Teorija automatskog upravljanja 2

260 Pages·2007·8.268 MB·Bosnian

by  Čedomir Milosavljević

LINEARNI I NELINEARNI, VREMENSKI KONTINUALNI
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
K?
ISTOČNO SARAJEVO, 2007.
Autor je osam udžbeničkih publikacija i
preko 200, stručnih i drugih radova,
objavljenih u poznatim nacionalnim i
internacionalnim časopisima ili u zbor-
nicima radova naučnih konferencija.
Pionir je u istraživanju digitalnih siste-
ma promenljive strukture, sa u svetu
zapaženim rezultatima (Citation index
iznad 100). Autor je V poglavlja:
“Discrete-Time VSS” u monografiji:
“Variable structure systems: from prin-
ciples to implementation”, Ed.: A. Ša-
banović, L. Fridman, S. Spurgeon, The
IEE Press, London, 2004.
Osnivač je Laboratorije za automatiku
na Elektronskom fakultetu. Konstruisao
je oko 50 uređaja i sistema iz oblasti

automatike za lab. vežbe studenata i za
Čedomir S. Milosavljević (1940., s.
industrijsku proizvodnju a neki od njih
Jovac, Vladičin Han, Srbija). Osnovnu školu
su bili u serijskoj proizvodnji (servosta-
pohađao u s. Jovcu, Vranju i s. Stublu, a
bilizatori mrežnog napona, tiristorski
srednju (elektroenergetika) diplomirao 1959.
stabilizatori napona, tiristorski regula-
u Nišu. Kao tehničar radio u Termoelektrani
tori brzine obrtanja jednosmernih mo-
RTB-Bor. Studije započeo 1960. u Skoplju
tora, regulatori temperature, frekventni
(elektromašinstvo), nastavio u Nišu (elektro-
regulatori brzine obrtanja asinhronih
nika), gde 1962. postaje pogonski inženjer.
motora i dr.).
Kao stipendista EI-Niš (1962.-66.) studije
Kao mentor uspešno je vodio veliki
nastavlja u Moskvi, na Moskovskom energet-
broj diplomaca, 12 magistranata i četiri
skom institutu (Fakultet za Automatiku i
doktoranta. Kao gostujući profesor od
računarsku tehniku, Profil za automatiku).
1997. god. izvodi nastavu iz Teorije au-
Kao Dipl. inž. radio u EI-Niš (Fabrika profe-
tomatskog upravljanja na Elektroteh-
sionalne elektronike (1966.-74.), Istraživačko
ničkom fakultetu u Istočnom Sarajevu.
razvojni institut (1974.-77.)). Magistrirao
Recenzent je časopisa: Automatica
(1975.) na Elektronskom fakultetu u Nišu iz
Internacionalne federacije za automa-
oblasti automatike (Optimalno upravljanje
tiku (IFAC); IEEE Trans. on Automatic
procesom apsorpcije u apsorberima sa ispu-
Control, IEEE Trans. on Industrial
nom). 1977.-78. godine je profesor Više
electronics i dr. Bio je External exa-
škole za obrazovanje radnika u Nišu. Od
miner jedne doktorske disertacije na
1978. radi na Elektronskom fakultetu u Nišu.
Indian Institut of Technology, Bombay.
Doktorirao na Elektrotehničkom fakultetu u
Jedan je od osnivača Društva za ener-
Sarajevu (1982.) iz oblasti Automatskog
getsku elektroniku u N. Sadu, član je
upravljanja (Neki problemi diskretne realiza-
Programskog odbora konferencija: Ee,
cije zakona upravljanja sistema sa promen-
N. Sad i CONTI Temišvar, Rumunija.
ljivom strukturom).
Osnivač je Katedre za automatiku na Elek- Detaljne reference videti na sajtu:
tronskom fakultetu u Nišu i njen šef (1985.- http://www.elfak.ni.ac.yu/phptest/ne
2002.) Organizovao je diplomsku i post- w/licne_prezentacije/cedomir_milos
diplomsku nastavu iz oblasti automatike na avljevic/index.htm
Elektronskom fakultetu u Nišu.
