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antonio ruberti
alberto isidori
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teoria
della stabilità
appunti dalle lezioni
La cultura è nn bene dell'umanità
prof. ing. antonio ruberti
prof. ing. alberto isidori
•
teoria
della stabilità
appunti dalle lezioni
:C1.~M~~ SIDEREA
La cultura è nn bene dell'umanità
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La cultW"a è nn bene dell'umanità
CAPITOLO I
FONDAME Hl I.
1.1 • Generai itò.
Si considerino le equazioni:
x(t) = f(t, x(t), u(t))
( l. 1)
=
y(t) 77(t, x(t), u(t))
in cui t ER, x(t) E X, u EU e y(t) EY. Come è noto, le funzioni f ed 7J ,
insieme allo spazio di stato X, individuano una rappresentazione regola
re o differenziale di un sistema S.
Un pnmo problema che ci s1 può porre nell'analisi di tali rappre
sentazioni, una volta stabilita l'esistenza e l'unicità delle soluzioni
della ( 1.1). è quello di calcolare, in corrispondenza ad un dato stato ini
zia.le x(t ) e ad un dato ingresso u, l'evoluzione dello stato x (t) e
0
quindi dell'uscita y(t) per t~ t •
0
In molti problemi applicativi, tuttavia, ha interesse non tanto la
conoscenza della soluzione analitica o numerica 01 tale problema, quan
to la possibilità di stabilire delle proprietà significative dell'evoluzio
ne dello stato e dell'uscita. Dal punto di vista matematico un problema
di tale tipo può essere inquadrato nell'ambito della teoria qualitativa
delle equazioni differenziali (ini:liata da Poincaré attorno al 1880), che
si propone di stabilire proprietà dell'insieme delle soluzioni di una e
qu11zione differenziale senza effettuarne il calcolo esatto o appross'imato.
Uno dei problemi di maggior rilievo nell'analisi di una rappre
sentazione regolare kome pure nella teoria qualitativa delle equazioni
differenziali) è quello relativo allo studio di proprietà di limitatezza e
del comportamento asintotico delle soluzioni. Tale problema, esamina
to sotto diversi aspetti, costituisce l'oggetto della teoria della stabi
lità.
A.RUBE!'lTl-A.ISIDORI: Teorio della Stab1htà
La cultura è nn bene dell'umanità
2 Generalità I. 1
Prima di presentar e la trattazione formale conviene chiarire in
tuitivamente il concett::i di stabilità.
In termini molto generali, lo studio della stabilità ài un sistema
consiste ne Ila valutazione e qualitativa> di alcuni aspetti del suo com
portamento in presenza di e perturbazioni> agenti su di esso.
Per esaminare alcune formulazioni matematiche dei problemi di
=
analisi della stabilità, sia x(t) cp(t, t , x , u) la soluzione della ( 1.1)
0 =0
corrispondente ad uno stato iniziale x(t ) x fiss:::ito e ad una asse
0 0
gnata funzione d'ingresso u.
Ci si può allora porre il problema di esaminare come varia la so
luzione della ( 1.1) rispetto a quella considerata al variare dello stato
iniziale entro un prefissato intorno dello stato x . In particolare, se
0
x0 + 6 x0 è un punto dello spazio di stato e prossimo> ad x0 , ci si può
chiedere se la soluzione ad esso corrispondente cp(t, t , x + 6 x , u) si
0 0 0
mantiene o meno e prossima> a cp(t, t , x , u), per t L t , e sotto quali
0 0 0
condizioni q>(t, t , x + D. x , u) tende a coincidere, per t .... oo, con cp (t,
0 0 0
t , x , u). In altri termini tale problema consiste nell'esaminare, fissat
0 0
l'ingresso, l'effetto i una ertur azione Ò x sullo stato · · ·
Si supponga ora fissato lo stato iniziale x e che al!' ingresso
0
u(t) sia sovrapposta, per t E(t ,t ), una grandezza disturbante S(t). fun
0 1
zione incognita appartenente ad una classe di funzioni assegnata:
u(t) + Su (t)
lì (t) = {
u( t)
Ci si può allora chiedere se la soluzione cp(t, t , x , u) si mantie
0 0
ne o meno e prossima> alla soluzione q>(t, t , x , u) per t L t e sotto
0 0 0
quali condizioni esse tendono a coincidere per t-co, al variare di Su(·)
entro la classe prefissata. In altri termini ci si può chiedere quale sia
l'effetto di una perturbazione S (t) agente sull'ingresso.
' u
E chiaro che, se si fa riferimento a tempi successivi a t1, l'ef·
fetto della perturbazione 8)t) agente sull'ingresso si può studiare e·
quivalentemente esaminando l'effetto di perturbazioni sullo stato inizia
le, considerando come stato iniziale lo stato all'istante t , x(t )= cp (t ,
1 1 1
t0, x0,u [to,t l ), in cui cessa la perturbazione sul!' ingresso. Prcblemi a
naloghi si p1ossono porre anche nel caso in cui la perturbazione S (t)
u
sull'ingresso si manifesta in tutti gli istanti successivi a t , ossia nel
0
caso di perturbazioni persistenti sull'ingresso (in tal caso non ci si
può ricondurre però allo studio dell'effetto di perturbazioni sullo stato
iniziale).
