost kritičnom veličinom te sile. Međutim, takva oce_na stabilnosti postaje „
kad na štap ili na konstrukciju deluje više sila kao napr. na okvir, pri
nemogućna
kazan na sl. 7, izložen dejstvu više raznih sila.
U ovakvim slučajevima kritično stanje odredeno je kricičnim parametrom.
Ovaj parametar pretstavlja rezervu stabilnosti konstrukcije u odnosu na odredenu
grupu sila. Uzmimo, napr „ da treba odrediti rezervu stabilnosti okvira sa sl. 7
u odnosu na sistem sila Pl> P2 i P 4 . .l\tlnožeći ove sile sa fJ, treba naći takvu kritičnu
veličinu parametra /3kr pri kojoj će se okvir, opterećen silama P (Jfl„ P"4 /3kr P i P fJk„
1 3 4
nalaziti u kritićnom sranju. Pri računanju na !-.tabilnost nije tako bitno izra
čunavanje ukupne veličine kritičnog opterećenja, već iznalaženje rezerYe stabil
nosti, tj. određivanje kritičnog parametra.
§ 2. METODE IZNALAŽENJA KRITIČNIH SILA
Postoji više metoda za iznalaženje kritičnih sila od kojih su glavne dve: statička
i energetska. Jvli ćemo pre svega razmotriti ove dve.
8
.... - -
- -
1. Statička metoda
Statička metoda se sastoji u tom, što se elascični siscem posmacra u ravnoceži
pri cakvom defonnisanom stanju koje se razlikuje od dacog poscojanjem beski·ajno
nu;zlih pomeranja koja prouzrokuju novi oblik defornzaczj"e, različic od zadacog. Sve
dok su deformacije male, mogu se približne linearne diferencijalne jednačine kori
stiti kao jednačine elastične linije. Jednačine ravnoteže, zajedno sa graničnim uslo
vima omogućavaju nam da sačinimo sistem linearnih homogenih jednačina čiji je
broj jednak broju nepoznatih konstanti koje se pojavljuju pri integrisanju diferen
cijalnih j ·
ednačin2..
Za homogene jednačine je karakteristično to, da one nemaju samo jedno reše
nje. Prema jednom mogućnom rešenju sve konstante su jednake nuli - što odgo~
vara slučaju nedeformisanog stanja sistema.
Da bismo dobili novo, deformisano stanje, dovoljno je da konstante, koje
ulaze u sastav sistema jednačina ravnoteže budu različite od nule. Ovaj će uslov
biti ispunjen onda, kad determinanta, sastavljena od koeficijenata a pored nepo
znatih bude jednaka nuli:
D(a) = O. CQ
Ova jednačina će nam biti baš ona karakteristična jednačina - a nju ćemo
ubuduće nazivati jednačinom scabilnosci koja će nam dati veličinu kritične sile Ph„
(ili kritičnog parametra f3kr).
Sada ćemo na primeru pritisnutog štapa, s jednog kraja uklje
štenog, a sa drugog kraja zglobasto vezanog prikazati primenu
ove statičke metode (sl. 8).
Momenat savijanja u ma kom preseku x j.ednak je:
+
Mx = -Py Q(l -x),
pncem je Q reakcija gornjeg oslonca a.
Koristeći se diferencijalnom jednačinom ugiba:
2
Hl d y = M,
dx2 Sl. 8
dobićemo:
+
Ely" Py = O(l -x) . (2)
Integral jednačine (2) biće:
+ + 2-cz
y = A cos nx B sin nx -x), (3)
p
pričem su A i B p·roizvoljne konstante, a :1
n=V
(4)
Jednačina način, veličine:
(3) sadrži, na taj tri nepoznate A, B i ; , a njih
ćemo iznaći pomoću graničnih uslova:
pri X = Q y = o )
pri X = Q y' = o } (5)
pri X = f y .= o J
9
Iz graničnih uslova (5) i jednačine elastične linije (3) dobijamo sistem homo
genih j ednačina :
)
I ·.·
+
A cos nl B sin nl = O; ~ (6)
. o I
Bn --=-= O.
J
p
J ednačine (6) zadovoljene su pri:
A= B = -Q =O.
p
lvleđutim, taj slučaj odgovara stabilnoj ravnoteži, jer su u skladu sa izrazom
(3) pri navedenim vrednostima A, B i Q ugibi jednaki nuli, pa prema tome štap
ostaje prav. Nas međuti.m interesuje slučaj ravnoteže štapa u iskrivljenom stanju,
.tj. slučaj kad su konstante A, Bi Q različite od nule. Ovo će pak biti mogućno samo
onda kad determinanta sistema (6) bude jednaka nuli. Tom slučaju odgovaraju
neodređene vrednosti konstanti, a one su karakteristične za indiferentnu ravno
težu. Prema tome, jednačina stabilnosti će biti:
o
1 l
o =o.
D = cos nl sin nl
o
n - 1
Razvijanjem determinante dobijamo:
tg nl = nl. (7)
Tehnički, nama je interesantan najmanji - nejednak nuli - koren jednačine (7).
Putem biranja nalazimo nl = 4,493. Pomoću jednačine (4) nalazimo kritičnu silu
EJ
Phr = 20,19 - . (8) ..,
z2
U onim slučajevima, kad se diferencijalna jednačina elastične linije ne integriše
u zatvorenom vidu, rešenje se može tražiti u obliku beskonačnih redova. Sama
metoda sastavljanja jednačina stabilnosti pak ostaje i u tom slučaju ista kao i pre.
2. Energetska metoda
U § J mi smo se upoznali sa energetskim znacima stabilne ili labilne ravnoteže
krutog tela (loptice), pa smo ustanovili da svakom mogućnom izvođenju tel.a iz
stabilne ravnoteže odgovara porast njegove potencijalne (položajne) energije -
i obratno: svako otstupanje od labilne ravnoteže prop raćeno je smanjenjem poten
cijalne energije. Slične znake ravnoteže imamo i kod elastičnog tela.
Ako pri bilo kakvom (malom) otstupanju elastičnog štapa od datog oblika
ravnoteže potencijalna energija bude rasla, - to će označavati da je štap u stabilnoj
ravnoteži. Nasuprot ovome, ako potencijalna energija pri izvođenju iz ravnotežnog
položaja bude opadala - znači da je ravnoteža bila labilna.
J<.ricičnom sianju će odgovarati onaj slučaj, kad pocenctjalna energtja pri malim
mogućnim oiswpa.njima od dacog oblika bitde ostajala nepromenjena.
Ako ne posmatramo samu potencijalnu energiju, već njenu promenu pri prelazu
iz jednog ravnotežnog položaja u drugi, onda će kritično stanje biti određeno uslovom ,
'
1JV = O
I.
10 I
\