KRATAK SADRŽAJ

Predgovor
Glava 1: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 1
Glava 2: Određivanje odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja45
Glava 3: Prostor stanja i osobine sistema 67
Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 91
Glava 5: Uvod u nelinearne SAU 133
Glava 6: Metoda faznog prostora 143
Glava 7: Metoda harmonijske linearizacije. Opisna funkcija 157
Glava 8: Stabilnost nelinearnih sistema 169
Glava 9: Nelinearni zakoni upravljanja 203

Registar 239
a
DETALJAN SADRŽAJ

Predgovor
Glava 1: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 1
1.1 Uvod 1
1.2 Modelovanje mehaničkih sistema 2
1.3 Metoda prostora stanja sistema 8
1.3.1 Matrični model linearnih električnih mreža 11
1.4 Transformacija matematičkih modela iz prostora stanja
u kompleksni domen 14
1.4.1 Primena MATLAB-a za transformacija modela
iz prostora stanja - kompleksni domen 16
1.5 Transformacija modela ulaz-izlaz u prostor stanja.
Računarska simulacija dinamičkih sistema 18
1.5.1 Simulacija dinamičkih sistema na osnovu funkcije prenosa 22
1.5.1.1 Direktno programiranje 22
a) Kanonička kontrolabilna forma 22
b) Modifikovana kanonička forma 24
c) Kanonička opservabilna forma 25
1.5.1.2 Redno programiranje 30
a) Redno programiranje sistema bez konačnih nula 30
b) Redno programiranje sistema s konačnim nulama 31
1.5.1.3 Paralelno programiranje 34
a) Funkcija prenosa ima proste polove. Dijagonalna forma 34
b) Funkcija prenosa ima višestruke polove. Blok-dijagonalna forma 35
1.5.2 MATLAB transformacija modela ulaz-izlaz - prostor stanja 38
Literatura 40
Pitanja za samoproveru 40
Zadaci za vežbu 42
Glava 2: Određivanje odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja45
2.1 Fundamentalna matrica i odziv sistema 45
2.1.1 Primena MATLAB-a za nalaženje odziva sistema 47
2.2 Diskretni model vremenski kontinualnog sistema 48
2.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju modela u diskretni domen 50
2.3 Fundamentalna matrica Džordanove submatrice 51
2.4 Fundamentalna matrica kompanjon forme 52
2.5 Transformacija modela u prostoru stanja 55
2.5.1 Svođenje sistema na dijagonalnu formu 56
2.5.1.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u dijagonalnu formu 57
2.5.2 Svođenje sistema na kanoničku kontrolabilnu formu 58
a
Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2
2.5.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u kontrolabilnu formu 60
2.5.3 Svođenje sistema na Džordanov oblik 60
2.5.3.1 Primena MATLAB-a za svođenje na Džordanov oblik 62
2.6 Procesi u linearnim SAU 62
Literatura 64
Pitanja za samoproveru 65
Zadaci za vežbu 66
Glava 3: Prostor stanja i osobine sistema 67
3.1 Uvod 67
3.2 Kontrolabilnost (Upravljivost) 68
3.2.1 Kontrolabilnost vremenski diskretnih sistema 69
3.2.2 Kontrolabilnost vremenski kontinualnih sistema 70
3.2.2.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje kontrolabilnosti 71
3.2.3 Kontrolabilnost izlaza sistema 72
3.3 Opservabilnost (stanjemerljivost) sistema 72
3.3.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje opservabilnosti