Appare allora naturale chiamare stabile un sistema la cui evo•
luzione è poco sensibile a perturbazioni sullo stato iniziale o sull 'in
gresso, ossia in cui piccole perturbazioni danno luogo a piccole varia-
La cultura è nn bene dell'umanità
I. 1 Generalità 3
zioni nella sua evoluzione. Viceversa un sistema si dirà instabile se,
per effetto di una piccola perturbazione, la sua evoluzione si allontana
dalla situazione dinamica corrispondente all'assenza della perturbazio
ne.
Il corpo della teoria della stabilità è costituito essenzialmente
di:
a) definizioni; per sviluppare in modo rigoroso la teoria occorre definire
in modo preciso cosa significa stabilità, instabilità, e distinguere diver
si tipi di stabilità. Ci saranno òiversi tipi ài stabilità perché ci potran
no essere :iiversi modi di reagire alle perturbazioni e ci potranno essere
e.sigenze i:iiù o meno forti da soddisfare.
b) condizioni; dopo le deiiniz1oni, è necessario stabilire quali condi
zioni debbano essere soddisfatte in una rappresentazione e nei suoi pa
rametri affinché si abbia un tipo o l'altro di stabilità. Queste prendono
appunto ii nome di condizioni di stabilità.
e) criteri; òopo aver stabilito le condizioni di stabilità è importante po
ter verificare se tali condizioni sono soddisfatte o meno, senza calcola
re esµlic-itamente le uscite. I ç.,rocedimenti che consentono di effettuare
questa verific-a prendono il nome di criteri di stabilità.
Il contributo fondamentale nella teoria moderna della stabilità è
dovuto al matematico russo Lyapunov il quale, nel 1892, scrisse una ce
lebre memoria sulle stabilità del movimento, che è rimasta il punto di
partenza della teoria delia stabilità. La teoria di Lyapunov si è <limo~
strato la più efficace per lo studio della stabilità nei problemi applica
tivi, in particolare in queìli ingegneristici. Questa teoria è stata• risco
perta> dagli ingegner i negli anni '50 e da allora via vi a trasferita sul
piano applicativo; oqqi è praticamente l'unica teoria che p_ermette di af
frontare i problemi di stabilità su una base matematico seria, non solo
Jnei casi lineari. ma anche in quelli non lineari.f
1.2 • Situazioni dinamiche di interesse.
In tutta ia trattazione seguente si assumerà che il sistema S al
lo studio sia descritto mediante una rappresentazione ingresso-stato-u
scita:
=
( 2. l') x(t) q>(t. t , x , u)
0 0
=
( 2. 111 y(t) 71(t, x(t). u(t))
)
Le situazioni ainamiche di maggiore interesse nell<:t teoria della
stabilità sono le seguenti:
La cultura è nn bene dell'umanità
4 Situazioni dinamiche di interesse 1.2
Traiettoria : è l'insieme così definito:
=
(2.2) i = {x €X: x q>(t, t , x , u)}
0 0
Essa è l'insieme di tutti i valori assunti dallo stato nell'evolÙ·
zione a partire da un particolare stato iniziale ed in corrispondenza ad
un particolare ingresso; essa dipende ovviamente anche dal!' istante i
niziale. La traiettoria è un luogo di punti nello spazio di stato; nel ca
so bidimensionale· (n = 2), ad es., la traiettoria può essere rappresenta
ta come una curva nel pi~no cartesiano (x , x ) (vedi fig. 2.1).
1 2
Come già osservato, ciascuna
traiettoria è legata al particolare sta-
to iniziale ed al particolare ingresso
X2
che caratterizzano l'evoluzione dello
stato.
Moto .(o movimento) è l'insieme co
xo
sì definito:
=
(2.3) ~ {(t, x(t)) € T x X: t~ T(t ).
0
Xl
x(t) = q> (t, t , Xo, u)}
0
Essa è l'insieme delle coppie
di valori (t, xl. nelle quali x è il
valore assunto all'istante t dallo sta· Fig. 2.1
to nell'evoluzione a partire da un
particolare stato iniziale ed in corrispondenza ad un particolare ingres·
so. La differenza sostanziale rispetto alla traiettoria risiede nel fq_tto
che questa volta si considera, accanto allo stato, anche I' 1 stante di
tempo incui ilv alored ello s tèitOVI"eneassunto. '11 moto è un luogo
di punti neIT'lnsieme T X X; nel caso bidimensionale, ad es., può es·
sere rappresentato come una curva nello spazio cartesiano (t, x , x )
1 2
(vedi fig. 2.2).
Xl
xo
x2 Fig. 2.2
La cultura è nn bene dell'umanità
1.2 Situazioni dinamiche di interesse 5
E' chiaro che la proiezione del moto sul piano (x , x ) restitui
1 2
sce la traiettoria.