3.4 Princip dualnosti 73
3.5 Alternativni testovi kontrolabilnosti i opservabilnosti 74
3.5.1 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti
na osnovu simulacionih šema (grafa toka signala) 74
3.5.2 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti
na osnovu kanoničke dijagonalne forme 75
3.5.3 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti u s-domenu 76
3.6 Superkontrolabilnost 78
3.7 Dekompozicija sistema 78
3.7.1 Primena MATLAB-a za dekompoziciju sistema 80
3.8 Stabilizabilnost sistema 81
3.9 Zadatak minimalne realizacije 82
3.10 Prostor stanja i stabilnost sistema 83
3.10.1 Druga (direktna) metoda Ljapunova 83
3.10.1.1 Primena MATLAB-a za ispitivanje stabilnosti sistema 86
Literatura 87
Pitanja za samoproveru 87
Zadaci za vežbu 89
Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 91
4.1 Uvod 91
4.2 Povratna sprega po stanju ili po izlazu 91
4.2.1 Sistem s povratnom spregom po stanju 92
4.2.2 Sistem s povratnom spregom po izlazu 93
4.3 Projektovanje povratne sprege po stanju 93
4.3.1 Izbor spektra polova 93
4.3.2 Podešavanje spektra polova sistema 94
4.3.2.1 Sistemi sa skalarnim upravljanjem 95
4.3.2.2 Akermanova formula 98
4.3.2.2.1 MATLAB i Akermanova formula
4.3.3 Sistemi s vektorskim upravljanjem 99
b
TAU-2: Sadržaj
4.3.3.1 Prvi način sinteze - svođenje na skalarni slučaj 99
4.3.3.2 Drugi način sinteze - slučaj prostih sopstvenih vrednosti 100
4.3.3.2.1 MATLAB i podešavanje polova 102
4.3.3.3 Treći način sinteze - opšti slučaj 105
4.4 Projektovanje optimalne povratne sprege po stanju 111
4.4.1 MATLAB i optimalna povratna sprega
4.5 Sinteza neinteraktivnih sistema. Rasprezanje 116
4.5.1 Metoda Boksenboma i Huda 117
4.5.2 Rasprezanje kombinovanim kompenzatorom 121
4.6 Opserveri. Sinteza opservera 122
Literatura 129
Pitanja za samoproveru 130
Zadaci za vežbu 131
Glava 5: Uvod u nelinearne SAU 133
5.1 Uvod 133
5. 2 Strukturna blok-šema nelinearnih SAU 134
5.3 Tipične nelinearnosti i njihove karakteristike 135
5.4 Matematički modeli nelinearnih elemenata 137
5. 5 Linearizacija nelinearnih elemenata 138
5.5.1 Satička linearizacija 138
5.5.2 Diferencijalna linearizacija 138
5.5.3 harmonijska linearizacija 138
5.5.4 Stohastička linearizacija 139
Literatura 141
Pitanja za samoproveru 141
Zadaci za vežbu 142
Glava 6: Metoda faznog prostora 143
6.1 Pojam faznih trajektorija, fazne ravni i faznog portreta 143
6.2 Osobine faznih trajektorija 144
6.3 Jednačine faznih trajektorija 144
6.4 Načini konstrukcije faznih trajektorija 146
6.5 Fazni portreti linearnih sistema 146
6.6 Singularne fazne trajektorije 150
Literatura 154
Pitanja za samoproveru 155
Zadaci za vežbu 156
Glava 7: Metoda harmonijske linearizacije. Opisna funkcija 157
7.1 Uvod 157
7.2 Određivanje koeficijenata harmonijske linearizacije 159
7.3 Primena kriterijuma Mihajlova za utvrđivanje
parametara samooscilacija 162
7.4 Primena kriterijuma Nikvista za utvrđivanje
parametara samooscilacija. Metoda Goljdfarba 163
Literatura 167
Pitanja za samoproveru 167
Zadaci za vežbu 168
c
Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2
Glava 8: Stabilnost nelinearnih sistema 169
8.1 Definicija stabilnosti nelinearnih sistema 169
8.2 Definicija stabilnosti po Ljapunovu 172
8.2.1 Prva (indirektna) metoda Ljapunova 175
8.2.2 Druga (direktna) metoda Ljapunova 177
8.3 Lurjeov problem 181
8.4 Frekvencijska metoda Popova 184
8.4.1 Geometrijska interpretacija kriterijuma Popova 187
8.4.2 Modifikacija kriterijuma stabilnosti Popova 189
8.4.2.1 Cipkinov parabolični kriterijum apsolutne stabilnosti 190
8.4.3 Apsolutna stabilnost sistema sa nestacionarnom nelinearnošću 192
8.5 Stabilnost prinudnih procesa u nelinearnim sistemima 193
Literatura 199
Pitanja za samoproveru 199
Zadaci za vežbu 201
Glava 9: Nelinearni zakoni upravljanja 203
9.1 Klasični nelinearni zakoni upravljanja 203
9.1.1 Dvopozicioni regulatori 203
9.1.1.1 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu
prvog reda bez kašnjenja 205
9.1.1.2 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu
prvog reda s kašnjenjem 207
9.1.1.3 Dvopozicioni regulator bez histerezisa na astatičkom objektu
prvog reda s kašnjenjem 208
9.1.1.4 Dvopozicioni regulator s histerezisom na statičkom objektu
prvog reda bez kašnjenja 208
9.1.1.5 Dvopozicioni regulator s histerezisom na statičkom objektu
prvog reda s kašnjenjem 209
9.1.1.6 Dvopozicioni regulator bez histerezisa na statičkom objektu
prvog reda s kašnjenjem 213
9.1.1.7 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu
drugog reda 213
9.1.1.8 Dvopozicioni impulsni regulator 214
9.2 Zakoni upravljanja promenljive strukture. Klizni režimi 215
9.2.1 Uvod 215
9.2.2 SUPS Jemeljjanova s kliznim režimom.
Kvazirelejni algoritam upravljanja 217
9.2.3 Relejni algoritam upravljanja 221
9.2.4 Kombinovani i drugi algoritmi upravljanja 223
9.2.5 Metoda ekvivalentnog upravljanja 230
9.2.5.1 Skalarno upravljanje 230
9.2.5.2 Vektorsko upravljanje 232
Literatura 236
Pitanja za samoproveru 236
Zadaci za vežbu 238

Registar 239
d
PREDGOVOR

Teorija automatskog upravljanja (TAU) - naučno-tehnička disciplina s
burnim razvojem u drugoj polovini XX veka. Ova knjiga je udžbenik za
predmet pod nazivom TAU-2, za studente Elektrotehničkog fakulteta
Univerziteta u Istočnom Sarajevu, gde je autor izvodio nastavu u proteklom
desetogodišnjem periodu u okviru predmeta: TAU, za studente profila
Automatika i elektronika i Sistemi automatskog upravljanja (SAU), za studente
profila Elektroenergetika. Prelaskom na Bolonjski proces studiranja, nastava iz
TAU odvija se u dva jednosemestralna predmeta: TAU-1 i TAU-2. Prvi
predmet obuhvata klasičnu teoriju vremenski kontinualnih SAU, u kojoj se
analiza i sinteza vrši u kompleksnom domenu, primenom funkcija prenosa
sistema odnosno modela ulaz-izlaz. Drugi predmet obuhvata oblast koja se
može nazvati savremena teorija vremenski kontinualnih SAU i sastoji se iz dve
tematske celine: koncepcija prostora stanja u analizi i sintezi linearnih sistema
upravljanja (četiri poglavlja) i osnove teorije nelinearnih sistema upravljanja
(pet poglavlja).