La distinzione tra traiettoria e moto è fondamentale e se ne ve
dranno presto le applicazioni. Nel primo caso interessa soltanto cono
scere il luogo dei punti dello spazio di stato percorso dal sistema nella
sua evoluzione; nel secondo caso interessa anche sapere in quale istan
te ciascun punto dello spazio di stato viene raggiunto.
Moto periodico : un moto si dice periodico se esiste un valore T per cui
si abbia:
=
(2.4) cp ( t + n T, t , x , u) cp ( t, t , x , u)
0 0 0 0
per ogni intero n e per ogni t ET (t }. Il più piccolo T per cui lo (2.4)
0
è soddisfatto si chiamo periodo del moto. Ovviamente la traiettoria cor
rispondente ad un moto perio-
dico è chiusa, in quanto lo
stato riassume le sfesse po
sizioni periodicamente. Le
traiettorie chiuse hanno spes
so un nome convenzionale
molto diffuso in certi capitoli
dello teoria dello stabilità: ci
clo limite. Nel caso bidimen·
sionole un ciclo limite può
assumere la configurazione
indicata in fig. 2.3. Fig. 2.3
i equilibrio : uno stato x si dice di equilibrio se, nell'evolu-
--- e
zione lTbero avente origine da tale stato, lo stato del sistema si mantie-
ne costantemente pari ad xe. In termini formali, uno stato di equilibrio
è qualsiasi elemento xe di X che soddisfo la condizione:
(2.5)
per ogni t ET (t0). Gli stati di equilibrio sono dunque le soluzioni della
(2.5).
Con riferimento olle definizioni date in precedenza, si può dire
che gli stati di equilibrio sono traiettorie degeneri (costituite da un solo
elemento di X) corrispondenti ad ingressi nulli su T (t ). Ovvero, in al
0
tri termini, gli stati di equilibrio sono le traiettorie cQ.lli.sponden.tL.a-mo-
1t i periodici degeneri (moti periodici di periodo nullo).)
La definizione qui presentato fa riferimento al caso di ingresso
nullo (evoluzione libera). Non vi è tuttavia alcuna difficoltà a conside
rare una definizione che faccia riferimento a un ingresso costante su
T(t0); in tal caso la (2.5) va sostituita dallp:
La cultura è Wl bene dell'umanità
6 Situazioni dinamiche di interesse 1.2
(2.6)
avendo indicato con i.i il valore costante dell'ingresso.
E' chiaro allora che gli stati di equilibrio dipendono dal portico·
lare valore della costante i.i; non si perde di generalità, tuttavia, a stu
diare il caso definito dalla (2.5) in quanto si può sempre pensare il va·
lore di il che figura nella (2.6) come parametro del sistema.
ba"• Definizioni di stabilità.
Si daranno ora le principali definizioni di stabilità secondo Lya
punov. In tutta la trattazione seguente, salvo esplicito avviso, si indi·
cherà con x(t) il valore assunto dalla tunzione (j)(t, t0, x0, 0) e cioè
il valore a>s11nto dallo stato in evoluzione libera ali' istante t, a par
=
ilieda uno stato iniziale x x(t ). Si assumerà inoltre che le s~lo
0 0
li stato X sia uno spazio vettoriale normato.
Stabilità di uno stato di equilibrio: uno stato di equilibrio xe si dice
stabile se:
(3,l) 'r/g/ 3ò(e:,to):
I
llx(t ) - xell < S(c:, t0 ) ~ Il x(t)- xe Il< E
0
cioè se comunque si fissi un E> O esiste un S, che potrà dipendere da
E e dall'istante iniziale t , tale che, se x(t ) • xe è in norma minore
0 0
di Ò allora x(t)-xe è in norma minore ài E, per ogni t ~ t •
0
Una esemplificazione grafica di questa definizione è data in fi·
gura 3.1 con riferimento al caso bidimensionale. Sia xe uno stato di e·
quilibrio; esso è stabile se, scelto un intorno del punto xe di raggio E
piccolo a piacere (fig. 3.1-a). è possibile trovare un intorno di raggio S
- che dipenderà dal valore E prescelto e doli' istante iniziale t - {fi
0
gura 3.1-b). tale che, se x(t ) è interno al cerchio di raggio ò (figura
0
3.1-c) allora la traiettoria in evoluzione libera avente origine da x(t )
0
si mantiene interna al cerchio di raggio E (fig. 3.1-d).
\ In altre parole, fissato un iJ!.!_orno di x piccolo quanto si vo·
glia, l'evoluzione libera dello stato si mantiene confinata a tale intorno
purché il valore dello stato iniziale x(t ) non si discosti troppo dal va·
0
j
lore di equilibrio xe.
Nello studio della stabilità di uno stato di equilibrio è abituale
dare alla quantità x(t )- xe il nome di perturbazione iniziale e, in con
0
seguenza, alla evoluzione dello stato W(t, t , x(t l. 0) il nome di evo
0 0
luzione {libera) i)erturbata.