U prvom poglavlju - Matematičko modelovanje dinamičkih sistema- opisane
su metode za dobijanje matematičkih modela dinamičkih sistema u prostoru
stanja. Najpre se daju Lagranžeove jednačine kao najpogodniji način za
dobijanje matematičkih modela mehaničkih (i ne samo mehaničkih) dinamičkih
sistema. Na nekoliko primera linearnih i nelinearnih sistema prikazan je
postupak primene ovog načina. Zatim se prikazuje jedan postupak za dobijanje
matematičkog modela u prostoru stanja linearnih električnih mreža, a koji se
uspešno može koristiti i za mehaničke i elektromehaničke sistema uz primenu
elektromehaničkih analogija. Nakon dobijanja matematičkog modela u prostoru
stanja, daje se postupak transformacije tog modela u model ulaz-izlaz. U
Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2
drugom delu ovog poglavlja obrađeni su postupci transformacije matematičkog
modela ulaz-izlaz u model u prostoru stanja putem tzv. metoda programiranja
analognih računara. Na taj način se delimično dotiču problemi simulacije
dinamičkih sistema na računarima. S obzirom na to da današnji personalni
računari imaju mogućnost imitacije rada analogmnih računara, ova oblast
modelovanja je od izuzetne važnosti za savremene inženjere. Detaljno su
obrađene tehnike direktnog, rednog i paralelnog programiranja i neke njihove
modifikacije. Na nizu primera prikazuju se postupci primene ovih tehnika za
dobijanja matematičkih modela sistema u prostoru stanja. Savremena softverska
podrška omogućava brza i tačna rešavanja niza praktičnih problema iz područja
upravljanja na personalnim računarima. Zbog toga su u ovom kursu uključeni
elementi MATLAB-a, jednog od najpoznatijih softverskih paketa za sisteme
upravljanja. U ovom poglavlju su dati instrukcije i primeri za primenu
MATLAB-a u transformaciji modela iz prostora stanja u funkciju prenosa, kao i
transformacije funkcije prenosa u model u prostoru stanja.
Drugo poglavlje - Odzivi sistema u prostoru stanja- je posvećeno nalaženju
odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja. Najpre se definiše
fundamentalna matrica sistema i njen oblik za kanoničku dijagonalni formu
matematičkog modela sistema. Zatim se definišu impulsni i odskočni odzivi
sistema u prostoru stanja i odziv na bilo koju pobudu uz istovremeno delovanje
i početnih uslova. Takođe se uvodi diskretni model vremenski kontinualnog
sistema. U nastavku su izvedene relacije za određivanje fundamentalne matrice
za blok-dijagonalnu (Džordanovu) formu i kompanjon formu matrice stanja. S
obzirom na pogodnosti primene različitih modela u analizi i sintezi, date su
metode za transformaciju matematičkih modela u prostoru stanja: svodjenje na
dijagonalnu formu, svodjenje na kanoničku kontrolabilnu formu i svodjenje na
blok-dijagonalnu formu. Poglavlje se završava analizom procesa u linearnom
sistemu. Sva teorijska izlaganja su propraćena odgovarajućim numeričkim
primerima. Takođe su dati MATLAB prilazi za određivanje odziva sistema i
transformaciju matematičkih modela u prostoru stanja.
Treće poglavlje- Prostor stanja i osobine sistema- je posvećeno osobinama
sistema proisteklim iz koncepcije prostora stanja sistema kao što su:
kontrolabilnost, opservabilnost, stabilizabilnost. Najpre je dat kraći istorijski
osvrt njihovog nastanka, a zatim su izvedeni uslovi kontrolabilnosti vremenski
diskretnih i vremenski kontinualnih sistema; uslovi opservabilnosti, princip
dualnosti, dekompozicija sistema, stabilizabilnost, minimalna realizacija.
Poglavlje se završava analizom stabilnosti sistema u prostoru stanja na osnovu
direktne metode Ljapunova. Kao i u prethodna dva poglavlja izlaganje je
propraćeno nizom numeričkih primera i instrukcijama za primenu MATLAB-a
u određivanju kontrolabilnosti, opservabilnosti, dekompozicije i stabilnosti
sistema.
Četvrto poglavlje - Sinteza sistema u prostoru stanja - započinje analizom
primene povratne sprege po stanju i povratne sprege po izlazu. Zatim se raz-
matra problem podešavanja sopstvenih vrednosti sistema uvodjenjem povratne
ii
Predgovor
sprege po stanju. Date su dve metode projektovanja sistema sa skalarnim
upravljanjem. Prva metoda je izvedena preko kanoničkog kontrolabilnog mode-
la sistema, a druga koristi Akermanovu formulu. Za projektovanje sistema sa
vektorskim upravljanjem daju se tri načina sinteze. Prvi svodi problem na
skalarni slučaj. Drugi prilaz se odnosi na sisteme sa zahtevanim prostim
sopstvenim vrednostima, dok je treći - opšti prilaz koji se može primeniti kako
za proste tako i za višestruke zahtevane sopstvene vrednosti. Dalje se izlaže
projektovanje optimalne povratne sprege (Kalmanovog regulatora), sinteza
raspregnutih sistema, gde si izlažu dva prilaza: metoda Boksenboma i Huda,
pogodna za sisteme sa manjim brojem ulaza i izlaza i model sistema ulaz-izlaz i
kombinovana metoda za primenu na modele u prostoru stanja. Poglavlje se
završava sintezom opservera. Sva izlaganja su propraćena adekvatnim
numeričkim primerima i primerima korišćenja MATLAB-a u sintezi povratne
sprege po stanju i Kalmanovog regulatora.
U petom poglavlju - Uvod u nelinearne SAU - date su osnovne odlike
nelinearnih u odnosu na linearne SAU, tipizacija nelinearnih elemenata,
matematičko modelovanje istih i metode linearizacije nelinearnih elemenata.
Šesto poglavlje - Metoda faznog prostora- je skoncentrisano na faznu ravan i
definiciju osnovnih tipova faznih portreta linearnih sistema, na odlikama faznih
portreta nelinearnih sistema kao i na mogućnost kompozicije faznih portreta
nelinearnih sistema na osnovu faznih portreta linearnih sistema. Na jednom
primeru je detaljno pokazan način kompozicije faznih portreta sa različitim
tipovima nelinearnih elemenata u upravljačkom delu sistema.
Sedmo poglavlje- Metoda harmonijske linearizacije - je posvećeno jednoj
inženjerskoj metodi analize nelinearnih sistema u kojima je oscilatorni režim
normalni radni režim rada, a zadatak se svodi na određivanju parametara
samooscilacija. Najpre je definisana opisna funkcija nelinearnih elemenata,
zatim način određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije. Zatim se daju
dve metode za utvrđivanje egzistencije samooscilacija u sistemu: prva je
zasnovana na kriterijumu stabilnosti Mihajlova, a druga - na kriterijumu
stabilnosti Nikvista. Daju se numerički primeri određivanja koeficijenata
harmonijske linearizacije i nalaženja parametara samooscilacija u sistemu.
Osmo poglavlje - Stabilnost nelinearnih sistema - detaljno obrađuje osnovne
probleme u analizi stabilnosti nelinearnih SAU. Izložene su osnovne istorijske
činjenice u vezi sa ovom složenom materijom u okviru kojih su istaknute
hipoteze Ajzermana i hipoteza Kalmana, zatim su obrađene indirektna i direkt-
na metoda Ljapunova, Lurjeov problem u određivanju funkcije Ljapunova sa
prilogom Lefšeca i Lasala. Detaljno je izvedena frekvencijska metoda Popova
za sisteme sa stabilnim i njene modifikacije za sisteme sa nestabilnim linearnim
delom. Poglavlje se završava analizom stabilnosti procesa neautonomnog
nelinearnog sistema. Materija je ilustrovana brojnim numeričkim primerima.
U poslednjem, devetom poglavlju - Nelinearni zakoni upravljanja - dati su
neki nelinearni zakoni upravljanja, U prvom delu su analizirani sistemi sa
dvopozicionim regulatorima sa ili bez histerezisa u upravljanju statičkim ili
iii